5.1.2 弧度制 课件-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册(共25张PPT)

(共25张PPT)
第五章 三角函数
5.1.2 弧度制
教学目标
了解弧度制,明确1弧度的含义（重点、难点）
01
能进行弧度与角度的互化（重点）
02
掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式（重点、难点）
03
04
弧度制
学科素养
弧度制的概念
数学抽象
区域角的表示
直观想象
用弧度制表示角的集合
逻辑推理
角度制和弧度制的换算、运用已知条件处理扇形有关问题
数学运算
数据分析
数学建模
弧度制
01
知 识 回 顾
Retrospective Knowledge
任意角
角的扩充：
一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；
一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；
如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合
象限角与轴线角：把角的顶点固定在原点，角的终边始终与x轴的非负半轴重合.那么，角α的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角. 如果角的终边落在坐标轴上,这个角称轴线角.
02
新 知 探 索
New Knowledge explore
度量长度可以用米、英尺、码等单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制．
不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？
我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的 ．这种用度作单位来度量角的单位制叫做角度制．
如图，射线OA绕着端点O旋转到OB形成角α．在旋转过程中，射线OA上的一点P(不同于点O)的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α．
设α=n°,OP=r，点P形成的圆弧PP1的长为l ，由初中所学知识可知：
(
于是
如图，在射线OA上任取一点Q(不同于点O)，
OQ=r，在旋转过程中，点Q所形成的圆弧QQ1的
长为l，l与r的比值是多少 我们能得出什么结论？
探究
【结论】可以发现，圆心角α所对的弧长与半径的比值，只与α的大小有关．也就是说，这个比值随α的确定而唯一确定．这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角．
弧度制的定义：
我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度，记作1rad，读作1弧度．
我们把半径为1的圆叫做单位圆，如图，在单位圆O中，AB的长度等于1，∠AOB就是1弧度的角．
(
B
A
O
1rad
根据上述规定：在半径为r的圆中，弧长为l的的弧所对的圆心角为αrad，
那么有：
其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负．当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于2π或者小于－2π的角．这样就可以得到弧度为任意大小的角．
一般地，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0．
一般地，只需根据



两边同除以180
两边同除以π
就可以进行角度和弧度的换算了．
【例1】 把67°30′化成弧度．
今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数，例如角α=2，就表示α是2 rad 的角；
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应的关系：每个角都有唯一的实数(等于这个叫的弧度)；同样地，每个实数也都有唯一一个对应的角(弧度数等于这个实数).
常见特殊角的角度与弧度对应表：
【练习】把下列角度化成弧度．
【练习】把下列弧度化成角度．
(1)关键:抓住互化公式π rad=180°是关键;
(2)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度;
(3)角度化为弧度时,其结果写成π的形式,没特殊要求,切不可进行近
似计算,也不必将π化为小数;
(4)注意角度制和弧度制不能混用.
角度制与弧度制互化的关键与方法:
其中R是圆的半径，α(0<α<π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积．
（1） ； （2） ； （3） ．
【例2】利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
【练习】圆的一段弧长等于该圆内接正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数是 .
03
拓 展 提 升
Expansion And Promotion
【练习】如图，一扇形所在的圆的半径为1，且该扇形
的周长为4，则这个扇形所含弓形（图中的阴影部分）
的面积为 .
04
归 纳 总 结
Sum Up
弧度制的定义
我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度，记作1rad，读作1弧度.



两边同除以180
两边同除以π
角度制和弧度制换算
弧度角公式：
弧长公式：
扇形面积公式：
05
课 后 作 业
Homework After Class
2. 若一扇形的圆心角为72°，半径为20，则扇形的面积为 .
3. 如果圆心角为120°的扇形所对的弦长为2，则扇形的面积为 .
1.已知α＝15°，β＝ ，γ＝0.4，则α，β，γ 的大小关系为 .