人教A版2019必修一2.2基本不等式同步练习
一、单选题
1．（2021高一下·会泽月考）若 且 ，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】对于A，因为 ，所以 ，所以A不正确；
对于B，若 ，由 ，得 ，
所以
当且仅当 时，等号成立，所以B符合题意；
对于C，因为 ，由 ，所以 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，所以C不正确；
对于D，由上面可知 ，则 ，得 ，所以D不正确；
故答案为：B
【分析】首先对已知的代数式进行整理再结合基本不等式求出最小值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
2．（2020高一上·武汉期末）已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．15 B． C．16 D．
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】正实数 ， 满足 ，
则 ，当且仅当 ，即 时等号成立，故 的最小值为 .
故答案为：D.
【分析】首先对已知的代数式解析整理再由基本不等式求出最小值即可。
3．（2021高一下·湖南月考）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值（ ）
A．6 B． C．10 D．
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，所以
所以 ，当且仅当 ， 时取等.
故答案为：D
【分析】由，结合基本不等式得出最小值。
4．（2020高一上·山西月考）已知正数 、 满足 ，则 有（ ）
A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值
【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】∵正数 、 满足 ，
∴ ，当且仅当 时取等号，即 有最大值 ，
故答案为：C.
【分析】利用基本不等式的性质即可得出答案。
5．（2020高一上·河北期中）已知： ，且 ，则 取到最小值时， （ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以 ，
故答案为：B
【分析】首先整理已知的代数式再由基本不等式求出最小值即可。
6．（2020高一上·浙江期中）若正数 满足 ,则 的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 ，当且仅当 时等号成立
故答案为：C
【分析】根据题意整理原式再由基本不等式即可计算出答案。
7．（2020高一上·定远月考）若 ， ，把 ， ， 中最大与最小者分别记为 和 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ， ，所以取 ， ，
可以验证最大者为a+b，其次为 ，最小者为 .
故答案为：A
【分析】根据题意由特殊值法对a、b赋值，对选项逐一分析即可得出结果。
8．（2020高一下·元氏期中）函数 的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
取等号时 ，即 ，
所以 .
故答案为：C.
【分析】将 变形为 ，然后根据基本不等式求解出y的最小值即可.
二、多选题
9．（2020高一上·漳州期末）已知 且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由 得： ， ，∴ ，A符合题意；
由 得： ， ，∴ ，B不符合题意；
由 得： ，C符合题意；
由 得： ，D不符合题意.
故答案为：AC．
【分析】根据题意由不等式的基本性质对选项逐一判断即可得出答案。
10．（2020高一上·上海期中）已知 为非零实数，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】不等式比较大小；基本不等式
【解析】【解答】对于 ，当 时， ，故 不正确；
对于 ， ，即 ，故 正确；
对于 ， ，即 ，故 正确；
对于 ，当 异号时， ，故 不正确.
故答案为：BC
【分析】对于A，当 时， 不正确；对于 ，作差分析可知 正确；对于 ，作差分析可知C符合题意；对于 ，当 异号时， 不正确.
11．（2020高一下·漳州期末）若 ， ，且 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，
所以A不符合题意，BD对；
因为 ，
则 ，
化为： ，当且仅当 时取等号，C对．
故答案为：BCD．
【分析】 根据a＞0，b＞0，且a+b=2，可得ab≤1，然后结合选项分别判断即可．
12．（2020高一上·佛山月考）下列各结论正确的是（ ）
A．“xy>0”是“ >0”的充要条件
B． 的最小值为2
C．命题“ x>1，x2-x>0”的否定是“ x≤1，x2-x≤0”
D．“一元二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1，0)”是“a+b+c=0”的充要条件
【答案】A,D
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】xy>0 >0，A符合题意;
y= ，令t= ≥3，则y=t+ ，且在区间[3，+∞)上，函数值y随自变量x的增大而增大，最小值为3+ ，B不符合题意;
命题“ x>1，x2-x>0”的否定是“ x>1，x2-x≤0”，C不符合题意;
二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1，0)显然有a+b+c=0，反之亦可，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合不等式基本性质和充分条件、必要条件的判断方法推出 “xy>0”是“ >0”的充要条件 ；再利用函数的单调性求出 的最小值 ；再利用全称命题与特称命题互为否定的关系写出命题“ x>1，x2-x>0”的否定；最后利用利用已知条件结合二次函数图象过点结合代入法和充分条件、必要条件的判断方法推出 “二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1，0)”是“a+b+c=0”的充要条件，从而找出正确结论。
三、填空题
13．（2021高一下·衢州月考）已知 ， 且 ，则 的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ， 且 ，
所以 ，当且仅当 ，即
或 时等号成立．
故答案为： ．
【分析】根据题意整理已知的代数式再由基本不等式计算出最小值即可。
14．（2020高一上·河北月考）周长为12的矩形，其面积的最大值为 ；
【答案】9
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】设矩形的长、宽分别为 ，则 ，即 ，矩形面积为 ，当 时，面积的最大值为9，所以答案为9.
【分析】长宽和为定值，积有最大值，当且仅当长宽相等时取等号．
15．（2020高一上·浦东期末）当 时， 的最小值为 .
【答案】3
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由 ，可得 ，则 ，
当且仅当 时，即 等号成立，
所以 的最小值为3.
故答案为：3.
【分析】化简得到，结合基本不等式，即可求解。
16．（2017高一上·南通开学考）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是 ．
【答案】30
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= +4x≥4×2× =240（万元）．
当且仅当x=30时取等号．
故答案为：30．
【分析】本题考查的是函数应用的问题，用基本不等式法去解决最值。
四、解答题
17．（2019高一上·海口月考）
（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
【答案】（1）解：设两个正数为a，b
，则 ，当且仅当 等号成立，
即a=b=6时，它们的和最小，为12.
（2）解： ，则 当且仅当 等号成立
即a=b=9时，它们的积最大，为81.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）两个正数的积为定值，则和有最小值，由基本不等式可得；（2）两个正数的和为定值，则积有最大值，由基本不等式可得．
18．（2020高一上·大名月考）已知 ， ， .
（1）求 的最小值；
（2）求 的最小值.
【答案】（1）解：由 ，得 ,又 ， ，故 ,
故 ，当且仅当 即 时等号成立，∴
（2）解：由2 ,得 ,则 .当且仅当 即 时等号成立.∴
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用基本不等式构建不等式即可得出；（2）由 ，变形得 ，利用“乘1法”和基本不等式即可得出．
19．（2020高一上·无锡期中）已知 ， ，且 ．
（1）求 的最小值；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）解：因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 的最小值为9．
（2）解：因为 ， ，
所以 ，
所以 ．
因为 恒成立，
所以 ，
解得 ，
所以 的取值范围为 ．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1） ，利用基本不等式性质即可求得最小值．（2）利用基本不等式求出 的最小值，代入 求出 的范围即可．
20．（2020高一上·苍南月考）
（1）若正实数 满足 ，求 的最小值；
（2）求函数 的最小值.
【答案】（1）解：因为正实数 满足 ；
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值是9.
（2）解： ，
当且仅当 ，即 时，取等号.
所以函数 的最小值是9.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）将 ，变形为 ，然后利用“1”的代换，将 变形为 ，利用基本不等式求解.（2）将函数 ，变形为 ，利用基本不等式求解.
21．（2020高一上·湛江月考）已知正数x，y满足 ，且 的最小值为k．
（1）求k．
（2）若a，b，c为正数，且 ，证明： ．
【答案】（1）解：正数x，y，且 ，所以 ，
又因为 ， ，所以 ，当且仅当 时取等号，
，故 ；
（2）解：证明：由（1）得 ，因为a，b，c为正数，所以 ①，当且仅当 时取等号，
同理可得 ②，当且仅当 时取等号，
③，当且仅当 时取等号，
①+②+③得 ，当且仅当 时取等号．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1） 利用正数x，y，且 ，再利用均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最小值，进而求出k的值。
（2） 由（1）得 ，因为a，b，c为正数， 再利用均值不等式求最值的方法，从而求出 ①，同理可得 ②和③，再利用求和法得出 的最小值，从而证出 。
22．（2020高一上·池州期中）
（1）若 是正常数， ，求证： (当且仅当 时等号成立)．
（2）求函数 的最小值，并求此时 的值．
【答案】（1）解：
，当且仅当 时，即 时等号成立.
（2）解： ，当且仅当 时，即 时等号成立.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)首先整理化简原式再由基本不等式即可得证。
(2)首先整理化简原式再由(1)的结论即可求出当函数取得最小值时x的值。
1 / 1人教A版2019必修一2.2基本不等式同步练习
一、单选题
1．（2021高一下·会泽月考）若 且 ，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020高一上·武汉期末）已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．15 B． C．16 D．
3．（2021高一下·湖南月考）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值（ ）
A．6 B． C．10 D．
4．（2020高一上·山西月考）已知正数 、 满足 ，则 有（ ）
A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值
5．（2020高一上·河北期中）已知： ，且 ，则 取到最小值时， （ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
6．（2020高一上·浙江期中）若正数 满足 ,则 的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．6
7．（2020高一上·定远月考）若 ， ，把 ， ， 中最大与最小者分别记为 和 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
8．（2020高一下·元氏期中）函数 的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、多选题
9．（2020高一上·漳州期末）已知 且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2020高一上·上海期中）已知 为非零实数，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2020高一下·漳州期末）若 ， ，且 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2020高一上·佛山月考）下列各结论正确的是（ ）
A．“xy>0”是“ >0”的充要条件
B． 的最小值为2
C．命题“ x>1，x2-x>0”的否定是“ x≤1，x2-x≤0”
D．“一元二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1，0)”是“a+b+c=0”的充要条件
三、填空题
13．（2021高一下·衢州月考）已知 ， 且 ，则 的最小值为 .
14．（2020高一上·河北月考）周长为12的矩形，其面积的最大值为 ；
15．（2020高一上·浦东期末）当 时， 的最小值为 .
16．（2017高一上·南通开学考）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是 ．
四、解答题
17．（2019高一上·海口月考）
（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
18．（2020高一上·大名月考）已知 ， ， .
（1）求 的最小值；
（2）求 的最小值.
19．（2020高一上·无锡期中）已知 ， ，且 ．
（1）求 的最小值；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围．
20．（2020高一上·苍南月考）
（1）若正实数 满足 ，求 的最小值；
（2）求函数 的最小值.
21．（2020高一上·湛江月考）已知正数x，y满足 ，且 的最小值为k．
（1）求k．
（2）若a，b，c为正数，且 ，证明： ．
22．（2020高一上·池州期中）
（1）若 是正常数， ，求证： (当且仅当 时等号成立)．
（2）求函数 的最小值，并求此时 的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】对于A，因为 ，所以 ，所以A不正确；
对于B，若 ，由 ，得 ，
所以
当且仅当 时，等号成立，所以B符合题意；
对于C，因为 ，由 ，所以 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，所以C不正确；
对于D，由上面可知 ，则 ，得 ，所以D不正确；
故答案为：B
【分析】首先对已知的代数式进行整理再结合基本不等式求出最小值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】正实数 ， 满足 ，
则 ，当且仅当 ，即 时等号成立，故 的最小值为 .
故答案为：D.
【分析】首先对已知的代数式解析整理再由基本不等式求出最小值即可。
3．【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，所以
所以 ，当且仅当 ， 时取等.
故答案为：D
【分析】由，结合基本不等式得出最小值。
4．【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】∵正数 、 满足 ，
∴ ，当且仅当 时取等号，即 有最大值 ，
故答案为：C.
【分析】利用基本不等式的性质即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以 ，
故答案为：B
【分析】首先整理已知的代数式再由基本不等式求出最小值即可。
6．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 ，当且仅当 时等号成立
故答案为：C
【分析】根据题意整理原式再由基本不等式即可计算出答案。
7．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ， ，所以取 ， ，
可以验证最大者为a+b，其次为 ，最小者为 .
故答案为：A
【分析】根据题意由特殊值法对a、b赋值，对选项逐一分析即可得出结果。
8．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
取等号时 ，即 ，
所以 .
故答案为：C.
【分析】将 变形为 ，然后根据基本不等式求解出y的最小值即可.
9．【答案】A,C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由 得： ， ，∴ ，A符合题意；
由 得： ， ，∴ ，B不符合题意；
由 得： ，C符合题意；
由 得： ，D不符合题意.
故答案为：AC．
【分析】根据题意由不等式的基本性质对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】B,C
【知识点】不等式比较大小；基本不等式
【解析】【解答】对于 ，当 时， ，故 不正确；
对于 ， ，即 ，故 正确；
对于 ， ，即 ，故 正确；
对于 ，当 异号时， ，故 不正确.
故答案为：BC
【分析】对于A，当 时， 不正确；对于 ，作差分析可知 正确；对于 ，作差分析可知C符合题意；对于 ，当 异号时， 不正确.
11．【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，
所以A不符合题意，BD对；
因为 ，
则 ，
化为： ，当且仅当 时取等号，C对．
故答案为：BCD．
【分析】 根据a＞0，b＞0，且a+b=2，可得ab≤1，然后结合选项分别判断即可．
12．【答案】A,D
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】xy>0 >0，A符合题意;
y= ，令t= ≥3，则y=t+ ，且在区间[3，+∞)上，函数值y随自变量x的增大而增大，最小值为3+ ，B不符合题意;
命题“ x>1，x2-x>0”的否定是“ x>1，x2-x≤0”，C不符合题意;
二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1，0)显然有a+b+c=0，反之亦可，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合不等式基本性质和充分条件、必要条件的判断方法推出 “xy>0”是“ >0”的充要条件 ；再利用函数的单调性求出 的最小值 ；再利用全称命题与特称命题互为否定的关系写出命题“ x>1，x2-x>0”的否定；最后利用利用已知条件结合二次函数图象过点结合代入法和充分条件、必要条件的判断方法推出 “二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1，0)”是“a+b+c=0”的充要条件，从而找出正确结论。
13．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ， 且 ，
所以 ，当且仅当 ，即
或 时等号成立．
故答案为： ．
【分析】根据题意整理已知的代数式再由基本不等式计算出最小值即可。
14．【答案】9
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】设矩形的长、宽分别为 ，则 ，即 ，矩形面积为 ，当 时，面积的最大值为9，所以答案为9.
【分析】长宽和为定值，积有最大值，当且仅当长宽相等时取等号．
15．【答案】3
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由 ，可得 ，则 ，
当且仅当 时，即 等号成立，
所以 的最小值为3.
故答案为：3.
【分析】化简得到，结合基本不等式，即可求解。
16．【答案】30
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= +4x≥4×2× =240（万元）．
当且仅当x=30时取等号．
故答案为：30．
【分析】本题考查的是函数应用的问题，用基本不等式法去解决最值。
17．【答案】（1）解：设两个正数为a，b
，则 ，当且仅当 等号成立，
即a=b=6时，它们的和最小，为12.
（2）解： ，则 当且仅当 等号成立
即a=b=9时，它们的积最大，为81.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）两个正数的积为定值，则和有最小值，由基本不等式可得；（2）两个正数的和为定值，则积有最大值，由基本不等式可得．
18．【答案】（1）解：由 ，得 ,又 ， ，故 ,
故 ，当且仅当 即 时等号成立，∴
（2）解：由2 ,得 ,则 .当且仅当 即 时等号成立.∴
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用基本不等式构建不等式即可得出；（2）由 ，变形得 ，利用“乘1法”和基本不等式即可得出．
19．【答案】（1）解：因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 的最小值为9．
（2）解：因为 ， ，
所以 ，
所以 ．
因为 恒成立，
所以 ，
解得 ，
所以 的取值范围为 ．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1） ，利用基本不等式性质即可求得最小值．（2）利用基本不等式求出 的最小值，代入 求出 的范围即可．
20．【答案】（1）解：因为正实数 满足 ；
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值是9.
（2）解： ，
当且仅当 ，即 时，取等号.
所以函数 的最小值是9.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）将 ，变形为 ，然后利用“1”的代换，将 变形为 ，利用基本不等式求解.（2）将函数 ，变形为 ，利用基本不等式求解.
21．【答案】（1）解：正数x，y，且 ，所以 ，
又因为 ， ，所以 ，当且仅当 时取等号，
，故 ；
（2）解：证明：由（1）得 ，因为a，b，c为正数，所以 ①，当且仅当 时取等号，
同理可得 ②，当且仅当 时取等号，
③，当且仅当 时取等号，
①+②+③得 ，当且仅当 时取等号．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1） 利用正数x，y，且 ，再利用均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最小值，进而求出k的值。
（2） 由（1）得 ，因为a，b，c为正数， 再利用均值不等式求最值的方法，从而求出 ①，同理可得 ②和③，再利用求和法得出 的最小值，从而证出 。
22．【答案】（1）解：
，当且仅当 时，即 时等号成立.
（2）解： ，当且仅当 时，即 时等号成立.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)首先整理化简原式再由基本不等式即可得证。
(2)首先整理化简原式再由(1)的结论即可求出当函数取得最小值时x的值。
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