2021-2022学年人教版八年级数学上册13.3.2 等边三角形（第二课时）课后练习 （word版、含答案）

2021——2022学年度人教版八年级数学上册 第十三章 轴对称 13.3.2 等边三角形（第二课时）课后练习
一、选择题
1．若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形底角度数为（ ）
A．30° B．30°或60° C．15°或30° D．15°或75°
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，DE=1，则BD= (　　)
A．2 B．3 C． D．+2
3．如图，中，AD为中线，，，，则AC长（ ）
A．2.5 B．2 C．1 D．1.5
4．如图所示，在中，，，垂直平分，交于点，cm，则等于（ ）
A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．3 cm
5．如图所示，，点是内一定点，并且，点、分别是射线，上异于点的动点，当的周长取最小值时，点到线段的距离为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．1．5
6．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则B5B6的边长为（ ）
A．16 B．32 C．16 D．32
7．如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AD平分∠A 交BC于点D，若BD=2，则点D到AB的距离为（　　）
A．1 B． C． D．2
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＜30°，按下列步骤作图：
①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连接CD．
下列结论正确的是（ ）
A．∠ADC＝∠BDN B．BD＝2AD
C．∠DCA＝∠B D．2∠DCB＋∠ACD＝90°
9．如图，等边三角形ABC中，D、E分别在AB、BC边上，且AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G．下列结论：①AE=CD；②∠AFC=120°；③△ADF是等腰三角形；④，其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
10．如图，在中，，，平分交于点，在上找一点，连接，使，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在中，，，于点D，如果，那么BD=__________．
12．如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠B=30°，且AD=1，那么BD=__________．
13．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．若AB+AC＝8，S△ABC＝24，∠EDF＝120°，则AD的长为 ______________．
14．如图，点M在等边ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为_____．
15．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE＝2，则AE的长为________．
三、解答题
16．已知：如图，在中，是腰上的高．
求证：．
17．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．求证：．
18．如图：已知等边中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且，，垂足为M．求证：
（1）；
（2）M是BE的中点．
19．如图，AO是边长为2的等边ABC的高，点D是线段AO上的一个动点（点D不与点A、O重合），以CD为一边在AC下方作等边CDE，连结BE并延长，交AC的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）当CEF为等腰三角形时：①求∠ACD的度数；②求CEF的面积．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．
21．如图，已知：，，、、、在同一直线上且，
（1）求证：；
（2）若，，，请求出的长．
22．如图，△是一个锐角三角形，分别以AB、AC向外作等边三角形△、△，连接BE、CD交于点F，连接AF．
（1）求证：△≌△；
（2）求证：平分∠DFE；
（3）若CD⊥AB，垂足为M，试探究FM与DM有何数量关系，并说明理由．
23．已知△ABC是等边三角形，E、F分别是边BC、AC上的点，AE与BF相交于点G，且BE=CF．
（1）如图（1），求证：△BCF≌△ABE，并直接写出∠AGF的度数；
（2）如图（2），若DF⊥AE，垂足为D，且DG=1，BF=4，求BG的长度；
（3）如图（3），以AB为边在左侧作等边△ABD，连接DG，求证：DG=AG+BG．
【参考答案】
1．D 2．A 3．D 4．A 5．A 6．C 7．A 8．D 9．A 10．C
11．3
12．3
13．12
14．13
15．1
16．证明：在中，
∵，
∴（等边对等角）．
∴．
∵是腰上的高，
∴．
∴（在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．
∴．
17．证明：如图，连接BE
的垂直平分线分别交于点D，E，
18．（1）解：∵三角形ABC是等边△ABC，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
又∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
又∵∠ACB＝∠E＋∠CDE，
∴∠E＝∠ACB＝30°，
∵，
∴△EDM是直角三角形，
∴ ；
（2）证明：连接BD，
∵等边△ABC中，D是AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°
由（1）知∠E＝30°
∴∠DBC＝∠E＝30°
∴DB＝DE
又∵DM⊥BC
∴M是BE的中点．
19．（1）证明：和是等边三角形，
，，，
∴，
，
在和中，
，
；
（2）解：①是边长为2的等边的高，
∴AO平分∠BAC，∠BAC＝∠ABC＝60°，BC＝AC＝AB＝2，
，
，
，
，
，
，
，，
又点不与点、重合，
当为等腰三角形时，只能为顶角，
，
；
∴的度数为45°；
②过点C作于点，由，
得，
又，
，
∴△CEF的面积为1．
20．解：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A=∠B+∠A=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∴∠B+∠BCE=∠ACD+∠DCE，
即∠AEC=∠ACE，
∴AC＝AE；
（2）∵∠AEC=∠B+∠BCE，∠AEC=2∠B，
∴∠B=∠BCE，
又∵∠ACD=∠B，∠BCE=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE=∠DCE，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=30°，∠B=30°，
∴Rt△ACD中，AC=2AD=2，
∴Rt△ABC中，AB=2AC=4，
∴BD=ABAD=41=3．
21．（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
即．
在和中，
∴，
∴．
（2），，，
∴．
由（1）知，
∴．
22．（1）证明：∵△DAB、△EAC均为等边三角形，
∴DA=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠CAB=∠EAC+∠CAB，
即：∠DAC=∠BAE，
∴△DAC≌△BAE（SAS）
（2）如图，作AH⊥DC于H，AN⊥BE于N，
∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE，DC=BE，
又∵∠AMD=∠BMF
∴∠DFB=∠DAB=60°，
∴∠DFE=180°-∠DFB=120°，
又∵S△DAC=S△ABE，
∴×DC×AH=BE×AN，
∴AH=AN，
又AH⊥DC，AN⊥BE，
∴AF平分∠DFE
（3）DM=3MF
理由如下：∵CD⊥AB，△DAB为等边三角形，
∴∠ADM=30°，∠AMD=∠AMF=90°，
∵∠DFE=120°，AF平分∠DFE
∴∠AFD=60°，
∴∠DAF=90°，
∴DF=2AF，
∵∠AMF=90°，∠AFD=60°，
∴∠FAM=30°，
∴AF=2MF，
∴DF=4MF，
∴DM+MF=4MF，
∴DM=3MF
23．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠FBC，
∵∠BGE=∠ABG+∠BAE=∠ABG+∠FBC=∠ABC=60°，
∴∠AGF=∠BGE=60°；
（2）由（1）得，∠AGF=60°，
∵DF⊥AE，
∴∠DFG=30°，
∵DG=1，
∴GF=2DG=2，
∵BF=4，
∴BG= BF- GF=4-2=2；
（3）证明：延长GE至点H，使GH=GB，连接BH，如图，
∵∠BGE=60°，
∴△BGH为等边三角形，
∴BG=BH=GH，∠GBH=60°，
∵△ABD是等边三角形，
∴AB=BD，∠ABD=60°，
∵∠ABH=∠GBH+∠ABG，∠DBG=∠ABD+∠ABG，
∴∠ABH=∠DBG，
在△DBG和△ABH中，
，
∴△DBG≌△ABH（SAS），
∴DG=AH，
而AH=AG+GH，
∴DG=AG+BG．