襄阳四中、郧阳中学、恩施高中、随州二中高一第二次考试数学考试参考答案 16．令 f (x) = x2 + 2ax+1=1，则 x1 = 0，x2 = 2a则有 x x = 2a 存在 x0 R1 2 ，使得 f (x ) 1及 f (x0 +10 ) 1同
一．单选题 ADBCB AAD 二. 多选题 9.ABC 10.BC 11.ABD 12.ABC 1 1
时成立，因为 f (x)开口向上，故 f (x) =1的两根间距大于 1，所以 2a 1，解得a 或a ，同理，令
2 2
f (1) f ( 1)
7．A∵函数 f ( ) 3 3x = x + tx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有 x + tx = 即 2
1 ( 1) f (x) = x2 + 2ax+1= 1 2a 4a 8，则 2x = ，则有 x x = 4a 8 存在 x0 R ，使得 f (x ) 1及 f (x0 +1) 11 2 0
2
9 3 3
(1+ t ) ( 1 t ) 同时成立，因为 f (x)开口向上，故 f (x) = 1 23 a
2 a
x + tx = = t +1 (x 1)(x2
的两根间距小于 1，所以
) ( 4a 8 1
，即 ，解得 ，
在（﹣1，1）内有实数根， + x+1 + t x 1) = 0 (x 1)(x2 + x+1+ t ) = 0 4 2 2
1 ( 1)
3 1 1 3
综上所述，a , ,
有根，所以 x＝1 或 x2 + x +1+ t = 0 .又 1 （﹣1，1）∴方程 x2 + x +1+ t = 0 在（﹣1，1）上有根，因为 2 2 2 2
2 2
3 3 四．解答题 17．解： ……………………………..2 分
t = x2
1 3 1 3 3
+ x+1= x+ + ，而当 x ( 1,1)时， x+ + [ ,3) ，于是 t ,3 t 3, .
2 4 2 4 4 4
4
……………………………..4 分
8．C 由题得： f (x)是奇函数，所以 f ( x) = f (x)； g (x)是偶函数，所以 g ( x) = g (x)
（1） .………..……………………..7 分
将 x 代入 f (x)+ g(x) = ax2 + x+ 2得： f (x)+ g(x) = ax2 x + 2
f (x)+ g(x) = ax
2 + x + 2 （2） 或 ， .…………………..10 分
联立 解得： g (x) = ax
2 + 2
f (x)+ g(x) = ax
2 x + 2
g(x1) g(x2 ) 18．（1） x+ y 2 xy , z + y 2 zy , x+ z 2 xz 当且仅当 x = y = z时同时取等号
1，1 x1 x2 2等价于 g(x1) g(x2) (x1 x2 )， x1 x2
(x + y)(y + z)(x + z) 8xyz
2 当且仅当 x = y = z时取等号…………………….……..6 分
即： g(x1)+ x1 g(x2 )+ x2 ，令h(x) = g (x)+ x = ax + x+ 2，则h (x)在 1,2 单增
1 （2）证明：因为a 0，b 0，a+b = 2。
①当a 0时，函数的对称轴为 x = 0，所以h (x)在 1,2 单增
2a (a +1)(b+1) ab+ a +b+1 3
所以 = =1+ .…………………………………………….……..8 分
1 1 1 ab ab ab
②当 a 0时，函数的对称轴为 x = 0，若h (x)在 1,2 单增，则 2，得： a 0
2a 2a 4
2
(a + b)
1 且ab =1（当且仅当a =b时取等号），………………………………………….……..10 分
③当a = 0时，h (x)单增，满足题意综上可得：a 4
4
x 3 3 (a +1)(b+1)
12．ABC 解：对 B：假设 1 A，则令 x = y = 1，则 =1 A， x + y = 2 A，令 x = 1, y =1，则 故1+ 1+ = 4 .所以 4 …………………………………………………..12 分
y ab 1 ab
x x
= 1 A, x + y = 0 A，令 x =1, y = 0
f (1) = 0
不存在 ，即 y 0 ，矛盾，所以 1 A，故 B 对； 19．（1）由题意， f (3) = f (1) + f (3)，则 ，…………………………………….………..3 分
y y
f (81) = f (3)+ f (27) = 2 f (3)+ f (9) = 4 f (3) = 4 .……………………………..……………..6
2021 分
对于 A：由题意知，1 A，则1+1= 2 A, 2+1= 3 A, , 2020 A， A ，故 A 正确；
2019 （2）由 f [x(x 8)] = f (x) + f (x 8) 2，而 f (9) = 2 f (3) = 2，………………….………………..8 分
y
1 y A, = xy A
对于 C：1 A, x A, A ， 1 ，故 C 正确； f [x(x 8)] f (9)
x x(x 8) 9
x ∴ x 0 ，又 f (x)在 0, 上为增函数，∴ ，解得8 x 9 .
x 8
对于 D：1 A, 2 A，若 x = 2, y =1，则 x y =1 A，故 错误， x 8 0D
3 3 1 1 3
三、填空题 13． 1, 14． a b 15. ( , 2) (2,+ ) 16． , , ∴ x 的取值范围8 x 9 ……………………………………………………… .…………………..12 分
2 2 2 2 2
1800
20．（1）由题意知，当30 x 100时， f (x) = 2x + 90 40，即 x2 65x + 900 0，解得 x 20或 x 45，
x
∴ x (45，100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；…………………..6 分 7 x +1 0 x +1 0
22．（1）由1 7 可得： 或 ，解得：0 x 6，………………….2 分
1+ x x +1 7 7(x +1) x +1 7 7(x +1)
x
（2）当0 x 30时， g (x) = 30 x%+ 40(1 x%) = 40 ；……………………………………..8 分
10 7
1 7
180 x
2 13 不等式组 1+ x 解集构成的各区间的长度和等于 6，
当30 x 100时， g (x) = 2x + 90 x%+ 40(1 x%) = x+58；
x 50 10 x
2
+3tx 4 0
x 2 x [0 6]
40
不等式 x + 3tx 4 0 在 ， 恒成立，…………………………………………………..………..4 分
10
∴ g (x) = ；………………………………………………………..…………………..10 分
x2 13 g(0) = 4 0 16 x + 58 令 g(x) = x2 +3tx 4， x [0，6]，则 ，解得： t ，
50 10 g(6) = 36+18t 4 0 9
当0 x 32.5时， g (x)单调递减； 16
实数 t 的范围为 ( ， ]；………………………………………………………………………………..6 分
9
当32.5 x 100时， g (x)单调递增； （2）①当 x a或 x b时，原不等式等价于 x b + x a (x a)(x b) ，
说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的； 整理得： x2 (a +b + 2)x + (a +b+ ab) 0，令 f (x) = x2 (a +b + 2)x + (a +b + ab)，
有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的； f （a）= b a 0， f （b）= a b 0，设 f (x) = 0 的两根为 x ， x2 (x1 x1 2 ) ，
当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少． ……………………………………..…………………..12 分
此时原不等式的解集为 (a， x2]，解集的区间长度为 x2 a；…………………………….……....8 分
4 4
21． （1）设[m, n]是函数 y = 3 的“和谐区间”，则 y = 3 在[m, n]上单调，
x x
②当b x a时，同理可得原不等式的解集为 (b ， x1]，此时解集的区间长度为 x1 b．……...10 分
4
所以[m,n] ( ,0) 或[m,n] (0,+ ) ，因此， y = 3 在[m, n]上为增函数，…………………..2 分
x 综合①②知：原不等式的解集的区间长度之和为 x2 + x1 a b ，
4
则 f (m) = m， f (n) = n，即方程3 = x 有两个解 m，n. ………………………………………...…..4 分
x 又由韦达定理可知： x1 + x2 = a +b+ 2，
4
又因为3 = x 可化为： x2 3x + 4 = 0，而 x2 3x + 4无实数解，
x 原不等式的解集的区间长度之和为 2．……………………………………………………………..12 分
4
所以函数 y = 3 不存在“和谐区间”………………………………………………………….………6 分
x
(a2 + a) x 1 a +1 1
（2）因为 f (x) = = 在[m, n]上单调递增，
a2x a a2x
所以[m,n] ( ,0) 或[m,n] (0,+ ) ，则 f (m) = m ， f (n) = n，
a +1 1
所以 m、n 是方程 = x 的两个同号的实数根. ……………………………………………..8 分
a a2x
2 2 2 1
即方程a x (a +a) x+1= 0有两个同号的实数根，注意到mn = 0 .
a2
2
只要 = (a2 + a) 4a2 0，解得 a 1或a 3，…………………………………………………..10 分
2
2 2 a + a 4 3 2 1 1 4
所以n m = (m + n)2 4mn = = + +1 = 3 + ，
a
2 2
a a
2 a a 3 3
2 3
其中 a 1或a 3，所以当 a = 3时，n m取最大值 .………………………………………..12 分
3x
襄阳四中、郧阳中学、恩施高中、随州二中高一第二次考试 5．函数 f (x) = + x的图象是（ ）
x
高中数学试卷
A． B．
考试时间：2021年 11月 11日下午 试卷满分：150分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．命题“ x R, x2 + x +1 0”的否定为（ ）
A． x R， 2x2 + x +1 0 B． x R， x + x +1 0
C． x R, x2 + x +1 0 D． x R, x2 + x +1 0
C． D．
2．函数 f (x) = x2 2x 8 的单调递增区间是（ ）
A． ( , 2] B． ( ,1] C． 1,+ ) D．[4,+ )
1 9
x y x + y = 2 +
3．下列各组函数是同一函数的是（ ） 6．已知两个正实数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ） x y +1
2 16 11① f (x)= x 2x 1与 g(t)= t 2 2t 1． A． B． C．8 D．3
3 2
( ) f (b) f (a)② f x = x 与 g (x) = x2 ； 7．定义：如果函数 y = f (x)在定义域内给定区间 a,b 上存在 x0 (a x0 b) ，满足 f (x0 ) = ，
b a
1
③ f (x)= x0 与g(x)= ； 则称函数 y = f (x) 是[a,b]上的 平均值函数 ，x 是它的一个均值点，如 y = x2“ ” 0 是 1,1 上的平均值函数，
x0
④ f (x) = 2x3 与 g (x) = x 2x ； 0 就是它的均值点，现有函数 f (x) = x3 + tx 是[ 1,1]上的平均值函数，则实数 t 的取值范围是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 3 3 3 3A． ( 3, ] B． ( 3, ) C． 3, D． ( , ] 4 4 4 4
4．集合 A = {1, 2, 4}，B = x x2 A ，将集合 A, B 分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合
8．已知函数 f (x)、g (x)是定义在R 上的函数，其中 f (x)是奇函数， g (x)是偶函数，且
中元素个数恰好为 4的是（ ）
g (x1 ) g (x )
f (x)+ g (x) 2= ax2 + x+ 2，若对于任意1 x x 2，都有 1，则实数 a1 2 的取值范围是（ ）
x1 x2
A． B． C． D． 1 1 1
A． ,0 (0,+ ) B． (0,+ ) C． , 0 D．4 4
,+
4
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
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9．下列命题为假命题的是（ ） 18．（12分）(1)已知 x, y, z 都是正数，求证： (x + y)(y + z)(z + x) 8xyz ;
A．若 a b，则a2 b2 B．若a b 0，则ac2 bc2 (a +1)(b +1)
(2)设a 0,b 0,a +b = 2．证明： 4 .
c c ab
C．若a b，c 0，则ac bc D．若a b 0，c 0，则
a b
19．（12分）已知函数 f (x)是定义在 (0，+ )上的增函数，对一切正数 x, y 都有 f (xy) = f (x)+ f ( y)成立，
1
10．下列函数中最大值为 的是（ ）
2
且 f (3) =1.
2 1
A． y = x + B． y = x 1 x22 , x 0,1 16x
（1）求 f (1)和 f (81)的值；
x2 4
C． y = D． y = x + , x 2
x4 +1 x + 2
（2）若 f (x)+ f (x 8) 2，求 x 的取值范围.
11．已知集合 A = 2,1 ，B = x | ax+1= 0 ，若 A B = B，则实数a 的取值可能为（ ）
20．（12分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族
1
A. 1 B. 0 C.1 D． S
2 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当
S 中 x%（0 x 100）的成员自驾时，自驾群体的人均
30，0 x 30
x
12．非空集合 A具有下列性质：（1）若 x、y A，则 A；（2）若 x、y A，则 x + y A，下列判断 通勤时间为 f (x) = 1800 （单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受 x 影响，恒
y 2x + 90，30 x 100
x
一定成立的是（ ） 为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
2021
A. A
x
B. 1 A C.若 x、y A，则 xy A D.若 x、y A，则 x y A （1）当 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
2019
三、填空题：本小题共 4小题，每小题 5分，共 20分。 （2）求该地上班族S 的人均通勤时间 g (x)的表达式；讨论 g (x)的单调性，并说明其实际意义．
f (2x 1)
13．若函数 y = f (x) 的定义域是[0,2]
y = f (x) [m,n] D
，则函数h(x)= 的定义域是______. 21．（12分）对于定义域为D 的函数 ，如果存在区间 ，同时满足下列条件：
x 1
① f (x)在[m, n]内是单调的；②当定义域是[m, n]时， f (x)的值域也是[m, n]，则称[m, n]是该函数的“和谐
14．已知a,b都是实数，那么“ a3 b3”是“________”的充要条件.(请在横线处填上满足要求的一个不等
区间”.
式.) 4
（1）判断函数 y = 3 是否存在“和谐区间”，并说明理由；
2 f (x) x
15．已知函数 f (x)是奇函数，且当 x 0时， f (x) = x + x 2，则不等式 0 的解集为______.
x
(a2 + a) x 1
（2）如果[m, n]2 是函数 y = （a 0）的一个“和谐区间”，求n m的最大值；
16．已知函数 f (x) = x + 2ax +1，若存在 x0 R ，使得 f (x ) 1及 f (x0 +1) 10 同时成立，则实数 a 的 a2x
取值范围是_______________. 22．（12分）定义区间 (m,n)、 m,n 、 (m,n 、 m,n)的长度均为n m，其中n m .
四、解答题：本小题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
7
1 7
2x 3 2 （1）不等式组 1+ x 解集构成的各区间的长度和等于6，求实数 t的范围；
17．（10分）已知集合A= x | 0 ,B = x | x 3x+ 2 0 ，全集U =R． 2
x + 5 x +3tx 4 0
1 1
（2）已知实数 a b，求满足不等式 + 1解集的各区间长度之和.
（1）求集合 A B； （2）求集合 (CU A) B. x a x b
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