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北师版九年级上册数学4.8.2 平面直角坐标系中的位似变换
教学设计
课题 4.8.2 平面直角坐标系中的位似变换 单元 第四单元 学科 数学 年级 九
学习目标 1.理解图形在平面直角坐标系中的相似变换方法与性质;2.会在平面直角坐标系中的进行图形的相似变换,掌握在平面直角坐标系中相似变换的坐标关系;3.了解伸缩变换与反向位似图形的概念。
重点 图形在平面直角坐标系中的相似变换方法与性质。
难点 在平面直角坐标系中的进行图形的相似变换,以及平面直角坐标系中相似变换的坐标关系。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 教师提问：1.什么是位似多边形？两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似多边形.2.怎样判断两个图形是不是位似图形？一是这两个图形是相似的；二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点． 3.怎样画位似图形？第一步：确定位似中心O(位似中心可以在图形外部，也可以在图形内部，还可以在图形的边上，还可以在某一个顶点上)；第二步；画出图形各顶点与位似中心O的连线；第三步：按相似比取点；第四步：顺次连接各点，所得的图形就是所求的图形．我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转 (中心对称). 那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？ 学生认真思考回答问题。 通过复习位似图形的性质.为在平面直角坐标系中进一步探究位似与坐标的关系做好准备。
讲授新课 如图，在平面直角坐标系中， △OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（2，3）（1）将O，A，B的横、纵坐标都乘2，得到三个点，以这三个点为顶点的三角形与△OAB位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比.△O'A'B'与△OAB位似位似中心是原点相似比为2（2）如果将O，A，B的横、纵坐标都乘-2，得到三个点，以这三个点为顶点的三角形与△OAB位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比.△O1A1B1与△OAB位似位似中心是原点相似比为2如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（4，2），B（8，6），C（6，10），D（-2，6），将A,B,C,D的横坐标、纵坐标都乘，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD位似吗？将A,B,C,D的横坐标、纵坐标都乘-，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD位似吗？【总结归纳】在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是原点，它们的相似比为│k│.【例2】在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O (0，0)，A (6，0)，B (3，6)，C (－3，3). 以原点O为位似中心，画出四边形OABC的位似图形，使它与四边形OABC的相似是 2 : 3.分析：为了使画出的四边形与原四边形的相似比是2∶3，可以将原四边形每个顶点的横、纵坐标都乘 ，或都乘-试着自己画一画！通过画图你能总结出什么规律？一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点 (x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或 (－kx，－ky). 通过小组合作的形式完成前三个问题,给学生充分的思考、交流、展示的时间。第四个问题让学生完全独立完成,加深理解,掌握作图方法,并进一步归纳出规律(学生用自己的语言描述即可)。学生动手在直角坐标系中自己创作一个多边形,并将黄纵坐标都乘以一个数,得到新坐标,画出新多边形,判断两个多边形是否为位似图形,并求出位似中心和相似比。学生在教师的引导下总结归纳。学生利用所学知识画图。学生总结规律。 在坐标系将坐标按要求乘正值变换后.体会新图形与原图形的位似关系。在坐标系将坐标按要求乘正值变换后.体会新图形与原图形的位似关系。学生很容易将一开始总结出来的方法用在这两个问题上。课件展示作图的步骤及过程,不仅能吸引学生的注意力,同时,让学生学会听课,观察,对比。通过仔细观察,对比自己的作图过程,掌握在直角坐标系中做多边形位似图形的方法,并能对作图方法进行初步归纳(用自己的语言描述)。通过问题 引导学生初步发现规律。这一环节一定要让学生亲自动手,教师要特别关注学生的动手操作过程,对于在作图中出现的问题要及时给于解决。
课堂练习 1.如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A(－2，－1)，B(－2，－3)，O(0，0)，△A1B1O1的顶点坐标分别为A1(1，－1)，B1(1，－5)，O1(5，1)，△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为(-5，-1)．2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，4)，过点A作AB⊥x轴于点B. 将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，则CD的长度是( A )A．2 B．1 C．4 D．33.在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(1，2)，B(0，3)，以O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若B点的对应点B′的坐标为(0，－6)，则A点的对应点A′的坐标为( A )A．(－2，－4) B．(－4，－2) C．(－1，－4) D．(1，－4)4.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(－3，－3)，点B(－1，－3)，点C(－1，－1)．(1)画出△ABC；(2)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1点的坐标：(－3，3)；(3)以O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的两倍，得到△A2B2C2，并写出A2点的坐标：(6，6). 5.如果两个一次函数y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2满足k1＝k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”. 如图，已知函数y＝－2x＋4的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，一次函数y＝kx＋b与y=-2x＋4是“平行一次函数”．(1)若函数y＝kx＋b的图象过点(3，1)，求b的值；解：由已知得k＝-2，把点(3，1)的坐标和k＝-2代入y＝kx＋b，得1＝-2×3＋b，∴b＝7.(2)若函数y＝kx＋b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形，位似中心为原点，相似比为1∶2，求函数y＝kx＋b的表达式．解：根据相似比为1∶2得函数y＝kx＋b的图象有两种情况：①不经过第三象限时，过点(1，0)和(0，2)，这时表达式为y＝－2x＋2；②不经过第一象限时，过点(－1，0)和(0，－2)，这时表达式为y＝－2x－2.6.【2020·重庆】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，2)，B(1，1)，C(3，1)，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2∶1，则线段DF的长度为( D )A. B．2 C．4 D．27.【2020·嘉兴】如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0，0)，A(4，3)，B(3，0)．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的相似比为 的位似图形△OCD，则点C的坐标为( B )A.（-1，-1）B.（）C.（ ）D.（-2，-1） 通过题目，继续引导学生关注平面直角坐标系中当两个图以原点o为位似中心时,其相似比和坐标之间的关系，同时通过练习，让学生学会分析问题、解决问题,进一步培养学生逆向思维的能力,巩固加深学生对本节知识的理解和掌握。
课堂小结 本节课你学到了什么？1.在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是原点，它们的相似比为│k│.2.一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点 (x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或 (－kx，－ky).
板书 课题：4.8.2 平面直角坐标系中的位似变换一、坐标变化规律二、平面直角坐标系中的位似图形的画法三、平面直角坐标系中的图形变换
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4.8.2 平面直角坐标系中的位似变换
北师版 九年级上册
新知导入
1.位似多边形
两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似多边形.
2.怎样判断两个图形是不是位似图形？
一是这两个图形是相似的；
二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点．
新知导入
3.怎样画位似图形？
第一步：确定位似中心O(位似中心可以在图形外部，也可以在图形内部，还可以在图形的边上，还可以在某一个顶点上)；
第二步；画出图形各顶点与位似中心O的连线；
第三步：按相似比取点；
第四步：顺次连接各点，所得的图形就是所求的图形．
新知导入
我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转 (中心对称). 那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？
合作探究
如图，在平面直角坐标系中， △OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（2，3）
将O，A，B的横、纵坐标都乘2，得到三个点，以这三个点为顶点的三角形与△OAB位似吗？
O'
A'
B'
△O'A'B'与△OAB位似
合作探究
如图，在平面直角坐标系中， △OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（2，3）
指出位似中心和相似比.
O'
A'
B'
位似中心是原点
相似比为2
合作探究
如图，在平面直角坐标系中， △OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（2，3）
如果将O，A，B的横、纵坐标都乘-2，得到三个点，以这三个点为顶点的三角形与△OAB位似吗？
O1
A1
B1
△O1A1B1与△OAB位似
合作探究
如图，在平面直角坐标系中， △OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（2，3）
指出位似中心和相似比.
O1
A1
B1
位似中心是原点
相似比为2
新知讲解
如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（4，2），B（8，6），
C（6，10），D（-2，6），将A,B,C,D的横坐标、纵坐标都乘 ，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD位似吗？
新知讲解
如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（4，2），B（8，6），
C（6，10），D（-2，6），
指出位似中心和相似比.
位似中心是原点
相似比为2
新知讲解
如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（4，2），B（8，6），
C（6，10），D（-2，6），将A,B,C,D的横坐标、纵坐标都乘 ，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD位似吗？
新知讲解
如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（4，2），B（8，6），
C（6，10），D（-2，6），
指出位似中心和相似比.
位似中心是原点
相似比为2
新知讲解
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是原点，它们的相似比为│k│.
【总结归纳】
新知讲解
【例2】在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O (0，0)，A (6，0)，B (3，6)，C (－3，3).
A
B
C
以原点O为位似中心，画出四边形OABC的位似图形，使它与四边形OABC的相似是 2 : 3.
新知讲解
A
B
C
分析：为了使画出的四边形与原四边形的相似比是2∶3，可以将原四边形每个顶点的横、纵坐标都乘 ，或都乘
试着自己画一画！
x
y
O
2
4
-2
-4
2
4
-2
-4
A
C
画法一：如右图所示，
解：将四边形OABC各顶点的坐标都乘 ；在平面直角坐标系中描点O(0,0), A'(4,0),B'(2,4)
C' (-2,-2);在平面直角坐标系中描点A',B',C',用线段顺次连接O,A',B',C'.
B
A'
C'
B'
新知讲解
画法二：如右图所示
解：将四边形OABC各顶点的坐标都乘 - ；在平面直角坐标系中描点O(0,0), A''(-4,0),
B'' (-2,-4),C'' (2,-2);在平面直角坐标系中描点A'',B'', C'',用线段顺次连接O,A'',B'',C''.
A''
B''
C''
新知讲解
新知讲解
通过画图你能总结出什么规律？
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点 (x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或 (－kx，－ky).
课堂练习
1.如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A(－2，－1)，B(－2，－3)，O(0，0)，△A1B1O1的顶点坐标分别为A1(1，－1)，B1(1，－5)，O1(5，1)，△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心
的位似图形，则P点的坐标为__________．
(-5，-1)
课堂练习
2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，4)，过点A作AB⊥x轴于点B. 将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的 ，得到△COD，则CD的长度是( )
A．2
B．1
C．4
D．3
A
课堂练习
3.在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(1，2)，B(0，3)，以O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，
若B点的对应点B′的坐标为(0，－6)，则A点的对应点A′的坐标为( )
A．(－2，－4)
B．(－4，－2)
C．(－1，－4)
D．(1，－4)
A
课堂练习
4.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(－3，－3)，点B(－1，－3)，点C(－1，－1)．
(1)画出△ABC；
(2)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，
并写出A1点的坐标：____________；
(3)以O为位似中心，在第一象限内把
△ABC扩大到原来的两倍，得到△A2B2C2
，并写出A2点的坐标：________.
(－3，3)
(6，6)
拓展提高
5.如果两个一次函数y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2满足k1＝k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”. 如图，已知函数y＝－2x＋4的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，一次函数y＝kx＋b与y=-2x＋4是“平行一次函数”．
(1)若函数y＝kx＋b的图象过点(3，1)，求b的值；
解：由已知得k＝-2，把点(3，1)的坐标和k＝-2代入y＝kx＋b，得
1＝-2×3＋b，∴b＝7.
拓展提高
解：根据相似比为1∶2得函数y＝kx＋b的图象有两种情况：
①不经过第三象限时，过点(1，0)和(0，2)，
这时表达式为y＝－2x＋2；
②不经过第一象限时，过点(－1，0)和(0，－2)，
这时表达式为y＝－2x－2.
(2)若函数y＝kx＋b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形，位似中心为原点，相似比为1∶2，求函数y＝kx＋b的表达式．
中考链接
6.【2020·重庆】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，2)，B(1，1)，C(3，1)，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2∶1，则线段DF的长度为( )
A. B．2
C．4 D．2
D
中考链接
7.【2020·嘉兴】如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0，0)，A(4，3)，B(3，0)．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的相似比为 的位似图形△OCD，则点C的坐标为( )
A.（-1，-1）
B.（ ）
C.（ ）
D.（-2，-1）
B
课堂总结
本节课你学到了什么？
1.在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是原点，它们的相似比为│k│.
2.一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点 (x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或 (－kx，－ky).
板书设计
课题：4.8.2 平面直角坐标系中的位似变换
教师板演区
学生展示区
一、坐标变化规律
二、平面直角坐标系中的位似图形的画法
三、平面直角坐标系中的图形变换
作业布置
课本 P118 练习题
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