2021-2022学年人教版七年级数学上册4.3.3余角和补角 同步练习（word解析版）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版七年级数学上册4.3.3余角和补角 同步练习（word解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 305.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-12 15:27:10 | ||
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文档简介
4.3.3余角和补角
一．选择题
1．若∠A，∠B互为补角，且∠A＜∠B，则∠A的余角是（ ）
A．（∠A+∠B） B．∠B C．（∠B﹣∠A） D．∠A
2．下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知一个角的补角等于这个角的3倍，则这个角的度数是（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
4．如图，将一块三角板的直角顶点O放在直尺的一边CD上，如果∠AOC＝37°，那么∠BOD的度数为（ ）
A．37° B．47° C．53° D．63°
5．将一副三角尺按如图方式进行摆放，∠1、∠2不一定互补的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如果∠α和∠β互补，且∠α＜∠β，下列表达式：①90°﹣∠α；②∠β﹣90°；③（∠β+∠α）；④（∠β﹣∠α）中，等于∠α的余角的式子有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放中∠1与∠2互为余角的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，则下列结论：①∠3﹣∠2＝90°；②∠3+∠2＝270°﹣2∠1；③∠3﹣∠1＝2∠2；④∠3＜∠1+∠2．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．填空题
9．如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果∠AOD＝125°，那么∠BOC＝ ．
10．一个锐角的补角比这个角的余角大，且大的度数为 度．
11．已知∠α与∠β互余，且∠α＝40°25'，则∠β＝ ．
12．如果一个角的补角比它的余角度数的3倍少10°，那么这个角的度数是 ．
13．已知∠α＝67°32'，则∠α的补角等于 ．
14．已知一个角的余角等于32°，则这个角的度数是 ．
15．若一个角的余角为25°，则它的补角的度数为 ．
16．已知一个角的补角是它的余角的4倍，那么这个角的度数是 ．
三．解答题
17．（1）如图1，OC平分∠AOB，∠AOC＝40°．求∠BOC的度数．
（2）如图2，点O是直线AB上的一点，∠1与∠2互余，求∠DOC的度数．
（3）如图3，点C是线段AB的中点，AD＝6，BD＝4，求CD的长．
18．如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝65°，在同一平面内将一个直角三角板的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°）
（1）如图1，如果直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，那么∠COE的度数为 ；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O按逆时针方向转动到某个位置，如果OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数；
（3）如图3，将直角三角板DOE绕点O任意转动，如果OD始终在∠BOC的内部，请直接用等式表示∠BOD和∠COE之间的数量关系．
19．填空，完成下列说理过程：
如图，∠AOB＝90°，∠COD＝90°，OA平分∠DOE，若∠BOC＝20°，求∠COE的度数．
解：因为∠AOB＝90°，
所以∠BOC+ ＝90°．
因为∠COD＝90°，
所以∠AOD+ ＝90°．
所以∠BOC＝∠AOD．（ ）
因为∠BOC＝20°，
所以∠AOD＝20°．
因为OA平分∠DOE，
所以∠ ＝2∠AOD＝ °．（ ）
所以∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝ °．
20．如图所示，O为直线AB上一点，且∠COD＝90°，OE平分∠BOD，OF平分∠AOE，若∠BOC+∠DOF＝190°，求∠AOC的度数．
21．如图，已知AB是直线，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．以射线OD为始边小于平角的所有角之和为330°．
（1）求∠COD的度数；
（2）反向延长射线OE得射线OF，先补全图形；再写出补全后图形中∠AOD的所有余角、∠COE的所有补角．
22．如图1，已知∠MON＝120°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分∠MOB．
（1）在图1中，若∠AOC＝35°，则∠BOC＝ °，∠NOB＝ °；
（2）在图1中，设∠AOC＝α，∠NOB＝β，请探究α与β之间的数量关系（写出过程）；
（3）在（2）的条件下，当∠AOB绕着点O顺时针转动到如图2的位置，此时α与β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出α与β之间的数量关系．
23．如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB＝50°，∠EOD＝28°42'，OD平分∠COE．
（1）∠AOB的余角是多少度？
（2）求∠COB的度数．
24．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，∠MON的一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，且∠MON＝90°．
（1）如图1，求∠CON的度数；
（2）将图1中的∠MON绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，如图2，若直线ON恰好平分锐角∠AOC，求∠MON所运动的时间t值；
（3）在（2）的条件下，当∠AOC与∠NOC互余时，求出∠BOC与∠MOC之间的数量关系．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．若∠A，∠B互为补角，且∠A＜∠B，则∠A的余角是（ ）
A．（∠A+∠B） B．∠B C．（∠B﹣∠A） D．∠A
【分析】根据互为补角的和得到∠A，∠B的关系式，再根据互为余角的和等于90°表示出∠A的余角，然后把常数消掉整理即可得解．
【解答】解：根据题意得，∠A+∠B＝180°，
∴∠A的余角为：90°﹣∠A＝﹣∠A，
＝（∠A+∠B）﹣∠A，
＝（∠B﹣∠A）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了互为补角的和等于180°，互为余角的和等于90°的性质，利用消掉常数整理是解题的关键．
2．下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．依此定义结合图形即可求解．
【解答】解：四个选项中，只有选项C满足∠1+∠2＝90°，
即选项C中，∠1与∠2互为余角．
故选：C．
【点评】本题考查了余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．掌握定义并且准确识图是解题的关键．
3．已知一个角的补角等于这个角的3倍，则这个角的度数是（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
【分析】首先这个角为x°，则它的补角为（180﹣x）°，根据题目所给等量关系列出方程，再解方程即可．
【解答】解：设这个角为x°，由题意得：
180﹣x＝3x，
解得：x＝45．
故选：A．
【点评】此题主要考查了余角和补角，关键是掌握余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
4．如图，将一块三角板的直角顶点O放在直尺的一边CD上，如果∠AOC＝37°，那么∠BOD的度数为（ ）
A．37° B．47° C．53° D．63°
【分析】利用平角和直角的定义，用180°﹣∠AOB﹣∠AOC即可得出结论．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠COD＝180°，∠AOC＝37°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠AOC﹣∠AOB＝180°﹣90°﹣37°＝53°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平角，直角的定义，角的计算．正确利用平角，直角的度数是解题的关键．
5．将一副三角尺按如图方式进行摆放，∠1、∠2不一定互补的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，据此分别判断出每个选项中∠1和∠2的度数和是不是180°．
【解答】解：A、∵∠2+∠3＝90°，∠3+∠4＝90°，
∴∠2＝∠4，
∵∠1+∠4＝180°，
∴∠1+∠2＝180°，
∴∠1、∠2互补，
故本选项不符合题意；
B、∵∠2＝∠3，且∠1+∠3＝180°，
∴∠1+∠2＝180°，
∴∠1、∠2互补，
故本选项不符合题意；
C、∵∠2＝60°，∠1＝30°+90°＝120°，
∴∠1+∠2＝180°，
∴∠1、∠2互补，
故本选项不符合题意；
D、∵∠1＝90°，∠2＝60°，
∴∠1+∠2＝90°+60°＝150°，
∴∠1、∠2不互补，
故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了余角和补角的性质和应用，解题的关键是能够计算出每个选项中∠1和∠2的和．
6．如果∠α和∠β互补，且∠α＜∠β，下列表达式：①90°﹣∠α；②∠β﹣90°；③（∠β+∠α）；④（∠β﹣∠α）中，等于∠α的余角的式子有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据余角和补角定义得出∠β＝180°﹣∠α，∠α的余角是90°﹣α，分别代入，进行化简，再判断即可．
【解答】解：∵∠α和∠β互补，
∴∠β＝180°﹣∠α，
∠α的余角是90°﹣α，
∠β﹣90°＝180°﹣∠α﹣90°＝90°﹣∠α，
（∠β+∠α）＝（180°﹣∠α+∠α）＝90°
（∠β﹣∠α）＝（180°﹣∠α﹣∠α）＝90°﹣∠α，
即①②④，3个，
故选：C．
【点评】本题考查了余角和补角的定义，能知道∠α的余角＝90°﹣∠α和∠α的补角＝180°﹣∠α是解此题的关键．
7．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放中∠1与∠2互为余角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据余角的定义可直角计算求解．
【解答】解：A．∵∠1+∠2+90°＝180°，
∴∠1+∠2＝90°，
即∠1与∠2互为余角，故正确；
B．∵∠1+45°+∠2+45°＝180°+180°＝360°，
∴∠1+∠2＝270°，
即∠1与∠2不互为余角，故错误；
C．∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1与∠2不互为余角，故错误；
D．∵∠1+∠2度数不确定，
∴∠1与∠2不互为余角，故错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查余角和补角，若两个角的和为90°，则这两个角互为余角，掌握定义是解题的关键．
8．若∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，则下列结论：①∠3﹣∠2＝90°；②∠3+∠2＝270°﹣2∠1；③∠3﹣∠1＝2∠2；④∠3＜∠1+∠2．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°，即可求出有关的结论．
【解答】解：∵∠1+∠2＝90°（1），∠1+∠3＝180°（2），
∴（2）﹣（1）得，∠3﹣∠2＝90°，
∴①正确．
（1）+（2）得，∠3+∠2＝270°﹣2∠2，
∴②正确．
（2）﹣（1）×2得，∠3﹣∠1＝2∠2，
∴③正确．
由∠1+∠3＝180°，∠1+∠2＝90°，
得，∠3＝180°﹣∠1＝2∠1+2∠2﹣∠1＝∠1+2∠2，
∴∠3＞∠1+∠2，
∴④错误．
故选：B．
【点评】本题考查互余互补的有关定义，掌握在不同题型中的变式应用，每一问中的运算所用的运算方法是解题关键．
二．填空题
9．如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果∠AOD＝125°，那么∠BOC＝ 55° ．
【分析】根据题意得到∠AOB＝∠COD＝90°，再计算∠BOD＝∠AOD﹣90°＝35°，然后根据∠BOC＝∠COD﹣∠BOD进行计算即可．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
而∠AOD＝125°，
∴∠BOD＝∠AOD﹣90°＝35°，
∴∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝90°﹣35°＝55°．
故答案为：55°．
【点评】本题考查了余角和补角，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．
10．一个锐角的补角比这个角的余角大，且大的度数为 90 度．
【分析】根据余角和补角的定义求解即可，余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角；补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
【解答】解：设这个锐角为α，
则180°﹣α﹣（90°﹣α）＝90°，
所以一个锐角的补角比这个角的余角大90°，
故答案为：90．
【点评】本题主要考查了余角和补角，熟记定义是解答本题的关键．
11．已知∠α与∠β互余，且∠α＝40°25'，则∠β＝ 49°35' ．
【分析】由余角的定义可知：∠β＝90°﹣∠α，然后进行计算即可．
【解答】解：∵∠α与∠β互余，且∠α＝40°25'，
∴∠β＝90°﹣∠α＝89°60′﹣40°25′＝49°35′．
故答案为：49°35′．
【点评】本题主要考查的是余角的定义和度分秒的换算，将90°转化为89°60′是解题的关键．
12．如果一个角的补角比它的余角度数的3倍少10°，那么这个角的度数是 40° ．
【分析】设这个角的度数是x，根据余角和补角的概念列出方程，解方程即可．
【解答】解：设这个角的度数是x，
由题意得180°﹣x＝3（90°﹣x）﹣10°，
解得x＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．
13．已知∠α＝67°32'，则∠α的补角等于 112°28′ ．
【分析】根据互为补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠α＝67°32'，
∴∠α的补角＝180°﹣67°32'＝112°28′．
答案为：112°28′．
【点评】本题考查了补角的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
14．已知一个角的余角等于32°，则这个角的度数是 58° ．
【分析】根据余角的定义计算即可．
【解答】解：90°﹣32°＝58°，
即这个角的度数是58°，
故答案为：58°．
【点评】本题考查余角的知识，熟知互为余角的两个角的和等于90°是解答本题的关键．
15．若一个角的余角为25°，则它的补角的度数为 115° ．
【分析】首先根据余角的度数计算出这个角的度数，再算出它的补角即可．
【解答】解：设这个角为x°，由题意得：
90﹣x＝25，
解得：x＝65，
这个角的补角的度数：180°﹣65°＝115°，
故答案为：115°．
【点评】此题主要考查了余角和补角，关键是掌握：
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
16．已知一个角的补角是它的余角的4倍，那么这个角的度数是 60° ．
【分析】根据互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°，表示出余角和补角，然后列方程求解即可．
【解答】解：设这个角为x，则补角为（180°﹣x），余角为（90°﹣x），
由题意得，4（90°﹣x）＝180°﹣x，
解得：x＝60，即这个角为60°．
故答案为：60°．
【点评】此题考查了余角和补角的知识，属于基础题，关键是掌握互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°．
三．解答题
17．（1）如图1，OC平分∠AOB，∠AOC＝40°．求∠BOC的度数．
（2）如图2，点O是直线AB上的一点，∠1与∠2互余，求∠DOC的度数．
（3）如图3，点C是线段AB的中点，AD＝6，BD＝4，求CD的长．
【分析】（1）根据角平分线的定义解答即可；
（2）根据互余的定义解答即可；
（3）根据线段的和差，可得AB的长，根据线段中点的性质，可得AC的长，再根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：（1）∵OC平分∠AOB，
∴∠BOC＝∠AOC，
∵∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝40°；
（2）∵∠1与∠2互余，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠AOB＝180°，
∴∠DOC＝180°﹣90°＝90°；
（3）∵AD＝6，BD＝4，
∴AB＝10，
∵点C是线段AB的中点，
∴AC＝CB，
∴CD＝AD﹣AC＝6﹣5＝1．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，互余的定义等，熟练掌握定理是解答此题的关键．
18．如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝65°，在同一平面内将一个直角三角板的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°）
（1）如图1，如果直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，那么∠COE的度数为 25° ；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O按逆时针方向转动到某个位置，如果OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数；
（3）如图3，将直角三角板DOE绕点O任意转动，如果OD始终在∠BOC的内部，请直接用等式表示∠BOD和∠COE之间的数量关系．
【分析】（1）根据图形得出∠COE＝∠DOE﹣∠BOC，代入求出即可；
（2）根据角平分线定义求出∠COD＝45°，代入∠BOD＝∠BOC﹣∠DOC即可；
（3）根据图形得出∠BOD+∠COD＝∠BOC＝70°，∠COE+∠COD＝∠DOE＝90°，相减即可求出答案．
【解答】解：（1）如图1，∵∠BOC＝65°，
∠COE＝∠DOE﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°，
故答案为：25°；
（2）如图2，∵∠BOC＝65°，OC平分∠BOE，
∴∠BOE＝∠EOC＝65°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠COD＝∠DOE﹣∠EOC＝90°﹣65°＝25°；
（3）∠COE﹣∠BOD＝25°，
理由是：如图3，∵∠BOD+∠COD＝∠BOC＝65°，∠COE+∠COD＝∠DOE＝90°，
∴（∠COE+∠COD）﹣（∠BOD+∠COD）
＝∠COE+∠COD﹣∠BOD﹣∠COD
＝∠COE﹣∠BOD
＝90°﹣65°
＝25°，
即∠COE﹣∠BOD＝25°．
【点评】本题考查了角平分线的定义，角的计算的应用，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键．
19．填空，完成下列说理过程：
如图，∠AOB＝90°，∠COD＝90°，OA平分∠DOE，若∠BOC＝20°，求∠COE的度数．
解：因为∠AOB＝90°，
所以∠BOC+ ∠AOC ＝90°．
因为∠COD＝90°，
所以∠AOD+ ∠AOC ＝90°．
所以∠BOC＝∠AOD．（ 同角的余角相等 ）
因为∠BOC＝20°，
所以∠AOD＝20°．
因为OA平分∠DOE，
所以∠ DOE ＝2∠AOD＝ 40 °．（ 角平分线的定义 ）
所以∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝ 50 °．
【分析】根据同角的余角相等、角平分线的定义解答即可．
【解答】解：因为∠AOB＝90°，
所以∠BOC+∠AOC＝90°．
因为∠COD＝90°，
所以∠AOD+∠AOC＝90°．
所以∠BOC＝∠AOD．（同角的余角相等）
因为∠BOC＝20°，
所以∠AOD＝20°．
因为OA平分∠DOE，
所以∠DOE＝2∠AOD＝40°．（角平分线的定义）
所以∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝50°．
故答案为：∠AOC；∠AOC； 同角的余角相等； DOE；40；角平分线的定义；50．
【点评】本题考查的是余角和补角、角平分线的定义，掌握余角和补角的概念、角平分线的定义是解题的关键．
20．如图所示，O为直线AB上一点，且∠COD＝90°，OE平分∠BOD，OF平分∠AOE，若∠BOC+∠DOF＝190°，求∠AOC的度数．
【分析】根据角平分线的定义可得，，设∠BOE＝x，根据余角的定义用含有x的代数式表示出∠AOE，∠EOF，∠AOC，∠DOF，再根据角的和差关系列方程求解即可．
【解答】解：∵OE平分∠BOD，
∴，
∵OF平分∠AOE，
∴，
设∠BOE＝x，则∠AOE＝180°﹣x，
∴，
∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣2x，
∵∠DOF＝∠EOF﹣∠DOE，
∴，
∵∠BOC+∠DOF＝190°，
∴，
∴x＝20°，
∴∠AOC＝50°．
【点评】此题考查了角的计算与角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
21．如图，已知AB是直线，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．以射线OD为始边小于平角的所有角之和为330°．
（1）求∠COD的度数；
（2）反向延长射线OE得射线OF，先补全图形；再写出补全后图形中∠AOD的所有余角、∠COE的所有补角．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠AOD＝∠DOC，再根据平角的定义以及角的和差关系求解即可；
（2）如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角；如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角，据此解答即可．
【解答】解：（1）∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠DOC，
∵AB是直线，
∴∠AOB＝180°，
∴∠DOB+∠DOA＝180°，
∵∠DOA+∠DOC+∠DOE+∠DOB＝330°，∠DOE＝90°，
∴∠DOC＝330°﹣（∠DOB+∠DOA）﹣∠DOE＝330°﹣180°﹣90°＝60°；
（2）如图补全图形；
与∠AOD互余的所有角为∠COE、∠EOB、∠AOF；
与∠COE互补的所有角为∠AOE、∠FOB、∠COF．
【点评】本题考查了余角与补角、角平分线的定义，解题的关键是了解有关的定义．
22．如图1，已知∠MON＝120°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分∠MOB．
（1）在图1中，若∠AOC＝35°，则∠BOC＝ 55 °，∠NOB＝ 10 °；
（2）在图1中，设∠AOC＝α，∠NOB＝β，请探究α与β之间的数量关系（写出过程）；
（3）在（2）的条件下，当∠AOB绕着点O顺时针转动到如图2的位置，此时α与β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出α与β之间的数量关系．
【分析】（1）先根据余角的定义计算∠BOC＝55°，再由角平分线的定义计算∠BOM＝110°，根据角的差可得∠BON的度数；
（2）同理先计算∠MOB＝2∠BOC＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α，再根据∠MOB＝∠MON+∠BON列等式即可；
（3）同理可得∠MOB＝180°﹣2α，再根据∠MOB＝∠MON+∠BON列等式即可．
【解答】解：（1）如图1，∵∠AOC与∠BOC互余，
∴∠AOC+∠BOC＝90°，
∵∠AOC＝35°，
∴∠BOC＝55°，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOC＝∠BOC＝55°，
∴∠MOB＝110°，
∵∠MON＝120°，
∴∠NOB＝∠MON﹣∠MOB＝120°﹣110°＝10°，
故答案为：55，10；
（2）关系为：β＝2α﹣60°，理由是：
如图1，∵∠AOC＝α，
∴∠BOC＝90°﹣α，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOB＝2∠BOC＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α，
又∵∠MON＝∠MOB+∠NOB，∠NOB＝β，∠MON＝120°，
∴120°＝180°﹣2α+β，
即β＝2α﹣60°；
（3）不成立，此时此时α与β之间的数量关系为：2α+β＝60°，
理由是：如图2，∵∠AOC＝α，∠NOB＝β，
∴∠BOC＝90°﹣α，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOB＝2∠BOC＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α，
∵∠MOB＝∠MON+∠BON，∠MON＝120°，
∴180°﹣2α＝120°+β，即2α+β＝60°，
∴此时α与β之间的数量关系不成立，此时α与β之间的数量关系为：2α+β＝60°．
【点评】本题考查了余角和补角及角平分线定义，角的有关计算的应用，解此题的关键是求出注意利用数形结合的思想，熟练掌握角的和与差的关系．
23．如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB＝50°，∠EOD＝28°42'，OD平分∠COE．
（1）∠AOB的余角是多少度？
（2）求∠COB的度数．
【分析】（1）根据互余的两个角的和为90°求解即可；
（2）根据角平分线的定义得∠EOC＝2∠EOD＝57°24'，然后根据平角的定义得∠COB＝180°﹣∠AOB﹣∠EOC．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝50°，
∴∠AOB的余角为：90°﹣50°＝40°；
（2）∵OD平分∠COE，
∴∠EOC＝2∠EOD＝2×28°42'＝57°24'，
又∵∠AOE＝∠AOB+∠COB+∠EOC，
而且点A、O、E在同一直线上，
∴∠AOE＝180°，
∴∠COB＝∠AOE﹣∠AOB﹣∠EOC＝180°﹣50°﹣57°24'＝72°36'．
【点评】本题考查的是角平分线的定义及补角的性质，解答此题的关键是熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
24．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，∠MON的一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，且∠MON＝90°．
（1）如图1，求∠CON的度数；
（2）将图1中的∠MON绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，如图2，若直线ON恰好平分锐角∠AOC，求∠MON所运动的时间t值；
（3）在（2）的条件下，当∠AOC与∠NOC互余时，求出∠BOC与∠MOC之间的数量关系．
【分析】（1）由角的比值，求每一个角的度数，再加∠MON＝90°这个条件，最后求∠CON的度数；
（2）若直线ON恰好平分锐角∠AOC，分两种情况：①ON沿逆时针旋转的度数为90°+150°＝240°，②ON沿逆时针旋转的度数为60°，最后求出时间；
（3）由∠AOC与∠NOC互余，结合图形推∠BOC与∠MOC之间的数量关系．
【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOC+∠MOC＝180°，
∴∠AOC＝，
∵∠MON＝90°，
∴∠AON＝90°，
∴∠CON＝∠AOC+∠AON＝90°+60°＝150
（2）由图2题意可知，若直线ON恰好平分锐角∠AOC，
①如图①所示：∵直线ON恰好平分锐角∠AOC，
∴ON沿逆时针旋转的度数为90°+150°＝240°，
∴∠MON所运动的时间t＝＝40（s）；
②如图②所示：ON沿逆时针旋转的度数为60°，
∴∠MON所运动的时间t＝10（s）．
综上所述：∠MON所运动的时间t＝40（s）或10（s）．
（3）∵∠AOC+∠NOC＝90°，OM与OA重合
∴∠BOC与∠MOC互补．
【点评】本题考查旋转的问题，掌握逆时针旋转后的角度，直线ON恰好平分锐角∠AOC注意分两种情况是解题关键．
一．选择题
1．若∠A，∠B互为补角，且∠A＜∠B，则∠A的余角是（ ）
A．（∠A+∠B） B．∠B C．（∠B﹣∠A） D．∠A
2．下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知一个角的补角等于这个角的3倍，则这个角的度数是（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
4．如图，将一块三角板的直角顶点O放在直尺的一边CD上，如果∠AOC＝37°，那么∠BOD的度数为（ ）
A．37° B．47° C．53° D．63°
5．将一副三角尺按如图方式进行摆放，∠1、∠2不一定互补的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如果∠α和∠β互补，且∠α＜∠β，下列表达式：①90°﹣∠α；②∠β﹣90°；③（∠β+∠α）；④（∠β﹣∠α）中，等于∠α的余角的式子有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放中∠1与∠2互为余角的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，则下列结论：①∠3﹣∠2＝90°；②∠3+∠2＝270°﹣2∠1；③∠3﹣∠1＝2∠2；④∠3＜∠1+∠2．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．填空题
9．如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果∠AOD＝125°，那么∠BOC＝ ．
10．一个锐角的补角比这个角的余角大，且大的度数为 度．
11．已知∠α与∠β互余，且∠α＝40°25'，则∠β＝ ．
12．如果一个角的补角比它的余角度数的3倍少10°，那么这个角的度数是 ．
13．已知∠α＝67°32'，则∠α的补角等于 ．
14．已知一个角的余角等于32°，则这个角的度数是 ．
15．若一个角的余角为25°，则它的补角的度数为 ．
16．已知一个角的补角是它的余角的4倍，那么这个角的度数是 ．
三．解答题
17．（1）如图1，OC平分∠AOB，∠AOC＝40°．求∠BOC的度数．
（2）如图2，点O是直线AB上的一点，∠1与∠2互余，求∠DOC的度数．
（3）如图3，点C是线段AB的中点，AD＝6，BD＝4，求CD的长．
18．如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝65°，在同一平面内将一个直角三角板的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°）
（1）如图1，如果直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，那么∠COE的度数为 ；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O按逆时针方向转动到某个位置，如果OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数；
（3）如图3，将直角三角板DOE绕点O任意转动，如果OD始终在∠BOC的内部，请直接用等式表示∠BOD和∠COE之间的数量关系．
19．填空，完成下列说理过程：
如图，∠AOB＝90°，∠COD＝90°，OA平分∠DOE，若∠BOC＝20°，求∠COE的度数．
解：因为∠AOB＝90°，
所以∠BOC+ ＝90°．
因为∠COD＝90°，
所以∠AOD+ ＝90°．
所以∠BOC＝∠AOD．（ ）
因为∠BOC＝20°，
所以∠AOD＝20°．
因为OA平分∠DOE，
所以∠ ＝2∠AOD＝ °．（ ）
所以∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝ °．
20．如图所示，O为直线AB上一点，且∠COD＝90°，OE平分∠BOD，OF平分∠AOE，若∠BOC+∠DOF＝190°，求∠AOC的度数．
21．如图，已知AB是直线，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．以射线OD为始边小于平角的所有角之和为330°．
（1）求∠COD的度数；
（2）反向延长射线OE得射线OF，先补全图形；再写出补全后图形中∠AOD的所有余角、∠COE的所有补角．
22．如图1，已知∠MON＝120°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分∠MOB．
（1）在图1中，若∠AOC＝35°，则∠BOC＝ °，∠NOB＝ °；
（2）在图1中，设∠AOC＝α，∠NOB＝β，请探究α与β之间的数量关系（写出过程）；
（3）在（2）的条件下，当∠AOB绕着点O顺时针转动到如图2的位置，此时α与β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出α与β之间的数量关系．
23．如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB＝50°，∠EOD＝28°42'，OD平分∠COE．
（1）∠AOB的余角是多少度？
（2）求∠COB的度数．
24．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，∠MON的一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，且∠MON＝90°．
（1）如图1，求∠CON的度数；
（2）将图1中的∠MON绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，如图2，若直线ON恰好平分锐角∠AOC，求∠MON所运动的时间t值；
（3）在（2）的条件下，当∠AOC与∠NOC互余时，求出∠BOC与∠MOC之间的数量关系．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．若∠A，∠B互为补角，且∠A＜∠B，则∠A的余角是（ ）
A．（∠A+∠B） B．∠B C．（∠B﹣∠A） D．∠A
【分析】根据互为补角的和得到∠A，∠B的关系式，再根据互为余角的和等于90°表示出∠A的余角，然后把常数消掉整理即可得解．
【解答】解：根据题意得，∠A+∠B＝180°，
∴∠A的余角为：90°﹣∠A＝﹣∠A，
＝（∠A+∠B）﹣∠A，
＝（∠B﹣∠A）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了互为补角的和等于180°，互为余角的和等于90°的性质，利用消掉常数整理是解题的关键．
2．下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．依此定义结合图形即可求解．
【解答】解：四个选项中，只有选项C满足∠1+∠2＝90°，
即选项C中，∠1与∠2互为余角．
故选：C．
【点评】本题考查了余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．掌握定义并且准确识图是解题的关键．
3．已知一个角的补角等于这个角的3倍，则这个角的度数是（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
【分析】首先这个角为x°，则它的补角为（180﹣x）°，根据题目所给等量关系列出方程，再解方程即可．
【解答】解：设这个角为x°，由题意得：
180﹣x＝3x，
解得：x＝45．
故选：A．
【点评】此题主要考查了余角和补角，关键是掌握余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
4．如图，将一块三角板的直角顶点O放在直尺的一边CD上，如果∠AOC＝37°，那么∠BOD的度数为（ ）
A．37° B．47° C．53° D．63°
【分析】利用平角和直角的定义，用180°﹣∠AOB﹣∠AOC即可得出结论．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠COD＝180°，∠AOC＝37°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠AOC﹣∠AOB＝180°﹣90°﹣37°＝53°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平角，直角的定义，角的计算．正确利用平角，直角的度数是解题的关键．
5．将一副三角尺按如图方式进行摆放，∠1、∠2不一定互补的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，据此分别判断出每个选项中∠1和∠2的度数和是不是180°．
【解答】解：A、∵∠2+∠3＝90°，∠3+∠4＝90°，
∴∠2＝∠4，
∵∠1+∠4＝180°，
∴∠1+∠2＝180°，
∴∠1、∠2互补，
故本选项不符合题意；
B、∵∠2＝∠3，且∠1+∠3＝180°，
∴∠1+∠2＝180°，
∴∠1、∠2互补，
故本选项不符合题意；
C、∵∠2＝60°，∠1＝30°+90°＝120°，
∴∠1+∠2＝180°，
∴∠1、∠2互补，
故本选项不符合题意；
D、∵∠1＝90°，∠2＝60°，
∴∠1+∠2＝90°+60°＝150°，
∴∠1、∠2不互补，
故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了余角和补角的性质和应用，解题的关键是能够计算出每个选项中∠1和∠2的和．
6．如果∠α和∠β互补，且∠α＜∠β，下列表达式：①90°﹣∠α；②∠β﹣90°；③（∠β+∠α）；④（∠β﹣∠α）中，等于∠α的余角的式子有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据余角和补角定义得出∠β＝180°﹣∠α，∠α的余角是90°﹣α，分别代入，进行化简，再判断即可．
【解答】解：∵∠α和∠β互补，
∴∠β＝180°﹣∠α，
∠α的余角是90°﹣α，
∠β﹣90°＝180°﹣∠α﹣90°＝90°﹣∠α，
（∠β+∠α）＝（180°﹣∠α+∠α）＝90°
（∠β﹣∠α）＝（180°﹣∠α﹣∠α）＝90°﹣∠α，
即①②④，3个，
故选：C．
【点评】本题考查了余角和补角的定义，能知道∠α的余角＝90°﹣∠α和∠α的补角＝180°﹣∠α是解此题的关键．
7．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放中∠1与∠2互为余角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据余角的定义可直角计算求解．
【解答】解：A．∵∠1+∠2+90°＝180°，
∴∠1+∠2＝90°，
即∠1与∠2互为余角，故正确；
B．∵∠1+45°+∠2+45°＝180°+180°＝360°，
∴∠1+∠2＝270°，
即∠1与∠2不互为余角，故错误；
C．∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1与∠2不互为余角，故错误；
D．∵∠1+∠2度数不确定，
∴∠1与∠2不互为余角，故错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查余角和补角，若两个角的和为90°，则这两个角互为余角，掌握定义是解题的关键．
8．若∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，则下列结论：①∠3﹣∠2＝90°；②∠3+∠2＝270°﹣2∠1；③∠3﹣∠1＝2∠2；④∠3＜∠1+∠2．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°，即可求出有关的结论．
【解答】解：∵∠1+∠2＝90°（1），∠1+∠3＝180°（2），
∴（2）﹣（1）得，∠3﹣∠2＝90°，
∴①正确．
（1）+（2）得，∠3+∠2＝270°﹣2∠2，
∴②正确．
（2）﹣（1）×2得，∠3﹣∠1＝2∠2，
∴③正确．
由∠1+∠3＝180°，∠1+∠2＝90°，
得，∠3＝180°﹣∠1＝2∠1+2∠2﹣∠1＝∠1+2∠2，
∴∠3＞∠1+∠2，
∴④错误．
故选：B．
【点评】本题考查互余互补的有关定义，掌握在不同题型中的变式应用，每一问中的运算所用的运算方法是解题关键．
二．填空题
9．如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果∠AOD＝125°，那么∠BOC＝ 55° ．
【分析】根据题意得到∠AOB＝∠COD＝90°，再计算∠BOD＝∠AOD﹣90°＝35°，然后根据∠BOC＝∠COD﹣∠BOD进行计算即可．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
而∠AOD＝125°，
∴∠BOD＝∠AOD﹣90°＝35°，
∴∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝90°﹣35°＝55°．
故答案为：55°．
【点评】本题考查了余角和补角，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．
10．一个锐角的补角比这个角的余角大，且大的度数为 90 度．
【分析】根据余角和补角的定义求解即可，余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角；补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
【解答】解：设这个锐角为α，
则180°﹣α﹣（90°﹣α）＝90°，
所以一个锐角的补角比这个角的余角大90°，
故答案为：90．
【点评】本题主要考查了余角和补角，熟记定义是解答本题的关键．
11．已知∠α与∠β互余，且∠α＝40°25'，则∠β＝ 49°35' ．
【分析】由余角的定义可知：∠β＝90°﹣∠α，然后进行计算即可．
【解答】解：∵∠α与∠β互余，且∠α＝40°25'，
∴∠β＝90°﹣∠α＝89°60′﹣40°25′＝49°35′．
故答案为：49°35′．
【点评】本题主要考查的是余角的定义和度分秒的换算，将90°转化为89°60′是解题的关键．
12．如果一个角的补角比它的余角度数的3倍少10°，那么这个角的度数是 40° ．
【分析】设这个角的度数是x，根据余角和补角的概念列出方程，解方程即可．
【解答】解：设这个角的度数是x，
由题意得180°﹣x＝3（90°﹣x）﹣10°，
解得x＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．
13．已知∠α＝67°32'，则∠α的补角等于 112°28′ ．
【分析】根据互为补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠α＝67°32'，
∴∠α的补角＝180°﹣67°32'＝112°28′．
答案为：112°28′．
【点评】本题考查了补角的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
14．已知一个角的余角等于32°，则这个角的度数是 58° ．
【分析】根据余角的定义计算即可．
【解答】解：90°﹣32°＝58°，
即这个角的度数是58°，
故答案为：58°．
【点评】本题考查余角的知识，熟知互为余角的两个角的和等于90°是解答本题的关键．
15．若一个角的余角为25°，则它的补角的度数为 115° ．
【分析】首先根据余角的度数计算出这个角的度数，再算出它的补角即可．
【解答】解：设这个角为x°，由题意得：
90﹣x＝25，
解得：x＝65，
这个角的补角的度数：180°﹣65°＝115°，
故答案为：115°．
【点评】此题主要考查了余角和补角，关键是掌握：
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
16．已知一个角的补角是它的余角的4倍，那么这个角的度数是 60° ．
【分析】根据互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°，表示出余角和补角，然后列方程求解即可．
【解答】解：设这个角为x，则补角为（180°﹣x），余角为（90°﹣x），
由题意得，4（90°﹣x）＝180°﹣x，
解得：x＝60，即这个角为60°．
故答案为：60°．
【点评】此题考查了余角和补角的知识，属于基础题，关键是掌握互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°．
三．解答题
17．（1）如图1，OC平分∠AOB，∠AOC＝40°．求∠BOC的度数．
（2）如图2，点O是直线AB上的一点，∠1与∠2互余，求∠DOC的度数．
（3）如图3，点C是线段AB的中点，AD＝6，BD＝4，求CD的长．
【分析】（1）根据角平分线的定义解答即可；
（2）根据互余的定义解答即可；
（3）根据线段的和差，可得AB的长，根据线段中点的性质，可得AC的长，再根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：（1）∵OC平分∠AOB，
∴∠BOC＝∠AOC，
∵∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝40°；
（2）∵∠1与∠2互余，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠AOB＝180°，
∴∠DOC＝180°﹣90°＝90°；
（3）∵AD＝6，BD＝4，
∴AB＝10，
∵点C是线段AB的中点，
∴AC＝CB，
∴CD＝AD﹣AC＝6﹣5＝1．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，互余的定义等，熟练掌握定理是解答此题的关键．
18．如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝65°，在同一平面内将一个直角三角板的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°）
（1）如图1，如果直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，那么∠COE的度数为 25° ；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O按逆时针方向转动到某个位置，如果OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数；
（3）如图3，将直角三角板DOE绕点O任意转动，如果OD始终在∠BOC的内部，请直接用等式表示∠BOD和∠COE之间的数量关系．
【分析】（1）根据图形得出∠COE＝∠DOE﹣∠BOC，代入求出即可；
（2）根据角平分线定义求出∠COD＝45°，代入∠BOD＝∠BOC﹣∠DOC即可；
（3）根据图形得出∠BOD+∠COD＝∠BOC＝70°，∠COE+∠COD＝∠DOE＝90°，相减即可求出答案．
【解答】解：（1）如图1，∵∠BOC＝65°，
∠COE＝∠DOE﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°，
故答案为：25°；
（2）如图2，∵∠BOC＝65°，OC平分∠BOE，
∴∠BOE＝∠EOC＝65°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠COD＝∠DOE﹣∠EOC＝90°﹣65°＝25°；
（3）∠COE﹣∠BOD＝25°，
理由是：如图3，∵∠BOD+∠COD＝∠BOC＝65°，∠COE+∠COD＝∠DOE＝90°，
∴（∠COE+∠COD）﹣（∠BOD+∠COD）
＝∠COE+∠COD﹣∠BOD﹣∠COD
＝∠COE﹣∠BOD
＝90°﹣65°
＝25°，
即∠COE﹣∠BOD＝25°．
【点评】本题考查了角平分线的定义，角的计算的应用，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键．
19．填空，完成下列说理过程：
如图，∠AOB＝90°，∠COD＝90°，OA平分∠DOE，若∠BOC＝20°，求∠COE的度数．
解：因为∠AOB＝90°，
所以∠BOC+ ∠AOC ＝90°．
因为∠COD＝90°，
所以∠AOD+ ∠AOC ＝90°．
所以∠BOC＝∠AOD．（ 同角的余角相等 ）
因为∠BOC＝20°，
所以∠AOD＝20°．
因为OA平分∠DOE，
所以∠ DOE ＝2∠AOD＝ 40 °．（ 角平分线的定义 ）
所以∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝ 50 °．
【分析】根据同角的余角相等、角平分线的定义解答即可．
【解答】解：因为∠AOB＝90°，
所以∠BOC+∠AOC＝90°．
因为∠COD＝90°，
所以∠AOD+∠AOC＝90°．
所以∠BOC＝∠AOD．（同角的余角相等）
因为∠BOC＝20°，
所以∠AOD＝20°．
因为OA平分∠DOE，
所以∠DOE＝2∠AOD＝40°．（角平分线的定义）
所以∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝50°．
故答案为：∠AOC；∠AOC； 同角的余角相等； DOE；40；角平分线的定义；50．
【点评】本题考查的是余角和补角、角平分线的定义，掌握余角和补角的概念、角平分线的定义是解题的关键．
20．如图所示，O为直线AB上一点，且∠COD＝90°，OE平分∠BOD，OF平分∠AOE，若∠BOC+∠DOF＝190°，求∠AOC的度数．
【分析】根据角平分线的定义可得，，设∠BOE＝x，根据余角的定义用含有x的代数式表示出∠AOE，∠EOF，∠AOC，∠DOF，再根据角的和差关系列方程求解即可．
【解答】解：∵OE平分∠BOD，
∴，
∵OF平分∠AOE，
∴，
设∠BOE＝x，则∠AOE＝180°﹣x，
∴，
∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣2x，
∵∠DOF＝∠EOF﹣∠DOE，
∴，
∵∠BOC+∠DOF＝190°，
∴，
∴x＝20°，
∴∠AOC＝50°．
【点评】此题考查了角的计算与角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
21．如图，已知AB是直线，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．以射线OD为始边小于平角的所有角之和为330°．
（1）求∠COD的度数；
（2）反向延长射线OE得射线OF，先补全图形；再写出补全后图形中∠AOD的所有余角、∠COE的所有补角．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠AOD＝∠DOC，再根据平角的定义以及角的和差关系求解即可；
（2）如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角；如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角，据此解答即可．
【解答】解：（1）∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠DOC，
∵AB是直线，
∴∠AOB＝180°，
∴∠DOB+∠DOA＝180°，
∵∠DOA+∠DOC+∠DOE+∠DOB＝330°，∠DOE＝90°，
∴∠DOC＝330°﹣（∠DOB+∠DOA）﹣∠DOE＝330°﹣180°﹣90°＝60°；
（2）如图补全图形；
与∠AOD互余的所有角为∠COE、∠EOB、∠AOF；
与∠COE互补的所有角为∠AOE、∠FOB、∠COF．
【点评】本题考查了余角与补角、角平分线的定义，解题的关键是了解有关的定义．
22．如图1，已知∠MON＝120°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分∠MOB．
（1）在图1中，若∠AOC＝35°，则∠BOC＝ 55 °，∠NOB＝ 10 °；
（2）在图1中，设∠AOC＝α，∠NOB＝β，请探究α与β之间的数量关系（写出过程）；
（3）在（2）的条件下，当∠AOB绕着点O顺时针转动到如图2的位置，此时α与β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出α与β之间的数量关系．
【分析】（1）先根据余角的定义计算∠BOC＝55°，再由角平分线的定义计算∠BOM＝110°，根据角的差可得∠BON的度数；
（2）同理先计算∠MOB＝2∠BOC＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α，再根据∠MOB＝∠MON+∠BON列等式即可；
（3）同理可得∠MOB＝180°﹣2α，再根据∠MOB＝∠MON+∠BON列等式即可．
【解答】解：（1）如图1，∵∠AOC与∠BOC互余，
∴∠AOC+∠BOC＝90°，
∵∠AOC＝35°，
∴∠BOC＝55°，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOC＝∠BOC＝55°，
∴∠MOB＝110°，
∵∠MON＝120°，
∴∠NOB＝∠MON﹣∠MOB＝120°﹣110°＝10°，
故答案为：55，10；
（2）关系为：β＝2α﹣60°，理由是：
如图1，∵∠AOC＝α，
∴∠BOC＝90°﹣α，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOB＝2∠BOC＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α，
又∵∠MON＝∠MOB+∠NOB，∠NOB＝β，∠MON＝120°，
∴120°＝180°﹣2α+β，
即β＝2α﹣60°；
（3）不成立，此时此时α与β之间的数量关系为：2α+β＝60°，
理由是：如图2，∵∠AOC＝α，∠NOB＝β，
∴∠BOC＝90°﹣α，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOB＝2∠BOC＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α，
∵∠MOB＝∠MON+∠BON，∠MON＝120°，
∴180°﹣2α＝120°+β，即2α+β＝60°，
∴此时α与β之间的数量关系不成立，此时α与β之间的数量关系为：2α+β＝60°．
【点评】本题考查了余角和补角及角平分线定义，角的有关计算的应用，解此题的关键是求出注意利用数形结合的思想，熟练掌握角的和与差的关系．
23．如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB＝50°，∠EOD＝28°42'，OD平分∠COE．
（1）∠AOB的余角是多少度？
（2）求∠COB的度数．
【分析】（1）根据互余的两个角的和为90°求解即可；
（2）根据角平分线的定义得∠EOC＝2∠EOD＝57°24'，然后根据平角的定义得∠COB＝180°﹣∠AOB﹣∠EOC．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝50°，
∴∠AOB的余角为：90°﹣50°＝40°；
（2）∵OD平分∠COE，
∴∠EOC＝2∠EOD＝2×28°42'＝57°24'，
又∵∠AOE＝∠AOB+∠COB+∠EOC，
而且点A、O、E在同一直线上，
∴∠AOE＝180°，
∴∠COB＝∠AOE﹣∠AOB﹣∠EOC＝180°﹣50°﹣57°24'＝72°36'．
【点评】本题考查的是角平分线的定义及补角的性质，解答此题的关键是熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
24．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，∠MON的一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，且∠MON＝90°．
（1）如图1，求∠CON的度数；
（2）将图1中的∠MON绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，如图2，若直线ON恰好平分锐角∠AOC，求∠MON所运动的时间t值；
（3）在（2）的条件下，当∠AOC与∠NOC互余时，求出∠BOC与∠MOC之间的数量关系．
【分析】（1）由角的比值，求每一个角的度数，再加∠MON＝90°这个条件，最后求∠CON的度数；
（2）若直线ON恰好平分锐角∠AOC，分两种情况：①ON沿逆时针旋转的度数为90°+150°＝240°，②ON沿逆时针旋转的度数为60°，最后求出时间；
（3）由∠AOC与∠NOC互余，结合图形推∠BOC与∠MOC之间的数量关系．
【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOC+∠MOC＝180°，
∴∠AOC＝，
∵∠MON＝90°，
∴∠AON＝90°，
∴∠CON＝∠AOC+∠AON＝90°+60°＝150
（2）由图2题意可知，若直线ON恰好平分锐角∠AOC，
①如图①所示：∵直线ON恰好平分锐角∠AOC，
∴ON沿逆时针旋转的度数为90°+150°＝240°，
∴∠MON所运动的时间t＝＝40（s）；
②如图②所示：ON沿逆时针旋转的度数为60°，
∴∠MON所运动的时间t＝10（s）．
综上所述：∠MON所运动的时间t＝40（s）或10（s）．
（3）∵∠AOC+∠NOC＝90°，OM与OA重合
∴∠BOC与∠MOC互补．
【点评】本题考查旋转的问题，掌握逆时针旋转后的角度，直线ON恰好平分锐角∠AOC注意分两种情况是解题关键．