2021-2022学年度华师版九年级数学下册 27.3 圆中的计算问题教案

27．3　圆中的计算问题
第1课时　弧长和扇形面积
教学目标
一、基本目标
探索弧长公式和扇形面积公式推导过程，并会应用公式解决问题．
二、重难点目标
【教学重点】
弧长及扇形面积计算公式．
【教学难点】
弧长及扇形面积计算公式的推导过程．
教学过程
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P58～P61的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．在半径为R的圆中，1°的圆心角所对的弧长是，n°的圆心角所对的弧长是.
2．在半径为R的圆中，1°的圆心角所对应的扇形面积是，n°的圆心角所对应的扇形面积是.
3．半径为R，弧长为l的扇形面积S＝lR.
4．已知⊙O的半径OA＝6，∠AOB＝90°，则∠AOB所对的弧长的长是3π.
5．一个扇形所在圆的半径为3 cm，扇形的圆心角为120°，则扇形的面积为3π cm2.
6．在一个圆中，如果60°的圆心角所对的弧长是6π cm，那么这个圆的半径r＝18 cm.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1 mm)．
【互动探索】(引发学生思考)直接运用弧长公式求解．
【解答】∵R＝40 mm，n＝110，
∴的长＝＝≈76.8(mm)．
∴管道的展直长度约为76.8 mm.
【互动总结】(学生总结，老师点评)运用弧长公式解决问题时，一定要找准弧所对的圆心角与半径．
【例2】扇形AOB的半径为12 cm，∠AOB＝120°，求的长(结果精确到0.1 cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1 cm2)．
【互动探索】(引发学生思考)直接运用弧长公式求出的长，再直接运用扇形公式求解．
【解答】的长＝π×12≈25.1(cm)．
S扇形＝π×122≈150.7(cm2)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题求扇形的面积也可利用公式S＝lR解决．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．已知半径为2的扇形，面积为π，则它的圆心角的度数＝120°.
2．已知半径为2 cm的扇形，其弧长为π cm，则这个扇形的面积S＝π cm2.
3．已知半径为2的扇形，面积为π，则这个扇形的弧长＝π.
4．已知扇形的半径为5 cm，面积为20 cm2，则扇形弧长为8 cm.
5．已知扇形的圆心角为210°，弧长是28π，则扇形的面积为336π.
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，两个同心圆被两条半径截得的的长为6π cm，的长为10π cm，又AC＝12 cm，求阴影部分的面积．
【互动探索】图中的阴影部分是圆环的一部分，要求阴影部分的面积，需求扇形COD的面积与扇形AOB的面积之差．根据扇形面积S＝lR，l已知，则需要求两个半径OC与OA，因为OC＝OA＋AC，AC已知，所以只要能求出OA即可．
【解答】设OA＝R cm，OC＝(R＋12) cm，∠O＝n°.根据已知条件有
得，＝，∴R＝18.
∴OC＝18＋12＝30，
∴S＝S扇形COD－S扇形AOB＝×10π×30－×6π×18＝96π cm2.
∴阴影部分的面积为96π cm2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用我们所学的知识，不能直接求出阴影部分的面积，需要将它转化为两个扇形的面积之差．在求不规则图形的面积时，需要将其转化为规则图形面积的和(差)形式，从而解决问题．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
弧长和扇形面积
练习设计
请完成本课时对应训练！
第2课时　圆锥的侧面积和全面积
教学目标
一、基本目标
1．了解圆锥母线和高的概念，理解圆锥侧面积计算公式．
2．理解圆锥全面积的计算公式，并会应用公式解决问题．
二、重难点目标
【教学重点】
圆锥侧面积和全面积的计算．
【教学难点】
探索圆锥侧面积计算公式．
教学过程
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P62～P63的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．圆锥是由一个底面和一个侧面围成的．把圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的线段叫做圆锥的母线，连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高．
2．沿着圆锥的母线，把圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线长.
3．圆锥的母线为l，圆锥的高为h，底面圆的半径为r，存在关系式：l2＝h2＋r2，圆锥的侧面积S＝πlr；圆锥的全面积S全＝S底＋S侧＝πr2＋πlr.
4．已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面积为12π.
5．圆锥的底面半径为3 cm，母线长为6 cm，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角是180°.
6．如果圆锥的高为3 cm，母线长为5 cm，则圆锥的全面积是36π cm2.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生对学)
【例1】圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽．已知纸帽的底面周长为58 cm，高为20 cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精确到0.1 cm2)
【互动探索】(引发学生思考)“圆锥形纸帽”的侧面展开图是什么？要求纸帽的面积，即求圆锥的侧面积，需要哪些条件？
【解答】设纸帽的底面半径为r cm，母线长为l cm.则r＝，l＝≈22.03(cm)，S圆锥侧＝lR≈×58×22.03＝638.87(cm2).638.87×20＝12 777.4(cm2)．即至少需要12 777.4 cm2的纸．
【互动总结】(学生总结，老师点评)在解决实际问题时，首先要考虑求的是圆锥的侧面积还是全面积，确定好以后，找到需要的数据，代入公式计算即可．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是180°.
2．一个扇形，半径为30 cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为10 cm.
3．如图所示，已知扇形AOB的半径为6 cm，圆心角为120°，现要将此扇形围成一个圆锥．
(1)求围成的圆锥的侧面积；
(2)求该圆锥的底面半径；
解：(1)圆锥的侧面积＝＝12π(cm2)．
(2)该圆锥的底面半径为r.根据题意，得2πr＝，解得r＝2.
即圆锥的底面半径为2 cm.
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝13 cm，一条直角边AC＝5 cm，以直线AB为轴旋转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．
【互动探索】观察图形，几何体由两个圆锥组成，且共用圆锥底面，要求其表面积，只需求出两个圆锥的侧面积之和即可．
【解答】在Rt△ABC中，AB＝13 cm，AC＝5 cm，
∴BC＝12 cm.
∵OC·AB＝BC·AC，
∴r＝OC＝＝＝，
∴S表＝πr(BC＋AC)＝π××(12＋5)＝π(cm2)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)在计算组合体的表面积时，需要将其拆分成简单的几何体，分别计算各几何体的表面积，注意重叠的部分不需要计算．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应训练！