2021 年秋期高中三年级期中质量评估
数学试题（文）参考答案
一、选择题
1~12 ACBBAD CCABDC
二、填空题
8 2－2，
13． 14. 3 15. 3 16.①②③
5
三、解答题（本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解：方案一 选条件①．
由 Sn 1 4Sn 2，（*）
得当 n 2时， Sn 4Sn 1 2，（**）
（*）-（**）可得 an 1 4an， ……6
又当 n 1时， S2 4S1 2，可得 a2 8，满足 a2 4a1，
∴数列 an 是首项为 2，公比为 4的等比数列，
∴an 2
2n 1
． ……8
故bn log2 a1 log2 a2 log2 an 1 3 2n 1 n2． ……10
方案二 选条件②．
3S 22n 1由 n ，（*）
得当 n 2时，3S 22n 1n 1 ，（**）
* - ** 3a 22n 1 22n 1 2n 1（ ） （ ）可得 n 3 2 ，即an 2
2n 1
． ……6
当 n 1时， a 2 a 22n 11 满足 n ，
∴an 2
2n 1
． ……8
故bn log2 a1 log2 a2 log2 an 1 3 2n 1 n2． ……10
高三数学（文） 第 1 页 （共 5 页）
方案三 选条件③．
由3Sn an 1 2，（*）
得当 n 2时，3Sn 1 an 2，（**）
（*）-（**）可得 an 1 4an， ……6
当 n 1时，3S1 a2 2，可得 a2 8，满足 a2 4a1，
∴数列 an 是首项为 2，公比为 4的等比数列，
a 22n 1∴ n ． ……8
故b 2n log2 a1 log2 a2 log2 an 1 3 2n 1 n ． ……10
18.（本小题满分 12 分）
(1)因为 m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且 m⊥n，
所以(2a＋c)cos B＋b cos C＝0，
所以 cos B(2sin A＋sin C)＋sin B cos C＝0，
所以 2cos B sin A＋cos B sin C＋sin B cos C＝0.
即 2cos B sin A＝－sin (B＋C)＝－sin A.
因为 A∈(0，π)，所以 sin A≠0，
cos B＝－1所以 .
2
2π
因为 03
(2)由余弦定理，得
a＋c 2
b2＝a2＋c2－2ac cos 2π＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－ 2 ＝3(a＋c)2，
3 4
当且仅当 a＝c时取等号.
所以(a＋c)2≤4，故 a＋c≤2. ……11
又 a＋c>b＝ 3，所以 a＋c∈( 3，2]. ……12
19．(本小题满分 12 分)
(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得 f(0)＝4，f′(0)＝4.故 b＝4，a＋b＝8.
从而 a＝4，b＝4. ……4
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
高三数学（文） 第 2 页 （共 5 页）
ex 1－
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2) 2 .
令 f′(x)＝0得，x＝－ln 2或 x＝－2. ……6
从而当 x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)>0；当 x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0.
故 f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． ……11
当 x＝－2时，函数 f(x)取得极大值，极大值为 f(－2)＝4(1－e－2)． ……12
20.（本小题满分 12分）
(1)设数列{an}的公比为 q，数列{bn}的公差为 d，由题意 q＞0.
2q2－3d＝2，
由已知，有 消去 d，整理得 q4－2q2－8＝0，
q4－3d＝10，
又因为 q＞0，解得 q＝2，所以 d＝2. ……4
－
所以数列{an}的通项公式为 an＝2n 1，n∈N*；
数列{bn}的通项公式为 bn＝2n－1，n∈N*. ……6
(2)由(1)有 cn＝(2n－1)·2n－1，设{cn}的前 n项和为 Sn，则
Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n － －－3)×2n 2＋(2n－1)×2n 1，
2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －－3)×2n 1＋(2n－1)×2n， ……8
上述两式相减，得
－Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)×2n＝2n＋1－3－(2n－1)×2n＝－(2n－3)×2n－3，
所以，Sn＝(2n－3)·2n＋3，n∈N*. ……12
21.解：(1) 12 3 5在△ABC中，因为 cos A＝ ，cos C＝ ，所以 sin A＝ ，sin C 4＝ .
13 5 13 5
sin B sin sin(A C) sin Acos C cos Asin C 5 3 12 4 63从而 ＝ [π－(A＋C)]＝ ＋ ＝ ＋ ＝ × ＋ × ＝ .
13 5 13 5 65
AB AC AC 1 260 4
由正弦定理 ＝ ，得 AB＝ ×sin C＝ × ＝1 040(m)．
sin C sin B sin B 63 5
65
所以索道 AB的长为 1 040 m. ……4
(2)假设乙出发 t分钟后，甲、乙两游客距离为 d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离 A
处 130t m，所以由余弦定理得
d2＝(100＋50t)2＋(130t)2 12－2×130t×(100＋50t)× ＝200(37t2－70t＋50)，
13
0 t 1 040 0 t 8 35因 ≤ ≤ ，即 ≤ ≤ ，故当 t＝ (min)时，甲、乙两游客距离最短． ……8
130 37
1 260
(3) BC AC AC 5由正弦定理 ＝ ，得 BC＝ ×sin A＝ × ＝500(m)．
sin A sin B sin B 63 13
65
乙从 B出发时，甲已走了 50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走 710 m才能到达 C.
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v 500 710 1 250 625设乙步行的速度为 m/min，由题意得－3≤ － ≤3，解得 ≤v≤ ，所以为使
v 50 43 14
1250 625
两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min，乙步行的速度应控制在 ， 43 14
(单位：
m/min)范围内． ……12
22.（本小题满分 12分）
(1)当 a＝1时，f(x)＝ex－(x＋2)，f′(x)＝ex－1，
令 f′(x)＜0，解得 x＜0，令 f′(x)＞0，解得 x＞0，
所以 f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞). ……4
(2)解法一：当 a≤0时，f′(x)＝ex－a>0恒成立，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，不符合题
意； ……6
当 a>0时，令 f′(x)＝0，解得 x＝ln a，
当 x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当 x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以 f(x)的极小值也是最小值为 f(ln a)＝a－a(ln a＋2)＝－a(1＋ln a). ……8
又当 x→－∞时，f(x)→＋∞，当 x→＋∞时，f(x)→＋∞.
所以要使 f(x)有两个零点，只要 f(ln a)<0即可，
则 1＋ln a>0， 1可得 a> .
e
1，＋∞
综上，若 f(x)有两个零点，则 a的取值范围是 e . ……12
解法二：若 f(x)有两个零点，即 ex－a(x＋2)＝0有两个解，
显然 x＝－2不成立，
ex
所以 a＝ (x≠－2)有两个解， ……6
x＋2
h(x)＝ e
x
令 (x≠－2)，
x＋2
ex（x＋2）－ex ex（x＋1）
则有 h′(x)＝ ＝ ，
（x＋2）2 （x＋2）2
令 h′(x)＞0，解得 x＞－1，
令 h′(x)＜0，解得 x＜－2或－2＜x＜－1，
所以函数 h(x)在(－∞，－2)和(－2，－1)上单调递减，
在(－1，＋∞)上单调递增， ……9
且当 x＜－2时，h(x)＜0，
高三数学（文） 第 4 页 （共 5 页）
而当 x→－2＋(从右侧趋近于－2)时，h(x)→＋∞，
当 x→＋∞时，h(x)→＋∞，
a＝ e
x
所以当 有两个解时，有 a＞h(－1)＝1，
x＋2 e
1，＋∞
所以满足条件的 a的取值范围是 e . ……12
高三数学（文） 第 5 页 （共 5 页）02]年秋期高中三年级期中质量评估
数学试题(文)
意事
林斗
试卷
案
务必先将自
隹考
填
卡
题答案使用
毫米
(签宇)笔或碳
素笔
各题的
域(黑色线框)内作答,超出答题区域书
无效
卷面清
叠、不破损
第Ⅰ卷选择题(共60分)
选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题
符合题目要求的
知集合A
则集
真子集
C
意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例,引人“兔子数
此数列在
现代物理“准晶体结
学等领域都有着广泛的应用.若此数列的各项除
数构成
新数列{an},则数列
项的和为
1.已知命题
为
知f(
(x)为
数,则
(x)的图象大致
数学(文)第1页(共4页
6.设
设变量x,y满足约東条件
实数
充分不必要条
B.必要不充分条件
C.充要条
D.既不充分也不必要条件
知O、O是两个夹角为
向
图
为
其
最大值是
设函数f
知f(
有且仅有
点.下述
仅有3个极大值
极小值点
周递增
的取值范
C.①②③
①③④
知函数f(x
法错误的是
函数f(x)的最大值为
若方程f(
有两个不等的实根,则实
数学(文)第2页(共4页)
填空题(本大题
知
成立
数x的取值范围为
知函数f(x)=Atan(a
的部分
象如图所
知直线
现给
其中正确
序
解答题(本大题
题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
(本小题满分10分
条件中任选
补充在下面问题中,并求
题:已知数
项和为
g2an,求数列{b。}的通项
8.(本小题满分12分
知△A
内角A,B,C所对的边分别是
(1)求角
值范
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9.(本小题满
知函数
线
0))处的切线方程为
(1)求实数a,b的值
f(x)的单调性,并求f(x)的极大
知{an}是各项均为正数的等比数
是等差数
(1)求{an}和{bn}的
本小题满分12分
如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两
种是从A沿直线步
种是先从A沿索道乘缆
后从
线步行到C.现有甲、乙两位游客从
A处下
C匀速步行,速度为
在甲出发
乘缆
处停留
后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min,山路A
经测
求索道AB白
问
多少分钟
的距离最短
为使两位游客在C处互相等待
不超过3分钟,乙步行的速度应控制
围内
本小题满分12分
知函数f(x)
有两个零点,求实数a的取
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