【人教九上数学学霸听课笔记】24.1.4 圆周角 课件（共38张PPT）

(共35张PPT)
24.1　圆的有关性质
第二十四章
圆
24.1.4　圆周角
预学浅梳理 探究与应用 随堂小检测
第二十四章　圆
1.顶点在________,并且两边都与圆________的角叫做圆周
角.
2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角
的________.
圆上
相交
一半
3.圆周角定理的推论：
(1)同弧或等弧所对的圆周角________.
(2)半圆(或直径)所对的圆周角是________,90°的圆周角所
对的弦是________.
相等
直角
直径
4.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形
叫做______________,这个圆叫做这个多边形的________.
5.圆内接四边形的对角________.
圆内接多边形
外接圆
互补
目标一　了解圆周角的概念
定义 在圆中,除圆心角外,还有一类角(如图24－1－25中的∠ACB),它的________在圆上,并且两边都与圆________,我们把这样的角叫做圆周角.
图24－1－25
顶点
相交
例1 如图24－1－26,∠APB是圆周角的是(　　)
图24－1－26
D
目标二　探究并掌握圆周角定理及其推论
图24－1－27
图① 图② 图③
∠BAC
∠BOC
规律：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
探究2 请你根据图24－1－27中的各种情况,证明你发现的规律.
证明：(1)如图①,当圆心O在∠BAC的一边上时,
证明：∵OA＝OC，∴∠A＝∠C.
又∵∠BOC＝∠A＋∠C，
(2)如图②,当圆心O在∠BAC的内部时,
证明：连接AO并延长交⊙O于点D，如图①.
(3)如图③,当圆心O在∠BAC的外部时.
证明：连接AO并延长交⊙O于点D，如图②.
总结
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
探究3 同弧或等弧所对的圆周角相等吗 为什么
解：相等.因为同弧或等弧所对的圆心角相等，又因为它们所对的圆周角等于圆心角的一半，所以同弧或等弧所对的圆周角相等.
探究4 如图24－1－28,半圆所对的圆周角是多少度 90°的圆周角所对的弦是哪条
解：半圆所对的圆周角是90°，90°的圆周
角所对的弦是直径AB.
图24－1－28
总结
圆周角定理的两个推论
1.____________所对的圆周角相等.
2.半圆(或直径)所对的圆周角是________,90°的圆周角所对
的弦是________.
同弧或等弧
直角
直径
例2 [教材P87例4]如图24－1－29,⊙O的直径AB为10 cm,弦AC为6 cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D,求BC,AD,BD的长.
解：如图，连接OD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°.
在Rt△ABC中，
图24－1－29
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠AOD＝∠BOD，
∴AD＝BD.
又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，
变式
1
图J24－1－4
1.等角转换转移条件关系
利用同弧或等弧所对的圆周角相等可实现等角转换,将条件
集中于同一个三角形中或者转移至有关系的角之间.
2.圆中常用辅助线——“见直径作直角”
当题目中出现直径时,通常作出直径所对的圆周角,可得直
角,进而构造直角三角形解决问题.
方法感悟
目标三　理解并掌握圆内接四边形的性质
定义 如果一个多边形的所有顶点都在________圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的________.
同一个
外接圆
探究 已知：如图24－1－30,四边形ABCD内接于⊙O,则∠A与∠C,∠B与∠D之间有什么数量关系 证明你的结论.
图24－1－30
解：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.
证明：如图，连接OB，OD.
同理∠B＋∠D＝180°.
总结
圆内接四边形的性质定理
圆内接四边形的对角________.
互补
例3 如图24－1－31,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,延长DC,AB相交于点E,BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形.
证明：∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A＋∠DCB＝180°.
又∵∠BCE＋∠DCB＝180°，
∴∠A＝∠BCE，∴∠A＝∠E，
∴AD＝DE，即△ADE是等腰三角形.
图24－1－31
1.如图24－1－32,已知圆心角∠BOC＝78°,则圆周角∠BAC的度数是(　　)
A.156° B.78°
C.39° D.12°
图24－1－32
C
2.如图24－1－33,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦.若∠OBC＝60°,则∠BAC的度数是(　　)
A.75° B.60°
C.45° D.30°
图24－1－33
D
3.如图24－1－34,A,B,C,D是⊙O上的四个点,∠C＝110°,则∠BOD＝________°.
图24－1－34
140
4.如图24－1－35,AB是⊙O的直径,C,D为⊙O上的两点,若∠CDB＝35°,则∠ABC的度数为________.
[解析] 依题意得∠A＝∠CDB＝35°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°－35°＝55°.
图24－1－35
55°
5.已知：如图24－1－36,△ABC的三个顶点A,B,C在⊙O上,
CE是⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为D.求证：∠ACE＝∠BCD.
证明：连接AE.
∵CE是⊙O的直径，
∴∠CAE＝90°.
∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，
∴∠CAE＝∠CDB.
又∵∠E＝∠B，∴∠ACE＝∠BCD.
图24－1－36