【人教九上数学学霸听课笔记】24.2.2 第2课时 切线的判定和性质 课件（共25张PPT）

(共23张PPT)
第2课时　切线的判定和性质
预学浅梳理 探究与应用 随堂小检测
第二十四章　圆
24.2.2　直线和圆的位置关系
1.切线的判定定理：经过半径的________并且________这
条半径的直线是圆的切线.
2.切线的性质定理：圆的切线________过切点的半径.
外端
垂直于
垂直于
目标一　理解并掌握切线的判定定理
思考 如图24－2－12,在⊙O中,经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线l的距离是________；直线l和⊙O的位置关系是________,理由：________________________
__________________________________________________.
图24－2－12
OA的长
相切
根据直线与圆相切的定义,当
圆心到直线的距离等于该圆的半径时,直线就是圆的一条切线
归纳
切线的判定定理
经过半径的________并且________这条半径的直线是圆的
切线.
外端
垂直于
例1 判断下列说法是否正确：
(1)过半径外端的直线是圆的切线.(　　)
(2)与半径垂直的直线是圆的切线.(　　)
(3)过半径的端点且与半径垂直的直线是圆的切线.(　　)
(4)经过直径的端点且与该直径垂直的直线是圆的切线.
(　　)
×
×
×
√
[解析] 说明(1)(2)(3)错误,用下列反例.
例2 如图24－2－13,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,
BD＝OB,点C在⊙O上,∠CAB＝30°.求证：CD是⊙O的切线.
[解析] 欲证CD是⊙O的切线,因为直线
CD与⊙O有公共点C,所以连接OC,只需
证明OC⊥CD即可.因为AB是⊙O的直径,
所以连接BC,易知△BOC为等边三角形,由
CB＝OB＝BD可得∠OCD＝90°.
图24－2－13
证明：如图,连接OC,BC.∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB＝90°.
∵∠CAB＝30°,∴∠ABC＝60°.
又∵OB＝OC,∴△BOC为等边三角形,
∴BC＝OB,∠OCB＝∠ABC＝60°.
又∵OB＝BD,∴BC＝BD,∴∠BCD＝∠D.
∵∠ABC＝∠BCD＋∠D＝60°,∴∠BCD＝30°,
∴∠OCD＝∠OCB＋∠BCD＝60°＋30°＝90°,即OC⊥CD.
又∵点C在⊙O上,∴CD是⊙O的切线.
判定圆的切线的“三种方法”
1.定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线；
2.求值法(d＝r)：与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的
切线；
3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线
是圆的切线.
方法总结
目标二　理解并掌握切线的性质定理
思考 将“目标一思考”中的问题反过来,如图24－2－14,如果直线l是⊙O的切线,切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢 证明你的结论.
图24－2－14
解：半径OA⊥l.
证明：假设直线l不垂直于半径OA,过点O作OA′⊥l,垂足为A′.
根据垂线段最短,可得OA′例3 如图24－2－15,AB为⊙O的直径,PQ切⊙O于点E,AC⊥
PQ于点C.求证：AE平分∠BAC.
证明：连接OE,如图.
∵OA＝OE,∴∠OEA＝∠OAE.
∵PQ切⊙O于点E,∴OE⊥PQ.
又∵AC⊥PQ,∴OE∥AC,
∴∠OEA＝∠EAC,
∴∠OAE＝∠EAC,∴AE平分∠BAC.
图24－2－15
目标三　能综合运用切线的判定定理和性质定理解决问题
例4 [教材P98例1]如图24－2－16,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线.
图24－2－16
证明：如图,过点O作OE⊥AC,垂足为E,连接OD,OA.
∵⊙O与AB相切于点D,
∴OD⊥AB.
∵△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,
∴AO是∠BAC的平分线,
∴OE＝OD,即OE是⊙O的半径.
这样,AC经过⊙O的半径OE的外端点E,并且垂直于半径OE,故AC与⊙O相切.
变式 如图J24－2－2,已知AB是⊙O的直径,直线BC与⊙O相切于点B,过点A作AD∥OC交⊙O于点D,连接CD.求证：CD是⊙O的切线.
证明：连接OD,如图所示.
∵OA＝OD,∴∠ODA＝∠OAD.
∵AD∥OC,
∴∠COD＝∠ODA,∠COB＝∠OAD,
∴∠COD＝∠COB.
图J24－2－2
又∵OD＝OB,OC＝OC,
∴△ODC≌△OBC(SAS),
∴∠ODC＝∠OBC.
∵BC与⊙O相切于点B,
∴∠OBC＝90°,∴∠ODC＝90°,
∴OD⊥CD.
又∵CD经过半径OD的外端点D,
∴CD是⊙O的切线.
判定圆的切线的常用辅助线的选择
1.如果已知直线过圆上一点,那么连接这点和圆心,得到半径,
证明这条半径垂直于已知直线即可,简记为：有交点,作半
径,证垂直.
2.如果已知直线与圆没有明确是否有公共点,那么过圆心作
已知直线的垂线段,证明垂线段等于半径即可,可简记为：
无交点,作垂线,证半径.
方法总结
1.如图24－2－17,AB是⊙O的直径,AC切⊙O于点A,BC交⊙O于点D,若∠C＝70°,则∠AOD的度数为(　　)
A.70° B.35°
C.20° D.40°
图24－2－17
D
[解析] ∵AC是⊙O的切线,AB是⊙O的直径,∴AB⊥AC,即∠CAB＝90°.
∵∠C＝70°,∴∠CBA＝20°,∴∠AOD＝40°.
故选D.
2.如图24－2－18,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠BAC的平分线交BC于点O,以点O为圆心,OC为半径作半圆.求证：AB为⊙O的切线.
证明：如图,过点O作OH⊥AB于点H.
∵AO平分∠BAC,OC⊥AC,
OH⊥AB,∴OH＝OC,
∴AB为⊙O的切线.
图24－2－18
3.如图24－2－19,在△ABC中,∠CAB＝90°,以AB为直径作⊙O交BC于点D,点E在边AC上,且满足ED＝EA.求证：直线ED与⊙O相切.
图24－2－19
证明：连接OE,OD.在△OAE与△ODE中,
∴△OAE≌△ODE(SSS),
∴∠ODE＝∠CAB＝90°,即 OD⊥DE.
又∵OD是⊙O的半径,
∴直线ED与⊙O相切.