第四章　图形的相似 单元测试训练卷　 2021-2022学年北师大版数学九年级上册（word版含答案）

北师版九年级数学上册
第四章　图形的相似
单元测试训练卷
一、选择题（共8小题，4*8=32）
1. 下面不是相似图形的是( )
A B C D
2. 已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线，若AD＝10，A′D′＝6，则△ABC与△A′B′C′的周长比是( )
A．3∶5 B．9∶25 C．5∶3 D．25∶9
3. 下列说法正确的是(　　)
A．边都对应成比例的多边形相似
B．角都对应相等的多边形相似
C．边数相同的正多边形相似
D．矩形都相似
4. 如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4∶9，则OB′∶OB为( )
A．2∶3 B．3∶2
C．4∶5 D．4∶9
5. 某人要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的矩形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他应付广告费( )
A．540元 B．1080元
C．1620元 D．1800元
6. 如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，添加下列条件仍不能判断△CEB与△CAD相似的是( )
A.∠CBA＝2∠A B．点B是DE的中点
C.CE·CD＝CA·CB D．＝
7. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD.下列结论错误的是( )
A．∠C＝2∠A B．BD平分∠ABC
C．S△BCD＝S△BOD D．点D为线段AC的黄金分割点
8. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③CF＝CD；④S△ABE＝4S△ECF.其中正确的个数为( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，4*6=24）
9．如果＝＝＝k(b＋d＋f≠0)，且a＋c＋e＝3(b＋d＋f)，那么k＝________.
10. 如图①，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于点A，B，C和点D，E，F.若AB＝3，DE＝2，BC＝6，则EF＝________．
11. 给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中一定相似的有 ___________________(填序号).
12. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B(3，1)，B′(6，2)，若点A′(5，6)，则A的坐标为__ __．
13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF＝_______.
14. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于____．
三．解答题（共5小题， 44分）
15．(6分) )一个钢筋三角架三边长分别是20厘米、50厘米、60厘米，现在再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30厘米和50厘米的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边，则不同的截法有多少种？写出你的设计方案，并说明理由．
16．(8分) 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(－3，4)，C(－2，6)．
(1)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；
(2)在网格内以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2.
17．(8分) 如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH都是边长相等的正方形．△ACF与△GCA相似吗？说说你的理由．
18．(10分) 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．
19．(12分) 从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
(1)如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；
(2)在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；
(3)如图②，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
参考答案
1-4ACCA 5-8CDCB
9．3
10．4
11．①②④⑤
12．(2.5，3)
13．
14．
15. 两种截法：①30厘米与60厘米的两根钢筋为对应边，把50厘米的钢筋按10厘米与25厘米两部分截，则有＝＝＝，从而两个三角形相似；②30厘米与50厘米的两根钢筋为对应边，把50厘米的钢筋截出12厘米和36厘米两部分，则有＝＝＝，从而两个三角形相似
16. 解：(1)、(2)如图所示。
17. 解：△ACF与△GCA相似．理由：可设正方形ABCD，CDEF，EFGH的边长为a，则△ACF的三边长分别为AC＝a，CF＝a，AF＝a，△GCA的三边长分别为AC＝a，CG＝2a，AG＝a.
∴＝＝，＝＝，＝＝.
∴＝＝，∴△ACF与△GCA相似．
18. (1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C＋∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC.∵∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC　
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8.由(1)知△ADF∽△DEC，∴＝，∴DE＝＝＝12.在Rt△ADE中，由勾股定理得AE＝＝＝6
19. 解：(1)证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC不是等腰三角形．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD为等腰三角形．∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．
(2)①当AD＝CD时，∠ACD＝∠A＝48°.∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝96°；②当AD＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝＝66°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝114°；③当AC＝CD时，∠ADC＝∠A＝48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．∴∠ACB＝96°或114°.
(3)由已知AC＝AD＝2，∵△BCD∽△BAC，∴＝，设BD＝x，∴()2＝x(x＋2)．∵x＞0，∴x＝－1.∵△BCD∽△BAC，∴＝＝，∴CD＝×2＝－.