2 2
8、直线 x﹣ y﹣ ＝0 经过椭圆的右焦点 F，交椭圆 x y 1(a b 0) 于 P，Q 两点，交 y2021—2022 学年度第一学期八县(市、区)一中期中联考 a2 b2
轴于C点，若FP =3CP，则该椭圆的离心率是（ ）。
高中二年数学科试卷
A．． B． C. D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得5分，漏选得2分，错选得0分）
考试时间：11 月 11 日 完卷时间：120 分钟 满 分：150 分
9、若{ ， ， }是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ）。
第Ⅰ卷 A． ，2 ，3 B． + ， ，
C． +2 ，2 +3 ，3 ﹣9 D． + + ， ，
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
10、下列结论正确的有（ ）。
是符合题目要求的）
A.从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，恰有一个黑球与至少有一个红球是互斥事件
1、直线 l： x﹣3y+1＝0 的倾斜角为（ ）。 B.在标准大气压下，水在 4o C时结冰为随机事件 9
C.若一组数据1， a，2， 4的众数是 2，则这组数据的平均数为
A．0 B． C． D． 4
D.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四个
2 2 2 2
2、两圆 x +（y﹣2） ＝1 和（x+2） +（y+1） ＝16 的位置关系是（ ）。 年级的本科生中抽取一个容量为 400 的样本进行调查.若该校一、二、三、四年级本科生人数
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 之比为 6 : 5 : 5 : 4，则应从四年级中抽取80名学生
11、在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，给出下列命题，其中正确的命题为（ ）。
3、已知 ＝（1，﹣1，2）， ＝（﹣1，m，n），若 ＝λ ，则实数 m，n 的值分别是（ ）。 A．若 A B C，则 sin A sin B sinC；
A．1，﹣2 B．﹣1，﹣2 C．1，2 D -1，2 B．若 a 40, b 20, B 25 ，则满足条件的△ABC 有两个；
4、已知直线 l ：2x+ay+2＝0 与直线 l：（a﹣1）x+3y+2＝0 平行，则 a＝（ ）。 C．若 0 tan A tan B 1，则ΔABC 是锐角三角形；1 2
A．3 B．﹣2 C．﹣2或 3 D．5 D．存在角 A，B，C，使得 tan A tan B tanC tan A tan B tanC成立；
12、如图①，矩形 ABCD 的边 AB 2 3，设 AD x， x 0，三角形 ABE为等边三角形，沿 AB将三
3
5、在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2在 x 轴上，离心率为 ．过 F1的 角形 ABE折起，构成四棱锥 E ABCD如图②，则下列说法正确的有（ ）。2
直线 L 交 C 于 A，B 两点，且△ABF2的周长为 16，那么 C 的方程（ ）。
x2 y2
A． ＝1 B． ＝1
4 16
x2 y2
C． ＝1 D． ＝1
16 4 图① 图②
6、在各棱长均相等的直三棱柱 ABC—A1B1C1中，已知 M 是 BB1的中点，N 是棱 AC 的中点，则异面直线 A．若M 为 AB中点，则在线段EB上存在点 P，使得PC// 平面EDM
A1M 与 BN 所成角的正弦值为（ ）。 B．当 x 3, 2 3 时，则在翻折过程中，不存在某个位置满足平面 ECD 平面 ABCD
A. 3 6B. 1 C. D. 10 C．若使点 E在平面 ABCD内的射影落在线段DC上，则此时该四棱锥的体积最大值为3 3
3 5
7、过点P（1，2）引直线，使A（3，2），B（4，﹣5）两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ）。 D．若 x 6 ，且当点 E在平面 ABCD内的射影点H落在线段DC 上时，三棱锥 E HAD的外接球半
A．7x y 9 0 B．7x 5y 17 0 3 2 6 2
C．7x y 9 0 或7x 5y 17 0 D．7x y 9 0或7x 5y 3 0 径与内切球半径的比值为 2
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学校： 高二年 班 号 姓名： 准考证号：
第Ⅱ卷 20、（本小题满分 12 分）
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.） 已知圆 C：（x﹣2）
2+y2＝5，直线 l：mx﹣y+1﹣2m＝0，m∈R.
13、过点 P（﹣1，3）且垂直于直线 x﹣2y+3＝0 的直线方程为 。 （1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
14、已知向量 a (m,1)，b (2,n 4) 1 2，m>0，n>0，若 a b，则 的最小值为________。
m n （2）若直线 l与圆C交于 A,B两点，求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程。
F F x
2 y2
15、设 1、 2是椭圆 2 2 1（a b 0）的左、右焦点，若椭圆外存在点 P 使得a b PF1 PF2 0
，
21、（本小题满分 12 分）
则椭圆的离心率的取值范围_________。
如图，C是以 AB为直径的圆O上异于A ，B的点，平面 PAC 平面 ABC，PA PC AC 4，BC 4，
16、已知点 P为棱长等于 4 的正方体 ABCD A1B1C1D1 内部一动点，且 PA 4，则PC1 PD1 的值 E， F分别是 PC， PB的中点，记平面 AEF 与平面 ABC的交线为直线 l。
达到最小时， PC1 与PD1 夹角的余弦值__________。
四、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17、（本小题满分 10 分）
在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 ccosB＋bcosC＝3acosB。
(1) 求 cosB 的值；
→ →
(2)若|CA－CB|＝2，△ABC 的面积为 2 2，求边 b.
18、（本小题满分 12 分） （Ⅰ）求证：直线 l 平面 PAC；
已知直线 l 过点 M（3，2）． （Ⅱ）直线 l上是否存在点Q，使直线 PQ分别与平面 AEF、直线 EF所成的角互余？若存在，求出 | AQ |
的值；若不存在，请说明理由。
（1）若直线 l 在两坐标轴上的截距相等, 求直线 l 的方程；
x2 y 2 3
（2）若l与 x轴正半轴的交点为 A ,与 y轴正半轴的交点为B，求 AOB(O 为坐标原点）面积的最小值。 22、（本小题满分 12 分）已知椭圆 2 + 2 =1 a b 0 的右焦点为 F c, 0 ，离心率为 ，点M 在椭a b 3
b2
圆上且位于第二象限，直线 FM被圆 x2 +y2 截得的线段的长为 c，
19、（本小题满分 12 分） 4
如图，在四棱锥 S ABCD中，△ABS 是正三角形，四边形 ABCD是菱形， AB 4 ， ABC 120 ，点 （Ⅰ）求直线 FM的斜率；
E是 BS的中点． 8 3
（Ⅱ）当 FM = 时，（1）求该椭圆的方程；（2）设动点 P在椭圆上，若直线 FP的斜率小于 2 ，
3
求直线OP（O 为原点）的斜率的取值范围．
（1）求证： SD// 平面 ACE；
（2）若平面 ABS 平面 ABCD，求点 E到平面 ASD的距离．
高二数学 第 3 页 共 4 页 高二数学 第 4 页 共 4 页2021-2022 学年第一学期八县（市）一中期中联考
高二数学评分细则
一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分）
1-5：B B A B D 6-8: D C D
二、多项选择题（每小题 5 分，共 20 分,漏选得 2 分，错选或多选得 0分）
9.ABD 10.CD 11.AB 12.BCD
12.【详解】
对于 A，如图，延长DM 与CB的延长线交于点 N，则面DME 面
ECB(N ) EN ．
此时，CP与 EN必有交点，则CP与面DME相交，故 A错误；
对于 B，取DC的中点H，连接 EH ，则 EH DC．
若面 EDC 面 ABCD，则有EH EM 2 HM 2 9 x2 ，
当 x 3, 2 3 时，无解，所以在翻折过程中，不存在某个位置满足平面
EDC 平面 ABCD
故 B正确；
对于 C，由题可知，此时面 EDC 面 ABCD，由 B可知， x 0,3 ，
2 2
所以 V
1 2 3 x 9 2 3 x 9 x 2 3 9 x2 3 3
3 3 2 3 2
当且仅当 x2 9 x2 x
3
，即 2时等号成立．故 C正确；
2
对于 D，由题可知，此时面 EDC 面 ABCD，且 EH 3
因为△AHD，△AHE都是直角三角形，所以 E ADH 外接球的半径
EH 2R DH
2 AD2
3，
2
6
r 2 R 3 2 6 2由等体积法，可求得内切球半径为 ，故 ，故
3 3 2
r 2
2 2 2
D正确．
故选：BCD．
三、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
2
13、2x+y-1=0 14、2 15、（ ,1） 16、0
2
三、解答题（本大题共 6小题，共 70 分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）
a b c
17、解：(1) 由正弦定理 ＝ ＝ ，CcosB＋bcosC＝3acosB，
sinA sinB sinC
得 sinCcosB＋sinBcosC＝3sinAcosB，………………………………………2分
则有 3sinAcosB＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA.……………………3分
又 A∈(0，π)，则 sinA>0，则 cosB 1＝ .…………5 分
3
1 2
(2) 因为 B∈(0，π)，则 sinB>0，sinB＝ 1 cos2B 1 3 2 2－ ＝ － ＝ .…6分
3
→
因为|CA C→－ B| →＝|BA|＝2，
1
所以 S＝ acsinB 1＝ a×2×2 2＝2 2，得 a＝3..……………………8分
2 2 3
1
由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋4－2×3×2× ＝9，则 b＝3.
3
………………………………………10分
18 、解：（1）当直线经过原点时，直线的斜率为 k = ，
所以直线的方程为 y = x，即 2x-3y=0；……………2分
当直线不过原点时，设直线的方程为 x y a，
代入点M（3，2）可得 a 5，……………4分
所以所求直线方程为 x y 5，即 x y 5 0．
综上可得，所求直线方程为：2x-3y=0或 x y 5 0．……………6分
（2）解法一:依题意，设点 A(a,0),B(0,b)(a 0,b 0) x y，直线AB的方程为 1，
a b
而点 M（3，2）在直线 AB上，于是有 + = 1， ………8分
1≥2 6 ，即 ab≥24，当且仅当 a=6,b=4时，取“=”，……………10分
ab
S 1 ab取最小值 12.
2
所以直线 l的方程为 2x+3y-12=0．……………12分
解法二：由题意可知直线的斜率必存在，设斜率为 k，则有 k 0，
设直线 l的方程为 y 2=k（x 3），……………7分
令 x 0，解得 y= 3k 2，令 y 0，则 x= +3，……………9分
因为 k 0，则 k 0，
4
所以 s = （ 3k 2 ）（ +3）= （12 9k ）≥ （12+ 2 9k ）=12 ，
k
…………………………………………………………11分
当且仅当 9k ，即 k 时取等号，
所以直线 l的方程为 2x+3y-12=0．……………12分
19.解析：（1）在四棱锥 S ABCD中，连接 BD交 AC于 F ，则 F为BD中点，连接 EF，
又 E为 BS中点，∴ EF //SD…………………………….2分
又 SD 平面 ACE， EF 平面 ACE，……………………3分
∴ SD//平面 ACE .……………………….4分
（2）（方法一）
∵四边形 ABCD是菱形，且 ABC 120 ，∴△ABD为正三角形，取 AB中点的O，连接
OD，OS，则OD AB，.…………………………….5分
∵平面 ABS 平面 ABCD，平面 ABS 平面 ABCD AB，
∴OD 平面 ABS …………………………….6分
∵△ABD、△ABS 是正三角形，AB=4，易得OD 2 3，
1
∴ S△ASE S△ASB ……………………………7分2
V 1∴ D AES 2 3 2 3 ．…………………………….8分3
易得OS 2 3，由OD OS，∴DS OS 2 OD2 6，………………….9分
取DS的中点M ，连接 AM ，因为 AD AS 4，∴ AM DS，
∴ AM 42 2 16 10 ，可得 S△ADS 2 6 10 2 15，………………….10分2
设点 E到平面 ASD的距离为 h，
V 1 1∴ D AES VE ADS S△ADS h 2 15h 4，………………….11分3 3
h 2 15解得 ，即点 E到平面 ASD 2 15的距离为 ．………………….12分
5 5
z
y
x
方法二：∵四边形 ABCD是菱形，且 ABC 120 ，
∴△ABD为正三角形，取 AB中点的O，连接OD，OS，则OD AB，
∵平面 ABS 平面 ABCD，平面 ABS 平面 ABCD AB，
∴OD 平面 ABS
∵△ABS 是正三角形∴OS AB
分别以线段 OS、OB、OD所在的直线为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 O-xyz
………………….6分
又∵AB=4则 A 0, 2,0 ,D(0,0, 2 3),S (2 3,0,0),B（0，2,0），E( 3,1,0)
AD (0, 2, 2 3), AS (2 3, 2,0) ………………….7分
设平面 ADS的法向量为n (x, y, z)
AD n 0
2y 2 3z 0
则 即
AS n 0 2 3x 2y 0
令 x 3,则 n ( 3, 3, 3)………………….9分
又 SE ( 3,1,0)
设点 E到平面 ASD的距离为 d
n SE 3 ( 3)
则 d 2 15………………….11分
n 3 9 3 5
即点 E到平面 ASD 2 15的距离为 ．………………….12分
5
20、【解析】（1）方法一：（1）直线与圆相交.……………1分
直线 l：mx﹣y+1﹣2m＝0，即 m(x﹣2)﹣y+1＝0，
故直线恒过定点 T(2, 1)，……………3分
又( 2﹣2 ) <5，故点(2, 1)在圆C内，……………5分
所以直线 l与圆C相交.……………6分
方法二：（1）直线与圆相交.……………1分
圆C : (x 2)2 y2 5的圆心为C（2,0）,r= 5 ……………2分
C l :mx y 1 2m 0 d 2x 1 2m 1圆 到直线 的距离 5
m2 1 m2 1
所以，直线 l与圆C相交.……………6分
（2）方法一：设弦 AB的中点M x, y ，定点 T(2, 1)，
AB M, 则 ⊥C 则TM CM ……………8分
( x﹣2，y﹣1)· (x﹣2，y) = 0 ……………10分
化简可得：( x﹣2 ) ( y﹣ ) = ；
故M 点的轨迹方程为：( x﹣2 ) ( y ﹣ ) = .……………12分
方法二：设点M x, y ，
y 1
当直线 AB斜率存在时， kAB ，x 2
y
又 k k， AB kMC 1MC ，……………8分x 2
y 1 y
即 1，
x 2 x 2
2
化简可得： x 2 2 1 1 y
, x 2 ；……………10分
2 4
当直线 AB斜率不存在时，显然中点M 的坐标为 2,1 也满足上述方程.
故M 点的轨迹方程为：( x﹣2 ) ( y ﹣ ) = .…………12分
方法三：直线 l：mx y 1 2m 0，也即 y 1 m x 2 ，
故直线恒过定点T 2,1 ，……………8分
由题意知，M点的轨迹是在以TC为直径的圆上
故M 点的轨迹方程为：( x﹣2 ) ( y﹣ ) = .……………12分
21、解（Ⅰ）证明： E， F分别是 PB， PC的中点，
BC / /EF，…………….1分
又 EF 平面 EFA， BC 面EFA，
BC / /面 EFA，………………….2分
又 BC 面 ABC，面 EFA 面 ABC l，
BC / /l，………………….3分
又 BC AC，面 PAC 面 ABC AC，面 PAC 面 ABC，
BC 面PAC，则 l 面PAC………………….4分
（Ⅱ）方法一：以C为坐标原点，CA为 x轴，CB为 y轴，过C垂直于面 ABC的直线为 z
轴，建立空间直角坐标系， A(4 ,0, 0)， B(0 ,4, 0)， P(2 ,0, 2 3)， E(1,0, 3)， F (1,2, 3)，
∴ AE ( 3,0, 3)， EF (0,2,0)，………………….6分
AE m y 3x 3z 0设Q(4 , , 0)，面 AEF 的法向量为m (x, y, z)，则 ，取 z 3，得
EF m 2y 0
m (1,0, 3)，且 PQ (2, y, 2 3)，………………….8分
| cos 2y | y | 2 6 2 PQ,EF | | | ， | cos PQ,m | | | 2 16 y2 16 y2 2 16 y2 16 y2 …………….10分
依题意，得 | cos PQ,EF | | cos PQ,m |，即 y 2．………………….11分
直线 l上存在点Q，使直线 PQ分别与平面 AEF 、直线 EF所成的角互余，
| AQ | 2． ………………….12分
方法二：
取 AC中点 M，连接 PM， PA PC AC, PM AC
平面PAC 平面ABC，平面PAC 平面ABC=AC
又 PM 平面PAC
PM 平面ABC
又 C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点
AC BC
点M ,O分别是AC，AB中点
连接MO,则MO AC
分别以线段MA,MO,MP所在的直线为X轴，Y轴，Z轴建立空间直角坐标系M -XYZ
则A(2,0,0),B( 2, 4,0),P(0,0, 2 3),C( 2,0,0),E( 1,0, 3),F ( 1, 2, 3)
AE ( 3,0, 3),EF (0, 2,0)………………….6分
AE m 3x 3z 0
设Q(2, y, 0)
，面 AEF的法向量为m (x, y, z)，则 ，取 z 3，得
EF m 2y 0
m (1,0, 3)，且 PQ (2, y, 2 3)，…………………8分
| cos PQ,EF | | 2y | | y | | cos PQ,m | | 2 6 2 |
2 16 y2 16 ， …………….10分 y2 2 16 y2 16 y2
依题意，得 | cos PQ,EF | | cos PQ,m ，即 y 2．………………….11分
直线 l上存在点Q，使直线 PQ分别与平面 AEF 、直线 EF所成的角互余，
| AQ | 2． ………………….12分
2
22. c 1解答：（Ⅰ）由已知有 ，又由 a2 b2 c22 ，可得 a
2 3c2，b2 2c2 ，
a 3
设直线 FM的斜率为 k(k 0)，则直线 FM的方程 y k (x c)， ................1分
kc 2 c 2
由已知有 ( ) ( ) (
b )2 3
2 2 2 ，解得 k ． ................3分k 1 3
c2 1
（方法二）由已知有 ，又由 a2 b2 c2，可得 a2 3c2， b2 2c2
a2 3
2 2 2
OA 2 OB 2 2 b c c过O点作OA FM，在 OAB中， AB ................1分
4 4 4
OA c OFA OA 1 在 OAF中，sin ...............2分
2 OF 2
OFA AFN 5 3直线FM的斜率 k ...............3分
6 6 3
Ⅱ x
2 y2 3
（ ）（1）由（Ⅰ）得椭圆方程为 2 2 1，直线 FM的方程为 y (x c)，两个方程3c 2c 3
联立，
y 5消去 ，整理得 3x2 2cx 5c2 0，解得 x c或 x c ， ................4分
3
2 3
因为点M在第二象限，可得M 的坐标为 ( c , c)， ................5分
3
由 FM ( c c)2 (2 3 c 0)2 8 3 ，解得 c 2， ................6分
3 3
x2 y2
所以椭圆方程为 1． ................7分
12 8
y
(2)(方法一)：设点 P的坐标为 (x, y)，直线 FP的斜率为 t，得 t ，即 y t(x 2) (x 2)，
x 2
y t(x 2),
与椭圆方程联立 x2 y2 消去 y，整理得 2 2 2
1, 2x 3t (x 2) 24
， ................8分
12 8
t 24 2x
2
又由已知，得 2 2，解得 0 x 2或 2 x 3，设直线OP的斜率为 m ，得3(x 2)
m y ，即 y mx(x 0) 2
8 2
，与椭圆方程联立，整理可得m 2 ． ................9分x x 3
①当 x (0, 2)时，有 y=t(x-2)>0 8 2 2 3，因此m 0，于是m 2 ，得m ( , )；x 3 3
..................................................................................................................................................10分
8 2 2 3 2
②当 x 2,3 时，有 y t(x 2) 0，因此 m 0，于是m 2 ，得m ( , )x 3 3 3
.....................................................................................................................................................11分
2 3 2
综上所述，直线OP的斜率的取值范围是 ( , ) (2 3 , ) ． ................12分
3 3 3
(方法二)：设点 P的坐标为 (x, y)，
当直线FP斜率为- 2时，直线PF方程为y 2(x 2)(x 2)
y 2(x 2)
联立 x2 y2 消去 y ，整理得 x
2 3x 0 解得 x1 0或x2 3
1
12 8
此时， P1(0,2 2),P2 (3, 2)
设OP 2斜率为m ,则m1 kop 不存在，m2 kop ................9分1 2 3
x 2
y 4 3 4 3 4 3联立 x2 y2 得 则 P3 (2, ),P4 (2, )
1 3 3 3 12 8
2 3 2 3
则m3 kop = ，m4 kop ................11分3 3 4 3
由数形结合，直线OP 2 3 2的斜率的取值范围是 ( , ) (2 3 , ) ．............12分
3 3 3
