福州市八县（市、区）一中2021-2022第一学期期中考
高三年数学试卷
完卷时间：120分钟 满 分：150分
一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、下面是关于复数(为虚数单位)的命题,其中真命题为( )
A. B.复数在复平面内对应点在直线上
C. 的共轭复数为 D.的虚部为-1
2、如图，平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足，若，，则
A. B.
C. D.
3、在中，边分别为角A,B,C所对的边，如果，且，则角A的大小为 ( )
A. B. C. D.
4、我国著名数学家华罗庚先生曾说:数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休。在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征。观察以下四个图象的特征，试判断与函数
相对应的图象是（ ）
A. B.
C. D.
5、已知是两条不同直线，是三个不同平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6、已知，为锐角，且，，则( )
A. B. C. D.
7、意大利数学家斐波那契（1770--1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1、1、2、3、5、8、13、21在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用．已知斐波那契数列满足:, ,若 ,则等于（ ）
A．15 B．14 C．608 D．377
8、已知函数，若实数满足 且，则
的取值范围为（ ）
A．(6,16) B．(6,18) C．(8,16) D．(8,18)
二、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得2分）
9、下列命题为真命题的是（ ）
A. 命题“，”的否定是“，”；
B. 函数，与函数是同一个函数；
C. 已知命题“不等式为真命题”，则取值范围为；
D. 设a，，则“或”的充要条件是“”．
10、下列命题中正确的是（ ）
A. 若,若与所成的夹角为锐角，则实数的取值范围是；
B. 若非零向量，满足则与的夹角是。
C. 已知，且，则；
D. 若点G为内一点，满足，则点G是的重心
11、若正四棱柱的底面是边长为2，侧棱长为4，E是的中点，则( )
A.三棱锥的体积为
B.
C. 三棱锥的外接球的半径是
D. 过点三点平面与该棱柱各个面的交线围成的平面图形面积为
12、已知函数的定义域、值域都是，且满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13、若一个圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个圆锥的侧面积为
14、设，若，则的最小值为
15、已知数列满足，则
设，为数列的前项和，若对任意恒成立，则实数取值范围是 (备注：第一个空格2分，第二个空格3分)
16、为了参加校教职工运动会，某校高三年级组准备为本年级教师订制若干件文化衫，经与厂家协商，可按出厂价结算，同时厂家也承诺超过50件就可以每件比出厂价低22元给予优惠。如果按出厂价购买年级组总共应付元，但若再多买15件就可以达到优惠条件并恰好也是共付元（为整数），则的值为
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（本小题满分10分）
设数列的前项和为，______从①；②；③数列是各项和均为正数递增数列，，，成等差数列；这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答以下两个问题。
(1)求数列的通项公式；
(2)设,求数列的前项和为
18、（本小题满分12分）
已知函数
（1）求函数的对称轴方程；
（2）将函数图像先向左平移个单位长度，再将横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，当时，求函数的单调区间
19、（本小题满分12分）如图在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是矩形，AB=2BC=2，PC=PD，E为CD的中点，平面PCD⊥平面ABCD,
（1）证明：PA⊥BE
（2）若直线PA与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角B-PD-C的平面角余弦值
20、（本小题满分12分）
已知函数
(1)求函数在区间的极值；
(2)若函数在处切线与函数图象有两个交点，求实数的取值范围
21、（本小题满分12分）
福建省平潭综合实验区澳前68小镇的猴研岛，是祖国大陆距宝岛台湾最近的地方，直线距离仅68海里。为了更好地完善硬件设施提升小镇旅游面貌，68小镇管理处在水泥路边安装路灯，路灯的设计如图所示，为地面，、为路灯灯杆，，，在处安装路灯，路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩的照明张角，已知，,
（1）若，求此路灯在路面OM上的照明宽度；
（2）为了控制的路灯照明效果，令，
求此路灯在路面OM上的照明宽度的取值范围．
22、（本小题满分12分）2021-2022学年度第一学期八县（市）一中期中试卷
高中三年数学科试卷评分细则
一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1---4: CACB 5---8: DCDB
二、选择题题（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得2分）
9. AC 10.BD 11. ACD 12.ABD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 14. 9 15.（1）2；（2） 16. 3960
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分10分）
解（1）选①：
，
当时，，解得． ………………………………1分
当时，， ………………………………2分
所以．
即． ………………………………………………………………………… 3分
数列是首项为2，公比为2的等比数列．………………………………………………4分
故．………………………………………………………………………………5分
选②：
当时，，…………………………………………………………………………1分
当时，，…………………………………………………………………………2分
， ………………………………………………………3分
当时，依然成立．……………………………………………………………… 4分
所以…………………………………………………………………………………………5分
选③：
………… ………… …………………………1分
，成等差数列，
， ………… ………………2分
………………3分
． ………………5分
18．（本小题满分12分）
解：（1）依题意得：函数 ………………………1分
………………3分
，得 …………………………………………………5分
函数的对称轴是直线 ………………………………………………6分
（2）将函数的图像向左平移个单位长度，得到的图像. …………7分
再将橫坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像. …8分
当时，，………………………………………………… ………9分
，
………………………………………… ……………11分
函数的单调递增区间是，单调递减区间是。…………………………12分
19．（本小题满分12分）
解(1)连结AE，PE, ，为的中点, ……………………1分
，且,
，………………………………………………………………………………2分
，.…………………………………………………………………3分
又为矩形且
，， ……………………………………………4分
又，，
面. ………………………………………………………………………………5分
∵PA 面APE ∴PA⊥BE………………………………………………………………………6分
（备注：也可以第一步就建系来证明，但要先证明，综合学生完成情况给分）
（2）取得中点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系
由（1）可知 所以PA与平面ABCD所成角为………………7分
∵PA与平面ABCD所成角的正切值为
∴=,AE=,∴PE=1
，，，，，.………………8分
显然，面的一个法向量为.
设面的一个法向量为，
则有：，………………………………10分
由图示，二面角为锐角，
……………………………11分
∴二面角的余弦值为.………………………………………………………………12分
若有其他解法，可酌情给分！
20．（本小题满分12分）
解法1：
解法2：
注：若用切线法，可酌情给分
若有其他解法，可酌情给分！
21．（本小题满分12分）
解（1）当时，
由四边形OABD的内角和为可知： ………………2分
，则：，
…………………………………………………4分
（2），由四边形OABD的内角和为可知：，…5分
，由（1）可知：点B到地面OM的距离，……………………6分
∴在中，由正弦定理可知，，
…………………………7分
………8分
……………9分
………………………10分
………………………………………………………………11分
答：（1）若，求此路灯在路面OM上的照明宽度为；
（2）若，此路灯在路面OM上的照明宽度的取值范围是．……12分
若有其他解法，可酌情给分！
（本小题满分12分）
（2）解法1：
6
