安徽省卓越县中联盟 2021-2022 学年度第一学期高二年级期中联考
数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B D C D B C B D D B A
1.A【解析】 + = 2, 3,1 + 1,2,4 = ( 1, 1,5)，A 正确.
2.B【解析】 A M = A A 1 + A 1 M = A A 1 +
1 A 1 B 1 + A 1 D =
1
1 A B + A D + A A
1
1 = +
1 b + ，
2 2 2 2
B 正确.
3.D【解析】所求直线倾斜角与已知直线倾斜角互补，故斜率互为相反数，两条直线与 轴交
点坐标相同，D正确.
2 2
4.C【解析】化已知椭圆方程为标准形式 + = 1，则焦点坐标为（ ± 1，0），C正确.
4 3
5.D【解析】对于 A，因为 b ≠ 0，所以 l 与 m不垂直，A 错误；对于 B，因为 n = 0，所
以 B 错误；对于 C，因为n 1 与 n 2 不平行，所以α∥β不成立，C错误；对于 D， = ( 1, 1,1)，
1 4
= ( 1,3,0)，由 n A B = 1 p + q = 0， n B C = 1+ 3p = 0，解得 p = ，q = ，所3 3
5
以 p + q = 3，D 正确.
6.B【解析】如图，设 B A = ，B C = b ， B D = c ，由题知 b = b c = c
= 2，又G E = B E B G = 1 1 b 1 c ， G F = 1C A = 1 B A B C =
2 2 2 2 2
1 1 b G E G F = 1 1 b 1 c 1 1，则 b = 1，B正确.
2 2 2 2 2 2 2
2
7.C【解析】椭圆 + 2 = 1 的蒙日圆方程为 2 + 2 = 4,由题意该圆与已知圆相切，又两圆
3
圆心间距离为 4 + b2，故 4 + b2=5 或 4 + b2=1（无解，舍去)，解得 b =± 21，C 正确.
8.B【解析】如图，以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1
所在的直线为 ， 3， 轴，建立空间直角坐标系，则 E 2,0, ，
2
F 2,2, 1 ，D1 0,0,2 ，G 0,1,0 ，所以E F = 0,2, 1 ，D 1 G =2
0,1, 2 ，由题知 cos E F E
F , D G = D
1 G 4 4
1 = = ，B正确.EF D1G 5 5 5
9.D【解析】如图，取 CD中点 O，连接 PC，PO，PD，则 P C + P D =
2 P O = 2 P O ，又 P O ∈ 0, 3 ，则 P C + P D 的取值范围是 0，
2
3 ，D 正确.
高二数学期中联考参考答案 第1页（共 6页）
10.D【解析】由题知点 A、B 关于原点对称， AB = 2 OF2 =
2c, F2A ⊥ F2B，则 F2A = 2c cos θ ，F2B = 2c sin θ， 又
F2A + F2B = F2A + F1A = 2 ， 即 2c cos θ + 2c sin θ =
2 ， e = c = 1 = 1 π π
sin θ+cos θ 2 sin (θ+π) ，由θ ∈ ， 得12 6 2sin ( +4
) ∈ 6 , 3+1 ，所以e
4 2 2 min
= 3 1，D正确.
11.B【解析】如图，点C2的轨迹方程是( 5)2 + ( 4)2 = 1，
即得点C2是圆C3：( 5)2 + ( 4)2 = 1 上的动点，又由题知
点 B是圆C2上的动点，则 AB min = (5 2)2 + (4 0)2 1
1 1 = 2，B正确.
12.A【解析】
解法一：（坐标法）以 A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为
轴 、 轴 ， 建 立 如 图 所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系 O ， 设
B(b, 0), D(0, d), Q(p, q)，则得 C(b, d)，及圆 Q 的方程 p 2 +
q 2 = 2，又点 C在圆 Q上，所以 b p 2 + d q 2 = 2，
又 QB = (b p)2 + q2 = 2 ， QD = p2 + (d q)2 = 2 ，
QA = p2 + q2 ， 则 QA 2 = QD 2 + QB 2 b p 2 + d
q 2 = 8 r2,又 r ∈ 0,1 ，则 8 r2 ∈ 7, 8 ， QA ∈ 7, 2 2 ，
A正确.
解法二：（利用课本例题结论：平行四边形对角线平方和等于
四边平方和）如图，连接 AC、BD 交于点 P，则 P是 AC和 BD
的中点，在 QAC中，有 2 QA 2 + QC 2 = (2 QP )2 + AC 2，
即 2 QA 2 + 2 QC 2 = 4 QP 2 + AC 2，在 QBD中，有 2( QD 2 +
QB 2) = (2 QP )2 + BD 2 ， 即 2 QD 2 + 2 QB 2 = 4 QP 2 +
BD 2，又 AC 2 = BD 2，2 QA 2 + 2 QC 2 = 2 QD 2 + 2 QB 2，
QA 2 + 2 = 8，下同解法一.
二、填空题
13.1
3 m 2
【解析】由 1∥ 2，得 = ≠ ，求得 m = 1.6 3 m 1
14.12
【解析】圆心 C到直线 的距离 d = 4， AB = 2 25 16 = 6,S AOB =12.
15.8
【解析】取椭圆另一焦点F2, F1AB的周长 L = F1A + F1B + AB = (2
F2A ) + (2 F2B ) + AB = 4 + AB ( F2A + F2B ) ≤ 4 + AB
AB = 4 =8.
16.①②③
【解析】：
解法一（坐标法）：如图，取棱B1C1的中点 F，以 OB 为
高二数学期中联考参考答案 第2页（共 6页）
轴，OA为 轴，OF 为 轴，建立空间直角坐标系 O ，易知 O 0,0,0 1，E , 3 , 1 ，C B =
4 4
(1,0,0) 1 3， O E = , , 1 ， O E 绕着BC旋转即绕着 轴旋转，设旋转后的向量为 ，则 = O E =
4 4
5 1 5 2 1 2 19 19
，①正确；设 = ( , , )，则 = ， 2 + 2 = = ，点 E的轨迹是以 为半
2 4 2 4 16 4
2 ∈ 0, 19径的圆，②正确；易知 ， 在平面α上的投影向量即为其在 O 平面上的投影向量 b =
16
1 , , 0 ， b = 1 + 2 ∈ 1 , 5 ，③正确；设直线 OE在平面α内的投影与直线 BC 所成的
4 16 4 2
1
角为α，则 cosα = cos b , C B = 4 ∈ 5 , 1 ，④错误.
1 2 10
16+
解法二（综合几何法）：如图，取线段 OB的中点O'，
连接O'E，易知O'E ⊥ OB OE = 5， ， OO' = 1，则
2 4
O'E = 19，且易知在三棱柱绕 BC 旋转一周的过程
4
中， = OE = 5，点 E的轨迹是以O'为圆心，半径
2
19
长为 的圆，该圆所在的平面与平面α垂直，设该圆与平面α交于 P、Q两点，设 = O E '，
4
过 E' 作 E'G ⊥ PQ 于 点 G ， 则 易 知 b = O G ， 且 点 G 在 线 段 PQ 上 运 动 ， 又
OP = OQ = OE = 5，则 b = OG ∈ 1 , 5 ，易知∠GOO'即为直线 OE在平面α内的投影
2 4 2
BC G P Q cos GOO' 5与直线 所成的角，当点 与点 或点 重合时， ∠ 取最小值 ，当点 G与O'重
10
合时，cos∠GOO'取最大值 1，故综上所述，①②③正确，④错误.
三、解答题
4 1
17. 解 ： (1) 因 为 ∥ b ， 所 以 = = ， 解 得 = 2 ， = 4， 故 = 2,4,1 ，
2 1
b = 2, 4, 1 ，又因为 b ⊥ c ，所以 b c =0，即 6 + 8 = 0，解得 = 2，故 c = 3,
2,2 . .............................5 分
(2)由(1)可得 + c = 5,2,3 ， b + c = 1, 6,1 ，设向量 + c 与 b + c 所成的角为θ，则 cosθ =
5 12+3 = 2 . .............................10 分
38 38 19
18.解：(1)设直线 AB 的倾斜角为α，直线 l 的倾斜角为θ，则tan = kAB = 2， tan θ =
tan α + 45° = tan +tan 45 = 1 l A 1，又直线 过点 ，则直线 l 的方程为 1 = 即 + 3
1 tan tan 45 3 3
3 = 0. .............................6 分
(2)设 C(3 3t, t)
解法一： AC = (3 3t)2 + (t 1)2= 10t2 20t + 10， AB = 4 + 16 = 2 5，S ABC =
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1 AC AB sin 45o=2 5 10t2 20t + 10 sin 45o = 5 ，解得 t = 0 或 t = 2，得点 C 坐标
2 2
为 3,0 或 3,2 . .............................12 分
解法二：直线 AB 方程为 2 + 1 = 0 C 5 5t，点 到直线 AB 距离等于 ，又 AB = 2 5，
5
S 1 5 5t则 ABC = × × 2 5 = 5 ， 解 得 t = 0 或 t = 2 ， 得 点 C 坐 标 为 3,0 或2 5
3,2 . .............................12 分
19.解：(1)证明：因为底面 ABCD和侧面 BCC1B1都是矩形，所以 BC ⊥ CD，BC ⊥ CC1，
又 因 为 CD CC1 = C ， CD，CC1 平 面 DCC1D1 ， 所 以 BC ⊥ 平 面 DCC1D1 ，
因为D1E 平面 DCC1D1，所以 BC ⊥ D1E，又由题知DE = D1E = 1，DD1 = 2，DE2 + D E21 =
DD 21 ，所以D1E ⊥ DC，又 BC DC = C，所以D1E ⊥平面 ABCD. ..............................5 分
(2)设 G 为 AB 的中点，以 E 为原点，EG、EC、ED1
所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间
直角坐标系， 则得点 E(0,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，
C1(0,2,1)，D1(0,0,1)，设平面 BED1 的一个法向量为
n 1 = ( 1, 1, 1)，又E B = (1,1,0)， E D 1 = (0,0,1)，则
n 1 E B = 1 + 1 = 0，令 = 1，则取 n = (
n 1 E D
1 1
1 = 1 = 0
1,1,0)，设平面 BCC1B1的一个法向量为 n 2 = ( 2, 2, 2)，又 C B = (1,0,0)，C C 1 = (0,1,1)，
2 C B = 则 2 = 0 ，令 = 1，则取n = (0,1, 1)，设平面 BED 与平面 BCC
C C = + = 0 2 2 1 1
B1的
2 1 2 2
θ cosθ = cos n , n = n n 夹角为 ，则 1 2 1 1
π
1 2 = =n ，所以θ = ，即得平面 BED1与平面1 n 2 2 2 2 3
π
BCC1B1的夹角为3. .............................12 分
20.解：(1)设 M , ,则 Q 0, ,由Q P = P M 得 P是 QM的中点，得 P , ，
2
2
又点 P在圆 2 + 2 = 1 上，代入得曲线 C的方程为 + 2 = 1. ..............4 分
4
2 2
(2)解法一：设直线 l 的方程为 = m 1，E( 1, 1), F( 2, 2)
+ = 1
， 由 4 得
= m 1
( 2+4) 2 2 3 = 0,由于点 1,0 在椭圆 C内部，所以该方程一定有两个不同实数解，
+ = 2 3 1且 1 2 ， = ， 因 为 < 0 ， 所 以 S S = × 4 × + = 2+4 1 2 2+4 1 2 1 2 2 1 2
2 + = 4 41 2 2 ，当 m = 0 时， S1 S2 = 0，当 m ≠ 0 时， S1 S2 = 4 ≤ 1，当且 +4 +
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仅当 m =± 2时等号成立.
综上所述， S1 S2 的最大值为 1. ...............................................12 分
解法二：① 3当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 = 1，不妨得 E 1, ，
2
F 1, 3 ，S1 = S2 = 3, S1 S = 0；2 2
②当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 = k + 1 （k ≠ 0），E( 1, 1), F( 2, 2)，
2 + 2 = 1
由 4 得（4k2 + 1） 2 + 8k2 + 4k2 4 = 0，由于点 1,0 在椭圆 C内部，所以
= k + 1
8k2 4 2 4
该方程一定有两个不同实数解，且 1 + 2= 2 ， 1 2 = 2 ， 1 + 2 = k( 1 + 2 + 2) =4k +1 4k +1
2k , = k2( + + + 1) = 3k
2 1
2 1 2 1 2 1 2 2 ， 因 为 1 2 < 0 ， 所 以 S1 S2 = × 4 ×4k +1 4k +1 2
+ = 2 + = 4 k = 4 ≤ 1 k =± 11 2 1 2 2 ，当且仅当 时等号成立.4k +1 4 k + 1 2k
综上所述， S1 S2 的最大值为 1. ...............................................12 分
21. 解：(1)由题得当前台风中心所处位置 P 点坐标为 (100cosθ, 100sinθ)，即点
P 10 2, 70 2 ，又 A至 B 段所在直线的方程为 + = 0，则点 P 到该直线的距离为
10 2 70 2 = 60，则 AB = 2 902 602 = 60 5 ≈ 134.2 km ，即得当前该航线正被台风侵
2
袭的 A至 B段的距离为 134.2 km. ...............................................5 分
(2)由题知，当该航线不受台风侵袭时，城市 O也恰好结束遭受台风侵袭.设经过 t小时后台
2 2
风中心所处位置为点P ，则得P 坐标为 10 2 × 10t, 70 2 + × 10t ，即点P 10 2
2 2
5 2t, 70 2 + 5 2t ，又圆P 2 2的方程为 10 2 5 2t + 70 2 + 5 2t =
902 2 2，则由 0 10 2 5 2t + 0 70 2 + 5 2t = 902，得 t = 8 ± 3 5，其中 8
3 5、8 + 3 5分别表示城市 O开始和结束遭受台风侵袭所需要经历的时间，则易得经过 8 +
3 5 ≈ 14.7(h)后该航线将不受台风侵袭. .................................................12 分
22.解：(1)证明：当 A O 1 = O P 时，易知四边形 AOPO1为平行四边形，则 AO∥O1P，又 AO
平面O1PQ，O1P 平面O1PQ，所以 AO∥平面O1PQ，同理可证，当A O 1 = O Q 时，有 AO∥平面
O1PQ，故证得当 A O 1 = O P 或 A O 1 = O Q 时，AO∥平面O1PQ. ..................4 分
(2)解法一：取 PQ中点 M，则 OM ⊥ PQ， 以点 O为坐标原点，
OM 为 轴，OO1为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
O(0,0,0) P 2、 , 2 , 0 Q 2 , 2、 , 0 、 O (0,0,2)， O P =
2 2 2 2 1 1
2 , 2 , 2 ，O 1 Q =
2 , 2 , 2 ，Q P = 2, 0,0 ，设平面
2 2 2 2
O1PQ的法向量为 = ( , , )，
高二数学期中联考参考答案 第5页（共 6页）
2 + 2 2 = 0
则 2 2 ，令 = 2 2，则取 = (0,2 2, 1)，
2 = 0
设 A cosθ, sinθ, 2 ，则得直线 AO 的方向向量 O A = cosθ, sinθ, 2 ，设直线 AO 与平面O1PQ
所成的角为β，则 sinβ = cos O A , n = 2 2sinθ+2 ，则当 sinθ = 1时 sinβ取最大值，此时点
3 5
O 1 A 0,1,2 O A = (0,1,0) A O PQ d = A n 的坐标为 ， 1 ，则点 到平面 1 的距离为 =
2 2
，又由题
n 3
知O1P = O1Q = 5，PQ = 2，则三角形O1PQ 的面积为
1
△ 1 = × 2 × 5
1 = 3，故
2 2 2
当直线 AO 1 3与平面O1PQ 所成角的正弦值取最大值时，三棱锥A O1PQ 的体积为 × ×3 2
2 2 = 2. ............................................................12 分
3 3
解法二：
取 PQ 中点 M，则 OM ⊥ PQ， 以点 O为坐标原点，OM为 轴，OO1为 轴建立如图所示的
O(0,0,0) P 2 , 2 2空间直角坐标系，则 、 , 0 、Q , 2 , 0 、O1(0,0,2)，O 1 P =
2 , 2 , 2 ，
2 2 2 2 2 2
O 1 Q =
2 , 2 , 2 ， Q P = 2, 0,0 ，设平面O PQ的法向量为 = ( , , )，
2 2 1
2 + 2 2 = 0
则 2 2 ，令 = 2 2，则取 = (0,2 2, 1)，
2 = 0
设 A p, q, 2 ，由AO = 1，得p2 + q21 = 1，又直线 AO的方向向量O A = p, q, 2 ，设直线 AO
2 2q+2
与平面O1PQ所成的角为β，则 sinβ = cos O A , n = ，又 1 ≤ q ≤ 1，则当 q = 1 时3 5
sinβ取最大值，此时点 A的坐标为 0,1,2 ， O 1 A = (0,1,0)，则点 A到平面O1PQ的距离为 d =
O 1 A n = 2 2 1，又由题知O1P = O1Q = 5，PQ = 2，则三角形O1PQ 的面积为 n 3 △ 1 = ×2
2 × 5 1 = 3，故当直线 AO与平面O1PQ所成角的正弦值取最大值时，三棱锥A O1PQ2 2
1 3 2 2 2
的体积为 × × = . ............................................................12 分
3 2 3 3
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数学试题
满分:150分时间:120分钟
一、选择题:本大题共12题,每小题5分,共60分。在每小题列出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的
1.已知向量d=(-2,-3,1),b=(1,2,4),则d+b等于()
A.(-1,-15)
B.(-1,1,5)
C.(1,-1,5)
D.(1,1,5)
2.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,A1C1与B1D1交于点M,设AB=a,AD=b,AA1=己,
则AM等于()
A.-a+-b-c
a+=b+c
1
C -=b-c
D.-1a-1b-
3.与直线2x-y+1=0关于x轴对称的直线的方程为()
A.x-2y+1=0
B.2x+y-1=0
C.x+2y+1=0
D.2x+y+1=0
4.与椭圆3x2+4y2=12有相同焦点,且过点(40)的椭圆的方程是()
2
1
B
121C.x2
D
1514
1615
1216
5.给出以下命题,其中正确的是()
A.直线的方向向量为d=(1,-1,2),直线m的方向向量为b=(2,1,-1),则与m垂直
B.直线的方向向量为d=(0,-1,1),平面a的法向量为五=(1,1,1),则l⊥a
C.平面a、B的法向量分别为n=(01,3),n2=(1,0,2),则a∥B
D.平面c经过三个点A(1,0,-1),B(0,-1,0),C(-120),向量五=(1pq)是平面a的法
向量,则p+q=
6.正四面体ABCD棱长为2,E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,则GE.GF的值为()
A
B.1
C.2
D.4
高二数学试题第1页(共4页)
7.19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日,创立了画法几何学,推动了空间几何学的独立发展。
提出了著名的蒙日圆定理:椭圆的两条切线互相垂直,则切线的交点位于一个与椭圆同心
的圆上,称为蒙日圆,且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根
若圆(x-2)2+(-b)2=9上有且只有一个点在椭圆+y2=1的蒙日圆上,则b的值
为()
A.+1
B.+5
C.±y21
D.±2√5
8.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在棱AA1上,AE=3A1E,点G是棱CD的中
点,点F满足BF=B,则直线EF与直线D1G所成角的余弦值为(
A
B
2√5
C
D
9.如图,在三棱锥D-ABC中,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=BC=AD=1,点P在三棱锥
D-ABC的表面上运动,则P+PD的取值范围是()
A.0
B
C
1,3
D.0
10.椭园C+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2,直线l:y=kx与C交于A、B
两点,若F2O=ABl,∠BAF2=8,当0∈,时,C的离心率的最小值为(
A.2-1
B.
C
D.√3-1
3
11.点A是圆C1:(x-2)2+y2=1上的任一点,圆C2是过点(54)且半径为1的动圆,点B是圆
C2上的任一点,则AB长度的最小值为()
A.1
B.2
C.3
D.4
12.如图,矩形ABCD的顶点C在以Q为圆心,半径为r的圆上,1QB|=|QD=2,当r∈(0,1时,
QA|的取值范围是()
A.[V7,2√2)
B.[23]
C.[7-13)
D.[2√7+1
高二数学试题第2页(共4页)
