第29章直线与圆的位置关系 同步练习题 2021-2022学年冀教版九年级数学下册
文档属性
| 名称 | 第29章直线与圆的位置关系 同步练习题 2021-2022学年冀教版九年级数学下册 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 462.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 冀教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-13 10:15:56 | ||
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文档简介
2021-2022学年冀教版九年级数学下册《第29章直线与圆的位置关系》
同步练习题（附答案）
1．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
2．一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为8cm，则该圆的半径是（ ）
A．5cm或11cm B．2.5cm
C．5.5cm D．2.5cm或5.5cm
3．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
4．如图，已知△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD＝5，CE＝4，则⊙O的半径是（ ）
A．3 B．4 C． D．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）
A． B． C． D．2
6．如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（ ）
A．97° B．104° C．116° D．142°
7．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
8．如图，在直角坐标系中，直线AB经过点P（3，4），与坐标轴正半轴相交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，△AOB的内切圆的半径是（ ）
A．2 B．3.5 C． D．4
9．在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则它的内切圆半径是（ ）
A． B．1 C．2 D．
10．以正方形ABCD的BC边为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB边于点E．则三角形ADE和直角梯形EBCD周长之比为（ ）
A．3：4 B．4：5 C．5：6 D．6：7
11．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
12．如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（ ）cm2
A．12 B．24 C．8 D．6
13．如图，一圆外切四边形ABCD，且BC＝10，AD＝7，则四边形的周长为（ ）
A．32 B．34 C．36 D．38
14．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A．3 B．9 C．18 D．36
15．已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连接PA，PB．若PB＝4，则PA的长为 ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝70°，△ABC的内切圆⊙O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为 °．
19．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D．已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那PB＝ ．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，BC＝8，OA＝2，求线段DE的长．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2，BF＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
22．如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E．
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径．
23．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA＝∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为2，求BC的长．
24．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
（1）求证：直线PB与⊙O相切；
（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC＝4．求弦CE的长．
25．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC＝FC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知圆的半径R＝5，EF＝3，求DF的长．
26．如图，CE是⊙O的直径，BD切⊙O于点D，DE∥BO，CE的延长线交BD于点A．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若AE＝2，tan∠DEO＝，求AO的长．
27．如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．
（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）若，求BD的长．
参考答案
1．解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴OC＝＝5，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．
∴PC最小值为2．
故选：B．
2．解：当点P在圆内时，最近点的距离为3cm，最远点的距离为8cm，则直径是11cm，因而半径是5.5cm；
当点P在圆外时，最近点的距离为3cm，最远点的距离为8m，则直径是5cm，因而半径是2.5cm．
故选：D．
3．解：当AB与小圆相切，
∵大圆半径为5，小圆的半径为3，
∴AB＝2＝8．
∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，
∴8≤AB≤10．
故选：A．
4．解：如图1，连接OD、BD，，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
又∵AB＝BC，
∴AD＝CD，
又∵AO＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥BC，
∵CD＝5，CE＝4，
∴DE＝，
∵S△BCD＝BD CD÷2＝BC DE÷2，
∴5BD＝3BC，
∴，
∵BD2+CD2＝BC2，
∴，
解得BC＝，
∵AB＝BC，
∴AB＝，
∴⊙O的半径是；
．
故选：D．
5．解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，
∴DE＝3，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN＝DE＝3，MN＝MG，
∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，
∴（3+NM）2＝（3﹣NM）2+42，
∴NM＝，
∴DM＝3＝，
故选：A．
6．解：∵BD是圆O的直径，
∴∠BAD＝90°，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∵直线ED为圆O的切线，
∴∠ADE＝∠ABD＝19°，
∴∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠ABD＝180°﹣45°﹣19°＝116°．
故选：C．
7．
解：连接BC，
∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，
∴BD＝DC，
∵∠ACE＝25°，
∴∠ABC＝25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝50°．
解法二：连接OC，BC．
∵DB，DC是⊙O的切线，B，C是切点，
∴∠OCE＝∠OBD＝90°，BD＝DC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，∠OCA+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠ABC＝25°，
∴∠BDC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝180°﹣2×65°＝50°，
故选：A．
8．解：设直线AB的解析式是y＝kx+b，
把P（3，4）代入得：4＝3k+b，
b＝4﹣3k，
即直线AB的解析式是y＝kx+4﹣3k，
当x＝0时，y＝4﹣3k，
当y＝0时，x＝，
即A（0，4﹣3k），B（，0），
△AOB的面积是 OB OA＝ （4﹣3k）＝12﹣＝12﹣（k+），
∵要使△AOB的面积最小，
∴必须最大，
∵k＜0，
∴﹣k＞0，
∵（a﹣b）2≥0，
∴a2+b2≥2ab，
∴﹣k﹣≥2＝12，
当且仅当﹣k＝﹣时，取等号，解得：k＝±，
∵k＜0，
∴k＝﹣，
即OA＝4﹣3k＝8，OB＝＝6，
根据勾股定理得：AB＝＝210，
设三角形AOB的内切圆的半径是R，
由三角形面积公式得：×6×8＝×6R+×8R+×10R，
R＝2，
故选：A．
9．解：在Rt△ABC，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4；
根据勾股定理AB＝＝5；
若设Rt△ABC的内切圆的半径为R，则有：
R＝＝1．
故选：B．
10．解：根据切线长定理得，BE＝EF，DF＝DC＝AD＝AB＝BC．
设EF＝x，DF＝y，
则在直角△AED中，AE＝y﹣x，AD＝CD＝y，DE＝x+y．
根据勾股定理可得：
（y﹣x）2+y2＝（x+y）2，
∴y＝4x，
∴三角形ADE的周长为12x，直角梯形EBCD周长为14x，
∴两者周长之比为12x：14x＝6：7．
故选：D．
11．解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA＝PB，
同理可得：CA＝CE，DE＝DB．
∵△PCD的周长＝PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周长＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，
∴△PCD的周长＝10，
故选：D．
12．解：∵AE与圆O切于点F，
显然根据切线长定理有AF＝AB＝4cm，EF＝EC，
设EF＝EC＝xcm，
则DE＝（4﹣x）cm，AE＝（4+x）cm，
在三角形ADE中由勾股定理得：
（4﹣x）2+42＝（4+x）2，
∴x＝1cm，
∴CE＝1cm，
∴DE＝4﹣1＝3cm，
∴S△ADE＝AD DE÷2＝3×4÷2＝6cm2．
故选：D．
13．解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，
所以四边形的周长＝2×（7+10）＝34．
故选：B．
14．解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，
等边三角形的边长是2，高为3，
因而等边三角形的面积是3，
∴正六边形的面积＝18，
故选：C．
15．解：如图所示：
作AD⊥BC与D，连接OB，
则AD经过圆心O，∠ODB＝90°，OD＝1，
∵△ABC是等边三角形，
∴BD＝CD，∠OBD＝∠ABC＝30°，
∴OA＝OB＝2OD＝2，
∴AD＝3，BD＝，
∴BC＝2，
∴△ABC的面积＝BC AD＝×2×3＝3；
故选：B．
16．解：过C作CD⊥AB于D，如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∵△ABC的面积＝AC×BC＝AB×CD，
∴3×4＝5CD，
∴CD＝2.4＜2.5，
即d＜r，
∴以2.5为半径的⊙C与直线AB的关系是相交；
故选：A．
17．解：连接CP，PB的延长线交⊙C于P′，如图，
∵CP＝5，CB＝3，PB＝4，
∴CB2+PB2＝CP2，
∴△CPB为直角三角形，∠CBP＝90°，
∴CB⊥PB，
∴PB＝P′B＝4，
∵∠C＝90°，
∴PB∥AC，
而PB＝AC＝4，
∴四边形ACBP为矩形，
∴PA＝BC＝3，
在Rt△APP′中，∵PA＝3，PP′＝8，
∴P′A＝＝，
∴PA的长为3或．
故答案为3或．
18．解：连接DO，FO，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝70°
∴∠A＝20°，
∵内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，
∴∠ODA＝∠OFA＝90°，
∴∠DOF＝160°，
∴∠DEF的度数为80°．
19．解：∵AD BD＝CD DT，
∴TD＝，
∵CD＝2，AD＝3，BD＝4，
∴TD＝6，
∵PT是⊙O的切线，PA是割线，
∴PT2＝PA PB，
∵CT为直径，
∴PT2＝PD2﹣TD2，
∴PA PB＝PD2﹣TD2，
即（PB+7）PB＝（PB+4）2﹣62，
解得PB＝20．
故答案为：20．
20．解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：
连接OD，
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ODA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ODA+∠EDB＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣90°＝90°，即OD⊥DE，
∵OD为圆的半径，D为半径外端点，
∴直线DE与⊙O相切；
（2）连接OE，
设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，
∵∠C＝∠ODE＝90°，
∴OC2+CE2＝OE2＝OD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2＝22+x2，
解得：x＝4.75，
则DE＝4.75．
21．解：（1）BC与⊙O相切．
证明：连接OD．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD．
又∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA．
∴∠CAD＝∠ODA．
∴OD∥AC．
∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC．
又∵BC过半径OD的外端点D，
∴BC与⊙O相切．
（2）设OF＝OD＝x，则OB＝OF+BF＝x+2，
根据勾股定理得：OB2＝OD2+BD2，即（x+2）2＝x2+12，
解得：x＝2，即OD＝OF＝2，
∴OB＝2+2＝4，
∵Rt△ODB中，OD＝OB，
∴∠B＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∴S扇形DOF＝＝，
则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF＝×2×2﹣＝2﹣．
故阴影部分的面积为2﹣．
22．（1）证明：如图1，连接OB，
∵AB是⊙0的切线，
∴OB⊥AB，
∵CE⊥AB，
∴OB∥CE，
∴∠1＝∠3，
∵OB＝OC，
∴∠1＝∠2
∴∠2＝∠3，
∴CB平分∠ACE；
（2）如图2，连接BD，
∵CE⊥AB，
∴∠E＝90°，
∴BC＝＝＝5，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∴∠E＝∠DBC，
∴△DBC∽△CBE，
∴，
∴BC2＝CD CE，
∴CD＝＝，
∴OC＝＝，
∴⊙O的半径＝．
23．（1）证明：连接OB，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA，
∵∠PBA＝∠C，
∴∠PBA+∠OBA＝90°，
即PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为2，
∴OB＝2，AC＝4，
∵OP∥BC，
∴∠CBO＝∠BOP，
∵OC＝OB，
∴∠C＝∠CBO，
∴∠C＝∠BOP，
又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴，
即，
∴BC＝2．
24．（1）证明：连接OC，作OD⊥PB于D点．
∵⊙O与PA相切于点C，
∴OC⊥PA．
∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OD⊥PB，
∴OD＝OC．
∴直线PB与⊙O相切；
（2）解：设PO交⊙O于F，连接CF．
∵OC＝3，PC＝4，∴PO＝5，PE＝8．
∵⊙O与PA相切于点C，
∴∠PCF＝∠E．
又∵∠CPF＝∠EPC，
∴△PCF∽△PEC，
∴CF：CE＝PC：PE＝4：8＝1：2．
∵EF是直径，
∴∠ECF＝90°．
设CF＝x，则EC＝2x．
则x2+（2x）2＝62，
解得x＝．
则EC＝2x＝．
25．（1）证明：连接OA、OD，如图，
∵D为BE的下半圆弧的中点，
∴OD⊥BE，
∴∠D+∠DFO＝90°，
∵AC＝FC，
∴∠CAF＝∠CFA，
∵∠CFA＝∠DFO，
∴∠CAF＝∠DFO，
而OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODF，
∴∠OAD+∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°，
∴OA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵圆的半径R＝5，EF＝3，
∴OF＝2，
在Rt△ODF中，∵OD＝5，OF＝2，
∴DF＝＝．
26．解：（1）连接OD，
∵DE∥BO，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，
∵OD＝OE，
∴∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2，
在△DOB与△COB中，
，
∴△DOB≌△COB，
∴∠OCB＝∠ODB，
∵BD切⊙O于点D，
∴∠ODB＝90°，
∴∠OCB＝90°，
∴AC⊥BC，
∴直线BC是⊙O的切线；
（2）∵∠DEO＝∠2，
∴tan∠DEO＝tan∠2＝，
设；OC＝r，BC＝r，
由（1）证得△DOB≌△COB，
∴BD＝BC＝r，
由切割线定理得：AD2＝AE AC＝2（2+2r），
∴AD＝2，
∵DE∥BO，
∴，
∴，
∴r＝1，
∴AO＝3．
27．（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
∵AB＝AC，
∴∠1＝∠CAB．
∵∠CBF＝∠CAB，
∴∠1＝∠CBF
∴∠CBF+∠2＝90°
即∠ABF＝90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线．
（2）解：过点C作CG⊥AB于G．
∵sin∠CBF＝，∠1＝∠CBF，
∴sin∠1＝，
∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝5，
∴BE＝AB sin∠1＝，
∵AB＝AC，∠AEB＝90°，
∴BC＝2BE＝2，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝＝2，
∴sin∠2＝＝＝，cos∠2＝＝＝，
在Rt△CBG中，可求得GC＝4，GB＝2，
∴AG＝3，
∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴
∴BF＝＝
28．（1）证明：连接OE，
∵BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠1＝∠EBC，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠CBE，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是⊙O的切线，
∵⊙O是△BDE的外接圆，
∴AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）解：∵AE是圆O的切线，AB是圆的割线，
根据切割线定理：AE2＝AD×AB，
∵，
∴（）2＝2×（2+BD），
解得：BD＝4．
∴BD的长是：4．
同步练习题（附答案）
1．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
2．一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为8cm，则该圆的半径是（ ）
A．5cm或11cm B．2.5cm
C．5.5cm D．2.5cm或5.5cm
3．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
4．如图，已知△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD＝5，CE＝4，则⊙O的半径是（ ）
A．3 B．4 C． D．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）
A． B． C． D．2
6．如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（ ）
A．97° B．104° C．116° D．142°
7．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
8．如图，在直角坐标系中，直线AB经过点P（3，4），与坐标轴正半轴相交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，△AOB的内切圆的半径是（ ）
A．2 B．3.5 C． D．4
9．在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则它的内切圆半径是（ ）
A． B．1 C．2 D．
10．以正方形ABCD的BC边为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB边于点E．则三角形ADE和直角梯形EBCD周长之比为（ ）
A．3：4 B．4：5 C．5：6 D．6：7
11．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
12．如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（ ）cm2
A．12 B．24 C．8 D．6
13．如图，一圆外切四边形ABCD，且BC＝10，AD＝7，则四边形的周长为（ ）
A．32 B．34 C．36 D．38
14．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A．3 B．9 C．18 D．36
15．已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连接PA，PB．若PB＝4，则PA的长为 ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝70°，△ABC的内切圆⊙O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为 °．
19．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D．已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那PB＝ ．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，BC＝8，OA＝2，求线段DE的长．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2，BF＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
22．如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E．
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径．
23．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA＝∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为2，求BC的长．
24．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
（1）求证：直线PB与⊙O相切；
（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC＝4．求弦CE的长．
25．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC＝FC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知圆的半径R＝5，EF＝3，求DF的长．
26．如图，CE是⊙O的直径，BD切⊙O于点D，DE∥BO，CE的延长线交BD于点A．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若AE＝2，tan∠DEO＝，求AO的长．
27．如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．
（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）若，求BD的长．
参考答案
1．解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴OC＝＝5，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．
∴PC最小值为2．
故选：B．
2．解：当点P在圆内时，最近点的距离为3cm，最远点的距离为8cm，则直径是11cm，因而半径是5.5cm；
当点P在圆外时，最近点的距离为3cm，最远点的距离为8m，则直径是5cm，因而半径是2.5cm．
故选：D．
3．解：当AB与小圆相切，
∵大圆半径为5，小圆的半径为3，
∴AB＝2＝8．
∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，
∴8≤AB≤10．
故选：A．
4．解：如图1，连接OD、BD，，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
又∵AB＝BC，
∴AD＝CD，
又∵AO＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥BC，
∵CD＝5，CE＝4，
∴DE＝，
∵S△BCD＝BD CD÷2＝BC DE÷2，
∴5BD＝3BC，
∴，
∵BD2+CD2＝BC2，
∴，
解得BC＝，
∵AB＝BC，
∴AB＝，
∴⊙O的半径是；
．
故选：D．
5．解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，
∴DE＝3，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN＝DE＝3，MN＝MG，
∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，
∴（3+NM）2＝（3﹣NM）2+42，
∴NM＝，
∴DM＝3＝，
故选：A．
6．解：∵BD是圆O的直径，
∴∠BAD＝90°，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∵直线ED为圆O的切线，
∴∠ADE＝∠ABD＝19°，
∴∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠ABD＝180°﹣45°﹣19°＝116°．
故选：C．
7．
解：连接BC，
∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，
∴BD＝DC，
∵∠ACE＝25°，
∴∠ABC＝25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝50°．
解法二：连接OC，BC．
∵DB，DC是⊙O的切线，B，C是切点，
∴∠OCE＝∠OBD＝90°，BD＝DC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，∠OCA+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠ABC＝25°，
∴∠BDC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝180°﹣2×65°＝50°，
故选：A．
8．解：设直线AB的解析式是y＝kx+b，
把P（3，4）代入得：4＝3k+b，
b＝4﹣3k，
即直线AB的解析式是y＝kx+4﹣3k，
当x＝0时，y＝4﹣3k，
当y＝0时，x＝，
即A（0，4﹣3k），B（，0），
△AOB的面积是 OB OA＝ （4﹣3k）＝12﹣＝12﹣（k+），
∵要使△AOB的面积最小，
∴必须最大，
∵k＜0，
∴﹣k＞0，
∵（a﹣b）2≥0，
∴a2+b2≥2ab，
∴﹣k﹣≥2＝12，
当且仅当﹣k＝﹣时，取等号，解得：k＝±，
∵k＜0，
∴k＝﹣，
即OA＝4﹣3k＝8，OB＝＝6，
根据勾股定理得：AB＝＝210，
设三角形AOB的内切圆的半径是R，
由三角形面积公式得：×6×8＝×6R+×8R+×10R，
R＝2，
故选：A．
9．解：在Rt△ABC，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4；
根据勾股定理AB＝＝5；
若设Rt△ABC的内切圆的半径为R，则有：
R＝＝1．
故选：B．
10．解：根据切线长定理得，BE＝EF，DF＝DC＝AD＝AB＝BC．
设EF＝x，DF＝y，
则在直角△AED中，AE＝y﹣x，AD＝CD＝y，DE＝x+y．
根据勾股定理可得：
（y﹣x）2+y2＝（x+y）2，
∴y＝4x，
∴三角形ADE的周长为12x，直角梯形EBCD周长为14x，
∴两者周长之比为12x：14x＝6：7．
故选：D．
11．解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA＝PB，
同理可得：CA＝CE，DE＝DB．
∵△PCD的周长＝PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周长＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，
∴△PCD的周长＝10，
故选：D．
12．解：∵AE与圆O切于点F，
显然根据切线长定理有AF＝AB＝4cm，EF＝EC，
设EF＝EC＝xcm，
则DE＝（4﹣x）cm，AE＝（4+x）cm，
在三角形ADE中由勾股定理得：
（4﹣x）2+42＝（4+x）2，
∴x＝1cm，
∴CE＝1cm，
∴DE＝4﹣1＝3cm，
∴S△ADE＝AD DE÷2＝3×4÷2＝6cm2．
故选：D．
13．解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，
所以四边形的周长＝2×（7+10）＝34．
故选：B．
14．解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，
等边三角形的边长是2，高为3，
因而等边三角形的面积是3，
∴正六边形的面积＝18，
故选：C．
15．解：如图所示：
作AD⊥BC与D，连接OB，
则AD经过圆心O，∠ODB＝90°，OD＝1，
∵△ABC是等边三角形，
∴BD＝CD，∠OBD＝∠ABC＝30°，
∴OA＝OB＝2OD＝2，
∴AD＝3，BD＝，
∴BC＝2，
∴△ABC的面积＝BC AD＝×2×3＝3；
故选：B．
16．解：过C作CD⊥AB于D，如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∵△ABC的面积＝AC×BC＝AB×CD，
∴3×4＝5CD，
∴CD＝2.4＜2.5，
即d＜r，
∴以2.5为半径的⊙C与直线AB的关系是相交；
故选：A．
17．解：连接CP，PB的延长线交⊙C于P′，如图，
∵CP＝5，CB＝3，PB＝4，
∴CB2+PB2＝CP2，
∴△CPB为直角三角形，∠CBP＝90°，
∴CB⊥PB，
∴PB＝P′B＝4，
∵∠C＝90°，
∴PB∥AC，
而PB＝AC＝4，
∴四边形ACBP为矩形，
∴PA＝BC＝3，
在Rt△APP′中，∵PA＝3，PP′＝8，
∴P′A＝＝，
∴PA的长为3或．
故答案为3或．
18．解：连接DO，FO，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝70°
∴∠A＝20°，
∵内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，
∴∠ODA＝∠OFA＝90°，
∴∠DOF＝160°，
∴∠DEF的度数为80°．
19．解：∵AD BD＝CD DT，
∴TD＝，
∵CD＝2，AD＝3，BD＝4，
∴TD＝6，
∵PT是⊙O的切线，PA是割线，
∴PT2＝PA PB，
∵CT为直径，
∴PT2＝PD2﹣TD2，
∴PA PB＝PD2﹣TD2，
即（PB+7）PB＝（PB+4）2﹣62，
解得PB＝20．
故答案为：20．
20．解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：
连接OD，
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ODA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ODA+∠EDB＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣90°＝90°，即OD⊥DE，
∵OD为圆的半径，D为半径外端点，
∴直线DE与⊙O相切；
（2）连接OE，
设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，
∵∠C＝∠ODE＝90°，
∴OC2+CE2＝OE2＝OD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2＝22+x2，
解得：x＝4.75，
则DE＝4.75．
21．解：（1）BC与⊙O相切．
证明：连接OD．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD．
又∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA．
∴∠CAD＝∠ODA．
∴OD∥AC．
∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC．
又∵BC过半径OD的外端点D，
∴BC与⊙O相切．
（2）设OF＝OD＝x，则OB＝OF+BF＝x+2，
根据勾股定理得：OB2＝OD2+BD2，即（x+2）2＝x2+12，
解得：x＝2，即OD＝OF＝2，
∴OB＝2+2＝4，
∵Rt△ODB中，OD＝OB，
∴∠B＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∴S扇形DOF＝＝，
则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF＝×2×2﹣＝2﹣．
故阴影部分的面积为2﹣．
22．（1）证明：如图1，连接OB，
∵AB是⊙0的切线，
∴OB⊥AB，
∵CE⊥AB，
∴OB∥CE，
∴∠1＝∠3，
∵OB＝OC，
∴∠1＝∠2
∴∠2＝∠3，
∴CB平分∠ACE；
（2）如图2，连接BD，
∵CE⊥AB，
∴∠E＝90°，
∴BC＝＝＝5，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∴∠E＝∠DBC，
∴△DBC∽△CBE，
∴，
∴BC2＝CD CE，
∴CD＝＝，
∴OC＝＝，
∴⊙O的半径＝．
23．（1）证明：连接OB，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA，
∵∠PBA＝∠C，
∴∠PBA+∠OBA＝90°，
即PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为2，
∴OB＝2，AC＝4，
∵OP∥BC，
∴∠CBO＝∠BOP，
∵OC＝OB，
∴∠C＝∠CBO，
∴∠C＝∠BOP，
又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴，
即，
∴BC＝2．
24．（1）证明：连接OC，作OD⊥PB于D点．
∵⊙O与PA相切于点C，
∴OC⊥PA．
∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OD⊥PB，
∴OD＝OC．
∴直线PB与⊙O相切；
（2）解：设PO交⊙O于F，连接CF．
∵OC＝3，PC＝4，∴PO＝5，PE＝8．
∵⊙O与PA相切于点C，
∴∠PCF＝∠E．
又∵∠CPF＝∠EPC，
∴△PCF∽△PEC，
∴CF：CE＝PC：PE＝4：8＝1：2．
∵EF是直径，
∴∠ECF＝90°．
设CF＝x，则EC＝2x．
则x2+（2x）2＝62，
解得x＝．
则EC＝2x＝．
25．（1）证明：连接OA、OD，如图，
∵D为BE的下半圆弧的中点，
∴OD⊥BE，
∴∠D+∠DFO＝90°，
∵AC＝FC，
∴∠CAF＝∠CFA，
∵∠CFA＝∠DFO，
∴∠CAF＝∠DFO，
而OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODF，
∴∠OAD+∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°，
∴OA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵圆的半径R＝5，EF＝3，
∴OF＝2，
在Rt△ODF中，∵OD＝5，OF＝2，
∴DF＝＝．
26．解：（1）连接OD，
∵DE∥BO，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，
∵OD＝OE，
∴∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2，
在△DOB与△COB中，
，
∴△DOB≌△COB，
∴∠OCB＝∠ODB，
∵BD切⊙O于点D，
∴∠ODB＝90°，
∴∠OCB＝90°，
∴AC⊥BC，
∴直线BC是⊙O的切线；
（2）∵∠DEO＝∠2，
∴tan∠DEO＝tan∠2＝，
设；OC＝r，BC＝r，
由（1）证得△DOB≌△COB，
∴BD＝BC＝r，
由切割线定理得：AD2＝AE AC＝2（2+2r），
∴AD＝2，
∵DE∥BO，
∴，
∴，
∴r＝1，
∴AO＝3．
27．（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
∵AB＝AC，
∴∠1＝∠CAB．
∵∠CBF＝∠CAB，
∴∠1＝∠CBF
∴∠CBF+∠2＝90°
即∠ABF＝90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线．
（2）解：过点C作CG⊥AB于G．
∵sin∠CBF＝，∠1＝∠CBF，
∴sin∠1＝，
∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝5，
∴BE＝AB sin∠1＝，
∵AB＝AC，∠AEB＝90°，
∴BC＝2BE＝2，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝＝2，
∴sin∠2＝＝＝，cos∠2＝＝＝，
在Rt△CBG中，可求得GC＝4，GB＝2，
∴AG＝3，
∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴
∴BF＝＝
28．（1）证明：连接OE，
∵BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠1＝∠EBC，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠CBE，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是⊙O的切线，
∵⊙O是△BDE的外接圆，
∴AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）解：∵AE是圆O的切线，AB是圆的割线，
根据切割线定理：AE2＝AD×AB，
∵，
∴（）2＝2×（2+BD），
解得：BD＝4．
∴BD的长是：4．