第23章 旋转 单元综合与测试A卷（含答案）

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人教版九年级上册 第23章旋转 单元综合与测试 A卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1、下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2、在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是 ( )
（－2，－3） B．（－3，－2）
C．（－2，3） D．（－3，2）
3、如图，香港特别行政区区徽中的紫荆花图案，该图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（　　）
A．45° B．60° C．72° D．108°
4、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′(点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′)，连接CC′，若∠CC′B′=33°，则∠B的大小是(　　)
A．33° B．45° C．57° D．78°
5、已知下列命题：（ ）
①关于中心对称的两个图形一定不全等
②关于中心对称的两个图形是全等形
③两个全等的图形一定关于中心对称
其中真命题的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
6、如图，△ABC中，∠C=70°，∠B=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB C ，且C 在边BC上，则∠B C B的度数为（ ）
A．30° B．40° C．46° D．60°
7、如图，在矩形ABCD中，AD=4，DC=3，将△ADC按逆时针绕点A旋转到△AEF（A、B、E在同一直线上），连接CF，则CF的长为（ ）
A． B．5 C．7 D．
8、如图，是用围棋子摆出的图案，围棋子的位置用有序数对表示，如：A点在（5，1），若再摆放一枚黑棋子，要使8枚棋子组成的图案是轴对称图形，则下列摆放错误的是（　　）
A．黑（2，3） B．黑（3，2） C．黑（3，4） D．黑（3，1）
9、如图所示，在等边△ABC中，点D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕着点B逆时针旋转60 ，得到△BAE，连接ED，则下列结论中：①AE∥BC；②∠DEB=60 ；③∠ADE=∠BDC，其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
10、如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣5）（0≤x≤5），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2， 交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3， 交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一“波浪线”，若点P（2018，m）在此“波浪线”上，则m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣6 D．6
填空题（每小题3分，共24分）
11、如图，已知△ABC，D是AB上一点，E是BC延长线上一点，将△ABC绕点C顺时针方向旋转，恰好能与△EDC重合．若∠A＝33°，则旋转角为_____°．
12、如图，将平行四边形ABCD绕点D旋转，点C落在BC上的点H处，点B恰好落在点A处，得平行四边形DHAE，若BH=2，CH=3，则DC=_____．
13、如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，若AC＝AD，且∠ACD＝60°，则对角线BD的长的最大值为_____．
14、如图所示的四个两两相联的等圆，是我国“一汽”生产的大众汽车的车牌标志，右边的三个圆环可以看做是左边的圆环经过________ 得到的．
15、如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是_______（结果用含、代数式表示）.
16、若点与点关于原点对称，则_________.
17、在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，三颗棋子 A，O，B 的位置如图所示，它们的坐标分别是（﹣1，1），（0，0）和（1，0），在其他点位置添加一颗棋子 P，使 A，O，B，P 四颗棋子成为一个中心对称图形，请写出棋子 P 的位置坐标_____（写出 1 个即可）．
18、如图所示，两个边长都为4cm的正方形ABCD和正方形OEFG，O是正方形ABCD的对称中心，则图中阴影部分的面积为_______cm2．
三、解答题（共66分）
19、（8分）如图，△ABC绕点O旋转后，顶点A的对应点为A′，试确定旋转后的三角形．
20、（8分）如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上，若∠A＝25°，∠BCA′＝45°，求∠A′BA的度数．
21、（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．
(1)求证：AD⊥EF；
(2)求CG的长．
22、（10分）如图，四边形ABCD是正方形，△ADF绕着点A顺时旋转90°得到△ABE，若AF＝4，AB＝7．
（1）求DE的长度；
（2）指出BE与DF的关系如何？并说明由．
23、（10分）如图所示，在中，，，、分别是、边的中点.将绕点顺时针旋转角，得到（如图所示）.
（1）探究与的数量关系，并给予证明；
（2）当时，试求旋转角的度数.
24、（10分）如图，已知，是线段上的两点，，，，以为中心顺时针旋转点，以为中心逆时针旋转点，使，两点重合成一点，构成，设．
（1）求的取值范围；
（2）求面积的最大值．
25、（12分）两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．
（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为______和位置关系为______；
（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；
（3）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．
参考答案：
一、1、C 2、C 3、C 4、D 5、A 6、B 7、A 8、A 9、A 10、C
二、11、82°
10
平移
a+8b
2
（0，1）．
4
三、解答题
19、见解析.
【分析】
连接AO，OA′，则∠AOA′就是旋转角，点A′就是A点旋转后的对应点，作∠AOA′=∠BOB′，且OB=OB′，点B′就是B点旋转后的对应点，则按照此方法可找到C的对应点C′．顺次连接，即可得到旋转后的三角形．
【详解】
如图所示：
【点睛】
本题考查旋转作图．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
20、40°
【解析】
【分析】
先利用旋转的性质得∠A′＝∠A＝25°，∠ABC＝∠B′，CB＝CB′，再利用等腰三角形的性质得∠B′＝∠CBB′，则根据三角形外角性质得∠CBB′＝70°，所以∠B′＝∠ABC＝70°，然后利用平角定义计算∠A′BA的度数．
【详解】
∵△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上，
∴∠A′＝∠A＝25°，∠ABC＝∠B′，CB＝CB′，
∴∠B′＝∠CBB′，
∵∠CBB′＝∠A′+∠BCA′＝25°+45°＝70°，
∴∠B′＝70°，
∴∠ABC＝70°，
∴∠A′BA＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
21、(1)证明见解析；(2)CG= 12.5．
【分析】
（1）由平移的性质可知：AB∥DF，再利用平行线的性质即可证明；
（2）先判断出∠ADE=∠ACB，进而得出△ADE∽△ACB，得出比例式求出AE，即可得出结论．
【详解】
(1)∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，
∴∠DAB=90°，
∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到，
∴AB∥EF，
∴∠ADF+∠DAB=180°，
∴∠ADF=90°，
∴AD⊥EF；
(2)由平移的性质得，AE∥CG，AB∥EF，
∴∠DEA=∠DFC=∠ABC，∠ADE+∠DAB=180°，
∵∠DAB=90°，
∴∠ADE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ADE=∠ACB，
∴△ADE∽△ACB，
∴=，
∵AC=8，AB=AD=10，
∴AE=12.5，
由平移的性质得，CG=AE=12.5．
【点睛】
此题主要考查了图形的平移与旋转，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，判断出△ADE∽△ACB是解本题的关键．
22、（1）3；（2）BE＝DF，BE⊥DF．
【分析】
（1）根据旋转的性质可得AE＝AF，AD＝AB，然后根据DE＝AD﹣AE计算即可得解；
（2）根据旋转可得△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝DF，全等三角形对应角相等可得∠ABE＝∠ADF，然后求出∠ABE+∠F＝90°，判断出BE⊥DF．
【详解】
解：（1）∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，
∴AE＝AF＝4，AD＝AB＝7，
∴DE＝AD﹣AE＝7﹣4＝3；
（2）BE、DF的关系为：BE＝DF，BE⊥DF．理由如下：
∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF，
∵∠ADF+∠F＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABE+∠F＝90°，
∴BE⊥DF，
∴BE、DF的关系为：BE＝DF，BE⊥DF．
【点睛】
考查了旋转的性质，正方形的性质，是基础题，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．
23、（1），详见解析；（2）
【分析】
由于，，D、E分别是AB、AC边的中点，则，再根据旋转的性质得到，，，则，根据三角形全等的判定方法可得到≌，则有；
由于，根据平行线的性质得到，又因为，根据含的直角三角形三边的关系得到，利用互余即可得到旋转角的度数．
【详解】
证明： 理由如下：
，，D，E 分别是 ， 边的中点， ，
绕点 A 顺时针旋转 角 ，得到 ， ，，，
，
在 和 中，
，
；
，
，
在 中，
，
．
．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形，掌握旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形是解决问题的关键．
24、（1）；（2）．
【分析】
（1）由旋转可得到AC=MA=x，BC=BN=3-x，利用三角形三边关系可求得x的取值范围；
（2）过点C作CD⊥AB于D，设CD=h，利用勾股定理表示出AD、BD，再根据BD=AB-AD列方程求出h2，然后求出△ABC的面积的平方，再根据二次函数的最值问题解答．
【详解】
解：（1）∵，，，
∴．
由旋转的性质，得，，
由三角形的三边关系，得
解不等式①得，
解不等式②得，
∴的取值范围是．
（2）如图，过点作于点，
设，由勾股定理，得，，
∵，
∴，两边平方并整理，得，两边平方整理，得．
∵的面积为，
∴，
∴当时，面积最大值的平方为，
∴面积的最大值为．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，三角形的三边关系，勾股定理，二次函数的最值问题，（1）难点在于考虑利用三角形的三边关系列出不等式组，（2）难点在于求解利用勾股定理列出的无理方程．
25、（1）相等，垂直．（2）成立，证明见解析；（3）成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．
【详解】
试题分析：（1）证AD=BE，根据三角形的中位线推出FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，即可推出答案；
（2）证△ACD≌△BCE，推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案；
（3）连接BE、AD，根据全等推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案．
试题解析：
（1）解：∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，
∴BE=AD，
∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，
∴FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，
∴FH=FG，
∵AD⊥BE，
∴FH⊥FG，
故答案为相等，垂直．
（2）答：成立，
证明：∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，
∴△ACD≌△BCE
∴AD=BE，
由（1）知：FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，
∴FH=FG，FH⊥FG，
∴（1）中的猜想还成立．
（3）答：成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．
连接AD，BE，两线交于Z，AD交BC于X，
同（1）可证
∴FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，
∵三角形ECD、ACB是等腰直角三角形，
∴CE=CD，AC=BC，∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，∠EBC=∠DAC，
∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB，
∴∠DXB+∠EBC=90°，
∴∠EZA=180°﹣90°=90°，
即AD⊥BE，
∵FH∥AD，FG∥BE，
∴FH⊥FG，
即FH=FG，FH⊥FG，
结论是FH=FG，FH⊥FG.
【点睛】运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的中位线定理，旋转的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键．
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