2021——2022学年 人教版八年级数学上册13.3.2 等边三角形 课后练习（word版、含答案）

2021——2022学年度人教版八年级数学上册 第十三章 轴对称 13.3.2 等边三角形 课后练习
一、选择题
1．如图，在等边中，AD、CE是的两条中线，，P是AD上一个动点，则最小值的是（ ）
A．2.5 B．5 C．7.5 D．10
2．如图，已知△ABC为等边三角形，点D为BC上一动点，AD=AE，∠DAE=60°，若AB=4，当四边形ADCE的周长取最小值时，BD的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．和是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形内．若的周长为9，则五边形的周长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
4．如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且BD=CE，AD与B相交于点P．下列结论；AE＝CD；②AD＝BE：③∠PAE＝∠ABE：④∠APB＝120°，其中正确的结论共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，等边三角形的三条角平分线相交于点O，交于点D，交于点E，那么这个图形中的等腰三角形共有（ ）个
A．4 B．5 C．6 D．7
6．如图所示，边长为2的等边三角形中，点在边上运动（不与、重合），点在边的延长线上，点在边的延长线上，．点在边上从至的运动过程中，周长变化规律为（ ）
A．不变 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大
7．如图，在中，，是的中点，且，交于点，于点，连接．若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，连接BD．下列说法错误的是（ ）
A．BC是的AD边上的高 B．
C．图中所有的直角三角形都全等 D．是等腰三角形
9．中，，，，点是边上的动点，则长不可能是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，，点在的平分线上，于点，交于点．若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．如图所示的是一个等边三角形木框，甲虫P在边框上爬行，设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形的高为h，则d与h的大小关系是d___h．（填>、<或=）
12．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，AD和BE相交于点F．点B，C，D三点在同一直线上，则AD和BE的大小关系是_______，它们所成的锐角∠AFB=_______．
13．如图，四边形中，平分，则的长为______．
14．如图，边长为1的正三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个60度角，角的两边分别交于M，交于N，连结，则的周长为__________．
15．如图，在中，，以为边在外作等边，过点作，垂足为，若，，则的长为______．
三、解答题
16．如图，已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，CD=4cm，∠ABC=∠DCB，求BC的长．
17．（感知）如图①，△ABC是等边三角形，点D、E分别在AB、BC边上，且AD＝BE，易知：△ADC≌△BEA．
（探究）如图②，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BA、CB的廷长线上，且AD＝BE，△ADC与△BEA还全等吗？如果全等，请证明：如果不全等，请说明理由．
（拓展）如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2，点D、E分别在BA、FB的延长线上，且AD＝BE＝CF，若AF＝2AD，S△ABF=6，则S△BCD的大小为 　 　．
18．如图，在等腰中，，点D为直线BC上一点，连接AD，以AD为腰在AD的右侧作等腰，，，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：；
（2）当，
①如图2，求证：；
②探究线段CE、AB、CD之间的数量关系，请直接写出结论．
19．如图，△是等边三角形，是AC边上的高，延长至，使．
（1）求证：；
（2）过点作垂直，垂足为，若，求△的周长．
20．如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．
（1）求证：△PMN是等边三角形；
（2）若BP＝2cm，求等边△ABC的边长．
21．如图：等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点，BD=CE，AD与BE相交于点P，AP=6，Q是射线PE上的动点．
（1）求证：△ABD≌△BCE；
（2）若△APQ为直角三角形，求PQ的值；
（3）当△APQ为钝角三角形时，直接写出PQ的取值范围．
22．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边，连接DC，以DC为边作等边，使点B和点E在CD的同侧，CE与BD交于点F，连接BE．
（1）根据题中给定的条件，补全图形；
（2）求证：；
（3）求证：BD垂直平分CE．
23．如图1，点分别是等边边上的动点（端点除外），点从顶点向顶点运动，点从顶点向顶点运动，点同时出发，且它们的运动速度相同，连接交于点．
（1）求证：；
（2）当点分别在边上运动时，变化吗？若变化请说明理由，若不变，求出它的度数；
（3）如图2，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，则变化吗？若变化请说明理由，若不变，求出它的度数．
【参考答案】
1．B 2．B 3．B 4．D 5．D 6．D 7．C 8．C 9．A 10．A
11．=
12．AD=BE 60°
13．8
14．2
15．4
16．解：∵AD∥BC，∠A=120°，
∴∠ABC=180°﹣120°=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°，
又∵∠ABC=∠DCB=60°，
∴∠BDC=180°﹣30°﹣60°=90°，
∴BC=2CD=2×4=8cm．
17．解：探究：△ADC与△BEA全等，
理由：在等边三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠DAC=180°-∠BAC=120°，∠EBA=180°-∠ABC=120°，
∴∠DAC=∠EBA，
∵AD=BE，
∴△ADC≌△BEA；
拓展：∵∠1=∠2，
∴AF=BF，∠DAC=∠EBA，
∵AD=BE，AC=AB，
∴△ADC≌△BEA（SAS），
∴S△ADC=S△BEA，
∵AD＝BE＝CF，AF＝2AD，
∴BF=2BE，
∴S△ABE=S△ABF=3（同高的两三角形的面积比是底的比），
∴S△ADC=3，
∵AF=2CF，
∴S△BFC=S△ABF=3（同高的两三角形的面积比是底的比），
∴S△BCD=S△BCF+S△ABF+S△ADC=12，
故答案为12．
18．（1），
，
在与△ABC中，
，
；
（2）①，，
∴△ABC是等边三角形，
∵△ABD≌△ACE，
，
，
，
；
②，理由如下：
∵△ABD≌△ACE，
，
∵△ABC是等边三角形，
，
．
19．解：∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，
∴，
∴．
∵CE=CD，
∴．
∵，
∴，即，
∴，
∴DB=DE．
（2）根据题意可知，
∵，
∴，
∴．
∵是等边三角形，BD是AC边上的高，
∴，
∴．
20．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，
∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，
∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，
∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，
∴△PMN是等边三角形；
（2）解：∵△PMN是等边三角形
∴PM=MN
在Rt△BPM中，∵∠B＝60°，
∴∠PMB＝30°，
∴BM＝2PB＝4，
在△MPB和△NMC中，
，
∴△MPB≌△NMC（AAS），
∴CM＝PB＝2，
∴BC＝BM+CM＝4+2＝6（cm），
∴等边△ABC的边长为6cm．
21．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，
在△ABD和△BCE中，，
∴△ABD≌△BCE；
（2）如图，
由（1）知，△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，
∴∠APE=∠BAD+∠ABP=∠CBE+∠ABP=60°，
∵△APQ为直角三角形，
∴①当∠AQP=90°时，
∵AP=6，PQ=AP=3，
②当∠PAQ=90°时，
即：∠PAQ'=90°，
∴PQ'=2AP=12，
即：△APQ是直角三角形时，PQ=3或12；
（3）∵△APQ为钝角三角形，
∴①当∠AQP＞90°时，0＜PQ＜3，
②当∠PAQ＞90°时，PQ＞12．
即：△APQ是钝角三角形时，0＜PQ＜3或PQ＞12．
22．（1）解：补图如下：
（2）证明：∵△ABD和△DCE是等边三角形，
∴BD=AD，ED=CD，∠ADF=∠CDE=60°．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC．
在△ACD和△BCD中，
∴△ACD≌△BCD（SSS）．
（3）解：由（2）得△ACD≌△BCD，
∴∠ADC=∠BDC=30°，
∴∠BDE=60°-30°=30°．
在△BED和△ACD中，
∴△BED≌△ACD（SAS）．
∴BE=AC．
∴BE=BC．
∴点B在CE的垂直平分线上．
又ED=CD，
∴点D在CE的垂直平分线上．
∴BD垂直平分CE．
23．（1）证明：是等边三角形
，，
又点、运动速度相同，
，
在与中，
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
（2）解：点、在运动的过程中，不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP,
，
，
（3）解：点、在运动到终点后继续在射线、上运动时，不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
，
，