人教A版2019 选修二 5.2导数的计算 同步练习
一、单选题
1．（2021高二下·温州期中）若函数 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2021高二下·成都月考）已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2020高二下·横峰月考）函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是（ ）
A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1
4．（2020高二下·横峰月考）下列求导结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021高二下·讷河月考）设函数f(x)＝ ，若f′(－1)＝4，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021高二下·讷河月考）设 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．
7．（2021高二下·深州月考）下列求导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知 ，则下列命题中，正确的命题是（ ）
A．当 ， ，当 ，
B．当 ， ，当 时， 无意义
C．当 时，都有
D．因为 时， 无意义，所以对 不能求导.
二、多选题
9．给出定义：若函数 在 上可导，即 存在，且导函数 在 上也可导，则称 在 上存在二阶导函数，记 ，若 在 上恒成立，则称 在 上为凸函数．以下四个函数在 上不是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2020高二下·宿迁期中）已知 ，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2020高二下·常熟期中）以下函数求导正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
12．（2020高二下·河北期中）若函数 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 具有T性质，下列函数中具有T性质的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2021高二下·讷河月考）已知 ，则 ．
14．（2020高三上·清新月考）已知a，b为正实数，直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，则 的最小值是 .
15．（2020高二下·天津期中） ，若 ，则 ．
16．（2019高二下·牡丹江期末）已知函数f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则a＋b＝ .
四、解答题
17．（2020高二下·横峰月考）求下列函数的导函数
（1） ；
（2） ．
18．（2021高二下·江苏月考）
（1）已知 ，请用导数的定义证明： ；
（2）用公式法求下列函数的导数：① ；② .
19．设函数 ．
（1）求导函数 ；
（2）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求a，b的值．
20．（2020高三上·黄冈月考）若锐角 中，角 所对的边分别为 ，若 的图像在点 处的切线与直线 垂直，求 面积的最大值.
21．（2020高二下·张家港期中）已知 ，函数 的导函数为 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求 的值．
22．（2020高二下·菏泽期中）
（1）函数 的导数为 ，求 ；
（2）设 是函数 图象的一条切线，证明： 与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】因为f（x）=lnx，所以，则，
故答案为：B
【分析】由导数的运算直接求解即可.
2．【答案】B
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】由题意得，令x=1，得，则，所以，则，
故选B.
【分析】由题意结合求导法则先求，再求和
3．【答案】A
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】函数y＝(x2－1)n，可由y＝un，u＝x2－1，利用复合函数求导.
故答案为：A.
【分析】直接根据函数的结构，找到内层函数和外层函数即可得解。
4．【答案】C
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】对于A选项， ，A选项错误；
对于B选项， ，B选项错误；
对于C选项， ，C选项正确；
对于D选项， ，D选项错误.
故答案为：C.
【分析】利用导数的求导法则以及复合函数的求导法则，可判断各选项的正误。
5．【答案】D
【知识点】函数的值；导数的加法与减法法则
【解析】【解答】函数 的导函数 ，因为f′(－1)＝4，即 ，
解得 。
故答案为：D
【分析】利用导数的运算法则求出导函数，再利用代入法结合已知条件，进而求出a的值。
6．【答案】C
【知识点】函数的值；导数的乘法与除法法则
【解析】【解答】 ，故 。
故答案为：C
【分析】利用导数的乘除法运算法则，进而求出导函数，再利用代入法求出导函数的值。
7．【答案】C
【知识点】导数的四则运算；导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则
【解析】【解答】解：A、（x ）′＝1 ，故错误；
B、（3x）′＝3xln3，故错误；
C、符合对数函数的求导公式，故正确；
D、（x2cosx）′＝2xcosx﹣x2sinx，故错误．
故答案为：C．
【分析】利用导数的公式结合导数的运算法则，进而找出导数运算正确的选项。
8．【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；导数的四则运算
【解析】【解答】当 时， ， ；当 时， ， .
故答案为：C.
【分析】根据题意求出导函数的解析式结合导函数的性质对选项逐一判断即可得出答案。
9．【答案】A,D
【知识点】函数的概念及其构成要素；导数的四则运算
【解析】【解答】对于A， ， ，
当 时， ， ，故 不是凸函数；
对于B， ， ，故 是凸函数；
对于C， ，对任意的 ， ，故 是凸函数；
对于D， ，对任意的 ， ，故 不是凸函数．
故答案为：AD．
【分析】根据题意求出函数f(x)的二阶导数并验证并判断出对任意的恒成立，由此对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】A,C
【知识点】导数的四则运算；排列数公式的推导
【解析】【解答】∵ ，
∴
，
∴ ，即A符合题意；
，即B不符合题意，C符合题意；
，D不符合题意，
故答案为：AC.
【分析】利用函数的解析式结合导数的运算法则求出导函数，再利用代入法结合排列数公式，进而找出结论正确的选项。
11．【答案】A,C
【知识点】导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】对A， ，A符合题意
对B， ，B不符合题意
对C，
所以C符合题意
对D， ，D不符合题意
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则结合复合函数求导的运算法则，进而找出函数求导正确的选项。
12．【答案】A,D
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题意 具有T性质，则存在 ， ，使得 .
对于A，因为 ，存在 ， ，使得 ；
对于B，因为 ，不存在 ， ，使得 ；
对于C，因为 ，不存在 ， ，使得 ；
对于D，因为 ，存在 ， ，使得 .
故答案为：AD.
【分析】 由题意可得y=f（x）具有T性质，则存在x1，x2，使得 对选项一一分析，即可得到结论．
13．【答案】-2017
【知识点】函数的值；导数的加法与减法法则
【解析】【解答】 ，故 ，
则 ，解得 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则求出导函数，再利用代入法求出的值。
14．【答案】4
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；基本不等式
【解析】【解答】对 求导得 ，
因为直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，
所以 即 ，
所以 ，所以切点为 ，
由切点 在切线y=x－a上可得 即 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立.
所以 的最小值是4.
故答案为：4.
【分析】由题意结合导数的几何意义、导数的运算可得 、 ，进而可得 ，再利用 ，结合基本不等式即可得解.
15．【答案】1
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】由题意，函数 ，可得 ，
因为 ，可得 ，即 ，解得 .
故答案为： .
【分析】先求导数，然后根据 ，列出方程，即可求解 的值，得到答案．
16．【答案】4
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】 ，由 的图像在 处的切线方程为 ，易知 ，即 ， ，即 ，则 ，故答案为4。
【分析】利用求导的方法求出函数f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率，再利用切点的横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标，再利用点斜式求出函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程，再利用函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，从而求出a,b的值，进而求出a+b的值。
17．【答案】（1）解：
（2）解： ，
所以 .
【知识点】导数的四则运算
【解析】【分析】 （1）根据积的导数和基本初等函数的求导公式求导即可；
（2）根据商的导数和基本初等函数的求导公式求导即可．
18．【答案】（1）证明： ；
（2）解：① ，则 ；
② ，则 ．
【知识点】导数的四则运算
【解析】【分析】（1）由导数定义证明；
（2）根据导数的加法和乘法法则求导。
19．【答案】（1）解：由 ，
得
（2）解：由题意得，切点既在曲线 上，又在切线 上，
将 代入切线方程，得 ，
将 代入函数 ，得 ，
所以 ．
将 代入导函数 中
得 ，
所以
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)根据题意由导数的运算性质整理即可得出答案。
(2)利用切线斜率与导数值的关系即可得出a的值，再由代入计算出b的值即可。
20．【答案】解：
，
依题意，有：
从而有：
由 ，
，
依正弦定理，有 ，
同理 ，
从而有： ，
，
当 时，取到最大值 ，
因此， 的面积最大值为 .
【知识点】导数的四则运算；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】求出函数 的导数 ，则根据题意可知 ，可得 ，根据 可求出 ，根据正弦定理表示出 ，将 面积用关于角A的三角函数表示出来，即可根据 的范围求出最值.
21．【答案】（1）解：若 ，则 ，所以 ，
则 ，即曲线 在点 处的切线斜率为 ，
又 ，
所以所求切线方程为：
（2）解：由 得
，
所以 ， ， ，
因此
.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)利用 ，再结合求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程。
（2）利用函数的解析式结合导数的运算法则求出导函数，进而结合代入法化简求出 的值。
22．【答案】（1）解： ，
则 ，
所以 ；
（2）解：设切点为 ，
∵ ， ，∴切线 的斜率 ，
∴切线 的方程为： ，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
所以 与坐标轴所围成的三角形的面积 ，
因此 与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关．
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求出 ，即得 的值；
（2） 设切点为 ， 先求出切线l的方程为 ，再求出l与坐标轴所围成的三角形的面积S=2，即得证。
1 / 1人教A版2019 选修二 5.2导数的计算 同步练习
一、单选题
1．（2021高二下·温州期中）若函数 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】因为f（x）=lnx，所以，则，
故答案为：B
【分析】由导数的运算直接求解即可.
2．（2021高二下·成都月考）已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】由题意得，令x=1，得，则，所以，则，
故选B.
【分析】由题意结合求导法则先求，再求和
3．（2020高二下·横峰月考）函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是（ ）
A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1
【答案】A
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】函数y＝(x2－1)n，可由y＝un，u＝x2－1，利用复合函数求导.
故答案为：A.
【分析】直接根据函数的结构，找到内层函数和外层函数即可得解。
4．（2020高二下·横峰月考）下列求导结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】对于A选项， ，A选项错误；
对于B选项， ，B选项错误；
对于C选项， ，C选项正确；
对于D选项， ，D选项错误.
故答案为：C.
【分析】利用导数的求导法则以及复合函数的求导法则，可判断各选项的正误。
5．（2021高二下·讷河月考）设函数f(x)＝ ，若f′(－1)＝4，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的值；导数的加法与减法法则
【解析】【解答】函数 的导函数 ，因为f′(－1)＝4，即 ，
解得 。
故答案为：D
【分析】利用导数的运算法则求出导函数，再利用代入法结合已知条件，进而求出a的值。
6．（2021高二下·讷河月考）设 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】函数的值；导数的乘法与除法法则
【解析】【解答】 ，故 。
故答案为：C
【分析】利用导数的乘除法运算法则，进而求出导函数，再利用代入法求出导函数的值。
7．（2021高二下·深州月考）下列求导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】导数的四则运算；导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则
【解析】【解答】解：A、（x ）′＝1 ，故错误；
B、（3x）′＝3xln3，故错误；
C、符合对数函数的求导公式，故正确；
D、（x2cosx）′＝2xcosx﹣x2sinx，故错误．
故答案为：C．
【分析】利用导数的公式结合导数的运算法则，进而找出导数运算正确的选项。
8．已知 ，则下列命题中，正确的命题是（ ）
A．当 ， ，当 ，
B．当 ， ，当 时， 无意义
C．当 时，都有
D．因为 时， 无意义，所以对 不能求导.
【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；导数的四则运算
【解析】【解答】当 时， ， ；当 时， ， .
故答案为：C.
【分析】根据题意求出导函数的解析式结合导函数的性质对选项逐一判断即可得出答案。
二、多选题
9．给出定义：若函数 在 上可导，即 存在，且导函数 在 上也可导，则称 在 上存在二阶导函数，记 ，若 在 上恒成立，则称 在 上为凸函数．以下四个函数在 上不是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】函数的概念及其构成要素；导数的四则运算
【解析】【解答】对于A， ， ，
当 时， ， ，故 不是凸函数；
对于B， ， ，故 是凸函数；
对于C， ，对任意的 ， ，故 是凸函数；
对于D， ，对任意的 ， ，故 不是凸函数．
故答案为：AD．
【分析】根据题意求出函数f(x)的二阶导数并验证并判断出对任意的恒成立，由此对选项逐一判断即可得出答案。
10．（2020高二下·宿迁期中）已知 ，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】导数的四则运算；排列数公式的推导
【解析】【解答】∵ ，
∴
，
∴ ，即A符合题意；
，即B不符合题意，C符合题意；
，D不符合题意，
故答案为：AC.
【分析】利用函数的解析式结合导数的运算法则求出导函数，再利用代入法结合排列数公式，进而找出结论正确的选项。
11．（2020高二下·常熟期中）以下函数求导正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】A,C
【知识点】导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】对A， ，A符合题意
对B， ，B不符合题意
对C，
所以C符合题意
对D， ，D不符合题意
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则结合复合函数求导的运算法则，进而找出函数求导正确的选项。
12．（2020高二下·河北期中）若函数 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 具有T性质，下列函数中具有T性质的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题意 具有T性质，则存在 ， ，使得 .
对于A，因为 ，存在 ， ，使得 ；
对于B，因为 ，不存在 ， ，使得 ；
对于C，因为 ，不存在 ， ，使得 ；
对于D，因为 ，存在 ， ，使得 .
故答案为：AD.
【分析】 由题意可得y=f（x）具有T性质，则存在x1，x2，使得 对选项一一分析，即可得到结论．
三、填空题
13．（2021高二下·讷河月考）已知 ，则 ．
【答案】-2017
【知识点】函数的值；导数的加法与减法法则
【解析】【解答】 ，故 ，
则 ，解得 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则求出导函数，再利用代入法求出的值。
14．（2020高三上·清新月考）已知a，b为正实数，直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，则 的最小值是 .
【答案】4
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；基本不等式
【解析】【解答】对 求导得 ，
因为直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，
所以 即 ，
所以 ，所以切点为 ，
由切点 在切线y=x－a上可得 即 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立.
所以 的最小值是4.
故答案为：4.
【分析】由题意结合导数的几何意义、导数的运算可得 、 ，进而可得 ，再利用 ，结合基本不等式即可得解.
15．（2020高二下·天津期中） ，若 ，则 ．
【答案】1
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】由题意，函数 ，可得 ，
因为 ，可得 ，即 ，解得 .
故答案为： .
【分析】先求导数，然后根据 ，列出方程，即可求解 的值，得到答案．
16．（2019高二下·牡丹江期末）已知函数f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则a＋b＝ .
【答案】4
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】 ，由 的图像在 处的切线方程为 ，易知 ，即 ， ，即 ，则 ，故答案为4。
【分析】利用求导的方法求出函数f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率，再利用切点的横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标，再利用点斜式求出函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程，再利用函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，从而求出a,b的值，进而求出a+b的值。
四、解答题
17．（2020高二下·横峰月考）求下列函数的导函数
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）解：
（2）解： ，
所以 .
【知识点】导数的四则运算
【解析】【分析】 （1）根据积的导数和基本初等函数的求导公式求导即可；
（2）根据商的导数和基本初等函数的求导公式求导即可．
18．（2021高二下·江苏月考）
（1）已知 ，请用导数的定义证明： ；
（2）用公式法求下列函数的导数：① ；② .
【答案】（1）证明： ；
（2）解：① ，则 ；
② ，则 ．
【知识点】导数的四则运算
【解析】【分析】（1）由导数定义证明；
（2）根据导数的加法和乘法法则求导。
19．设函数 ．
（1）求导函数 ；
（2）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求a，b的值．
【答案】（1）解：由 ，
得
（2）解：由题意得，切点既在曲线 上，又在切线 上，
将 代入切线方程，得 ，
将 代入函数 ，得 ，
所以 ．
将 代入导函数 中
得 ，
所以
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)根据题意由导数的运算性质整理即可得出答案。
(2)利用切线斜率与导数值的关系即可得出a的值，再由代入计算出b的值即可。
20．（2020高三上·黄冈月考）若锐角 中，角 所对的边分别为 ，若 的图像在点 处的切线与直线 垂直，求 面积的最大值.
【答案】解：
，
依题意，有：
从而有：
由 ，
，
依正弦定理，有 ，
同理 ，
从而有： ，
，
当 时，取到最大值 ，
因此， 的面积最大值为 .
【知识点】导数的四则运算；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】求出函数 的导数 ，则根据题意可知 ，可得 ，根据 可求出 ，根据正弦定理表示出 ，将 面积用关于角A的三角函数表示出来，即可根据 的范围求出最值.
21．（2020高二下·张家港期中）已知 ，函数 的导函数为 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求 的值．
【答案】（1）解：若 ，则 ，所以 ，
则 ，即曲线 在点 处的切线斜率为 ，
又 ，
所以所求切线方程为：
（2）解：由 得
，
所以 ， ， ，
因此
.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)利用 ，再结合求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程。
（2）利用函数的解析式结合导数的运算法则求出导函数，进而结合代入法化简求出 的值。
22．（2020高二下·菏泽期中）
（1）函数 的导数为 ，求 ；
（2）设 是函数 图象的一条切线，证明： 与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关．
【答案】（1）解： ，
则 ，
所以 ；
（2）解：设切点为 ，
∵ ， ，∴切线 的斜率 ，
∴切线 的方程为： ，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
所以 与坐标轴所围成的三角形的面积 ，
因此 与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关．
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求出 ，即得 的值；
（2） 设切点为 ， 先求出切线l的方程为 ，再求出l与坐标轴所围成的三角形的面积S=2，即得证。
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