第23章 旋转 单元综合与测试 C卷（含答案）

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人教版九年级上册 第23章旋转 单元综合与测试 C卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1、如图，香港特别行政区区徽中的紫荆花图案，该图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（　　）
A．45° B．60° C．72° D．108°
2、下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3、在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（　　）
点A B．点B
C．点C D．点D
4、在平面直角坐标系中，把点P（﹣5，4）向右平移9个单位得到点P1，再将点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是（　 　）
A．（4，﹣4） B．（4，4） C．（﹣4，﹣4） D．（﹣4，4）
5、如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )
A．68° B．20° C．28° D．22°
6、把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝4，CD＝5．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图2），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（ ）
A． B． C． D．4
7、如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影凃在图中标有数字（　　）的格子内．
A．1 B．2 C．3 D．4
8、如图，将△ABC绕点C（0，-1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（ ）
A．（-a，-b） B．（-a，-b-1） C．（-a，-b+1） D．（-a，-b-2）
9、有两个全等的含30°角的直角三角板重叠在一起，如图，将△A′B′C′绕AC的中点M转动，斜边A′B′刚好过△ABC的直角顶点C，且与△ABC的斜边AB交于点N，连接AA′、C′C、AC′．若AC的长为2，有以下五个结论：①AA′=1；②C′C⊥A′B′；③点N是边AB的中点；④四边形AA′CC′为矩形；⑤A′N=B′C=，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10、如图，将△ABC绕顶点C旋转得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上．若∠A=25°，∠BCA′=45°，则∠A′BA等于( )
A．40° B．35° C．30° D．45°
填空题（每题3分，共24分）
11、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（，1），将OA绕原点逆时针方向旋转90°得OB，则点B的坐标为_____．
12、如图，等边△AOB绕点O逆时针旋转到△A′OB′的位置，∠A′OB＝80°，则△AOB旋转了_____度．
13、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2cm．现在将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C′，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长度为_____．
14、如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，求点B′的坐标．
15、在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（2，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是_____．
16、如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是AB上异于A，B的一动点，将△ACD绕点C逆时针旋转60°得△BCE，则旋转过程中△BDE周长的最小值_____
17、如图，在平面直角坐标系中，，由绕点顺时针旋转而得，则所在直线的解析式是___．
18、如图，已知等边三角形OAB的顶点O（0，0），A（0，3），将该三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转60°，则旋转2018次后，顶点B的坐标为_____．
三、解答题（共66分）
19、（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）
（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于原点对称；
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出线段OB旋转到OB2扫过图形的面积．
20、（8分）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，点A与点C是对应点．
（1）画出△OAB关于点O对称的图形（保留画图痕迹，不写画法）；
（2）若∠A=110°，∠D=40°，求∠AOD的度数．
21、（8分）如图所示：已知∠ABC＝120°，作等边△ACD，将△ACD旋转60°，得到△CDE，AB＝3，BC＝2，求BD和∠ABD．
22、（10分）如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE=AD，连接BE．
（1）哪两个图形成中心对称？
（2）已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；
（3）已知AB=5，AC=3，求AD的取值范围.
23、（10分）如图，正方形ABCD内有一点P，若PA=1，PB=2，PC=3．
(1)画出△ABP绕点B顺时针旋转90°得到的△CBE；
(2)求∠APB度数；
(3)求正方形ABCD的面积．
24、（10分）在△AOB中，C，D分别是OA、OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．如图，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点．求证：
(1)AC′=BD′；
(2)AC′⊥BD．
25、（12分）在中，，，直线经过点，且于点，于点．
（1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：；
（2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
参考答案：
一、1、C 2、D 3、B 4、D 5、D 6、A 7、C 8、D 9、C 10、A
二、11、（﹣1，）
12、140
.
（7，3）
（﹣2，2）．
2+4．
．
（0，﹣3）．
三、解答题
19、(1)答案见解析；（2）答案见解析，．
【分析】
（1）连接AO并延长至A1，使A1O=AO得到点A1，同法作出点B1、C1，顺次连接所得三点，即可得到所求三角形；
（2）过点O在AO的左侧作A2O⊥AO，使A2O=AO得到点A2，同法作出点B2、C2，顺次连接三点，即可得到所求三角形；由题意可知旋转过程中线段OB扫过的图形的面积就是扇形B2OB的面积，由题意可知∠B2OB=90°，再由勾股定理求出OB的长即可求得所求面积了．
【详解】
解：（1）如下图，△即为所求三角形；
（2）①如下图，△即为所求三角形；
②由题意可知：旋转过程中线段OB扫过的图形的面积就是扇形B2OB的面积，
∵∠B2OB=90°，OB=，
∴S扇形B2OB=
∴旋转过程中线段OB扫过的图形的面积为：．
20、（1）详见解析；（2）50°
【解析】
【分析】
（1）延长AO到A′，使OA′=OA，延长BO到B′，使OB′=OB，则△OA′B′满足条件；
（2）根据旋转的性质得∠AOC=80°，∠C=∠A=110°，再利用三角形内角和计算出∠COD，然后计算∠AOC﹣∠COD即可．
【详解】
解：（1）如图，△OA′B′为所作．
（2）∵△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，
∴∠AOC=80°，∠C=∠A=110°，
∴∠COD=180°﹣110°﹣40°=30°，
∴∠AOD=∠AOC﹣∠COD=80°﹣30°=50°．
【点睛】
本题考查作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
21、BD＝5．∠BAD＝60°
【解析】
【分析】
先根据等边三角形的性质得∠ADC＝∠ACD＝60°，由于∠ABC＝120°，根据四边形内角和得到∠BAD+∠BCD＝180°，则∠BAD+∠BCA＝120°，再根据旋转的性质得∠BAD＝∠ECD，DB＝DE，∠BDE＝60°，AB＝CE，于是有∠BCA+∠ECD+∠ACD＝180°，得到B、C、E在同一条直线上，接着证明△BDE为等边三角形得到∠DBE＝60°，所以∠BAD＝∠ABC﹣∠DBE＝60°，BD＝BE＝BC+CE＝BC+AB＝5．
【详解】
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝∠ACD＝60°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BAD+∠BCA＝120°，
∵△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°后到△ECD的位置，
∴∠BAD＝∠ECD，DB＝DE，∠BDE＝60°，AB＝CE，
∴∠BCA+∠ECD＝120°，
∴∠BCA+∠ECD+∠ACD＝180°，
∴B、C、E在同一条直线上．
∵DB＝DE，∠BDE＝60°，
∴△BDE为等边三角形，
∴∠DBE＝60°，
∴∠BAD＝∠ABC﹣∠DBE＝60°，
∴BD＝BE＝BC+CE＝BC+AB＝3+2＝5．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．
22、（1）△ADC和△EDB成中心对称；（2）△ABE的面积为8；（3）2＜AD＜8．
【分析】
（1）直接利用中心对称的定义写出答案即可；
（2）根据成中心对称的图形的两个图形全等确定三角形BDE的面积，根据等底同高确定ABD的面积，从而确定ABE的面积；
（3）可证△ABD≌△CDE，可得AB=CE，AD=DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，即可解题．
【详解】
（1）解：图中△ADC和△EDB成中心对称.
（2）解：∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，
∴△EDB的面积也为4，
∵D为BC的中点，
∴△ABD的面积也为4，
所以△ABE的面积为8
（3）解：∵在△ABD和△CDE中，
∴△ABD≌△CDE（SAS），
∴AB=CE，AD=DE
∵△ACE中，AC﹣AB＜AE＜AC+AB，
∴2＜AE＜8，
∴2＜AD＜8．
【点睛】
本题考查了中心对称的定义，解题的关键是了解中心对称的定义，难度较小．（3）题考查了全等三角形的判定与性质，本题中求证△ABD≌△CDE是解题的关键．
23、(1)画图见解析；(2)∠APB=135°；(3)正方形ABCD的面积为5+2．
【分析】
（1）作∠QBC=∠ABP，BP=BQ=2，连接QC即可得出△BCQ；
（2）先由△BPQ是等腰直角三角形求出∠BQP的度数，再证明∠PQC=90°，即可得出∠BQC的度数，进而得出结论；
（3）如图，作CH⊥BQ交BQ的延长线于H．求出BH，CH，利用勾股定理即可解决问题.
【详解】
(1)作∠QBC=∠ABP，BP=BQ=2，连接QC即可得出△BCQ；
(2)连接PQ，
在Rt△PBQ中∵BP=BQ=2，
∴PQ2=BP2+BQ2=22+22=8，
在△PCQ中，
∵PC=3，QC=AP=1，
∴PC2=PQ2+QC2，
∴△PCQ是直角三角形，∠PQC=90°，
∵BP=BQ=2，∠PBQ=90°，
∴△PBQ是等腰直角三角形，
∴∠BQP=45°，
∵∠PQC=90°，
∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=45°+90°=135°，
∵△BQC由△BPA旋转而成，
∴∠APB=∠BQC=135°．
(3)如图，作CH⊥BQ交BQ的延长线于H，
∵∠BQC=135°，
∴∠CQH=∠QCH=45°，
∴CH=QH，∵CQ=QP=1，
∴CH=QH=，
∴BH=BQ+QH=2+，
在Rt△BCH中，BC===，
∴正方形ABCD的面积为5+2．
【点睛】
本题考查的是作图-旋转变换、勾股定理的逆定理及正方形的性质，熟知图形经过旋转后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．
24、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
(1)由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证出OC′=OD′，由SAS证明△AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可；
(2)由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°，即可得出结论
【详解】
（1）∵将△OCD绕点O顺时针旋转到△，
∴OC=，OD=，∠=∠．
∵OA=OB，C、D为OA，OB的中点，
∴OC=OD，
∴．
在△和△中，，
∴△≌△，
∴=．
（2）延长交于E，交BO于F．
∵△≌△，
∴∠．
又∠AFO=∠BFE，∠，
∴∠．
∴∠BEA=，
∴⊥．
【点睛】
题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
25、（1）详见解析；（2）不成立，理由详见解析
【分析】
（1）由题意首先证明∠DAC=∠BCE，进而利用AAS定理证明，进而进行线段等量代换即可求证；
（2）根据题意首先利用角的等量代换证明和，进而利用AAS定理证明，进而进行线段等量代换即可求证．
【详解】
解：（1）证明：∵，，
∴．
∵，
∴，，
∴．
在和中，
∴，
∴，．
∵，
∴．
（2）不成立．理由如下：
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定及其性质定理以及旋转变换等指数；解题的关键是灵活运用全等三角形的判定定理进行分析解题．
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