南京市2021－2022学年度第一学期期中调研测试
高 二 数 学 2021.11
注意事项：
1．本试卷共6页，包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分。本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋1的倾斜角为
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的渐近线方程为
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
3．已知向量a，b满足|a|＝2，a·b＝1，且a与b的夹角为60°，则|b|的值为
A． B．1 C． D．2
4．在平面直角坐标系xOy中，点(3，1)关于直线x－y＋1＝0的对称点为
A．(4，0) B．(0，4) C．(2，－1) D．(－1，2)
5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(m，－4)在抛物线上，则PF的长为
A．2 B．3 C．4 D．5
6．平面直角坐标系xOy中，P为圆C1：x2＋(y－3)2＝1上的动点，过点P引
圆C2：(x＋3)2＋y2＝1的切线，切点为T，则满足PT＝PO的点P有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．已知A，B，C，D是球O表面上的四点，其中∠ABC＝，AC＝2，若点D到平面ABC距离的最大值为3，则球O的表面积为
A． B．4π C．16π D．
(
A
B
C
O
（第
8题
）
)8．哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃．如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段AB和两个圆弧，围成，
其中一个圆弧的圆心为A，另一个圆弧的圆心为B．圆O
与线段AB及两个圆弧均相切，则tan∠AOB的值是
A．－ B．－
C．－ D．－
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有错选的得0分．
9．已知复数z＝ ，其中i为虚数单位，则
A．|z|＝2 B．z2＝2i C．z的共轭复数为1－i D．z的虚部为1
10．抛掷一颗骰子，将“结果向上的点数大于3”记为事件A，“结果向上的点数小于4”记为事件B，“结果向上的点数是3的倍数”记为事件C，则
A．A与B对立 B．B与C互斥
C．A与C相互独立 D．A＋C＝B＋C
11．在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点(－2，0)，(0，2)，则
A．圆C的半径大于2
B．圆心C不可能在第一象限
C．当圆心C在x轴上时，圆C的周长为4π
D．当圆心C在第四象限时，圆C截y轴所得的弦长大于8
12．在平面直角坐标系xOy中，方程x2＋|y|＝2对应的曲线为E，则
A．曲线E是封闭图形，其围成的面积大于4
B．曲线E关于原点中心对称
C．曲线E上的点到原点距离的最小值为
D．曲线E上的点到直线x＋y＝4距离的最小值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
(
0.04
0.03
0.02
0.01
0
40
50
60
70
80
速度/(km/h)
（第13题）
)13．若200辆汽车通过某段公路时的速度频率直方图如图所示，则速度在区间[50，60)内的汽车大约有辆．
14．已知α∈(0，)，sin(α－)＝，则sinα的值为．
15．在平面直角坐标系xOy中，直线mx－y＋2＝0与曲线y＝有两个不同的公共点，则实数m的取值范围是．
16．已知椭圆E的两个焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一点，且tan∠PF1F2＝，
tan∠PF2F1＝－3，则椭圆E的离心率为．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
某位射击运动员射击1次，命中环数的概率如下表所示：
命中环数 ≤5环 6环 7环 8环 9环 10环
概率 0.05 0.1 0.15 0.25 0.3 0.15
（1）若规定射击1次，命中8环及以上为“成绩合格”，求该运动员射击1次“成绩合格”的概率；
（2）假设该运动员每次射击互不影响，求该名运动员射击2次，共命中18环的概率．
18．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，圆C经过O(0，0)，A(1，1)，B(4，2)三点．
（1）求圆C的方程；
（2）若经过点(，)的直线l与圆C相交于M，N两点，且∠MCN＝120°，求直线l的方程．
19．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）斜率为的直线l经过椭圆E的右焦点，且与椭圆E相交于A，B两点．已知点
P(－3，0)，求·的值．
20．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90 ．
（1）若AD＝2BC，M为PD的中点，求证：MC∥平面PAB；
（2）若△PAD是边长为3的正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，直线PB与平面ABCD所成角的正切值为，且AB＝BC，求四棱锥P－ABCD的体积．
(
（
第20题
）
)
21．（本小题满分12分）
请在 ①acosC＋c＝b，②2bsin＝asin B，③S＝(b2＋c2－a2) 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S．已知_____，a＝6．
（1）若b＝，求角B；
（2）若M是线段AC上一点， MB⊥AB，且MB∶MC＝5∶2，求S的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
22．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为(3，0)，且经过点(2，1)．
（1）求双曲线C的标准方程；
(
P
y
A
O
x
B
)（2）已知A，B是双曲线C上关于原点对称的两点，垂直于AB的直线l与双曲线C有且仅有一个公共点P．当点P位于第一象限，且△PAB被x轴分割为面积比为3：2的两部分时，求直线AB的方程．
(
（第22题
）
)
高二期中调研 数学试卷 第6页共6页南京市2021－2022学年度第一学期期中调研测试
高二数学参考答案 2021.11
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．C 2．A 3．B 4．B 5．D 6．C 7．C 8．A
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
9．BCD 10．AC 11．BD 12．ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．60 14． 15．(，1] 16．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．（本小题满分10分）
解：（1）记“运动员射击1次，成绩合格”为事件A；
记“射击1次，命中k环”为事件Ak，（k∈N*，且k≤10），
则A＝A8＋A9＋A10，且事件Ak两两互斥．
由题意知，P(A8)＝0.25，P(A9)＝0.3，P(A10)＝0.15，
所以P(A)＝P(A8＋A9＋A10)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.7． 3分
答：该名运动员射击1次，成绩合格的概率为0.7． 4分
（2）记“该名运动员射击2次，共命中18环”为事件D；
记“第一次射击，命中i环”为事件Bi，（i∈N*，且i≤10）；
“第二次射击，命中j环”为事件Cj，（j∈N*，且j≤10），则Bi与Cj相互独立．
事件B8C10，B9C9，B10C8两两互斥，D＝B8C10＋B9C9＋B10C8，
所以P(D)＝P(B8C10＋B9C9＋B10C8)＝P(B8C10)＋P(B9C9)＋P(B10C8)
＝P(B8)P(C10)＋P(B9)P(C9)＋P(B10)P(C8)
＝0.25×0.15＋0.3×0.3＋0.15×0.25＝0.165， 9分
答：该名运动员射击2次，共命中18环的概率为0.165． 10分
18．（本小题满分12分）
解：（1）设圆C方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
因为圆C经过O(0，0)，A(1，1)，B(4，2)三点，
所以解得
所以圆C方程为x2＋y2－8x＋6y＝0． 4分
（2）圆C方程可化为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，所以圆C的圆心为(4，－3)，半径为5．
因为∠MCN＝120°，设MN中点为E，则CE⊥MN，∠ECN＝60°，从而CE＝．
即点C(4，－3)到直线l的距离为． 7分
直线l经过点(，)．
当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x＝，点C(4，－3)到直线l的距离为，
满足题意；
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y－＝k(x－)，即kx－y－＋＝0．
所以＝，解得k＝－，
此时直线l的方程为8x＋6y－39＝0． 11分
因此，满足题意的直线l的方程为x＝和8x＋6y－39＝0． 12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，所以a＋c＝3．
又椭圆的离心率是，所以＝，解得a＝2，c＝1，从而b2＝a2－c2＝3．
所以椭圆C的标准方程＋＝1． 4分
（2）因为直线l的斜率为，且过右焦点(1，0)，所以直线l的方程为y＝(x－1)．
联立直线l的方程与椭圆方程
消去y，得11x2－16x－4＝0，期中△＝162＋16×11＞0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝． 8分
因为P(－3，0)，所以·＝(x1＋3，y1)·(x2＋3，y2)＝(x1＋3)(x2＋3)＋y1y2
＝(x1＋3)(x2＋3)＋2(x1－1)(x2－1)
＝3x1x2＋(x1＋x2)＋11
＝．
因此 ·的值是． 12分
20．（本小题满分12分）
解：（1）取PA中点N，连NM．
因为N，M分别为PA，PD的中点，
所以NMAD．
在底面ABCD中，因为∠BAD＝∠ABC＝90 ，且AD＝2BC，
所以BCAD．
因此BCNM，从而四边形BCMN是平行四边形，
所以MC∥NB． 3分
又因为NB平面PAB，MC平面PAD，
所以MC∥平面PAB． 5分
（2）取AD中点O，连OB，OP．
因为△PAD是正三角形，O为AD中点，所以PO⊥AD，
因为平面PAD⊥平面ABCD，面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，从而∠PBO为直线PB与平面ABCD所成的角． 7分
在正三角形PAD中，因为AD＝3，
(
O
)所以PO＝AD＝．
则在直角△PBO中，tan∠PBO＝＝，
所以OB＝．
在直角△BAO中，AB2＝OB2－OA2＝()2－()2＝4，
所以AB＝2，因此BC＝AB＝2． 10分
四边形ABCD的面积S＝(BC＋AD)×AB＝(2＋3)×2＝5．
又因为PO＝，
所以四棱锥P－ABCD的体积V＝×S×PO＝×5×＝． 12分
21．（本小题满分12分）
解：（1）
选①
在△ABC中，因为acosC＋c＝b，
由正弦定理＝＝，得sinAcosC＋sinC＝sinB．
又因为A＋B＋C＝π，所以sinB＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC．
所以sinC＝cosAsinC．因为sin C≠0，所以cosA＝．
因为sinA＞0，所以sinA＝＝． 4分
因为a＝6，b＝，由正弦定理＝，得＝，解得sinB＝．
因为b＜a，所以角B为锐角，故B＝． 6分
选②
在△ABC中，因为2bsin＝asinB，且A＋B＋C＝π，所以2bsin＝asinB．
由正弦定理＝，得2sinBcos＝sinAsinB．
因为sin B≠0，所以2cos＝sinA，所以cos＝sincos．
因为0＜A＜π，所以0＜＜，因此cos＞0，
所以sin＝，则cos＝＝，
所以sinA＝2sincos＝． 5分
因为a＝6，b＝，由正弦定理＝，得＝，解得sinB＝．
因为b＜a，所以角B为锐角，故B＝． 6分
选③
在△ABC中，因为S＝(b2＋c2－a2)，由余弦定理，得bcsinA＝(2bccosA)，
所以sinA＝cosA．
又因为sin2A＋cos2A＝1，所以sin2A＝．
因为sinA＞0，所以sinA＝， 4分
因为a＝6，b＝，由正弦定理＝，得＝，解得sinB＝．
因为b＜a，所以角B为锐角，故B＝． 6分
（2）解法一：因为MB：MC＝5：2，故可设MB＝5m，MC＝2m．
(
B
A
C
M
)因为MB⊥AB，
所以cos∠BMC＝cos (＋A)＝－sin A＝－，sin∠BMC＝．
在△BMC中，由余弦定理，得36＝25m2＋4m2－2×10m2×(－)，
解得m2＝，所以m＝．
所以S△BMC＝×10m2×sin∠BMC＝×10××＝． 10分
在Rt△ABM中，因为sin A＝，BM＝5m＝2，∠ABM＝，
所以AB＝，所以S△ABM＝××2＝．
因此 S△ABC＝＋＝． 12分
解法二：因为MB：MC＝5：2，故可设MB＝5m，MC＝2m．
因为MB⊥AB，故在Rt△ABM中，因为sinA＝，BM＝5m，
所以AM＝，AB＝．
在△ABC中，因为sinA＝，cosA＝，AB＝，AC＝，BC＝6，
由余弦定理，得36＝()2＋()2－2×××，解得m2＝． 10分
所以S△ABC＝×××＝＝． 12分
22．（本小题满分12分）
解：（1）因为－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为(3，0)，且经过点(2，1)，
所以解得
故双曲线C的标准方程为－＝1． 4分
（2）由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，设AB的方程为y＝kx．
联立消去y，得(1－2k2)x2－6＝0．
由得－＜k＜且k≠0，
解得x2＝． 6分
因为l与AB垂直， 所以设AB的方程为y＝－x＋m．
联立消去y，化简得(k2－2)x2＋4kmx－2k2(m2＋3)＝0．
由－＜k＜且k≠0，得k2－2≠0．
因为l与双曲线有且仅有一个公共点，
所以△＝0，即16k2m2＋8k2(m2＋3)(k2－2)＝0，
化简得k2m2＝3(2－k2)，且点P(－，)． 8分
因为P点位于第一象限，所以m＜0，－＜k＜0．
不妨设A，B分别位于双曲线的左、右两支上，记BP与x轴的交点为M．
因为△PAB被x轴分割为面积比为3：2的两部分，且△PAO与△PBO面积相等，
所以△POM与△BOM的面积比为1：4，由此可得4yP＝－yB． 10分
因此 4×＝－k，即16×＝．
又因为k2m2＝3(2－k2)，所以16×＝，解得k2＝．
因为－＜k＜0，所以k＝－，
故直线AB的方程为y＝－x． 12分
高二期中调研 数学试卷 第7页 共6页
