江西省九江市六校2021-2022学年高二上学期期中考试数学（理）试题（Word版含答案）

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九江六校2021-2022学年度上学期高二期中试卷
理科数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．
3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的
1．若直线l的斜率是，则其倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．小张去年承包了村里的鱼塘养殖黑鱼，计划今年年初出售成年黑鱼．小张第一天从鱼塘里捞出200条成年黑鱼，称得共重500斤，将这些鱼做上标记后重新放回鱼塘，第二天又从鱼塘里捞出200条成年黑鱼，发现带有标记的黑鱼有8条已知目前市场上一斤黑鱼价格是18元，则可估计该鱼塘今年能产生的效益约为（ ）
A．188000元 B．205000元 C．220000元 D．225000元
3．在中，，则（ ）
A．4 B．5 C．6 C．9
4．已知平面满足，且不垂直，直线，那么下列命题中错误的是（ ）
A．对任意直线，都有 B．存在直线，使得
C．存在直线，使得 D．m与平面一定不垂直
5．点在函数的图象上，则（ ）
A．有最小值9 B．有最大值9 C．有最小值6 D．有最大值6
6．三棱锥中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．0 B． C． D．
7．已知函数的最小正周期为，且图象向右平移个单位长度后得到的图象，则的对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
8．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
9．若数列满足，且，则的前100项和为（ ）
A．67 B．68 C．134 D．167
10．如图网格中小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的所有棱长之和为（ ）
A． B． C． D．
11．已知是等比数列，是16与的等差中项，则数列的前10项和（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数满足对任意的实数m，n，恒有，函数．若与的图象有3个不同的交点，其中，则（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在题中的横线上．
13．已知实数x，y满足则的最大值为________．
14．过点作圆的切线l，则l的方程为________．
15．已知四面体中和是等边三角形，二面角为直二面角．若，则四面体外接球的体积为_______．
16．我国古代数学家秦九部在其著作《数书九章》中给出了一个求三角形面积的公式，其中a，b，c分别为的内角A，B，C的对边．若中，，且，则面积S的最大值为值为________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写岀文字说明．证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10）
已知的角A，B，C所对边分别为a，b，c．．
（1）求A；
（2）若角A的平分线与交于点M，，求b，c．
18．（本小题满分12）
已知向量，函数．
（1）求的解析式；
（2）若，求的值域．
19．（本小题满分12）
四棱锥中，平面平面是正三
角形，点N是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点D到平面的距离．
20．（本小题满分12）
已知直线l的斜率为，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为1．圆C的圆心在l上，且截x轴所得弦长为4．
（1）求l的方程；
（2）若直线与C相切，求C的方程．
21．（本小题满分12）
己知数列的前n项和为满足．
（1）求的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，求证：．
22．（本小题满分12）
如图所示，半圆O的直径，点C在的延长线上，，点P为半圆弧上的动点．以为一边在半圆外作矩形，其中．设．
（1）将表示为的函数；
（2）求和矩形的面积之和的最大值．
2021～2022学年上学期九江六校高二年级期中联考试卷
数学（理）参考答案
1．【答案】C
【解析】设直线l的倾斜角为，∵，∴，故选C．
2．【答案】D
【解析】设鱼塘里有n条成年黑鱼，则，则，估计可产生的效益为元，故选D．
3．【答案】B
【解析】因为，所以，所以，故选B．
4．【答案】C
【解析】由可知m与内任意一条直线都垂直，故A正确；由，可知且，所以当且时，，故B正确；由不垂直，，可得m与相交，故C错误；若m与垂直，则，这与矛盾，所以m与一定不垂直，故D正确，故选C．
5．【答案】A
【解析】由点在函数的图象上，可得，所以，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值9，故选A．
6【答案】D
【解析】分别取的中点E，的中点F，的中点G，连接，则，由，可得，所以，又，所以，所以异面直线与所成角的余弦值是，故选D．
7．【答案】C
【解析】的最小正周期为，所以，即，故，由，解得，从而的对称中心为，故选C．
8．【答案】B
【解析】∵，故选B．
9．【答案】B
【解析】由题意得，根据可得前若干项依次为2，1，1，0，1，1，0，…，从第2项起，3项一个循环，所以的前100项的和为，故选B．
10．【答案】C
【解析】如图所示，该多面体是四棱锥，其中，所以该多面体的所有棱长之和为，故选C．
11．【答案】A
【解析】设数列的公比为q，由题知，∴，∴，∴，∴，
∴，故选A．
12．【答案】B
【解析】令，得，令，得，所以的图象关于点对称，又，所以的图象也关于点对称，且，所以，所以，故选B．
13．【答案】5
【解析】均束条件，表示的可行域是以为顶点的三角形区域．由，得，则直线经过点B时，z取到最大值5．
14．【答案】或
【解析】圆可化为，当l的斜率不存在时，易知为切线方程，符合题意；当l的斜率存在时，设l的方程为，即．所以，解得，所以l的方程为．综上，l的方程为或．
15．【答案】
【解析】设为的中心，O为四面体的外接球的球心，则平面．设M为线段的中点，外接球的半径为R，连接，过O作于点G，易知G为的中心，则，因为，故，在，故，则．
16．【答案】
【解析】由可得，所以，所以，所以，当时，．
17．解：（1）由正弦定理及得，
∴， （1分）
∵，
∴，
∴，
∴，（3分）
∵，
∴．（5分）
（2）∵是角A的平分线，
∴，
∵，
即，
∴，①（7分）
由（1）知，②（8分）
由①②解得．（10分）
18．解：（1）
，（3分）
则
，
所以．（6分）
（2）因为，所以，所以，
则，所以，
所以的值域是．（12分）
19．（1）证明：记点H是的中点，连接，
∵点N是的中点，
∴，且，（2分）
∵，且，
∴，且，（3分）
∴四边形为平行四边形，
∴，（4分）
∵平面平面，
∴平面．（5分）
（2）解：连接，过点C作于点P，
由题知，，
∴，（6分）
∴，
∴，
∴，（7分
∴平面平面，平面平面，
∴平面，（8分）
又平面，
∴平面平面，
作于点Q，又平面平面，
则平面，即点D到平面的距离为．
由是正三角形，且得，
∴点D到平面的距离为．（12分）
20．解：（1）设l的方程为，它与两坐标轴的正半轴的交点依次为，
因为l与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积等于1，
所以，解得，（2分）
所以l的方程是，即．（5分）
（2）由题意，可设C的圆心为，半径为r．
所以圆心C到直线的距离，（7分）
又C被x轴截得的弦长等于4，
所以，
所以，
解得或，（9分）
当时，圆心；（10分）
当时，圆心，（11分）
所以C的方程是或．（12分）
21．（1）解：由得，
两式相减得，
即，
所以，
当时，，则，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列．
所以，所以．（6分）
（2）证明：，
则，
，
两式相减得
．
所以，又，所以，
所以．（12分）
22．解：（1）连接，则，（1分）
在中，由余弦定理，得，
所以．（4分）
（2）依题意，（7分）
，（8分）
所以和矩形的面积之和，（10分）
其中．
所以当，即时，S取得最大值20．（12分）