2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学八年级（上）期中数学试卷（五四学制）（Word版 含解析）

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学八年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一.选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列运算中，正确的是（　　）
A．a3 a2＝a6 B．a+a＝a2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（a2）3＝a6
3．（3分）点P（﹣3，5）关于y轴的对称点的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣5） B．（3，﹣5） C．（5，﹣3） D．（3，5）
4．（3分）下列各式可以用平方差公式的是（　　）
A．（﹣a+4c）（a﹣4c） B．（x﹣2y）（2x+y）
C．（﹣3a﹣1）（1﹣3a） D．
5．（3分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若∠A＝50°，∠DCB＝2∠ACD，则∠B的度数为（　　）
A．26° B．36° C．52° D．45°
6．（3分）把多项式3x3﹣6x2+3x分解因式，下列结果正确的是（　　）
A．x（3x+1）（x﹣3） B．3x（x2﹣2x+1）
C．x（3x2﹣6x+3） D．3x（x﹣1）2
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，则AD的长为（　　）
A．1.5 B．2 C．3 D．4
8．（3分）若（1+x）（2x2+ax+1）的结果中，x2的系数是﹣2，则a等于（　　）
A．﹣2 B．1 C．﹣4 D．以上都不对
9．（3分）计算（﹣2）2007 （）2006的结果为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
10．（3分）如图，等边△ABD与等边△ACE，连接BE、CD，BE的延长线与CD交于点F，下列结论：（1）BE＝CD；（2）AF平分∠EAC；（3）∠BFD＝60°；（4）AF+FD＝BF，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）计算（﹣5a2b） （﹣3a）＝　 　．
12．（3分）如果（x﹣3）0有意义，则x的取值范围为 　 　．
13．（3分）分解因式：ma2﹣mb2＝　 　．
14．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，△ABC的周长为30cm，BD＝4cm，则AC的长为 　 　cm．
15．（3分）等腰△ABC的顶角为30°，腰长为5，则S△ABC＝　 　．
16．（3分）已知，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P为直线BC上一点，BP＝AB，则∠APB的度数为 　 　．
17．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠ADC＝∠ABC＝90°，在AB、AD上分别找一点F、E，连接CE、EF、CF，当△CEF的周长最小时，则∠ECF的度数为 　 　．
18．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，BD＝6，则△ABD的面积为 　 　．
三、解答题（21题8分，22题7分，23题7分，24题8分，25、26、27每题10分）
19．（8分）计算
（1）（n2）3 （n4）2
（2）（﹣6a2b5c）÷（﹣2ab2）2
（3）（3x+y）（x﹣2y）
（4）（﹣3y+2x）2﹣（2x﹣y）（2x+y）
20．（7分）（1）画出△ABC关于y轴的对称图形，其中A、B、C的对应点分别为A1，B1，C1．
（2）画出以CA为腰的等腰△CAD，点D在y轴右侧的小正方形的顶点上，且△CAD的面积为6．
21．（7分）先化简，再求值：[（x+y）2﹣y（2x+y）﹣8x]÷2x，其中x＝﹣2．
22．（8分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为△ABC外一点，且AD＝BD，DE⊥AC交CA的延长线于点E，
（1）求证：DE＝AE+BC．
（2）若S四边形ACBD＝6，DE＝3，求线段AE的长．
23．（10分）如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1：　 　；
方法2：　 　；
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系：　 　；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决下面的问题：已知a+b＝3，ab＝2，求a3b﹣ab3的值．
24．（10分）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D在AC上，E在BC上，AE，BD交于F，∠AFD＝60°，∠FDC+∠FEC＝180°．
（1）求证：BE＝CD．
（2）如图2，过点D作DG⊥AF于G，直接写出AE，FG，BF的关系．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG，若FG＝BF，△AGD的面积等于5，求GC的长度．
25．（10分）已知，如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3a，0），B（0，4a），△ABO的面积是6．
（1）求B的坐标．
（2）在x轴的正半轴上有一点C，使∠BAO＝2∠BCA，AB＝5，动点P从A出发，沿线段AC运动，速度为每秒1个单位长度，设点P的运动时间为t，△BCP的面积为S，用含t的式子来表示S．
（3）在（2）的条件下，在P出发的同时，Q从B出发．沿着平行于x轴的直线，以每秒2个单位长度的速度匀速向右运动，在y轴上是否存在一点R，使△PQR为以PQ为腰的等腰直角三角形，求出满足条件的t，并直接写出点R的坐标．
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学八年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一.选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不合题意；
故选：A．
2．（3分）下列运算中，正确的是（　　）
A．a3 a2＝a6 B．a+a＝a2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（a2）3＝a6
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，完全平方公式以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：a3 a2＝a5，故选项A不合题意；
a+a＝2a，故选项B不合题意；
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项C不合题意；
（a2）3＝a6，正确，故选项D符合题意．
故选：D．
3．（3分）点P（﹣3，5）关于y轴的对称点的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣5） B．（3，﹣5） C．（5，﹣3） D．（3，5）
【分析】根据关于y轴对称的点的特点解答即可．
【解答】解：点P（﹣3，5）关于y轴对称点坐标为（3，5），
故选：D．
4．（3分）下列各式可以用平方差公式的是（　　）
A．（﹣a+4c）（a﹣4c） B．（x﹣2y）（2x+y）
C．（﹣3a﹣1）（1﹣3a） D．
【分析】平方差公式是：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，因此符合（a+b）（a﹣b）结构，才能运用平方差公式计算．
【解答】解：（﹣3a﹣1）（1﹣3a）＝（﹣3a﹣1）（﹣3a+1）＝（﹣3a）2﹣1＝9a2﹣1．
故选：C．
5．（3分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若∠A＝50°，∠DCB＝2∠ACD，则∠B的度数为（　　）
A．26° B．36° C．52° D．45°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到BD＝CD，求得∠B＝∠DCB，设∠ACD＝α，得到∠B＝∠DCB＝2α，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵BC的垂直平分线交AB于点D，
∴BD＝CD，
∴∠B＝∠DCB，
∵∠DCB＝2∠ACD，
∴设∠ACD＝α，
∴∠B＝∠DCB＝2α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，
∴5α＝130°，
∴α＝26°，
∴∠B＝52°，
故选：C．
6．（3分）把多项式3x3﹣6x2+3x分解因式，下列结果正确的是（　　）
A．x（3x+1）（x﹣3） B．3x（x2﹣2x+1）
C．x（3x2﹣6x+3） D．3x（x﹣1）2
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝3x（x2﹣2x+1）＝3x（x﹣1）2，
故选：D．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，则AD的长为（　　）
A．1.5 B．2 C．3 D．4
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BDC＝30°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，再求出∠ABC，然后求出∠ABD＝15°，从而得到∠ABD＝∠A，根据等角对等边可得AD＝BD，从而得解．
【解答】解：∵∠DBC＝60°，∠C＝90°，
∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°，
∴BD＝2BC＝2×1＝2，
∵∠C＝90°，∠A＝15°，
∴∠ABC＝90°﹣15°＝75°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝75°﹣60°＝15°，
∴∠ABD＝∠A，
∴AD＝BD＝2．
故选：B．
8．（3分）若（1+x）（2x2+ax+1）的结果中，x2的系数是﹣2，则a等于（　　）
A．﹣2 B．1 C．﹣4 D．以上都不对
【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果中x2的系数是﹣2，确定出a的值即可．
【解答】解：原式＝2x2+ax+1+2x3+ax2+x＝2x3+（a+2）x2+（a+1）x+1，
由x2的系数是﹣2，得到a+2＝﹣2，
解得：a＝﹣4，
故选：C．
9．（3分）计算（﹣2）2007 （）2006的结果为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】根据积的乘方运算法则计算即可．
【解答】解：（﹣2）2007 （）2006
＝22006 （）2006×（﹣2）
＝
＝12006×（﹣2）
＝1×（﹣2）
＝﹣2．
故选：D．
10．（3分）如图，等边△ABD与等边△ACE，连接BE、CD，BE的延长线与CD交于点F，下列结论：（1）BE＝CD；（2）AF平分∠EAC；（3）∠BFD＝60°；（4）AF+FD＝BF，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】先在AF上找到点G使得FG＝EF，证出△BAE≌△DAC，可得BE＝CD，从而得出（1）正确；先证出A、E、F、C四点共圆，根据AE＝AC，可得FA平分∠EFC，从而得出（2）不正确；根据∠EFC＝120°，即可得出（3）正确；根据全等三角形的判定与性质得出△AGE≌△CFE，可得AG＝CF，即可求得AF＝CF+EF，从而得出（4）正确．
【解答】解：∵△ABD与△ACE是等边三角形，
∴∠BAD＝∠CAE＝60°，AB＝AD，AE＝AC，
∵∠BAE+∠DAE＝60°，∠CAD+∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠DAC，
在△BAE和△DAC中，，
∴△BAE≌△DAC，（SAS）
∴BE＝CD，（1）正确；∠BEA＝∠ACD，
∵∠AEB+∠AEF＝180°，
∴∠AEF+∠ACF＝180°，
∴A、E、F、C四点共圆，
∴∠EFC＝120°，
∴∠BFD＝60°，故（3）正确，
∵AE＝AC，
∴∠AFC＝∠AFE，即FA平分∠EFC，
AF不一定平分∠EAC，（2）不正确；
在AF上找到点G使得FG＝EF，如图所示：
∵FG＝EF，∠AFE＝60°，
∴△EFG是等边三角形，
∴EF＝EG，
∵∠AEG+∠CEG＝60°，∠CEG+∠CEF＝60°，
∴∠AEG＝∠CEF，
在△AGE和△CFE中，，
∴△AGE≌△CFE（SAS），
∴AG＝CF，
∵AF＝AG+FG，
∴AF＝CF+EF，
∵BE＝CD，
∴AF+FD＝CF+EF+FD＝CF+FD+EF＝CD+EF＝BE+EF＝BE，（4）正确；
∴正确的结论有3个．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）计算（﹣5a2b） （﹣3a）＝　15a3b　．
【分析】根据单项式乘以单项式，即可解答．
【解答】解：（﹣5a2b） （﹣3a）
＝15a3b，
故答案为：15a3b．
12．（3分）如果（x﹣3）0有意义，则x的取值范围为 　x≠3　．
【分析】直接利用零指数幂的性质分析得出答案．
【解答】解：∵（x﹣3）0有意义，
∴x﹣3≠0，
解得：x≠3．
故答案为：x≠3．
13．（3分）分解因式：ma2﹣mb2＝　m（a+b）（a﹣b）　．
【分析】应先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：ma2﹣mb2，
＝m（a2﹣b2），
＝m（a+b）（a﹣b）．
14．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，△ABC的周长为30cm，BD＝4cm，则AC的长为 　11　cm．
【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝4cm，
∴BC＝BD+CD＝8cm．
∵△ABC的周长为30cm，
∴AC＝AB＝（30﹣8）＝11，
故答案为11．
15．（3分）等腰△ABC的顶角为30°，腰长为5，则S△ABC＝　　．
【分析】过B作BD⊥AC于D，根据直角三角形的性质得到BD＝AB＝，由三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：如图，过B作BD⊥AC于D，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC＝5，∠A＝30°，
∴BD＝AB＝，
∴S△ABC＝×5×＝，
故答案为：．
16．（3分）已知，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P为直线BC上一点，BP＝AB，则∠APB的度数为 　75°或15°　．
【分析】首先根据题意画出图形，然后利用等腰三角形的性质求解即可求得答案，注意分为点P在边BC上或在CB的延长线上．
【解答】解：如图1，∵在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵BP＝AB，
∴∠APB＝＝75°；
如图2，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠C＝30°，
∵BP＝AB，
∴∠APB＝∠ABC＝15°．
综上所述：∠APB的度数为75°或15°．
故答案为：75°或15°．
17．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠ADC＝∠ABC＝90°，在AB、AD上分别找一点F、E，连接CE、EF、CF，当△CEF的周长最小时，则∠ECF的度数为 　60°　．
【分析】延长CD到M使DM＝CD，延长CB到N使BN＝CB，连接MN交AD于E，交AB于F，则此时，△CEF的周长最小，根据线段垂直平分线的性质得到EM＝CE，CF＝FN，根据等腰三角形的性质得到∠M＝∠ECM，∠N＝∠FCN，根据四边形和三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：如图，延长CD到M使DM＝CD，延长CB到N使BN＝CB，连接MN交AD于E，交AB于F，
则此时，△CEF的周长最小，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，DM＝CD，BN＝CB，
∴EM＝CE，CF＝FN，
∴∠M＝∠ECM，∠N＝∠FCN，
∵∠A＝60°，
∴∠MCN＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
∴∠M+∠N＝60°，
∴∠ECM+∠FCN＝60°，
∴∠ECF＝120°﹣60°＝60°，
故答案为：60°．
18．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，BD＝6，则△ABD的面积为 　9　．
【分析】根据角平分线的性质可以得到DC和DE的关系，然后根据勾股定理可以得到AD和DC的关系，再根据三角形的面积公式即可求得△ABD的面积．
【解答】解：设CD＝x，
过D作DE⊥AB于E，则∠AED＝90°，
∵∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝CD＝x，
∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝45°，
∴∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝180°﹣45°﹣90°＝45°＝∠A，
∴AE＝DE＝x，
由勾股定理得：AD＝＝x，
即AC＝x+x＝（+1）x＝BC，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD2＝CD2+BC2，
即62＝x2+[（+1）x]2，
解得：x2＝9（2﹣），
∴△ABD的面积为：＝＝＝＝9，
故答案为：9．
三、解答题（21题8分，22题7分，23题7分，24题8分，25、26、27每题10分）
19．（8分）计算
（1）（n2）3 （n4）2
（2）（﹣6a2b5c）÷（﹣2ab2）2
（3）（3x+y）（x﹣2y）
（4）（﹣3y+2x）2﹣（2x﹣y）（2x+y）
【分析】（1）原式利用幂的乘方运算法则计算即可求出值；
（2）原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算即可求出值；
（3）原式利用多项式乘以多项式法则计算即可求出值；
（4）原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝n6 n8＝n14；
（2）原式＝（﹣6a2b5c）÷（4a2b4）＝﹣bc；
（3）原式＝3x2﹣6xy+xy﹣2y2＝3x2﹣5xy﹣2y2；
（4）原式＝4x2﹣12xy+9y2﹣4x2+y2＝﹣12xy+10y2．
20．（7分）（1）画出△ABC关于y轴的对称图形，其中A、B、C的对应点分别为A1，B1，C1．
（2）画出以CA为腰的等腰△CAD，点D在y轴右侧的小正方形的顶点上，且△CAD的面积为6．
【分析】（1）直接利用关于直线对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）根据三角形面积公式和等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，
（2）如图所示，△CAD即为所求．
21．（7分）先化简，再求值：[（x+y）2﹣y（2x+y）﹣8x]÷2x，其中x＝﹣2．
【分析】根据完全平方公式和单项式乘多项式的法则计算，再利用多项式除单项式的法则计算，然后代入数据计算即可．
【解答】解：[（x+y）2﹣y（2x+y）﹣8x]÷2x，
＝[x2+2xy+y2﹣2xy﹣y2﹣8x]÷2x，
＝（x2﹣8x）÷2x，
＝﹣4，
当x＝﹣2时，原式＝﹣4＝﹣1﹣4＝﹣5．
22．（8分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为△ABC外一点，且AD＝BD，DE⊥AC交CA的延长线于点E，
（1）求证：DE＝AE+BC．
（2）若S四边形ACBD＝6，DE＝3，求线段AE的长．
【分析】（1）连接CD，交AB于点F，则由线段垂直平分线的判定定理可得，直线CD是线段AB的垂直平分线，再由等腰三角形的三线合一及∠ACB＝90°，推得△DCE为等腰直角三角形，从而问题得解；
（2）先由所给四边形的面积求得△DAC的面积，再利用三角形的面积公式，可得AC的长，再由（1）中线段的数量关系，可得答案．
【解答】解：（1）证明：如图，连接CD，交AB于点F
∵AC＝BC，AD＝BD
∴点C和点D均在线段AB的垂直平分线上
∴直线CD为线段AB的垂直平分线
∴AF＝BF
∵∠ACB＝90°
∴∠ACF＝45°
∵DE⊥AC
∴∠E＝90°
∴△DCE为等腰直角三角形
∴DE＝CE＝AC+AE
∵BC＝AC
∴DE＝AE+BC．
（2）如（1）中图所示
若S四边形ACBD＝6，
则S△DAC＝3
∴DE CA＝3
∵DE＝3
∴CA＝2
∵DE＝AC+AE
∴AE＝DE﹣AC＝3﹣2＝1
∴线段AE的长为1．
23．（10分）如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1：　（m﹣n）2　；
方法2：　（m+n）2﹣4mn　；
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系：　（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2　；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决下面的问题：已知a+b＝3，ab＝2，求a3b﹣ab3的值．
【分析】（1）由题意知，阴影部分为一正方形，其边长正好为m﹣n．根据正方形的面积公式即可求出图中阴影部分的面积，也可以用大正方形的面积减去四个小长方形的面积由图形可得：
（2）大正方形的面积减去四个小长方形的面积正好等于图中阴影部分的面积；
（3）由等量关系可求a﹣b＝±1，代入可求解．
【解答】解：（1）方法1：由图可得小正方形的边长为m﹣n，则阴影部分的面积为（m﹣n）2；
故答案为：（m﹣n）2；
方法2：阴影部分＝（m+n）2﹣4mn，
故答案为：（m+n）2﹣4mn；
（2）由阴影部分的面积的两种不同算法，可得等式（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；
（3）∵a+b＝3，ab＝2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝9﹣8＝1，
∴a﹣b＝±1，
∵a3b﹣ab3＝ab（a2﹣b2）＝ab（a﹣b）（a+b）
∴a3b﹣ab3＝±6
24．（10分）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D在AC上，E在BC上，AE，BD交于F，∠AFD＝60°，∠FDC+∠FEC＝180°．
（1）求证：BE＝CD．
（2）如图2，过点D作DG⊥AF于G，直接写出AE，FG，BF的关系．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG，若FG＝BF，△AGD的面积等于5，求GC的长度．
【分析】（1）通过证明△ABC是等边三角形，可得AB＝AC＝BC，由“AAS”可证△ABE≌△BCD，可得BE＝CD；
（2）由全等三角形的性质可得BD＝AE，由直角三角形的性质可得DF＝2GF，即可求解；
（3）连接BG，将△BGC绕点B逆时针旋转60°得到△BHA，可得AH＝GC，BH＝BG，∠HBG＝60°，通过证明点B，点D，点H在以G为圆心，BG为半径的圆上，可得∠HAD＝90°，由三角形面积公式可求GC的长．
【解答】证明：（1）∵∠FDC+∠FEC＝180°，∠FEC+∠FDC+∠C+∠DFE＝360°，
∴∠C+∠DFE＝180°，
∵∠AFD＝60°
∴∠DFE＝120°，
∴∠C＝60°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∵∠FDC+∠FEC＝180°．∠FEC+AEB＝180°，
∴∠BDC＝∠AEB，且∠ABC＝∠ACB，AB＝BC，
∴△ABE≌△BCD（AAS）
∴BE＝CD；
（2）∵△ABE≌△BCD，
∴BD＝AE，
∵DG⊥AE，∠AFD＝60°，
∴∠FDG＝30°，
∴DF＝2GF，
∴AE＝BD＝BF+DF＝BF+2GF；
（3）如图3，连接BG，将△BGC绕点B逆时针旋转60°得到△BHA，
∴△BGC≌△BHA，∠HBG＝60°，
∴AH＝GC，BH＝BG，
∴△BGH是等边三角形，
∴∠BGH＝60°，BH＝HG＝BG，
∵BF＝FG，∠AFD＝60°，
∴∠FBG＝∠BGF＝30°，
∵DG⊥AE，∠AFD＝60°，
∴∠GDF＝30°，
∴∠GBD＝∠GDB＝30°，
∴BG＝GD＝HG，∠BGD＝120°，
∴点B，点D，点H在以G为圆心，BG为半径的圆上，
∵∠BGD＝120°，∠BAC＝60°，
∴点A在以G为圆心，BG为半径的圆上，
∵∠BGD+∠BGH＝180°，
∴点H，点G，点D共线，
∵∠HBG+∠GBD＝∠HBD＝90°，
∴HD是直径，
∴∠HAD＝90°，
∵HG＝GD，DG⊥AG，
∴S△AGD＝S△AGH＝5，AH＝AD，
∴S△AHD＝10＝×AH×AD，
∴AH＝2，
∴CG＝2．
25．（10分）已知，如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3a，0），B（0，4a），△ABO的面积是6．
（1）求B的坐标．
（2）在x轴的正半轴上有一点C，使∠BAO＝2∠BCA，AB＝5，动点P从A出发，沿线段AC运动，速度为每秒1个单位长度，设点P的运动时间为t，△BCP的面积为S，用含t的式子来表示S．
（3）在（2）的条件下，在P出发的同时，Q从B出发．沿着平行于x轴的直线，以每秒2个单位长度的速度匀速向右运动，在y轴上是否存在一点R，使△PQR为以PQ为腰的等腰直角三角形，求出满足条件的t，并直接写出点R的坐标．
【分析】（1）由三角形面积公式可求a的值，即可求点B坐标；
（2）在OC上截取AO＝DO，先求出点C坐标，可得AC＝11，由三角形面积公式可求解；
（3）分两种情况讨论，由等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质可求解．
【解答】解：（1）∵A（﹣3a，0），B（0，4a），
∴a＞0，OB＝4a，AO＝3a，
∵△ABO的面积是6．
∴6＝×4a×3a，
∴a＝1
∴点B（0，4），A（﹣3，0）；
（2）如图1，在OC上截取AO＝DO，
∵A（﹣3，0），
∴AO＝DO＝3，且BO⊥AD，
∴AB＝BD＝5，
∴∠BAC＝∠BDA，且∠BAC＝2∠BCA，
∴∠BDA＝2∠BCA＝∠BCA+∠DBC
∴∠BCD＝∠DBC，
∴BD＝CD＝5，
∴OC＝8，
∴点C（8，0）
∴AC＝OC+AO＝11，
∴S＝×CP×BO＝×（11﹣t）×4＝22﹣2t；
（3）如图2，当∠RQP＝90°，PQ＝RQ时，过点Q作QH⊥x轴于H，
∵Q从B出发．沿着平行于x轴的直线，
∴BQ∥AH，且BO∥QH
∴四边形BOHQ是平行四边形，∠BQP＝∠QPH，
∴BO＝QH＝4，BQ＝OH，
∵∠RQP＝90°，
∴∠RQB+∠BQP＝90°，且∠RQB+∠BRQ＝90°，
∴∠BRQ＝∠BQP＝∠QPH，且RQ＝PQ，∠RBQ＝∠PHQ＝90°，
∴△RQB≌△PQH（AAS）
∴BQ＝QH＝4，BR＝PH，
∴t＝＝2，
∴AP＝2×1＝2，
∴PH＝3+4﹣2＝5，
∴BR＝5，
∴点R（0，9）；
如图3，当∠RPQ＝90°，PQ＝PR时，
同理可证：△OPR≌△HQP（AAS）
∴QH＝OP＝4，OR＝PH
∴AP＝7，
∴t＝＝7s，
∴BQ＝2×7＝14＝OH，
∴PH＝10，
∴OR＝10，
∴点R（0，10）
综上所述：当t＝2或7秒时，△PQR为以PQ为腰的等腰直角三角形．