绝密★考试结束前
2021学年第一学期环大罗山联盟期中联考
高二年级数学学科试题
考生须知
1.本卷共4页满分150分,考试时间120分钟
题前,在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字
3.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷上无效
4.考试结束后,只需上交答题纸
选择题部分
选择题:(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的)
1.直线l的方程是x+y+1=0,则直线l的倾斜角为()
C.45
D.135°
如果抛物线y2=ax的准线是直线x=1,那么它的焦点坐标为
B.(2,0)
C.(3,0)
3.已知两平面的法向量分别为m=(0,0)n=(01),则两平面所成的二面角为(
区
C.45°或135°
4.已知AB=(2,-13),AC=(-1,4,-2),AD=(53-6,1),若AB,C,D四点共面,则实数=()
5.过椭圆+=1(a>b>0)左焦点F作x轴的垂线,交椭圆于PQ两点,A是椭圆与x轴正半轴
的交点,且| PQHFA|,则该椭圆的离心率是()
6.已知直线ax+b+C=0过点M(cosa,sima),则()
+b2≥
C.a2+b2≤c2
7.正方体ABCD-A1BCD1的棱长为2,E,F,G,H分别为AB,AD,BC,CD1的中点,则过
GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面的面积为()
8点P(x,y)是直线2x+y-5=0上任意一点,O是坐标原点,则以OP为直径的圆经过定点()
A.(.0)和()B.(0)和(2)C.0.0)和(
(0)和(21)
二数学学科第1页共4页
二、选择题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的四个选项中,有多项符合题
目要求全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)
椭圆C的方程为+y=1,焦点为F1,F2,则下列说法正确的是(
A.椭圆C的焦距为3
椭圆C的长轴长为10
C.椭圆C的离心率为
D.椭圆C上存在点P,使得∠FPF2为直角
0已知直线l的一个方向向量为v=(-√3,1),且经过点(,y3),则下列结论中正确的是()
A.l的傾斜角等于150
B.l在x轴上的截距等于
4
.与直线3x+3y+2=0平行
D.l上存在与原点距离等于2的点
3,.田知双曲线Ca-b2=1a>0,b>0),右项点为,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双
细
曲线C的一条渐近线交于M,N两点,若∠MAN=60°,则有()
A.渐近线方程为
√2
渐近线方程为y=±√3
12如图,已知正方体ABCD-4BCD的棱长为2,点E,F在四边形ABCD1所在的平面内,
若|AEF√5,AC⊥DF,则下述结论正确的是
A.点E的轨迹是一个圆
B.点F的轨迹是一个圆
C.|E的最小值为√2-1
D.直线DF与平面ABD所成角的正弦值的最大值为
√3
非选择题部分
三、填空题:(本大题共4小题,每题5分,共20分.)
3.已知向量a=(x2,1.b=(210)=.则ab
14.已知双曲线x2-y2=1,点F,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥P2,则
PF1|+|PF2|的值为
15.如果方程kx2+y2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是
而二数学学科第页共42021 学年第一学期
高二年级数学学科参考答案
一、选择题：（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D C D A D C D
二、选择题：（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分）
题号 9 10 11 12
答案 BC ACD AC AC
三、填空题：（本大题共 4小题，每题 5分，共 20分.）
13. 2 14. 2 3 15. k >1 16.10
四、解答题: （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （1）当 k 不存在时， l : x = 2 ,符合题意；
当 k 存在时，设 l : y 3 = k(x 2),即kx y + 3 2k = 0
3 - 2k
∴ = 2, 5解得：k =
k 2 +1 12
∴ l : 5x 12y + 26 = 0或x = 2 …………………5分
3
（2）若直线过原点，直线方程为 y = x
2
若不过原点，直线方程为 x + y 5 = 0
∴直线l : y 3= x或 x + y 5 = 0 …………………10分
2
18. （1）设P(x, y),则（x + 2)2 + y2 = 2 (x 1)2 + y2化简得：（x— 2）2 + y2 = 4；
…………………5分
（2）当 l与（x + 2)2 + (y 4)2 = 4相切，解得b = 6 ± 2 2
当l与圆C相切的时候，b = 2 ± 2 2
所以实数b∈ (2 2 2,6 2 2) …………………12分
19. （1）因为 | MF1 | + | MF2 |= 2 3,| NF1 | + | NF2 |= 2 3
所以 F1MN 的周长为 2 3 + 2 3 = 4 3 ……………………………………………………5分
（2）由题意可得 F2 (1,0)
π
，直线MN 的倾斜角为 ， 3π
4 4
不妨直线MN 的方程为 y = x 1，
与椭圆方程联立可得：5x2 6x 3 = 0，
x
6
1 + x2 =
设 M (x1, y1 ) , N (x , y ) 2 2 ，则有 5
x x 31 2 = 5
所以弦长 | MN |= 1+12 x1 x2 = 2 (x1 + x )
2 4x x 8 32 1 2 = .……………………5 12 分
20．（1）取 BD的中点 F 连接 FN , MF , ME ，
1 AB 1因为 FN // ，ME // AB ，所以MENF 为平行四边形，
2 2 P
所以 EN // MF ，又因为MF 面MBD
， EN 面MBD ，所以 EN //面MBD …………………………6分
（2）连接 PN , DN ，则 DN = 10 ， PN = 14, PD = 4 ， M E
10 +16 14 3 10 310
所以 cos∠PDN = = ，所以 sin∠PDN =
8 10 20 20 D C
所以 h 31= ………………………………………………12分 F N
2 A B
方法二：
（1）如图建立空间直角坐标系 z
P (0,0,2 3) , B(0,2,0), D(0, 2,0), A(2,0,0), M (1,0, 3),C( 2,0,0) P
N ( 1,1,0), E(0,1, 3)，所以 DB = (0,4,0)， DM = (1,2, 3)，
所以平面 DBM 的一个法向量是 n = ( 3,0, 1)， M E
而 NE = (1,0, 3) , n NE = 0,∴NE //面MDB ………6分
C
（2） DN = ( 1,3,0)， DP = (0,2,2 3 ) D
A N
2
DN DP
( )2 ( ) 9 31 xd = DN y2 = 10 = ……………12分 B( DP) 4 2
21.（1）因为三棱柱 ABC A1B1C1是直三棱柱，所以BB1 ⊥底面 ABC ，所以 BB1 ⊥ AB
因为 A1B1 //AB ， BF ⊥ A1B1，所以BF ⊥ AB，又BB1 ∩ BF = B，所以 AB ⊥平面BCC1B1．
所以BA, BC, BB1两两垂直．
以 B 为坐标原点，分别以BA, BC, BB1所在直线为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，如图．
所以
B (0,0,0) , A(2,0,0) ,C (0, 2,0) , B1 (0,0,2) , A1 (2,0,2) ,C1 (0,2,2)，
E (1,1,0) , F (0, 2,1)．由题设D (a,0, 2)（0 ≤ a ≤ 2 ）．
（1）因为BF = (0, 2,1) , DE = (1 a,1, 2)，所以BF DE = 0×(1 a) + 2×1+1×( 2) = 0，所以
BF ⊥ DE． …………………6分
（2）由题意得面 BB1C1C 的法向量为 n = (1,0,0)
DEF m = (x, y, z),
m DE = 0
设面 的法向量为
m DF = 0
解得m = (3,2, 1) cos n,m 3 14， < >=
14
3 14
所以所求角余弦值为 …………………12分
14
22. （1）设椭圆的左焦点为 F ′，由题意可知 F ′( 1,0), F (1,0)
根据定义，可求得 2a =| EF ′ | + | EF |= 4，∴a = 2,∴b = 3 ，
x2 y2∴椭圆的标准方程为 + =1………………3 分4 3
（2）①设 A(x1, y1 ) , B (x2 , y2 ) , M (x0 , y0 )，直线 AB 的斜率为 k ，
x 2 21 y+ 1 =1 4 3 x 2 x 2 y 21 2 1 y
2
则有 ，作差得： + 2 = 0
x 2 2 2 y+ 2
4 3
=1 4 3
x y y 3
两边同除 x x ，可得： 0 + 01 2 k = 0，即 k 0 = ， 4 3 x0 4
所以直线MO 3的斜率为 ， MO 3的方程为 y = x
4k 4k
联系直线 x = 4 ，可求得 P 4,
3
1
，所以直线 PF 的斜率为 ，
k k
k 1因为 = 1，所以 PR ⊥ OQ
k
另外，由OQ / / AB 4k，可求得Q (4,4k )，所以直线QF 的斜率为 ，
3
3 4k因为 = 1，所以QS ⊥ OP
4k 3
综上，O, S , F , R 四点共圆，OF 为圆的一条直径.……………………………………7分
2
②由①可知： QRF∽ QSO S1 | RF |，所以 = ，
S2 | SO |
2
由于直线 PF 的方程为 x + ky 1= 0 ，直线OP 的方程为3x + 4y = 0，
2 1
1 2
1
2
2
由垂径定理可知， | RF |2= 4
k
2 1+ k 2
= ，
1+ k 2
3
2
1 2 2OS 2 = 4 2 16k = ，又因为 k ≠ 0， 2
2 9 +16k 2 9 +16k
S | RF |2 9 +16k 21 1= = = 所以 2 16
7 9 ∈ ,1 ，
S2 | SO | 16(1+ k 2 ) 16 1+ k 2 16
S 9
综上， 1 的取值范围为 ,1
S 16
.
2
1
S | QR | | QF | sin∠RQF1 2 | QR | | QF | 4 xR 4 1另解： = 1 = =
，
S2 | QO | | QS | sin∠OQS | QO | | QS | 4 4 xS
2
1 16k 2 S 9 +16k
2 1 7 9
可求得 xR = 2 , xS = ，2 k ≠ 0，代入得
1 = = 16 2 ∈ ,1 ，
k +1 16k + 9 S2 16(1+ k 2 ) 16 1+ k 16
S 9
综上， 1 的取值范围为 ,1
.…………………………………………………………S 12 分
2 16
