【人教九上数学学霸提升作业】24.2.2 第2课时 切线的判定和性质(附答案)

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24.2.2　第2课时　切线的判定和性质
命题点 1　切线的判定
1.下列说法中,正确的是 (　　)
A.垂直于半径的直线是圆的切线
B.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C.经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D.到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线
2.如图24-2-19,P是☉O外一点,OP交☉O于点A,OA=AP.甲、乙两人想作一条经过点P且与☉O相切的直线,其作法如下:
甲:以点A为圆心,AP长为半径画弧,交☉O于点B,则直线BP即为所求.
乙:过点A作直线MN⊥OP,以点O为圆心,OP长为半径画弧,交射线AM于点B,连接OB,交☉O于点C,直线CP即为所求.
对于甲、乙两人的作法,下列判断正确的是 (　　)
图24-2-19
A.甲正确,乙错误 B.乙正确,甲错误
C.两人都正确 D.两人都错误
3.如图24-2-20所示,AB为☉O的直径,圆周角∠ABC=40°,当∠BCD=　　　　°时,CD为☉O的切线.
图24-2-20 图24-2-21
4.如图24-2-21,AB是☉O的直径,☉O交BC于点D,DE⊥AC,垂足为E,要使DE是☉O的切线,则图中的线段应满足的条件是　　　　　　.
5.[2020·武汉模拟] 如图24-2-22,已知AB=AC,点D在BC上,且BD=CD,以A为圆心的圆恰好经过点D.求证:BC为☉A的切线.
图24-2-22
6.如图24-2-23,点O在∠APB的平分线上,☉O与PA相切于点C.求证:直线PB与☉O相切.
图24-2-23
7.[2020·北京朝阳区期末] 如图24-2-24,在平面内,O为线段AB的中点,所有到点O的距离等于OA的点组成图形W.取OA的中点C,过点C作CD⊥AB交图形W于点D,点D在直线AB的上方,连接AD,BD.
(1)求∠ABD的度数;
(2)若点E在线段CA的延长线上,且∠ADE=∠ABD,求直线DE与图形W的公共点个数.
图24-2-24
命题点 2　切线性质的应用
8.如图24-2-25,AB是☉O的直径,MN是☉O的切线,切点为N.若∠MNB=52°,则∠NOA的度数为 (　　)
A.76° B.56° C.54° D.52°
图24-2-25 图24-2-26
9.[2020·无锡梁溪区二模] 如图24-2-26,从☉O外一点A引圆的切线AB,切点为B,连接AO并延长交☉O于点C,连接BC.若∠A=32°,则∠ACB的度数是 (　　)
A.29° B.30° C.31° D.32°
10.[2020·雅安] 如图24-2-27,△ABC内接于圆,∠ACB=90°,过点C的切线交AB的延长线于点P,∠P=28°,则∠CAB的度数为 (　　)
A.62° B.31° C.28° D.56°
图24-2-27 图24-2-28
11.如图24-2-28,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C作一圆弧,点B与图中7×4方格中的格点相连,连线能够与该圆弧相切的格点有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.如图24-2-29,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA,CB分别相交于点P,Q,则线段PQ的最小值为 (　　)
图24-2-29
A.5 B.4 C.4.75 D.4.8
13.如图24-2-30,一个边长为4 cm的等边三角形ABC的高与☉O的直径相等.若☉O与BC相切于点C,与AC相交于点E,则CE的长为 (　　)
图24-2-30
A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1.5 cm
14.[2019·鄂州] 如图24-2-31,在平面直角坐标系中,已知C(3,4),以点C为圆心的圆与y轴相切,点A,B在x轴上,且OA=OB.若P为☉C上的动点,∠APB=90°,则AB长的最大值为　　　　. 图24-2-31
15.如图24-2-32,在矩形ABCD中,AB=8,AD=12,过A,D两点的☉O与BC边相切于点E,则☉O的半径为　　　　.
图24-2-32 图24-2-33
16.如图24-2-33,☉M的圆心M在一次函数y=x+2的图象上运动,☉M的半径为1.当☉M与y轴相切时,点M的坐标为　　　　　　　　　.
17.如图24-2-34,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,过点A作AD平分∠BAC,交☉O于点D,过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E.
(1)依据题意,补全图形(尺规作图,保留痕迹);
(2)判断直线DE与☉O的位置关系,并证明你的结论;
(3)若AB=10,BC=8,求CE的长.
图24-2-34
18.如图24-2-35,AB是☉O的直径,AB=8,点C在☉O的半径OA上运动,PC⊥AB,垂足为C,PC=5,PT为☉O的切线,切点为T.
(1)如图①,当点C运动到点O处时,求PT的长;
(2)如图②,当点C运动到点A处时,连接PO,BT,求证:PO∥BT;
(3)如图③,设PT2=y,AC=x,求y与x之间的函数解析式及y的最小值.
图24-2-35
典题讲评与答案详析
1.B
2.C　[解析] 对于甲的作法:连接OB,如图①.
∵OA=AP,∴OP为☉A的直径,
∴∠OBP=90°,即OB⊥PB,
∴PB为☉O的切线,∴甲的作法正确.
对于乙的作法:
如图②,∵MN⊥OP,∴∠OAB=90°.
在△OAB和△OCP中,
∴△OAB≌△OCP,
∴∠OAB=∠OCP=90°,即OC⊥PC,
∴PC为☉O的切线,∴乙的作法正确.
3.50　[解析] 连接OC.
∵OC=OB,∴∠OCB=∠ABC=40°.
∵∠BCD=50°,∴∠OCD=90°,即OC⊥CD,
∴CD为☉O的切线.
4.BD=CD或AB=AC(答案不唯一)
[解析] (1)如图,连接OD.要使DE是☉O的切线,结合DE⊥AC,只需OD∥AC,根据O是AB的中点,只需BD=CD即可;
(2)根据(1)中探求的条件,要使BD=CD,则连接AD,由于∠ADB=90°,只需AB=AC,根据等腰三角形的三线合一即可.
5.证明:如图,连接AD.
∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC.
又∵AD为☉A的半径,∴BC为☉A的切线.
6.证明:如图,连接OC,过点O作OD⊥PB于点D.
∵☉O与PA相切于点C,
∴OC⊥PA.
∵点O在∠APB的平分线上,OC⊥PA,OD⊥PB,∴OD=OC,
∴直线PB与☉O相切.
7.解:(1)根据题意,得图形W为以点O为圆心,OA为半径的圆.
如图①,连接OD,∴OA=OD.
∵C为OA的中点,CD⊥AB,
∴AD=OD,∴OA=OD=AD,
∴△OAD是等边三角形,
∴∠AOD=60°,∴∠ABD=30°.
(2)如图②,
∵∠ADE=∠ABD,
∴∠ADE=30°.
∵△OAD是等边三角形,∴∠ADO=60°,
∴∠ODE=90°,∴OD⊥DE.
又∵OD是☉O的半径,∴DE是☉O的切线,
∴直线DE与图形W的公共点个数为1.
8.A　[解析] ∵MN是☉O的切线,∴ON⊥NM,
∴∠ONM=90°,∴∠ONB=90°-∠MNB=90°-52°=38°.∵ON=OB,∴∠B=∠ONB=38°,
∴∠NOA=2∠B=76°.
9.A　[解析] 如图,连接OB.
∵AB切☉O于点B,
∴∠OBA=90°.
∵∠A=32°,
∴∠AOB=90°-32°=58°,
∴∠C=∠AOB=29°.故选A.
10.B　[解析] ∵△ABC内接于圆,∠ACB=90°,∴AB为圆的直径.
如图,取AB的中点O,连接OC.
∵PC为☉O的切线,
∴OC⊥PC,∴∠PCO=90°,
∴∠POC=90°-∠P=90°-28°=62°,
∴∠A=∠POC=×62°=31°.
故选B.
11.C　[解析] 如图,连接AB,BC,作AB,BC的垂直平分线,可得点A,B,C所在的圆的圆心为O'(2,0).
只有当∠O'BF=∠O'BD+∠DBF=90°时,BF与圆相切,
此时△BO'D≌△FBE,则EF=DB=2,
此时点F的坐标为(5,1).
作过点B,F的直线,直线BF经过格点(1,3),(7,0),此两点亦符合要求.
即与点B的连线,能够与该圆弧相切的格点是(5,1)或(1,3)或(7,0),共3个.
12.D　[解析] 如图,设PQ的中点为F,☉F与AB的切点为D,连接FD,FC,CD.
∵AB=10,AC=8,BC=6,
∴AC2+BC2=82+62=102=AB2,
∴∠ACB=90°,∴PQ为☉F的直径.
∵☉F与AB相切,∴FD⊥AB.
∵FC+FD=PQ,而FC+FD≥CD,
∴当CD为Rt△ABC的斜边AB上的高且点F在CD上时,PQ有最小值,为CD的长,即CD为☉F的直径.
∵S△ABC=BC·AC=CD·AB,∴CD=4.8.故PQ的最小值为4.8.
13.B　[解析] 如图,连接OC,过点O作OF⊥CE于点F.
∵△ABC为等边三角形,边长为4 cm,
∴△ABC的高为2 cm.
又∵☉O的直径与△ABC的高相等,
∴OC= cm.
∵☉O与BC相切于点C,∠ACB=60°,
∴∠OCF=30°.
在Rt△OFC中,OF=OC= cm,
∴FC== cm,
∴CE=2FC=3 cm.
14.16　
15.　[解析] 如图,连接AO,EO,延长EO交AD于点F.
∵☉O与BC边相切于点E,
∴OE⊥BC.
∵四边形ABCD为矩形,
∴BC∥AD,
∴OF⊥AD,∴AF=DF=AD=6.
易得四边形ABEF为矩形,则EF=AB=8.
设☉O的半径为r,则OA=r,OF=8-r.
在Rt△AOF中,∵OF2+AF2=OA2,
∴(8-r)2+62=r2,
解得r=,即☉O的半径为.
16.1,或-1,　[解析] ∵☉M的圆心M在一次函数y=x+2的图象上运动,∴设当☉M与y轴相切时圆心M的坐标为x,x+2.∵☉M的半径为1,∴x=1或x=-1.当x=1时,x+2=;当x=-1时,x+2=,∴点M的坐标为1,或-1,.
17.解:(1)如图①.
(2)直线DE与☉O相切.
证明:如图②,连接OD,交BC于点F.
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,
∴=,∴OD⊥BC于点F.
∵DE∥BC,∴OD⊥DE于点D.
又∵OD是☉O的半径,∴直线DE与☉O相切.
(3)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∵AB=10,BC=8,∴AC==6.
∵∠BFO=∠ACB=90°,∴OD∥AC.
又∵O是AB的中点,∴OF=AC=3.
∵OD=AB=5,∴DF=OD-OF=2.
∵DE∥BC,OD∥AC,
∴四边形CFDE是平行四边形,
∴CE=DF=2.
18.解:(1)连接OT.
∵PT为☉O的切线,∴OT⊥PT,
∴在Rt△PTO中,PT==3.
(2)证明:连接AT,OT.
∵PT为☉O的切线,∴PT⊥OT,
∴∠PTO=90°=∠PAO.
在Rt△PAO和Rt△PTO中,
∴Rt△PAO≌Rt△PTO,
∴PA=PT,∠APO=∠TPO,∴PO⊥AT.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ATB是直角,即BT⊥AT,∴PO∥BT.
(3)连接PO,OT.
∵PT为☉O的切线,∴PT⊥OT.
∵AC=x,∴CO=OA-AC=4-x.
在Rt△PCO中,PO2=PC2+CO2=52+(4-x)2.
在Rt△POT中,PO2=PT2+OT2=y+42,
∴y+42=52+(4-x)2,
∴y=9+(4-x)2=x2-8x+25=(x-4)2+9(0≤x≤4),
∴当x=4时,y有最小值9.
∴y与x之间的函数解析式为y=x2-8x+25(0≤x≤4),y的最小值是9.
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