【人教九上数学学霸听课笔记】24.2.2第3课时 切线长定理和三角形的内切圆 课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
24.2.2　直线和圆的位置关系
第二十四章
圆
第3课时　切线长定理和三角形的内切圆
预学浅梳理 探究与应用 随堂小检测
第二十四章　圆
1.从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的________相等,这
一点和圆心的连线平分________________.
2.与三角形各边都________的圆叫做三角形的内切圆；内
切圆的圆心是三角形______________的交点,叫做三角形的
内心.
切线长
两条切线的夹角
相切
三条角平分线
目标一　理解切线长的概念,掌握切线长定理
探究1 过圆外一点能作几条圆的切线 请在图24－2－20中过点P画出⊙O的所有切线.
解：两条.画图如下.
图24－2－20
定义 经过圆外一点的圆的切线上,这点和________之间线
段的长,叫做这点到圆的切线长.
切点
探究2 设探究1中所画两条切线的切点分别为A,B,连接PO.
(1)依题意补全图形；
解：补全图形如下.
(2)切线长是指哪两条线段的长 这两条线段有什么关系 图中∠APO和∠BPO有什么关系 请说明理由.
解：切线长是指线段PA与PB的长;PA＝PB;∠APO＝∠BPO.
理由：如图,连接OA,OB.
因为PA,PB是⊙O的切线,
所以OA⊥PA,OB⊥PB.
又因为OA＝OB,PO＝PO,
所以Rt△AOP≌Rt△BOP,所以PA＝PB,∠APO＝∠BPO.
总结
切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的________相等,这
一点和圆心的连线平分________________.
切线长
两条切线的夹角
图24－2－21
解：(1)∵PA,PB,EF均是⊙O的切线,
∴PA＝PB＝12 cm,EA＝EQ,FQ＝FB,
∴△PEF的周长＝PE＋EQ＋FQ＋PF＝PA＋PB＝12＋12＝24(cm).
(2)∵PA,PB,EF均是⊙O的切线,
∴PA⊥OA,PB⊥OB,EF⊥OQ,∠AEO＝∠QEO,∠QFO＝∠BFO,
∴∠EAO＝∠EQO＝90°,∠AOE＝∠QOE.
同理∠BOF＝∠QOF.
∵∠AOB＝360°－90°－90°－∠P＝110°,
切线长定理的基本图形
如图24－2－22,PA,PB为⊙O的切线,此图形中含有：
(1)一条特殊的角平分线(OP平分∠AOB,PO平分∠APB)；
(2)两个等腰三角形(△PAB,△OAB)；
(3)三个垂直关系(OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB).
归纳总结
图24－2－22
目标二　了解三角形的内切圆、内心的概念,会作三角形
的内切圆
思考 图24－2－23是一块三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切
图24－2－23
解：如图,分别作∠ABC,∠ACB的平分线BM和CN,设它们相交于点I,那么点I到AB,BC,CA的距离都相等,以点I为圆心,点I到BC的距离ID为半径作圆,则⊙I与△ABC的三条边都相切,⊙I就是所求作的圆.
定义 与三角形各边都________的圆叫做三角形的内切圆；
内切圆的圆心是三角形________________线的交点,叫做三
角形的内心.
相切
三条角平分
例2 如图24－2－24,现有一块腰AB的长为5 dm,底边BC的长为6 dm的等腰三角形余料.求从中剪出的最大圆形盖子的面积.
[解析] 三角形的内切圆即从中剪出的最大
圆形盖子,利用三角形的面积求出内切圆的
半径,从而求出盖子的面积.
图24－2－24
解：如图,设△ABC的内切圆的圆心为O,⊙O与△ABC的三边分别相切于点D,E,F,连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,则OD⊥BC,OE⊥AB,OF⊥AC.
由等腰三角形的“三线合一”可知A,O,D三点在同一直线上,
∵S△OAB＋S△OBC＋S△OAC＝S△ABC,
∴AB·OE＋BC·OD＋AC·OF＝BC·AD,
即(5＋6＋5)·OD＝6×4,
例3 [教材P100例2]如图24－2－25,△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB＝9,BC＝14,CA＝13.求AF,BD,CE的长.
图24－2－25
解：设AF＝x,则AE＝x,
CD＝CE＝CA－AE＝13－x,
BD＝BF＝AB－AF＝9－x.
由BD＋CD＝BC,可得(13－x)＋(9－x)＝14,
解得x＝4.
因此AF＝4,BD＝5,CE＝9.
变式 例3中,若增加条件∠A＝90°.将条件“AB＝9,BC＝14,CA＝13”改为“AB＝9,AC＝12”其余条件不变,请求⊙O的半径.
解：方法一：设⊙O的半径是r.
∵∠A＝90°,AB＝9,AC＝12,
由∠A＝90°,OE,OF分别与AC,AB垂直,OE＝OF,可得四边形AFOE是正方形.
∵CD＝CE＝12－r,BD＝BF＝9－r,
∴BD＋CD＝12－r＋9－r＝BC＝15,
∴r＝3.即⊙O的半径为3.
方法二：设⊙O的半径为r,连接OA,OB,OC.
∵∠BAC＝90°,AB＝9,AC＝12,
又∵S△ABC＝S△ABO＋S△CBO＋S△ACO,
∴r＝3,即⊙O的半径是3.
三角形内切圆半径的求法
(3)连接内心和切点、顶点,构造直角三角形求解.
方法总结
1.三角形内切圆的圆心是(　　)
A.三条内角平分线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高所在直线的交点
A
2.如图24－2－26,PA,PB与⊙O分别相切于点A,B,下列结论中错误的是(　　)
A.PA＝PB
B.∠OPA＝∠OPB
C.OP垂直平分AB
D.∠APB＝60°
图24－2－26
D
3.如图24－2－27,PA,PB分别切⊙O于A,B两点,如果∠P＝60°,PA＝5,那么AB的长为________.
[解析] 由切线长定理可知PA＝PB＝5.
又∵∠P＝60°,
∴△PAB是等边三角形,
∴AB＝PA＝5.
图24－2－27
5
4.如图24－2－28,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,AC是⊙O的直径,∠P＝40°,则∠BAC＝________°.
图24－2－28
20
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