2021-2022学年河北省唐山市古冶区九年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年河北省唐山市古冶区九年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 550.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 冀教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-12 09:53:24 | ||
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文档简介
2021-2022学年河北省唐山市古冶区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共16个小题，每小题2分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）若方程（a﹣3）x2+x+a＝0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．a≠0 B．a≠3 C．a＞0 D．a＞3
2．（2分）下列四个图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2分）已知⊙O的半径为5，点A为线段OP的中点，当OP＝12时，点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定
4．（2分）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2+2x＝0 B．x2+2x+1＝0 C．x2+2x﹣1＝0 D．x2+2x+2＝0
5．（2分）用配方法解方程x2﹣8x+3＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x﹣4）2＝13 B．（x﹣4）2＝3 C．（x+4）2＝13 D．（x+4）2＝3
6．（2分）在图形的旋转中，下列说法不正确的是（ ）
A．旋转前和旋转后的图形全等
B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等
C．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
D．图形上可能存在不动的点
7．（2分）将抛物线y＝3x2向右平移2个单位长度，所得抛物线的表达式是（ ）
A．y＝3x2+2 B．y＝3x2﹣2 C．y＝3（x+2）2 D．y＝3（x﹣2）2
8．（2分）设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1 x2＝（ ）
A．﹣3 B．2 C．﹣2 D．3
9．（2分）如图，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，点P在上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
10．（2分）制造某电器，原来每件的成本是300元，由于技术革新，连续两次降低成本，现在的成本是192元，设平均每次降低成本的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．300（1﹣2x）＝192 B．300（1﹣x）2＝192
C．300（1+2x）＝192 D．300（1+x）2＝192
11．（2分）如图，将△ABC绕点P顺时针旋转得到△A'B'C'，则点P的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（1，2） C．（1，3） D．（1，4）
12．（2分）抛物线y＝x2﹣2x﹣a上有A（﹣4，y1）、B（2，y2）两点，则y1和y2的大小关系为（ ）
A．y2＜y1 B．y1＜y2 C．y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜0
13．（2分）如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆上，且CD＝OB，则∠BAC＝（ ）
A．120° B．90° C．60° D．30°
14．（2分）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（ ）
A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同
B．点火后24s火箭落于地面
C．点火后10s的升空高度为139m
D．火箭升空的最大高度为145m
15．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下面五条信息：①c＜0；②ab＜0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣3b＝0；⑤c﹣4b＞0．你认为其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2分）如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：
①以O为圆心，OA为半径画圆；
②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；
③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；
④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．
结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
二、填空题（本大题共3个小题，第17～18小题每小题3分，第19小题4分，共10分，把答案写在题中横线上）
17．（3分）点（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是 ．
18．（3分）抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点的坐标为（m，0），则代数式m2﹣m+2021＝ ．
19．（4分）如图，含有30°的直角三角板△ABC，∠BAC＝90°，∠C＝30°，将△ABC绕着点A逆时针旋转，得到△AMN，使得点B落在BC边上的点M处，则∠AMB＝ 度；过点N的直线l∥BC，则∠1＝ 度．
三、解答题（本大题共7个小题，共58分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）解方程：
（1）3x2﹣6＝0；
（2）x2+x﹣6＝0．
21．（8分）已知：二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）将y＝x2﹣2x﹣3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并直接写出抛物线的开口方向和顶点坐标；
（2）求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标．
22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转90°可以得到△A2B2C，画出△A2B2C并直接写出A1A2的长度．
23．（8分）如图，在长60m，宽40m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（图中阴影部分），要使观赏路面积占总面积的，求观赏路面宽是多少m．
24．（8分）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠ACD＝120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
25．（9分）如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P．
（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；
（2）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；
（3）求切线长PA7的值．
26．（10分）如图，直线y＝﹣x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．
（1）点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，并求抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O1A1，若线段O1A1与抛物线只有一个公共点，请你直接写出m的取值范围．
2021-2022学年河北省唐山市古冶区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题，每小题2分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）若方程（a﹣3）x2+x+a＝0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．a≠0 B．a≠3 C．a＞0 D．a＞3
【分析】利用一元二次方程定义可得a﹣3≠0，再解不等式即可．
【解答】解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a﹣3≠0，即a≠3．
故选：B．
2．（2分）下列四个图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．（2分）已知⊙O的半径为5，点A为线段OP的中点，当OP＝12时，点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定
【分析】求得OA的长，判断OA与圆的半径大小关系，从而得出答案．
【解答】解：∵A为线段OP的中点，OP＝12，
∴OA＝6，
∵OA＞5，
∴点A在⊙O外，
故选：C．
4．（2分）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2+2x＝0 B．x2+2x+1＝0 C．x2+2x﹣1＝0 D．x2+2x+2＝0
【分析】各个方程求出根的判别式的值，判断出正负即可确定出有根与否．
【解答】解：A、x2+2x＝0，
∵b2﹣4ac＝4＞0，∴方程有实数根，不符合题意；
B、x2+2x+1＝0，
∵b2﹣4ac＝4﹣4＝0，∴方程有实数根，不符合题意；
C、x2+2x﹣1＝0，
∵b2﹣4ac＝4+4＝8＞0，∴方程有实数根，不符合题意；
D、x2+2x+2＝0，
∵b2﹣4ac＝4﹣8＝﹣4＜0，∴方程没有实数根，符合题意．
故选：D．
5．（2分）用配方法解方程x2﹣8x+3＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x﹣4）2＝13 B．（x﹣4）2＝3 C．（x+4）2＝13 D．（x+4）2＝3
【分析】移项后配方，再根据完全平方公式变形，最后得出选项即可．
【解答】解：x2﹣8x+3＝0，
移项，得x2﹣8x＝﹣3，
配方，得x2﹣8x+16＝﹣3+16，
即（x﹣4）2＝13，
故选：A．
6．（2分）在图形的旋转中，下列说法不正确的是（ ）
A．旋转前和旋转后的图形全等
B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等
C．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
D．图形上可能存在不动的点
【分析】根据旋转的性质可对A、B、C进行判断，利用旋转中心为图形上一点的情况可对D进行判断．
【解答】解：∵旋转前和旋转后的图形全等，
∴选项A不符合题意；
∵在图形上的对应点到旋转中心的距离相等，
∴选项B符合题意；
∵对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，
∴选项C不符合题意；
∵图形上可能存在不动的点，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
7．（2分）将抛物线y＝3x2向右平移2个单位长度，所得抛物线的表达式是（ ）
A．y＝3x2+2 B．y＝3x2﹣2 C．y＝3（x+2）2 D．y＝3（x﹣2）2
【分析】先确定抛物线y＝3x2的顶点坐标为（0，0），再利用点的平移规律得到顶点平移后对应点的坐标，然后利用顶点式写出平移后抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y＝3x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）右平移2个单位长度得到对应点的坐标为（2，0），所以平移后所得抛物线的表达式是y＝3（x﹣2）2．
故选：D．
8．（2分）设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1 x2＝（ ）
A．﹣3 B．2 C．﹣2 D．3
【分析】本题可利用根与系数的关系直接求得．
【解答】解：方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，
由根与系数的关系：x1 x2＝2．
故选：B．
9．（2分）如图，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，点P在上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
【分析】首先连接OB，OC，由正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，可得∠BOC＝90°，然后由圆周角定理，即可求得∠BPC的度数．
【解答】解：连接OB，OC，
∵正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BPC＝∠BOC＝45°．
故选：A．
10．（2分）制造某电器，原来每件的成本是300元，由于技术革新，连续两次降低成本，现在的成本是192元，设平均每次降低成本的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．300（1﹣2x）＝192 B．300（1﹣x）2＝192
C．300（1+2x）＝192 D．300（1+x）2＝192
【分析】等量关系为：原来的成本×（1﹣降低的百分率）2＝192，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设平均每次降低成本的百分率为x，
300（1﹣x）2＝192，
故选：B．
11．（2分）如图，将△ABC绕点P顺时针旋转得到△A'B'C'，则点P的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（1，2） C．（1，3） D．（1，4）
【分析】对应点连接段的垂直平分线的交点即为旋转中心P．
【解答】解：作线段AA′，CC′的垂直平分线交于点P，点P即为旋转中心，P（1，2）．
故选：B．
12．（2分）抛物线y＝x2﹣2x﹣a上有A（﹣4，y1）、B（2，y2）两点，则y1和y2的大小关系为（ ）
A．y2＜y1 B．y1＜y2 C．y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜0
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝x2﹣2x﹣a＝（x﹣1）2﹣1﹣a的开口向上，对称轴为直线x＝1，然后根据点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【解答】解：由抛物线y＝x2﹣2x﹣a＝（x﹣1）2﹣1﹣a可知，抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣a上有A（﹣4，y1）、B（2，y2）两点，且1﹣（﹣4）＞2﹣1，
∴y1＞y2．
故选：A．
13．（2分）如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆上，且CD＝OB，则∠BAC＝（ ）
A．120° B．90° C．60° D．30°
【分析】如图，连接OC．证明△OCD是等边三角形，可得结论．
【解答】解：如图，连接OC．
∵CD＝OB，OB＝OC＝OD，
∴OC＝OD＝CD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠BDC＝60°，
∴∠BAC＝∠BDC＝60°，
故选：C．
14．（2分）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（ ）
A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同
B．点火后24s火箭落于地面
C．点火后10s的升空高度为139m
D．火箭升空的最大高度为145m
【分析】分别求出t＝9、13、24、10时h的值可判断A、B、C三个选项，将解析式配方成顶点式可判断D选项．
【解答】解：A、当t＝9时，h＝136；当t＝13时，h＝144；所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同，此选项错误；
B、当t＝24时h＝1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误；
C、当t＝10时h＝141m，此选项错误；
D、由h＝﹣t2+24t+1＝﹣（t﹣12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确；
故选：D．
15．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下面五条信息：①c＜0；②ab＜0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣3b＝0；⑤c﹣4b＞0．你认为其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】观察图象易得a＞0，﹣＝＞0，所以b＜0，2a﹣3b＞0，因此ab＜0，由此可以判定①②是正确的，而④是错误的；
当x＝﹣1，y＝a﹣b+c，由点（﹣1，a﹣b+c）在第二象限可以判定a﹣b+c＞0③是正确的；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b，由点（2，c﹣4b）在第一象限可以判定c﹣4b＞0⑤是正确的．
【解答】解：∵抛物线开口方向向上，
∴a＞0，
∵与y轴交点在x轴的下方，
∴c＜0，
∵﹣＝＞0，
∴2a＝﹣3b，
∵a＞0，
∴b＜0，
2a﹣3b＞0，
∴ab＜0，
由此看来①②是正确的，而④是错误的；
当x＝﹣1，y＝a﹣b+c，
而点（﹣1，a﹣b+c）在第二象限，
∴③a﹣b+c＞0是正确的；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b，
而点（2，c﹣4b）在第一象限，
∴⑤c﹣4b＞0正确．
其中正确信息的有①②③⑤．
故选：D．
16．（2分）如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：
①以O为圆心，OA为半径画圆；
②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；
③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；
④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．
结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
【分析】如图，连接EM，EN，MF．NF．根据矩形的判定证明四边形MENF是矩形，再说明∠MOF＝∠AOB时，S扇形FOM＝S扇形AOB，观察图形可知，这样的点P不唯一，可知（Ⅱ）错误．
【解答】解：如图，连接EM，EN，MF．NF．
∵MN垂直平分AB，EF垂直平分AP，由“垂径定理的逆定理”可知，MN和AP都是⊙O的直径，
∴OM＝ON，OE＝OF，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵EF＝MN，
∴四边形MENF是矩形，故（Ⅰ）正确，
观察图形可知当∠MOF＝∠AOB，
∴S扇形FOM＝S扇形AOB，
观察图形可知，这样的点P不唯一（如下图所示），故（Ⅱ）错误，
故选：D．
二、填空题（本大题共3个小题，第17～18小题每小题3分，第19小题4分，共10分，把答案写在题中横线上）
17．（3分）点（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是 （4，﹣3） ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，
∴点（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是（4，﹣3）．
故答案为（4，﹣3）．
18．（3分）抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点的坐标为（m，0），则代数式m2﹣m+2021＝ 2022 ．
【分析】根据抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的交点坐标为（m，0），可以求得m2﹣m的值，然后代入所求式子即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的交点坐标为（m，0），
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴m2﹣m+2020＝1+2021＝2022，
故答案为：2022．
19．（4分）如图，含有30°的直角三角板△ABC，∠BAC＝90°，∠C＝30°，将△ABC绕着点A逆时针旋转，得到△AMN，使得点B落在BC边上的点M处，则∠AMB＝ 60 度；过点N的直线l∥BC，则∠1＝ 30 度．
【分析】首先根据直角的性质求出∠B＝60°，利用旋转的性质求出△ABM是等边三角形，即∠AMB＝60°，进而求出∠NMC＝60°，再利用平行线的性质得到∠1+∠ANM＝∠NMC，结合∠ANM＝∠C＝30°，即可求出∠1的度数．
【解答】解：∵△BAC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
∵△ABC绕着点A逆时针旋转，得到△AMN，
∴AB＝AM，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠AMB＝60°，
∵∠AMN＝60°，
∴∠CMN＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵l∥BC，
∴∠1+∠ANM＝∠NMC，
∵∠ANM＝∠C＝30°，
∴∠1+30°＝60°，
∴∠1＝30°．
故答案为：60，30．
三、解答题（本大题共7个小题，共58分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）解方程：
（1）3x2﹣6＝0；
（2）x2+x﹣6＝0．
【分析】（1）用直接开平方法可得答案；
（2）用因式分解法即可解得答案．
【解答】解：（1）3x2＝6，
x2＝2，
∴x1＝，x2＝﹣；
（2）∵（x+3）（x﹣2）＝0，
∴x+3＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝2．
21．（8分）已知：二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）将y＝x2﹣2x﹣3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并直接写出抛物线的开口方向和顶点坐标；
（2）求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标．
【分析】（1）利用配方法把函数从一般式转化为顶点式，然后再确定开口方向和顶点坐标；
（2）令x＝0，求出图象与y轴的交点坐标，令y＝0，求出图象与x轴的交点坐标为．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣1﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
a＝1＞0，抛物线开口向上，顶点坐标（1，﹣4）；
（2）当x＝0时，y＝﹣3，所以图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3），
当y＝0时，x＝3或x＝﹣1，即图象与x轴的交点坐标为（3，0）或（﹣1，0）．
22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转90°可以得到△A2B2C，画出△A2B2C并直接写出A1A2的长度．
【分析】（1）按照旋转的性质找出点A、B、C的对应点即可；
（2）根据旋转的性质找出点A、B的对应点，利用勾股定理可求出A1A2的长度．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，
（2）如图所示，△A2B2C即为所求，
由勾股定理得A1A2＝．
23．（8分）如图，在长60m，宽40m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（图中阴影部分），要使观赏路面积占总面积的，求观赏路面宽是多少m．
【分析】设路宽为x，所剩下的观赏面积的宽为（40﹣2x），长为（60﹣3x）根据要使观赏路面积占总面积，可列方程求解．
【解答】解：设路宽为x，
（40﹣2x）（60﹣3x）＝（1﹣）×60×40，
解得：x＝5或x＝35不合题意，
答：观赏道路路面宽是5m．
24．（8分）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠ACD＝120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC．只需证明∠OCD＝90°．根据等腰三角形的性质即可证明；
（2）阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵AC＝CD，∠ACD＝120°，
∴∠A＝∠D＝30°．
∵OA＝OC，
∴∠2＝∠A＝30°．
∴∠OCD＝180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2＝90°．即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵∠A＝30°，
∴∠1＝2∠A＝60°．
∴S扇形BOC＝．
在Rt△OCD中，
∵，
∴．
∴S△OCD＝×OC×CD＝×2×2＝2，
∴S阴影＝S△OCD﹣S扇形BOC＝ ，
∴图中阴影部分的面积为： ．
25．（9分）如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P．
（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；
（2）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；
（3）求切线长PA7的值．
【分析】（1）利用弧长公式求解即可．
（2）利用圆周角定理证明即可．
（3）解直角三角形求出PA7即可．
【解答】解：（1）由题意，∠A7OA11＝120°，
∴的长＝＝4π＞12，
∴比直径长．
（2）结论：PA1⊥A7A11．
理由：连接A1A7，A7A11，OA11．
∵A1A7是⊙O的直径，
∴∠A7A11A1＝90°，
∴PA1⊥A7A11．
（3）∵PA7是⊙O的切线，
∴PA7⊥A1A7，
∴∠PA7A1＝90°，
∵∠PA1A7＝60°，A1A7＝12，
∴PA7＝A1A7 tan60°＝12．
26．（10分）如图，直线y＝﹣x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．
（1）点A的坐标为 （0，2） ，点C的坐标为 （4，0） ，并求抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O1A1，若线段O1A1与抛物线只有一个公共点，请你直接写出m的取值范围．
【分析】（1）在直线y＝﹣x+2中分别令x＝0和y＝0，可得A和C的坐标，将A、C的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式；
（2）方法一：过M点作MH⊥x轴，与AC交于点N，设M（a，﹣a2+a+2），则N（a，﹣a+2），由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标；
方法二：连接OM，根据面积和表示关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标；
（3）根据旋转性质，表示O1点和A1点的坐标，令O1点和A1点在抛物线上时，求出m的最大值和最小值值便可．
【解答】解：（1）令x＝0，得y＝﹣x+2＝2，
∴A（0，2），
令y＝0，得y＝﹣x+2＝0，解得，x＝4，
∴C（4，0），
把A、C两点代入y＝﹣x2+bx+c得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣+x+2；
故答案为：（0，2），（4，0）；
（2）方法一：过M点作MH⊥x轴于H，与AC交于点N，如图1，
当y＝0时，﹣+x+2＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣2，
∴B（﹣2，0），
设M（a，﹣a2+a+2），则N（a，﹣a+2），
∵S△ACM＝MN OC＝[（﹣a2+a+2）﹣（﹣a+2）]×4＝﹣a2+2a，
∴S四边形ABCM＝S△ACM+S△ABC＝﹣a2+2a+×（2+4）×2＝﹣a2+2a+6＝﹣（a﹣2）2+8，
∵﹣＜0，
∴当a＝2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8，
此时M的坐标为（2，2）；
方法二：连接OM，如图2，
设M（a，﹣a2+a+2），
S四边形ABCM＝S△ABO+S△AOM+S△OCM
＝×2×2+×2a+（﹣a2+a+2）
＝2+a+2（﹣a2+a+2）
＝﹣a2+2a+6
＝﹣（a﹣2）2+8，
∵﹣＜0，
∴当a＝2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8，
此时M的坐标为（2，2）；
（3）∵将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O1A1，如图3，
∴PO1＝PO＝m，O1A1＝OA＝2，
∴O1（m，m），A1（m+2，m），
当A1（m+2，m）在抛物线上时，有﹣（m+2）2+（m+2）+2＝m，
解得，m＝﹣3，
当点O1（m，m）在抛物线上时，有﹣m2+m+2＝m，
解得，m＝﹣4或2，
∴当﹣3﹣≤m≤﹣4或﹣3+≤m≤2时，线段O′A′与抛物线只有一个公共点．
一、选择题（本大题共16个小题，每小题2分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）若方程（a﹣3）x2+x+a＝0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．a≠0 B．a≠3 C．a＞0 D．a＞3
2．（2分）下列四个图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2分）已知⊙O的半径为5，点A为线段OP的中点，当OP＝12时，点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定
4．（2分）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2+2x＝0 B．x2+2x+1＝0 C．x2+2x﹣1＝0 D．x2+2x+2＝0
5．（2分）用配方法解方程x2﹣8x+3＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x﹣4）2＝13 B．（x﹣4）2＝3 C．（x+4）2＝13 D．（x+4）2＝3
6．（2分）在图形的旋转中，下列说法不正确的是（ ）
A．旋转前和旋转后的图形全等
B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等
C．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
D．图形上可能存在不动的点
7．（2分）将抛物线y＝3x2向右平移2个单位长度，所得抛物线的表达式是（ ）
A．y＝3x2+2 B．y＝3x2﹣2 C．y＝3（x+2）2 D．y＝3（x﹣2）2
8．（2分）设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1 x2＝（ ）
A．﹣3 B．2 C．﹣2 D．3
9．（2分）如图，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，点P在上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
10．（2分）制造某电器，原来每件的成本是300元，由于技术革新，连续两次降低成本，现在的成本是192元，设平均每次降低成本的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．300（1﹣2x）＝192 B．300（1﹣x）2＝192
C．300（1+2x）＝192 D．300（1+x）2＝192
11．（2分）如图，将△ABC绕点P顺时针旋转得到△A'B'C'，则点P的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（1，2） C．（1，3） D．（1，4）
12．（2分）抛物线y＝x2﹣2x﹣a上有A（﹣4，y1）、B（2，y2）两点，则y1和y2的大小关系为（ ）
A．y2＜y1 B．y1＜y2 C．y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜0
13．（2分）如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆上，且CD＝OB，则∠BAC＝（ ）
A．120° B．90° C．60° D．30°
14．（2分）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（ ）
A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同
B．点火后24s火箭落于地面
C．点火后10s的升空高度为139m
D．火箭升空的最大高度为145m
15．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下面五条信息：①c＜0；②ab＜0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣3b＝0；⑤c﹣4b＞0．你认为其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2分）如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：
①以O为圆心，OA为半径画圆；
②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；
③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；
④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．
结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
二、填空题（本大题共3个小题，第17～18小题每小题3分，第19小题4分，共10分，把答案写在题中横线上）
17．（3分）点（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是 ．
18．（3分）抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点的坐标为（m，0），则代数式m2﹣m+2021＝ ．
19．（4分）如图，含有30°的直角三角板△ABC，∠BAC＝90°，∠C＝30°，将△ABC绕着点A逆时针旋转，得到△AMN，使得点B落在BC边上的点M处，则∠AMB＝ 度；过点N的直线l∥BC，则∠1＝ 度．
三、解答题（本大题共7个小题，共58分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）解方程：
（1）3x2﹣6＝0；
（2）x2+x﹣6＝0．
21．（8分）已知：二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）将y＝x2﹣2x﹣3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并直接写出抛物线的开口方向和顶点坐标；
（2）求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标．
22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转90°可以得到△A2B2C，画出△A2B2C并直接写出A1A2的长度．
23．（8分）如图，在长60m，宽40m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（图中阴影部分），要使观赏路面积占总面积的，求观赏路面宽是多少m．
24．（8分）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠ACD＝120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
25．（9分）如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P．
（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；
（2）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；
（3）求切线长PA7的值．
26．（10分）如图，直线y＝﹣x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．
（1）点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，并求抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O1A1，若线段O1A1与抛物线只有一个公共点，请你直接写出m的取值范围．
2021-2022学年河北省唐山市古冶区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题，每小题2分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）若方程（a﹣3）x2+x+a＝0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．a≠0 B．a≠3 C．a＞0 D．a＞3
【分析】利用一元二次方程定义可得a﹣3≠0，再解不等式即可．
【解答】解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a﹣3≠0，即a≠3．
故选：B．
2．（2分）下列四个图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．（2分）已知⊙O的半径为5，点A为线段OP的中点，当OP＝12时，点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定
【分析】求得OA的长，判断OA与圆的半径大小关系，从而得出答案．
【解答】解：∵A为线段OP的中点，OP＝12，
∴OA＝6，
∵OA＞5，
∴点A在⊙O外，
故选：C．
4．（2分）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2+2x＝0 B．x2+2x+1＝0 C．x2+2x﹣1＝0 D．x2+2x+2＝0
【分析】各个方程求出根的判别式的值，判断出正负即可确定出有根与否．
【解答】解：A、x2+2x＝0，
∵b2﹣4ac＝4＞0，∴方程有实数根，不符合题意；
B、x2+2x+1＝0，
∵b2﹣4ac＝4﹣4＝0，∴方程有实数根，不符合题意；
C、x2+2x﹣1＝0，
∵b2﹣4ac＝4+4＝8＞0，∴方程有实数根，不符合题意；
D、x2+2x+2＝0，
∵b2﹣4ac＝4﹣8＝﹣4＜0，∴方程没有实数根，符合题意．
故选：D．
5．（2分）用配方法解方程x2﹣8x+3＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x﹣4）2＝13 B．（x﹣4）2＝3 C．（x+4）2＝13 D．（x+4）2＝3
【分析】移项后配方，再根据完全平方公式变形，最后得出选项即可．
【解答】解：x2﹣8x+3＝0，
移项，得x2﹣8x＝﹣3，
配方，得x2﹣8x+16＝﹣3+16，
即（x﹣4）2＝13，
故选：A．
6．（2分）在图形的旋转中，下列说法不正确的是（ ）
A．旋转前和旋转后的图形全等
B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等
C．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
D．图形上可能存在不动的点
【分析】根据旋转的性质可对A、B、C进行判断，利用旋转中心为图形上一点的情况可对D进行判断．
【解答】解：∵旋转前和旋转后的图形全等，
∴选项A不符合题意；
∵在图形上的对应点到旋转中心的距离相等，
∴选项B符合题意；
∵对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，
∴选项C不符合题意；
∵图形上可能存在不动的点，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
7．（2分）将抛物线y＝3x2向右平移2个单位长度，所得抛物线的表达式是（ ）
A．y＝3x2+2 B．y＝3x2﹣2 C．y＝3（x+2）2 D．y＝3（x﹣2）2
【分析】先确定抛物线y＝3x2的顶点坐标为（0，0），再利用点的平移规律得到顶点平移后对应点的坐标，然后利用顶点式写出平移后抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y＝3x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）右平移2个单位长度得到对应点的坐标为（2，0），所以平移后所得抛物线的表达式是y＝3（x﹣2）2．
故选：D．
8．（2分）设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1 x2＝（ ）
A．﹣3 B．2 C．﹣2 D．3
【分析】本题可利用根与系数的关系直接求得．
【解答】解：方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，
由根与系数的关系：x1 x2＝2．
故选：B．
9．（2分）如图，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，点P在上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
【分析】首先连接OB，OC，由正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，可得∠BOC＝90°，然后由圆周角定理，即可求得∠BPC的度数．
【解答】解：连接OB，OC，
∵正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BPC＝∠BOC＝45°．
故选：A．
10．（2分）制造某电器，原来每件的成本是300元，由于技术革新，连续两次降低成本，现在的成本是192元，设平均每次降低成本的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．300（1﹣2x）＝192 B．300（1﹣x）2＝192
C．300（1+2x）＝192 D．300（1+x）2＝192
【分析】等量关系为：原来的成本×（1﹣降低的百分率）2＝192，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设平均每次降低成本的百分率为x，
300（1﹣x）2＝192，
故选：B．
11．（2分）如图，将△ABC绕点P顺时针旋转得到△A'B'C'，则点P的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（1，2） C．（1，3） D．（1，4）
【分析】对应点连接段的垂直平分线的交点即为旋转中心P．
【解答】解：作线段AA′，CC′的垂直平分线交于点P，点P即为旋转中心，P（1，2）．
故选：B．
12．（2分）抛物线y＝x2﹣2x﹣a上有A（﹣4，y1）、B（2，y2）两点，则y1和y2的大小关系为（ ）
A．y2＜y1 B．y1＜y2 C．y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜0
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝x2﹣2x﹣a＝（x﹣1）2﹣1﹣a的开口向上，对称轴为直线x＝1，然后根据点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【解答】解：由抛物线y＝x2﹣2x﹣a＝（x﹣1）2﹣1﹣a可知，抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣a上有A（﹣4，y1）、B（2，y2）两点，且1﹣（﹣4）＞2﹣1，
∴y1＞y2．
故选：A．
13．（2分）如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆上，且CD＝OB，则∠BAC＝（ ）
A．120° B．90° C．60° D．30°
【分析】如图，连接OC．证明△OCD是等边三角形，可得结论．
【解答】解：如图，连接OC．
∵CD＝OB，OB＝OC＝OD，
∴OC＝OD＝CD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠BDC＝60°，
∴∠BAC＝∠BDC＝60°，
故选：C．
14．（2分）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（ ）
A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同
B．点火后24s火箭落于地面
C．点火后10s的升空高度为139m
D．火箭升空的最大高度为145m
【分析】分别求出t＝9、13、24、10时h的值可判断A、B、C三个选项，将解析式配方成顶点式可判断D选项．
【解答】解：A、当t＝9时，h＝136；当t＝13时，h＝144；所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同，此选项错误；
B、当t＝24时h＝1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误；
C、当t＝10时h＝141m，此选项错误；
D、由h＝﹣t2+24t+1＝﹣（t﹣12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确；
故选：D．
15．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下面五条信息：①c＜0；②ab＜0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣3b＝0；⑤c﹣4b＞0．你认为其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】观察图象易得a＞0，﹣＝＞0，所以b＜0，2a﹣3b＞0，因此ab＜0，由此可以判定①②是正确的，而④是错误的；
当x＝﹣1，y＝a﹣b+c，由点（﹣1，a﹣b+c）在第二象限可以判定a﹣b+c＞0③是正确的；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b，由点（2，c﹣4b）在第一象限可以判定c﹣4b＞0⑤是正确的．
【解答】解：∵抛物线开口方向向上，
∴a＞0，
∵与y轴交点在x轴的下方，
∴c＜0，
∵﹣＝＞0，
∴2a＝﹣3b，
∵a＞0，
∴b＜0，
2a﹣3b＞0，
∴ab＜0，
由此看来①②是正确的，而④是错误的；
当x＝﹣1，y＝a﹣b+c，
而点（﹣1，a﹣b+c）在第二象限，
∴③a﹣b+c＞0是正确的；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b，
而点（2，c﹣4b）在第一象限，
∴⑤c﹣4b＞0正确．
其中正确信息的有①②③⑤．
故选：D．
16．（2分）如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：
①以O为圆心，OA为半径画圆；
②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；
③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；
④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．
结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
【分析】如图，连接EM，EN，MF．NF．根据矩形的判定证明四边形MENF是矩形，再说明∠MOF＝∠AOB时，S扇形FOM＝S扇形AOB，观察图形可知，这样的点P不唯一，可知（Ⅱ）错误．
【解答】解：如图，连接EM，EN，MF．NF．
∵MN垂直平分AB，EF垂直平分AP，由“垂径定理的逆定理”可知，MN和AP都是⊙O的直径，
∴OM＝ON，OE＝OF，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵EF＝MN，
∴四边形MENF是矩形，故（Ⅰ）正确，
观察图形可知当∠MOF＝∠AOB，
∴S扇形FOM＝S扇形AOB，
观察图形可知，这样的点P不唯一（如下图所示），故（Ⅱ）错误，
故选：D．
二、填空题（本大题共3个小题，第17～18小题每小题3分，第19小题4分，共10分，把答案写在题中横线上）
17．（3分）点（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是 （4，﹣3） ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，
∴点（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是（4，﹣3）．
故答案为（4，﹣3）．
18．（3分）抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点的坐标为（m，0），则代数式m2﹣m+2021＝ 2022 ．
【分析】根据抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的交点坐标为（m，0），可以求得m2﹣m的值，然后代入所求式子即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的交点坐标为（m，0），
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴m2﹣m+2020＝1+2021＝2022，
故答案为：2022．
19．（4分）如图，含有30°的直角三角板△ABC，∠BAC＝90°，∠C＝30°，将△ABC绕着点A逆时针旋转，得到△AMN，使得点B落在BC边上的点M处，则∠AMB＝ 60 度；过点N的直线l∥BC，则∠1＝ 30 度．
【分析】首先根据直角的性质求出∠B＝60°，利用旋转的性质求出△ABM是等边三角形，即∠AMB＝60°，进而求出∠NMC＝60°，再利用平行线的性质得到∠1+∠ANM＝∠NMC，结合∠ANM＝∠C＝30°，即可求出∠1的度数．
【解答】解：∵△BAC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
∵△ABC绕着点A逆时针旋转，得到△AMN，
∴AB＝AM，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠AMB＝60°，
∵∠AMN＝60°，
∴∠CMN＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵l∥BC，
∴∠1+∠ANM＝∠NMC，
∵∠ANM＝∠C＝30°，
∴∠1+30°＝60°，
∴∠1＝30°．
故答案为：60，30．
三、解答题（本大题共7个小题，共58分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）解方程：
（1）3x2﹣6＝0；
（2）x2+x﹣6＝0．
【分析】（1）用直接开平方法可得答案；
（2）用因式分解法即可解得答案．
【解答】解：（1）3x2＝6，
x2＝2，
∴x1＝，x2＝﹣；
（2）∵（x+3）（x﹣2）＝0，
∴x+3＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝2．
21．（8分）已知：二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）将y＝x2﹣2x﹣3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并直接写出抛物线的开口方向和顶点坐标；
（2）求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标．
【分析】（1）利用配方法把函数从一般式转化为顶点式，然后再确定开口方向和顶点坐标；
（2）令x＝0，求出图象与y轴的交点坐标，令y＝0，求出图象与x轴的交点坐标为．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣1﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
a＝1＞0，抛物线开口向上，顶点坐标（1，﹣4）；
（2）当x＝0时，y＝﹣3，所以图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3），
当y＝0时，x＝3或x＝﹣1，即图象与x轴的交点坐标为（3，0）或（﹣1，0）．
22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转90°可以得到△A2B2C，画出△A2B2C并直接写出A1A2的长度．
【分析】（1）按照旋转的性质找出点A、B、C的对应点即可；
（2）根据旋转的性质找出点A、B的对应点，利用勾股定理可求出A1A2的长度．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，
（2）如图所示，△A2B2C即为所求，
由勾股定理得A1A2＝．
23．（8分）如图，在长60m，宽40m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（图中阴影部分），要使观赏路面积占总面积的，求观赏路面宽是多少m．
【分析】设路宽为x，所剩下的观赏面积的宽为（40﹣2x），长为（60﹣3x）根据要使观赏路面积占总面积，可列方程求解．
【解答】解：设路宽为x，
（40﹣2x）（60﹣3x）＝（1﹣）×60×40，
解得：x＝5或x＝35不合题意，
答：观赏道路路面宽是5m．
24．（8分）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠ACD＝120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC．只需证明∠OCD＝90°．根据等腰三角形的性质即可证明；
（2）阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵AC＝CD，∠ACD＝120°，
∴∠A＝∠D＝30°．
∵OA＝OC，
∴∠2＝∠A＝30°．
∴∠OCD＝180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2＝90°．即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵∠A＝30°，
∴∠1＝2∠A＝60°．
∴S扇形BOC＝．
在Rt△OCD中，
∵，
∴．
∴S△OCD＝×OC×CD＝×2×2＝2，
∴S阴影＝S△OCD﹣S扇形BOC＝ ，
∴图中阴影部分的面积为： ．
25．（9分）如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P．
（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；
（2）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；
（3）求切线长PA7的值．
【分析】（1）利用弧长公式求解即可．
（2）利用圆周角定理证明即可．
（3）解直角三角形求出PA7即可．
【解答】解：（1）由题意，∠A7OA11＝120°，
∴的长＝＝4π＞12，
∴比直径长．
（2）结论：PA1⊥A7A11．
理由：连接A1A7，A7A11，OA11．
∵A1A7是⊙O的直径，
∴∠A7A11A1＝90°，
∴PA1⊥A7A11．
（3）∵PA7是⊙O的切线，
∴PA7⊥A1A7，
∴∠PA7A1＝90°，
∵∠PA1A7＝60°，A1A7＝12，
∴PA7＝A1A7 tan60°＝12．
26．（10分）如图，直线y＝﹣x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．
（1）点A的坐标为 （0，2） ，点C的坐标为 （4，0） ，并求抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O1A1，若线段O1A1与抛物线只有一个公共点，请你直接写出m的取值范围．
【分析】（1）在直线y＝﹣x+2中分别令x＝0和y＝0，可得A和C的坐标，将A、C的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式；
（2）方法一：过M点作MH⊥x轴，与AC交于点N，设M（a，﹣a2+a+2），则N（a，﹣a+2），由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标；
方法二：连接OM，根据面积和表示关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标；
（3）根据旋转性质，表示O1点和A1点的坐标，令O1点和A1点在抛物线上时，求出m的最大值和最小值值便可．
【解答】解：（1）令x＝0，得y＝﹣x+2＝2，
∴A（0，2），
令y＝0，得y＝﹣x+2＝0，解得，x＝4，
∴C（4，0），
把A、C两点代入y＝﹣x2+bx+c得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣+x+2；
故答案为：（0，2），（4，0）；
（2）方法一：过M点作MH⊥x轴于H，与AC交于点N，如图1，
当y＝0时，﹣+x+2＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣2，
∴B（﹣2，0），
设M（a，﹣a2+a+2），则N（a，﹣a+2），
∵S△ACM＝MN OC＝[（﹣a2+a+2）﹣（﹣a+2）]×4＝﹣a2+2a，
∴S四边形ABCM＝S△ACM+S△ABC＝﹣a2+2a+×（2+4）×2＝﹣a2+2a+6＝﹣（a﹣2）2+8，
∵﹣＜0，
∴当a＝2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8，
此时M的坐标为（2，2）；
方法二：连接OM，如图2，
设M（a，﹣a2+a+2），
S四边形ABCM＝S△ABO+S△AOM+S△OCM
＝×2×2+×2a+（﹣a2+a+2）
＝2+a+2（﹣a2+a+2）
＝﹣a2+2a+6
＝﹣（a﹣2）2+8，
∵﹣＜0，
∴当a＝2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8，
此时M的坐标为（2，2）；
（3）∵将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O1A1，如图3，
∴PO1＝PO＝m，O1A1＝OA＝2，
∴O1（m，m），A1（m+2，m），
当A1（m+2，m）在抛物线上时，有﹣（m+2）2+（m+2）+2＝m，
解得，m＝﹣3，
当点O1（m，m）在抛物线上时，有﹣m2+m+2＝m，
解得，m＝﹣4或2，
∴当﹣3﹣≤m≤﹣4或﹣3+≤m≤2时，线段O′A′与抛物线只有一个公共点．
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