江西省赣州市十六县（市）十七校2021-2022学年高二上学期期中联考数学（理）试题（Word版含答案）

2021-2022学年第一学期州市十六县（市）十七校期中联考
高二数学（理科）试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．过点且垂直于的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．某校高二年级为选拔参加数学竞赛的学生组织了一次考试，最后选出13名男生和7名女生，这20名学生的考试成绩如茎叶图所示（单位：分），学校规定：成绩不低于130分的人到A班培训，低于130分的人到B班培训，如果用分层抽样的方法从到A班的人和到B班的人中共选取5人，则5人中A班的有（ ）
A．1人 B．2人 C．3人 D．4人
3．多面体的三视图如图，它们都是斜边长为的等腰直角三角形，则多面体最长的棱长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，长方体的棱和的中点分别为E，F，，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
5．设向量．若，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．设是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则（ ）
A．若，，，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．一组数据中的第一个数据都乘以2，再减去80，得到一组新数所，若求得新的数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（ ）
A．40.6，1.1 B．48.8，4.4 C．81.2，44.4 D．78.8，75.6
8．如图所示，若该程序输出结果为，则判断框内应填入的条件是（ ）
A． B． C． D．
9．已知直线和圆，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ）
A．10 B．5 C． D．
10．在的条件下，目标函数的最大值为10，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
11．在三棱锥中，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外球的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．在正方体中，点P在线段上运动，则下列判断正确的个数是（ ）
①三棱锥的体积不变；②平面；
③平面平面；④与所成角的范围是．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．某地在每天坚持足球运动一小时以上的人群中抽取m人进行调查，统计得出各年龄段人数的频率分布直方图，其中30～40岁的人数为10，则________．
14．如图，圆锥的母线长为4，点M为母线的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为_________．
15．某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高．现选择点A和另一座山顶点C作为测量观观点，从A测得点M的仰角，点C的仰，测得，已知另一座山高米，则山高_______米．
16．在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F是棱上的动点，若点P为线段上的动点，则的最小值为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）如图．四棱锥中，底面为矩形，平面，设E为的中点．
（1）证明：平面：
（2）设异面直线与所成角为，，求三棱锥的体积．
18．（本题满分12分）某特色餐馆开通了美团外卖服务，在一周内的某特色菜外卖份数x（份）与收入y（元）之间有如下的对应数据：
外卖分数x（份） 2 4 5 6 8
收入y（元） 30 40 60 50 70
（1）画出散点图；
（2）请根据以上数据用最小二乘法原理求出收入y关于份数x的线性回归方程；
（3）据此估计外卖份数为12份时，收入为多少元．
注：①参考方式：线性回归方程系数公式；②参考数据：．
19．（本题满分1分）已知平面向量，函数．
（1）求的单调增区间：
（2）在锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若，求周长的取值范围．
20．（本题满分12分）各项均为正数的数列满，且是的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若且，求使成立的正整数n的最小值．
21．（本题满分12分）如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为O，且平面．
（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值．
22．（本题满分12分）已知圆C经过两点，圆心在直线上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若圆C与y轴相交于A，B两点（A在B上方）．直线与圆C交于M，N两点，直线，相交于点T．请问点T是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
2021-2022学年第一学期赣州市十六县（市）十七校期中联考
高二数学（理科）参考答案
1．C 2．B 3．B 4．A 5．D 6．B 7．A 8．C 9．C 10．D 11．D 12．B
13．50 14． 15． 16．
16．作出E关于直线的对称点，过作的垂线，交于P，交与F，过作，交于G，连接．画出图像如下图所示，由于，故为最短的距离．在三角形中，设，则，而，
故，
所以，
所以．
17．（1）连接交于F，F为中点，连接． 1分
在三角形中，E为的中点，∴， 2分
∵平面平面，∴平面． 5分
（2）∵，∴异面直线与所成角的角为， 6分
∴． 7分
∴ 10分
18．（1）作出散点图如下图所示： 2分
（2）， 4分
已知．由公式，
可求， 8分
因此线性回归方程为． 9分
（3）时，， 11分
即外卖份数为12份时，收入大约为95.5元． 12分
19．（1） 1分
， 3分
令，得：，
∴的单调递增区间为：； 5分
（2）由（1）可得，，那么，可得：， 6分
∵，根据正弦定理，可得， 7分
那么的周长
， 9分
∵是锐角三角形，∴，则， 10分
则， 11分
那么周长， 12分
20．（1）， 1分
因为数列各项均为正数，故，所以是以公比为2的等比数列， 2分
又是的等差中项，故 ，3分
即， 4分
故． 5分
（2）， 6分
故…①，所以…②，②-①得 7分
， 10分
要，即，故使成立的正整数n的最小值为5． 12分
21．（1）连接∵四边形为菱形，∴，且，∵平面平面，∴ 2分
∵与平面，∴平面， 4分
∵平面，∴． 5分
（2）作，垂足为D，连接，∵四边形为菱形，，∴为等边三角形 又，∴，∴∵平面平面，∴又平面，∴平面， 8分
∵平面，∴，∴二面角的平面角为， 10分
∵，O为中点，∴，
∴，∴，
∴二面角的余弦值为 12分
22．依题意可设圆心，
则，解， 2分
故，圆C的半径，圆C的标准方程为． 4分
（2）设，由（1）可知，， 5分
联立方程组，消去x并化简得， 6分
所以， 7分
直线的方程为，①直线的方程为，② 8分
由①②知 11分
由，化简得，故点T在定直线上． 12分