初中数学苏科版九年级上册1.3根与系数的关系 同步练习
一、单选题
1．（2021·泸县）关于x的一元二次方程 的两实数根 ，满足 ，则 的值是（ ）
A．8 B．16 C．32 D．16或40
2．（2021·南海模拟）已知Rt 的两条直角边的长度恰好是一元二次方程 的两个实数根，那么 的面积为（ ）
A．16 B．32 C． D．
3．（2021八下·长兴期中）下列一元二次方程中，两个根分别是-2和3的是（ ）
A．x2+x-6=0 B．x2-x-6=0 C．x2-5x+6=0 D．x2+5x+6=0
4．（2021·东台模拟）已知α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，则（1+2019α+α2）（1+2019β+β2）的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2021·武汉模拟）若m，n为方程 的两根，则多项式 的值为（ ）
A．-8 B．-9 C．9 D．10
6．（2021八下·拱墅月考）如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（ ）
A．7 B．6 C．﹣2 D．0
7．（2021九下·盐城月考）方程 的两个根为x1，x2，则 等于（ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
8．（2021九下·广州开学考）方程 的两根之和为（ ）
A．-6 B．5 C．-5 D．1
9．（2021·黄梅模拟）已知一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则 的值为（ ）
A．2 B．－1 C．－ D．－2
10．（2020·呼和浩特模拟）已知 ， 是方程2 +2x-3=0的两个根，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
11．（2021九上·平昌期末）设关于x的方程 的两个实数根为 、 ，现给出三个结论：① ；② ；③ 则正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．无法确定
12．（2021九上·秦淮期末）关于x的方程 （p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．根的符号与p的值有关
二、填空题
13．（2021·玄武模拟）设 ， 是关于 的方程 的两个根，且 ，则 .
14．（2021九下·千山期中）若 ， 是关于 的一元二次方程 的两个根，且 ，则b的值为 ．
15．（2021九下·庆云月考）方程x2+2kx+k2﹣2k+1＝0的两个实数根x1，x2满足x12+x22＝4，则k的值为 ．
16．（2021·江都模拟）a、b是一元二次方程 的两根，则 值为 .
17．（2021·绥宁模拟）已知关于x的方程x2+x+n＝0有两个实数根3，m，则m＝ .
18．（2021·黄冈模拟）设x1、x2是方程x2+mx﹣5＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝1，则m＝ .
19．（2021·江西模拟）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1x2的值＝ .
20．（2021·靖江模拟）设方程x2﹣4x+1＝0的两个根为x1与x2，则x1+x2﹣x1x2的值是 .
21．（2021九下·金牛月考）若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，则m2+n2﹣mn的值是 ．
22．（2021九下·兴化月考）设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则x1 x2＝ .
23．（2021·薛城模拟）如果关于x的方 的两个实数根分别为x1，x2，那么 的值为 ．
24．（2021·赣州模拟）已知 ， 是方程 的两个实数根，且 ，则 ．
25．（2021·苏州模拟） ， 为方程 的两根，则 的值为 .
26．（2021·东坡模拟）若 ， 是方程 的两个实数根，则代数式 的值等于 .
27．（2021·南通模拟）若x1和x2为一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根.则x12x2+x1x22值为 .
28．（2021九下·江西月考）若 ， 是一元二次方程 的两个根，则 ．
29．（2021八下·哈尔滨月考）若关于 的方程 的一个根是 ，则另一个根是 ．
30．（2021·资阳模拟）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则x1+x2+x1x2＝ .
31．（2021九下·江油开学考）若m、n是一元二次方程x2+3x﹣2021＝0的两个实数根，则2m+2n+mn的值为 .
32．（2021九下·东坡开学考）若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，则 的值是 .
33．（2021九下·泸县月考）设 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为 .
34．（2021八下·重庆开学考）关于 一元二次方程 的一个根为 ，则另一个根为 .
35．（2021九上·秦淮期末） 是一元二次方程 的一个根， ，则 的值是 .
36．（2021九上·梁平期末）若 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为 .
37．（2021九上·邵阳期末）若关于x的一元二次方程 的一个根是 ，则另一个根是 .
38．（2021九上·覃塘期末）若 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是 .
三、解答题
39．（2021·无棣模拟）已知 、 是关于 的一元二次方程 的两实根，且 ，求 的值．
40．（2021·汝阳模拟）已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，是否存在实数a使﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：一元二次方程
或
当 时，
原一元二次方程为
，
，
当 时，原一元二次方程为
原方程无解，不符合题意，舍去，
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可求出两根之积为2，建立关于m的方程，解方程求出m的值；分别将m的值代入方程，可求出方程的两根之和和两根之积；然后将代数式转化为含有两根之和和两根之积的代数式，整体代入求值即可.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设一元二次方程 的两个实数根分别是： ，
∴ ，
∵Rt 的两条直角边的长度恰好是一元二次方程 的两个实数根，
∴ 的面积=32÷2=16．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得 ，进而即可求解．
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的两个根为x1，x2，
∵两个根分别是-2和3，
∴x1+x2=1，x1·x2=-6；
A、x1+x2=-1，x1·x2=-6，故A不符合题意；
B、x1+x2=1，x1·x2=-6，故B符合题意；
C、x1+x2=5，x1·x2=6，故C不符合题意；
D、x1+x2=-5，x1·x2=6，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程x2+px+q=0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=-p，x1·x2=q，由题意求出两根之和和两根之积；再分别求出各选项中的方程的两根之和和两根之积，据此可作出判断.
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，
∴α2+2017α+1＝0，β2+2017β+1＝0，α+β＝﹣2017，αβ＝1，
∴
故答案为：D.
【分析】根据“α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根”将 带回式子可以得到关于 的二次方程，再根据韦达定理可以得到α+β＝﹣2017，αβ＝1，利用原式与 的关系即可得出答案.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由韦达定理可知： ，则 ，
又m为方程 的根，
则 ，
将 代入得： ，
整理得： ，
故答案为：D.
【分析】利用根与系数的关系得 ，根据方程的解的概念得 ，进而代入即可得出答案.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，
∴α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，
∴α2+β﹣2αβ＝α+2+β﹣2αβ＝1+2﹣2×（﹣2）＝7，
故答案为：A.
【分析】 根据方程x2-x-2=0的两个根为α，β，由根与系数的关系得到α+β=1，αβ=-2，α2=α+2，将原式变形为α+β+2-2αβ后代值计算即可．
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 的两个根为x1，x2，
∴ = .
故答案为：A
【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可.
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由一元二次方程根与系数的关系可得：
一元二次方程的两根之和为： ，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】由题意得，
， ，
∴ = .
故答案为：D.
【分析】通分，可得.根据韦达定理，代入求值.
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ ， 是方程2 +2x-3=0的两个根，
∴ ＋ = -1
∴ = - -1，
且2 +2 -3=0，
∴ ( +1)= ，
代入要求的式子中,得:
-
= -
= -
=
= .
故答案为：B.
【分析】先根据根与系数的关系求出 ＋ = -1，再求出 ( +1)= ，最后计算求解即可。
11．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：①∵方程 x2 (a+b)x+ab 1=0 中，△=（a+b）2﹣4（ab﹣1）=（a﹣b）2+4＞0，
∴x1≠x2；故①正确；
②∵x1x2=ab﹣1＜ab；故②正确；
③∵x1+x2=a+b，即（x1+x2）2=（a+b）2；
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2
=（a+b）2﹣2ab+2=a2+b2+2＞a2+b2，
即x12+x22＞a2+b2；故③错误；
综上所述，正确的结论的个数是：2，
故答案为：B.
【分析】①直接根据△=（a+b）2﹣4（ab﹣1）=（a﹣b）2+4＞0皆即可判断.
②由x1x2=ab﹣1＜ab即可判断.
③先根据根与系数关系找到x1+x2，x1x2的值，接着根据x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2就可以判断.
12．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（x-3）（x-2）=p2（p为常数），
∴x2-5x+6-p2=0，
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为6-p2，
∴根的符号与p的值有关，
故答案为：D.
【分析】先把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0）的形式，根据一元二次方程根与系数的关系得出两个根的积为6-p2，即可得出根的符号与p的值有关.
13．【答案】-6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意得：
，
故答案为：
【分析】利用一元二次方程根与系数可求出x1+x2及x1·x2的值，整体代入，建立关于m的方程，解方程求出m的值.
14．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 是关于 的一元二次方程 的两个根，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，即b=-3．
故答案为：-3．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系直接求解即可．
15．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程x2+2kx+k2﹣2k+1＝0的两个实数根，
∴△＝4k2﹣4（k2﹣2k+1）≥0，
解得 k≥ ．
∵x12+x22＝4，
∴x12+x22＝x12+2x1 x2+x22﹣2x1 x2＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝4，
又∵x1+x2＝﹣2k，x1 x2＝k2﹣2k+1，
代入上式有4k2﹣2（k2﹣2k+1）＝4，
整理得k2+2k-3=0，
解得k＝1或k＝﹣3（不合题意，舍去）．
故答案为：1．
【分析】由x12+x22＝x12+2x1 x2+x22﹣2x1 x2＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝4，然后根据根与系数的关系即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．
16．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： ， 是一元二次方程 的两根，
，a2-a-3=0，
∴ ，
，
故答案为：2.
【分析】由根与系数的关系结合一元二次方程的解，可得出 、 ，将其代入 中，即可得出结论.
17．【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于 的方程 有两个实数根 ，
∴ ，
解得 ，
故答案为：-4.
【分析】如果x1与x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，则x1+x2=，据此可得出答案.
18．【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1、x2是方程x2+mx﹣5＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣5.
∵x1+x2﹣x1x2＝1，
∴﹣m﹣（﹣5）＝1，
∴m＝4.
故答案为：4.
【分析】利用根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣5，结合x1+x2﹣x1x2＝1，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值.
19．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意得x1x2＝ =﹣3.
故答案为﹣3.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系“x1x2=”可求解.
20．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵ 是方程 的两个根，
∴ ， .
∴ .
故答案为：3.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系“x1+x2=、x1x2=”可得x1+x2=4，x1x2=1，然后用整体代换即可求解.
21．【答案】31
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，
∴m+n=5，mn=-2，
∴原式=m2+n2+2mn-2mn﹣mm=（m+n）2-3mn=25-3×（-2） =25+6=31.
故答案为：31.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可求出m+n，mn的值，再将代数式转化为（m+n）2-3mn；然后整体代入求值.
22．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意可得，在原方程中，a=1，b=-3，c=1，
∴x1 x2= ，
故答案为1.
【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系进行计算即可.
23．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程 有两个实数根，
，
，
,方程有两个相等实根
代入方程得： ，
解得： ，
则 ．
故答案为 ．
【分析】先利用根的判别式求出k=3，再求出 ，最后计算求解即可。
24．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ，
∴
∴
故答案为：2
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解即可。
25．【答案】2028
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵ ， 为方程 的两根，
∴ ， ，
∴ .
故答案为：2028.
【分析】一元二次方程的根，使方程两边相等的未知数的值，代入适合方程，再根据一元二次方程的根与系数的关系，把所求代数式变形求解即可.
26．【答案】2029
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2021＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2021＝0，即x12﹣4x1＝2021，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）
＝2021+2×4
＝2021+8
＝2029.
故答案为：2029.
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2＝4，再由x1是方程的根得出x12﹣4x1＝2021，然后把原式变形整体代值即可求出结果.
27．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 是一元二次方程 的两个根，
∴ ，
∴ .
故答案为：2.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得 ，将原式变形为，然后代入计算即可.
28．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵x1，x2是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根，
∴x1+x2=-3，x1x2=-5，
∴ = = ．
故答案为： ．
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2=-3，x1x2=-5，将其代入 中即可求出结论．
29．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程 的另一个根是x，由根与系数的关系可得：x+1=-2，所以x=-3，所以另一个根是-3．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算求解即可。
30．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】由根与系数的关系可知：x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣2
∴x1+x2+x1x2＝﹣3
故答案为﹣3
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得到x1+x2，x1x2的值；再整体代入求值.
31．【答案】﹣2027
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意可得：m+n=-3，mn=-2021，
∴2m+2n+mn=2(m+n)+mn=-6-2021=-2027.
故答案为：-2027.
【分析】首先由一元二次方程根与系数间的关系可得：m+n=-3，mn=-2021，然后将其代入计算即可.
32．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，
∴
∴.
故答案为：.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可求出α+β和αβ的值，再将代数式转化为，然后整体代入求值.
33．【答案】-5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵x1、x2是方程x2+3x-3=0的两个实数根，
∴x1+x2=-3，x1x2=-3，
∴ = =-5，
故答案为-5.
【分析】先根据一元二次方程的根与系数之间的关系求出两根之和与两根之积的值，再把原式得分子根据完全平方式变形代值即可
34．【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵a=1，b=m，c=-4，
∴x1 x2= =-4.
∵关于x一元二次方程x2+mx-4=0的一个根为x=-1，
∴另一个根为-4÷（-1）=4.
故答案为：4.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得到x1 x2= ，由此可求出方程的另一个根.
35．【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设原一元二次方程的另一个根为 ，
根据根与系数的关系可知 ，
根据题意 ，
∴ 为原一元二次方程的另一个根，
∴ ，即 .
故答案为：4.
【分析】设原一元二次方程的另一个根为 ，根据一元二次方程根与系数的关系得出，根据题意得出 为原一元二次方程的另一个根，再根据一元二次方程解的定义得出，即可得出答案.
36．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由一元二次方程的根与系数的关系得： ，
则 ，
故答案为：1.
【分析】根据根与系数的关系知 ， 代入可得结果.
37．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设另一个根为 ，则 ，解得
故答案为： .
【分析】设另一个根为 ，根据根与系数的关系可得，据此即得结论.
38．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据一元二次方程的根与系数关系可得：
，
所以可得
故答案为：3.
【分析】根据一元二次方程的根与系数关系“x1+x2=”可求解.
39．【答案】解：由已知定理得： ， ，
∴ ，
即 ，解得： ，
当 时，△= ，
∴ 舍去；
当 时， △= ，
∴ 的值为1．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】由定理得出，即 ，解得： ，当 时，△= ，所以 舍去；当 时， △= ，所以 的值为1．
40．【答案】解：存在，理由如下：
∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，
∴m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，m+n＝2，
∴﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）
＝﹣（m+n）[7（m2﹣2m）+a][3（n2﹣2n）﹣7]
＝﹣2×（7+a）（3﹣7）
＝8（7+a），
由8（7+a）＝8得a＝﹣6，
∴存在实数a＝﹣6，使﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】根据方程的解的定义得出m2-2m=1，n2-2n=1，由根与系数的关系可得m+n=2，再整体代入即可得出a的值.
1 / 1初中数学苏科版九年级上册1.3根与系数的关系 同步练习
一、单选题
1．（2021·泸县）关于x的一元二次方程 的两实数根 ，满足 ，则 的值是（ ）
A．8 B．16 C．32 D．16或40
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：一元二次方程
或
当 时，
原一元二次方程为
，
，
当 时，原一元二次方程为
原方程无解，不符合题意，舍去，
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可求出两根之积为2，建立关于m的方程，解方程求出m的值；分别将m的值代入方程，可求出方程的两根之和和两根之积；然后将代数式转化为含有两根之和和两根之积的代数式，整体代入求值即可.
2．（2021·南海模拟）已知Rt 的两条直角边的长度恰好是一元二次方程 的两个实数根，那么 的面积为（ ）
A．16 B．32 C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设一元二次方程 的两个实数根分别是： ，
∴ ，
∵Rt 的两条直角边的长度恰好是一元二次方程 的两个实数根，
∴ 的面积=32÷2=16．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得 ，进而即可求解．
3．（2021八下·长兴期中）下列一元二次方程中，两个根分别是-2和3的是（ ）
A．x2+x-6=0 B．x2-x-6=0 C．x2-5x+6=0 D．x2+5x+6=0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的两个根为x1，x2，
∵两个根分别是-2和3，
∴x1+x2=1，x1·x2=-6；
A、x1+x2=-1，x1·x2=-6，故A不符合题意；
B、x1+x2=1，x1·x2=-6，故B符合题意；
C、x1+x2=5，x1·x2=6，故C不符合题意；
D、x1+x2=-5，x1·x2=6，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程x2+px+q=0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=-p，x1·x2=q，由题意求出两根之和和两根之积；再分别求出各选项中的方程的两根之和和两根之积，据此可作出判断.
4．（2021·东台模拟）已知α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，则（1+2019α+α2）（1+2019β+β2）的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，
∴α2+2017α+1＝0，β2+2017β+1＝0，α+β＝﹣2017，αβ＝1，
∴
故答案为：D.
【分析】根据“α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根”将 带回式子可以得到关于 的二次方程，再根据韦达定理可以得到α+β＝﹣2017，αβ＝1，利用原式与 的关系即可得出答案.
5．（2021·武汉模拟）若m，n为方程 的两根，则多项式 的值为（ ）
A．-8 B．-9 C．9 D．10
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由韦达定理可知： ，则 ，
又m为方程 的根，
则 ，
将 代入得： ，
整理得： ，
故答案为：D.
【分析】利用根与系数的关系得 ，根据方程的解的概念得 ，进而代入即可得出答案.
6．（2021八下·拱墅月考）如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（ ）
A．7 B．6 C．﹣2 D．0
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，
∴α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，
∴α2+β﹣2αβ＝α+2+β﹣2αβ＝1+2﹣2×（﹣2）＝7，
故答案为：A.
【分析】 根据方程x2-x-2=0的两个根为α，β，由根与系数的关系得到α+β=1，αβ=-2，α2=α+2，将原式变形为α+β+2-2αβ后代值计算即可．
7．（2021九下·盐城月考）方程 的两个根为x1，x2，则 等于（ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 的两个根为x1，x2，
∴ = .
故答案为：A
【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可.
8．（2021九下·广州开学考）方程 的两根之和为（ ）
A．-6 B．5 C．-5 D．1
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由一元二次方程根与系数的关系可得：
一元二次方程的两根之和为： ，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．
9．（2021·黄梅模拟）已知一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则 的值为（ ）
A．2 B．－1 C．－ D．－2
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】由题意得，
， ，
∴ = .
故答案为：D.
【分析】通分，可得.根据韦达定理，代入求值.
10．（2020·呼和浩特模拟）已知 ， 是方程2 +2x-3=0的两个根，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ ， 是方程2 +2x-3=0的两个根，
∴ ＋ = -1
∴ = - -1，
且2 +2 -3=0，
∴ ( +1)= ，
代入要求的式子中,得:
-
= -
= -
=
= .
故答案为：B.
【分析】先根据根与系数的关系求出 ＋ = -1，再求出 ( +1)= ，最后计算求解即可。
11．（2021九上·平昌期末）设关于x的方程 的两个实数根为 、 ，现给出三个结论：① ；② ；③ 则正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：①∵方程 x2 (a+b)x+ab 1=0 中，△=（a+b）2﹣4（ab﹣1）=（a﹣b）2+4＞0，
∴x1≠x2；故①正确；
②∵x1x2=ab﹣1＜ab；故②正确；
③∵x1+x2=a+b，即（x1+x2）2=（a+b）2；
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2
=（a+b）2﹣2ab+2=a2+b2+2＞a2+b2，
即x12+x22＞a2+b2；故③错误；
综上所述，正确的结论的个数是：2，
故答案为：B.
【分析】①直接根据△=（a+b）2﹣4（ab﹣1）=（a﹣b）2+4＞0皆即可判断.
②由x1x2=ab﹣1＜ab即可判断.
③先根据根与系数关系找到x1+x2，x1x2的值，接着根据x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2就可以判断.
12．（2021九上·秦淮期末）关于x的方程 （p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．根的符号与p的值有关
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（x-3）（x-2）=p2（p为常数），
∴x2-5x+6-p2=0，
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为6-p2，
∴根的符号与p的值有关，
故答案为：D.
【分析】先把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0）的形式，根据一元二次方程根与系数的关系得出两个根的积为6-p2，即可得出根的符号与p的值有关.
二、填空题
13．（2021·玄武模拟）设 ， 是关于 的方程 的两个根，且 ，则 .
【答案】-6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意得：
，
故答案为：
【分析】利用一元二次方程根与系数可求出x1+x2及x1·x2的值，整体代入，建立关于m的方程，解方程求出m的值.
14．（2021九下·千山期中）若 ， 是关于 的一元二次方程 的两个根，且 ，则b的值为 ．
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 是关于 的一元二次方程 的两个根，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，即b=-3．
故答案为：-3．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系直接求解即可．
15．（2021九下·庆云月考）方程x2+2kx+k2﹣2k+1＝0的两个实数根x1，x2满足x12+x22＝4，则k的值为 ．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程x2+2kx+k2﹣2k+1＝0的两个实数根，
∴△＝4k2﹣4（k2﹣2k+1）≥0，
解得 k≥ ．
∵x12+x22＝4，
∴x12+x22＝x12+2x1 x2+x22﹣2x1 x2＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝4，
又∵x1+x2＝﹣2k，x1 x2＝k2﹣2k+1，
代入上式有4k2﹣2（k2﹣2k+1）＝4，
整理得k2+2k-3=0，
解得k＝1或k＝﹣3（不合题意，舍去）．
故答案为：1．
【分析】由x12+x22＝x12+2x1 x2+x22﹣2x1 x2＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝4，然后根据根与系数的关系即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．
16．（2021·江都模拟）a、b是一元二次方程 的两根，则 值为 .
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： ， 是一元二次方程 的两根，
，a2-a-3=0，
∴ ，
，
故答案为：2.
【分析】由根与系数的关系结合一元二次方程的解，可得出 、 ，将其代入 中，即可得出结论.
17．（2021·绥宁模拟）已知关于x的方程x2+x+n＝0有两个实数根3，m，则m＝ .
【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于 的方程 有两个实数根 ，
∴ ，
解得 ，
故答案为：-4.
【分析】如果x1与x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，则x1+x2=，据此可得出答案.
18．（2021·黄冈模拟）设x1、x2是方程x2+mx﹣5＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝1，则m＝ .
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1、x2是方程x2+mx﹣5＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣5.
∵x1+x2﹣x1x2＝1，
∴﹣m﹣（﹣5）＝1，
∴m＝4.
故答案为：4.
【分析】利用根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣5，结合x1+x2﹣x1x2＝1，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值.
19．（2021·江西模拟）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1x2的值＝ .
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意得x1x2＝ =﹣3.
故答案为﹣3.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系“x1x2=”可求解.
20．（2021·靖江模拟）设方程x2﹣4x+1＝0的两个根为x1与x2，则x1+x2﹣x1x2的值是 .
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵ 是方程 的两个根，
∴ ， .
∴ .
故答案为：3.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系“x1+x2=、x1x2=”可得x1+x2=4，x1x2=1，然后用整体代换即可求解.
21．（2021九下·金牛月考）若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，则m2+n2﹣mn的值是 ．
【答案】31
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，
∴m+n=5，mn=-2，
∴原式=m2+n2+2mn-2mn﹣mm=（m+n）2-3mn=25-3×（-2） =25+6=31.
故答案为：31.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可求出m+n，mn的值，再将代数式转化为（m+n）2-3mn；然后整体代入求值.
22．（2021九下·兴化月考）设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则x1 x2＝ .
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意可得，在原方程中，a=1，b=-3，c=1，
∴x1 x2= ，
故答案为1.
【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系进行计算即可.
23．（2021·薛城模拟）如果关于x的方 的两个实数根分别为x1，x2，那么 的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程 有两个实数根，
，
，
,方程有两个相等实根
代入方程得： ，
解得： ，
则 ．
故答案为 ．
【分析】先利用根的判别式求出k=3，再求出 ，最后计算求解即可。
24．（2021·赣州模拟）已知 ， 是方程 的两个实数根，且 ，则 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ，
∴
∴
故答案为：2
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解即可。
25．（2021·苏州模拟） ， 为方程 的两根，则 的值为 .
【答案】2028
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵ ， 为方程 的两根，
∴ ， ，
∴ .
故答案为：2028.
【分析】一元二次方程的根，使方程两边相等的未知数的值，代入适合方程，再根据一元二次方程的根与系数的关系，把所求代数式变形求解即可.
26．（2021·东坡模拟）若 ， 是方程 的两个实数根，则代数式 的值等于 .
【答案】2029
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2021＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2021＝0，即x12﹣4x1＝2021，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）
＝2021+2×4
＝2021+8
＝2029.
故答案为：2029.
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2＝4，再由x1是方程的根得出x12﹣4x1＝2021，然后把原式变形整体代值即可求出结果.
27．（2021·南通模拟）若x1和x2为一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根.则x12x2+x1x22值为 .
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 是一元二次方程 的两个根，
∴ ，
∴ .
故答案为：2.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得 ，将原式变形为，然后代入计算即可.
28．（2021九下·江西月考）若 ， 是一元二次方程 的两个根，则 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵x1，x2是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根，
∴x1+x2=-3，x1x2=-5，
∴ = = ．
故答案为： ．
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2=-3，x1x2=-5，将其代入 中即可求出结论．
29．（2021八下·哈尔滨月考）若关于 的方程 的一个根是 ，则另一个根是 ．
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程 的另一个根是x，由根与系数的关系可得：x+1=-2，所以x=-3，所以另一个根是-3．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算求解即可。
30．（2021·资阳模拟）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则x1+x2+x1x2＝ .
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】由根与系数的关系可知：x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣2
∴x1+x2+x1x2＝﹣3
故答案为﹣3
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得到x1+x2，x1x2的值；再整体代入求值.
31．（2021九下·江油开学考）若m、n是一元二次方程x2+3x﹣2021＝0的两个实数根，则2m+2n+mn的值为 .
【答案】﹣2027
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意可得：m+n=-3，mn=-2021，
∴2m+2n+mn=2(m+n)+mn=-6-2021=-2027.
故答案为：-2027.
【分析】首先由一元二次方程根与系数间的关系可得：m+n=-3，mn=-2021，然后将其代入计算即可.
32．（2021九下·东坡开学考）若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，则 的值是 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，
∴
∴.
故答案为：.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可求出α+β和αβ的值，再将代数式转化为，然后整体代入求值.
33．（2021九下·泸县月考）设 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为 .
【答案】-5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵x1、x2是方程x2+3x-3=0的两个实数根，
∴x1+x2=-3，x1x2=-3，
∴ = =-5，
故答案为-5.
【分析】先根据一元二次方程的根与系数之间的关系求出两根之和与两根之积的值，再把原式得分子根据完全平方式变形代值即可
34．（2021八下·重庆开学考）关于 一元二次方程 的一个根为 ，则另一个根为 .
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵a=1，b=m，c=-4，
∴x1 x2= =-4.
∵关于x一元二次方程x2+mx-4=0的一个根为x=-1，
∴另一个根为-4÷（-1）=4.
故答案为：4.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得到x1 x2= ，由此可求出方程的另一个根.
35．（2021九上·秦淮期末） 是一元二次方程 的一个根， ，则 的值是 .
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设原一元二次方程的另一个根为 ，
根据根与系数的关系可知 ，
根据题意 ，
∴ 为原一元二次方程的另一个根，
∴ ，即 .
故答案为：4.
【分析】设原一元二次方程的另一个根为 ，根据一元二次方程根与系数的关系得出，根据题意得出 为原一元二次方程的另一个根，再根据一元二次方程解的定义得出，即可得出答案.
36．（2021九上·梁平期末）若 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为 .
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由一元二次方程的根与系数的关系得： ，
则 ，
故答案为：1.
【分析】根据根与系数的关系知 ， 代入可得结果.
37．（2021九上·邵阳期末）若关于x的一元二次方程 的一个根是 ，则另一个根是 .
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设另一个根为 ，则 ，解得
故答案为： .
【分析】设另一个根为 ，根据根与系数的关系可得，据此即得结论.
38．（2021九上·覃塘期末）若 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是 .
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据一元二次方程的根与系数关系可得：
，
所以可得
故答案为：3.
【分析】根据一元二次方程的根与系数关系“x1+x2=”可求解.
三、解答题
39．（2021·无棣模拟）已知 、 是关于 的一元二次方程 的两实根，且 ，求 的值．
【答案】解：由已知定理得： ， ，
∴ ，
即 ，解得： ，
当 时，△= ，
∴ 舍去；
当 时， △= ，
∴ 的值为1．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】由定理得出，即 ，解得： ，当 时，△= ，所以 舍去；当 时， △= ，所以 的值为1．
40．（2021·汝阳模拟）已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，是否存在实数a使﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
【答案】解：存在，理由如下：
∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，
∴m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，m+n＝2，
∴﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）
＝﹣（m+n）[7（m2﹣2m）+a][3（n2﹣2n）﹣7]
＝﹣2×（7+a）（3﹣7）
＝8（7+a），
由8（7+a）＝8得a＝﹣6，
∴存在实数a＝﹣6，使﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】根据方程的解的定义得出m2-2m=1，n2-2n=1，由根与系数的关系可得m+n=2，再整体代入即可得出a的值.
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