金台区2022届高三教学质量检测试题
理科数学
注意事项：1. 答卷前，考生将答题卡有关项目填写清楚。
2. 全部答案在答题卡上作答，答在本试题上无效。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设复数，则（ ）
A． B． C． D．
2．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．若命题：，，命题： ，，则下列命题中是
真命题的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，为非零常数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．在长方体中，，，点在上，点
在上，，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往该地区三个红色教育基地进行“学
党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务.若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往同一基地，则不同的分配方案共有（ ）
A． 18种 B．36种 C．72种 D．144种
7．已知曲线：，：，则下面结论正确的是（ ）
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到曲线
B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到曲线
8．往正方体的外接球内随机放入个点，恰有个点落入该正方体内，则的近似值为（ ）
A． B． C． D．
9．在东京奥运会乒乓球男单颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度为的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），则旗杆的高度为（ ）
A．27米 B．9米 C．米 D．米
10．已知函数有两个极值点，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知椭圆，分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点，使得，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知是自然对数的底数，是圆周率，则，，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的实轴长为____.
14．已知向量，，，且，则实数_______.
15．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为_______.
16．甲、乙、丙三个几何体的主视图和俯视图分别相同如图（1），左视图分别如图（2）中的三个视图，则这三个几何体中体积最大的是_______（填甲、乙或丙），且其表面积为 .
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第1721题为必考题，每个考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）2021年9月15日20时，中华人民共和国第十四届运动会在西安奥体中心体育场盛大开幕，会歌《追着未来出发》将百年梦想与健康中国高度融合，标志着我国竞技体育水平的提高以及对竞技体育的重视，也激励着广大体育爱好者为梦前行。少年有梦，不应止于心动，更要付诸于行动，某篮球运动爱好者为了提高自己的投篮水平，制定了一个短期训练计划，为了了解训练效果，执行训练前，他统计了10场比赛的得分，计算出得分的中位数为15分，平均得分为15分，得分的方差为42.5分2.执行训练后也统计了10场比赛的得分，分别为：14、9、16、21、18、8、12、23、14、15（单位：分）.
（1）请计算该篮球运动员执行训练后统计的场比赛得分的中位数、平均得分与方差.
（2）如果仅从执行训练前后统计的各场比赛得分数据分析，你认为训练计划对该运动员的投篮水平的提高是否有帮助？为什么
18.（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，
，为的中点，为的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
19.（12分）已知数列满足且
数列是等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
20.（12分）已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
21.（12分）过点的任一直线与抛物线交于两点，且.
（1）求的值.
（2）已知为抛物线上的两点，分别过作抛物线的切线，且，求证：直线过定点.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分，作答时请写清题号.
22.（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）将的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点的直角坐标为，为上的动点，点满足，写出的轨迹的参数方程，并判断与是否有公共点．
23.（10分）[选修4-5：不等式选讲] 已知不等式.
（1）当时,求不等式的解集.
（2）若不等式的解集为,求的取值范围.
高三教学质量检测理科数学试题 第 5 页 共 5 页2022届高三教学质量检测理科数学答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．D 本题考查复数的共轭及乘法运算.
解：由题知.
2．A 本题考查集合的运算.
解：任取，则，其中，所以，，故，
因此，.故选：A.
3．C 本题考查命题的真假，或且非命题的真值表.
解：因为，所以，，故命题是假命题；
命题q： ，， q是真命题，所以是真命题.
4．C 本题考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
解：由题意可得，
对于A，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
对于B，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于C，是奇函数；
对于D，不是奇函数；
故选：C
5．A 本题考查空间位置关系，建立空间直角坐标系，结合向量的夹角公式，即可求得异面
直线所成角．
解：以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系，
可得，，， ，
则，，所以．
故选：A．
6．B 本题考查分类和分步计数原理.
解：考虑甲乙特殊，若三组人数为，则甲乙还需一名成员，故不同的分配方案有；
若三组人数为，则甲乙为一组，不同的分配方案有，所以共计种.
7．C 本题考查三角函数的周期变化和平移变换及诱导公式应用.
解：，由上各点的横坐标缩短到原来的倍得到，再将曲线向左平移个单位得到.
8．D 本题考查几何概型原理及正方体的外接球的概念.
解：设正方体的棱长为，则正方体的体积为，正方体的体对角线长为，
设外接球的半径为R，所以，则，所以外接球的体积为，所以恰有个点落入该正方体内概率为，解得.
9．A 本题考查利用正弦定理求解．
解：依题意可知， ，
∴，由正弦定理可知，∴米，
∴在中，米.
10．B 本题考查求出导函数，题意说明有两个不等实根，转化为，设，即直线与的图像有两个交点，求导分析，即得解.
解：由题意有两个不等实根，，
设，，
当时，，递增，
当时，，递减，
时，为极大值也是最大值，
时，，且，
当时，，
所以当，即时，直线与的图象有两个交点，即有两个不等实根．
11．D 本题考查结合椭圆定义求出焦半径，利用可得离心率的不等关系，求得其范围．
解：
所以，又，所以，．
12．B 本题考查由在R上是增函数，得到与，和 与的大小，构造函数，利用其单调性得到与的大小，构造函数，利用其单调性得到与的大小即可.
解：因为在R上是增函数，所以，
设函数，则，当时，，则是增函数，
又，所以，即，则，
设函数，则，当时，，则是减函数，
所以，即，即，则，所以．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.． 考查双曲线的标准方程、渐近线及相关概念，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
解：由条件可知该双曲线的渐近线与轴夹角小于45度,由 得，实轴长.
14. 2 ． 考查向量的加减及数量积的运算，考查数学运算的核心素养.
解：由得，即，得
15. ．考查余弦定理和解三角形有关知识，考查逻辑推理和数学运算的核心素养.
解：由余弦定理得：，则，解得：，
16. 丙（3分）， （2分，不带单位不给分）
考查三视图，考查直观想象的核心素养.
解：由三视图还原甲、丙几何体如下图，乙（略）
，，
，，
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.本题考查中位数、平均得分与方差的求法，考查数学运算及数据分析的核心素养.
解：（1）训练后得分的中位数为， ……… 2分
平均得分为：（分） ……… 4分
方差为：
（） ……… 6分
（2）尽管中位数训练后比训练前稍小，但平均得分一样，训练后方差小于训练前方差,说明训练后得分稳定性提高了，这是投篮水平提高的表现，故此训练计划对该运动员的投篮水平的提高有帮助. ……… 12分
18. 本题考查空间中线面位置关系的判定及几何体体积的求法，考查直观想象的核心素养.
解：（1）因为底面是菱形，，所以为等边三角形，
所以平分，所以，
所以， ………3分
又因为平面，所以，且，
所以平面，又平面， ………5分
所以平面平面； ………6分
（2）据题意，建立空间直角坐标系如图所示：
因为，所以
所以，
设平面一个法向量为，平面一个法向量为，
因为，，
所以，取，所以，所以， ………8分
又因为，，
所以，取，则，所以，……10分
所以， ……… 11分
所以平面与平面的夹角的余弦值为. ………12分
19.本题主要考查等差数列及裂项相消法求和，考查了逻辑推理和数学运算的核心素养.
解：（1）由可得， ……… 2分
∴等差数列是以1为首项，1为公差， ……… 4分
∴，得. ……… 6分
（2）由（1）可得， ……… 9分
∴. ……… 12分
20.本题考查了利用导数求函数的单调性、最值问题、零点问题，考查学生的等价转化思想以及数学运算、逻辑推理及数学建模的核心素养.
解：（1）函数的定义域为，
……… 2分
若，则,所以单调递减. ……… 3分
若，则由得.
当时，；
当时，.
所以，单调递减，在单调递增. ……… 5分
（2）若，由（1）可知，最多只有1个零点. ……… 6分
若，由（1）可知，时取得最小值，
最小值为. ……… 8分
设，，所以在上单调递增,
又，所以当且仅当时，即时,.
………10分
而，
所以在有1个零点.
在上，由指数爆炸可知，当时，，
所以在有1个零点.
综上，的取值范围为. ……… 12分
21.本题主要考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，定点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想的应用，考察的核心素养是数学运算、逻辑推理.
解：（1）设，直线的方程为，与抛物线方程联立，
整理可得
所以，，
所以，
所以， ………4分
（2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设，则抛物线在点处的切线方程为… 6分
从而同理，
因为，所以，即， ……… 8分
又，
从而直线的方程为：， ……… 10分
将带入化简得：，
所以，直线恒过定点. ……… 12分
22.本题考查参数方程的求解，考查的核心素养逻辑推理、直观想象和数学运算.
解：（1）由曲线C的极坐标方程可得，
将代入可得，即，
即曲线C的直角坐标方程为； ……… 5分
（2）设，设
，
，
则，即，
故P的轨迹的参数方程为（为参数） ……… 8分
曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为1，
则圆心距为，，两圆内含，故曲线C与没有公共点.
……… 10分
23.本题考查绝对值不等式求解及恒成立问题，主要考查分类讨论、数形结合的思想及逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养.
解：（1）令,
则= ……… 2分
因为,所以当≤时,由,解得x≤；
当时,由,解得≤
当时,由,解得.
综上得,所求不等式的解集为. ……… 5分
（2）由（1）作函数的图像,点, ……… 8分
令,则其过定点,如图所示,
由不等式的解集为,
可得-4≤<,即-4≤.
所以,所求实数的取值范围为. ……… 10分
理6
