初中数学苏科版九年级下册5.2 二次函数图像及性质 同步练习

初中数学苏科版九年级下册5.2 二次函数图像及性质 同步练习
一、单选题
1．（2021·漳浦模拟）二次函数 ，若 为正整数，且 随 的增大而减小，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由二次函数 可得：二次项系数 ，开口向下，对称轴为直线 ，
∵ 为正整数，且 随 的增大而减小，
∴ ，解得： ，
故答案为：C.
【分析】由于a=-1＜0，可得抛物线开口向下，对称轴为直线 ，在对称轴的右侧 随 的增大而减小，结合x为正整数即可求出结论.
2．（2021·泰山模拟）如图，已知抛物线 的对称轴为直线 ．给出下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中，正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由图象可得：a＜0，c＞0，﹣ ＝1，
∴b＝-2a＞0，
∴ ；
∴①符合题意，
∵﹣ ＝1，
∴b＝-2a，
∴ ，
∴②符合题意，
∵对称轴为直线 ，
∴ ，
解得x=-1,
∴（3，0）的对称点为（-1，0）
当x=﹣1时，y =a﹣b+c，
∴a﹣b+c=0，
∴③符合题意，
当x＝m时，y＝a +bm+c，
当x＝1时，y有最大值为a+b+c，
∴a +bm+c≤a+b+c，
∴a +bm≤a+b，
∴④不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据抛物线开口向下得出a＜0，由抛物线与y轴交点在x轴上方，得出c＞0，由﹣ ＝1，可得b＜0，∴b＝-2a，据此判断①②；根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0），可得当x=﹣1时，y =a﹣b+c=0，据此判断③；当x＝1时，y有最大值为a+b+c，从而得出a +bm+c≤a+b+c，据此判断④.
3．（2021·乐清模拟）已知两点A(-6，y1)，B(2，y2)均在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上，若y1>y2，则抛物线的顶点横坐标m的值可以是（　　）
A．-6 B．-5 C．-2 D．-1
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：假设点A(-6，y1)，B(2，y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的两个对称点，
∴对称轴为直线x=；
∵ y1>y2，
∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，y的值越小，
∴该抛物线的顶点的横坐标m＞-2，
∴选项中m=-1.
故答案为：D.
【分析】假设点A(-6，y1)，B(2，y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的两个对称点，可求出抛物线的对称轴，再根据y1>y2，可得到抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，y的值越小，由此可求出顶点横坐标的取值范围，根据各选项，可得答案.
4．（2021·金东模拟）若二次函数y=x2+2x+k的图象经过点(1，y1)，(-2，y2)，则y1与y2的大小关系为（　　）
A．y1>y2 B．y1=y2 C．y1【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：y=（x+1）2+k-1
∴抛物线的对称轴为直线x=-1
∴ 点(1，y1) 的对称点为（-3，y1），
∵当x＜-1时y随x的增大而减小，-3＜-2，
∴y1＞y2.
故答案为：A.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的对称轴，由此可求出点(1，y1) 的对称点为（-3，y1），再利用二次函数的性质，可知当x＜-1时y随x的增大而减小，即可得到y1与y2的大小关系.
5．（2021·龙华模拟）如图，已知抛物线L1：y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，将该抛物线向右平移n（n＞0）个单位长度后得到抛物线L2，L2与x轴交于C、D两点，记抛物线L2的函数表达式为y＝f（x）．则下列结论中错误的是（　　）
A．若n＝2，则抛物线L2的函数表达式为：y＝﹣x2+6x﹣5
B．CD＝4
C．不等式f（x）＞0的解集是n﹣1＜x＜n+3
D．对于函数y＝f（x），当x＞n时，y随x的增大而减小
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A．当n＝2时，则y＝﹣（x﹣2）2+2（x﹣2）+3＝﹣x2+6x﹣5，故A不符合题意；
B．令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x＝3或﹣1，故AB＝3﹣（﹣1）＝4＝CD，故B不符合题意；
C．由平移的性质知，平移后抛物线和x轴交点的坐标为x＝n+3或n﹣1，从图象看，不等式f（x）＞0的解集是n﹣1＜x＜n+3不符合题意；
D．平移后抛物线和x轴交点的坐标为x＝n+3或n﹣1，则抛物线的对称轴为直线x＝ （n+3+n﹣1）＝n+1，
故当x＞n+1时，y随x的增大而减小，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据函数图象的性质和特点，以及便宜的性质主次求解即可。
6．（2020·深圳模拟）将抛物线y＝x2﹣4x+3平移，使它平移后图象的顶点为（﹣2，4），则需将该抛物线（　　）
A．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位
B．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位
C．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位
D．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，则抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点坐标为（2，﹣1），
把点（2，﹣1）先向左平移4个单位，再向上平移5个单位得到点（﹣2，4），
所以将抛物线y＝x2﹣4x+3先向左平移4个单位，再向上平移5个单位，使它平移后图象的顶点为（﹣2，4）．
故答案为：C．
【分析】利用配方法得到抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点坐标为（2，-1），在通过顶点的平移的规律确定抛物线的平移规律。
7．（2021·深圳模拟）已知点A(a－m，y1)、B(a－n，y2)、C(a+b，y3)都在二次函数y=x2－2ax +1的图象上，若0A．y1< y2< y3 B．y1 < y3< y2
C．y3< y1< y2 D．y2< y3< y1
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=x2－2ax
+1
∴对称轴为x=a
点A、B的情况：n>m，故点B比点A离对称轴远，故y2>y1；
点A、C的情况：my1；
点B，C的情况：by3；
∴故y1故答案为B.
【分析】先确定二次函数图象的对称轴，然后运用二次函数的性质进行解答即可．
8．（2021·清远模拟）将抛物线 向左平移2个单位，得到抛物线的解析式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y=2(x-1)2+1向左平移2个单位，得到抛物线的解析式是y=2(x-1+2)2+1．
即y=2(x+1)2+1．
故答案为：B．
【分析】按照“左加右减”的规律即可求得．
9．（2021·盐田模拟）如图，抛物线y＝a ＋bx＋c与直线y＝kx交于M，N两点，则二次函数y＝a ＋（b﹣k）x＋c的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由图像可知a＞0，b＞0，c＞0，k＜0，则b－k＞0，可排除选项B、D，由图像可知抛物线y＝a ＋bx＋c与直线y＝kx有两个不同的交点，则一元二次方程a ＋bx＋c＝kx有两个不等的实数根，即一元二次方程a ＋（b－k）x＋c＝0有两个不等的实数根，所以二次函数y＝a ＋（b﹣k）x＋c的图象与x轴有两个交点，
故答案为：A．
【分析】利用二次函数解析式和二次函数图象进行判断求解即可。
10．（2021·铁西模拟）在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，下列点在平移后的图象上的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵原抛物线的顶点为（0，0），向左平移2个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（-2，-2），
∴可设新抛物线的解析式为： ，
∴代入得： ，
∴所得图象的解析式为： ，
则点在平移后的图象上的是 ，
故答案为：B．
【分析】 求出二次函数 顶点为（0，0），根据坐标平移的特征得出新抛物线的顶点为（-2，-2），从而得出新抛物线解析式，然后逐一验证各选项中的坐标即可.
11．（2021·岳池模拟）抛物线y=﹣x2经过平移得到抛物线y=﹣（x+2）2﹣3，平移的方法是（　　）
A．向左平移2个，再向下平移3个单位
B．向右平移2个，再向下平移3个单位
C．向左平移2个，再向上平移3个单位
D．向右平移2个，再向上平移3个单位
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线y=-x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标为（-2，-3），而点（0，0）向左平移2个，再向下平移3个单位可得到（-2，-3），所以抛物线y=-x2向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y=﹣（x+2）2﹣3.
故答案为：A.
【分析】利用二次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，由此可得答案.
12．（2021·道里模拟）抛物线y＝﹣3（x＋1）2﹣2的顶点坐标是（　　）
A．（1，2） B．（1，﹣2）
C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵y＝﹣3（x＋1）2﹣2，
∴抛物线顶点坐标为（ 1， 2），
故答案为：D．
【分析】由抛物线解析式可直接求得结论．
13．（2021·汝阳模拟）抛物线y＝（x﹣2）2+3的对称轴是（　　）
A．直线x＝﹣3 B．直线x＝3 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+3，
∴对称轴是直线x＝2.
故答案为：C.
【分析】根据抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝h即可确定抛物线y＝（x﹣2）2+3的对称轴.
14．（2021九下·江夏月考）抛物线 的顶点坐标为（　　）
A．（3，－5） B．（－3，5）
C．（－3，－5） D．（3，5）
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标为 ，
故答案为：C.
【分析】：抛物线 （a≠0）的顶点坐标为（h,k）据此解答即可.
15．（2021九下·广州开学考）把抛物线y=12x2﹣1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y=12（x+1）2﹣3 B．y=12（x﹣1）2﹣3
C．y=12（x+1）2+1 D．y=12（x﹣1）2+1
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】∵把抛物线y=12x2﹣1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，
∴得到的抛物线的解析式为y=12（x﹣1）2﹣3，
故答案为：B．
【分析】二次函数图象与几何变换．
16．（2021九下·广州开学考）抛物线y=2(x-1)2-2的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】∵y=2(x-1)2-2是二次函数解析式的顶点式，
∴抛物线y=2(x-1)2-2的对称轴是直线x=1，
故答案为：B．
【分析】根据顶点式二次函数的解析式，可得二次函数的对称轴，即可得答案．
17．（2021·徐汇模拟）将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的顶点是（　　）
A．（3，﹣2） B．（﹣3，﹣2）
C．（3，2） D．（﹣3，2）
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线 向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，
得 ，
∴顶点坐标为（3，﹣2），
故答案为：A．
【分析】利用函数图象平移的性质：左加右减，上加下减求解即可。
18．（2021·松江模拟）将抛物线y＝（x﹣2）2+1向上平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（2，4） B．（﹣1，1） C．（5，1） D．（2，﹣2）
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：将抛物线 向上平移3个单位，
得 ，即 ，
顶点坐标为 ，
故答案为：A．
【分析】根据抛物线平移规律：上加下减，左加右减，可得平移后的抛物线解析式
，据此求出结论即可.
19．（2021九下·鄞州月考）下列二次函数的图象的对称轴是y轴的是（　　）
A．y=－(x+1)2+1 B．y=(x－1)2+1
C．y=－(x－1)2+1 D．y=－x2+1
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解： 抛物线y=－(x+1)2+1的对称轴为直线x=-1，故A不符合题意；
B、抛物线y=(x－1)2+1的对称轴为直线x=1，故B不符合题意；
C、抛物线y=－(x－1)2+1的对称轴为直线x=1，故C不符合题意；
D、抛物线y=－x2+1的对称轴为y轴，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】二次函数y=a（x-h）2+k的对称轴为直线x=h，可得到各选项中抛物线的对称轴，由此可作出判断.
20．（2021九下·成都月考）如图，二次函数 图象的对称轴是 ，下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：A、根据开口向下，所以a＜0，故A选项错误，不符合题意；
B、抛物线交y轴的正半轴，所以c＞0，故B选项错误，不符合题意；
C、由对称轴是x＝1，可得 ，即 ，可知2a+b＝0，故C选项正确，符合题意；
D、抛物线与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，故D选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据图象开口向下，可判断出a的正负，据此判断A；根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴可得c的正负，进而判断B；根据对称轴为直线x=1可得b=-2a，进而判断C的正误；根据抛物线与x轴有两个交点可得b2-4ac的正负，进而判断D的正误.
二、填空题
21．（2021·永州模拟）抛物线 的开口方向为向　 　
【答案】上
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵y＝2（x+3）2﹣3，
∴ ，抛物线开口向上，
故答案为：上.
【分析】二次函数“y=a(x-h)2+k”中，a＞0，抛物线开口向上，a＜0，抛物线开口向下，据此即可得出答案.
22．（2021·哈尔滨模拟）二次函数y＝﹣（x﹣3）2+6的最大值是　 　．
【答案】6
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】∵ ，
∴抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，最大值是6．
故答案为：6．
【分析】直接利用顶点式即可写出最大值．
23．（2021·哈尔滨模拟）抛物线 的顶点坐标是　 　．
【答案】（-4，-5）
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】∵二次函数的解析式为y=-3（x+4）2-5，
∴其顶点坐标为：（-4，-5）．
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
24．（2021·泗洪模拟）将抛物线 的图象向上平移3个单位，则平移后抛物线的函数表达式为　 　.
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线 的图象向上平移3个单位后得到新的图象，那么平移后抛物线的函数表达式为 ，
故答案为： .
【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可.
25．（2021·绥宁模拟）将抛物线y＝﹣x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式（顶点式）是　 　.
【答案】y＝﹣（x﹣2）2﹣1
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y＝﹣x2向右平移2个单位长度所得直线解析式为：y＝﹣（x﹣2）2；
再向下平移1个单位为：y＝﹣（x﹣2）2﹣1.
故答案为：y＝﹣（x﹣2）2﹣1.
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可.
26．（2021·普陀模拟）抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是直线　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴方程x＝ ，
∴抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是x＝ ．
即对称轴是x＝ ．
故答案为：x＝ ．
【分析】抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴方程x=，据此计算即可.
27．（2021·阳信模拟）将抛物线 向上平移3个单位长度后，经过点 ，则8a-4b-11的值是　 　．
【答案】-5
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线 向上平移3个单位长度后，
表达式为： ，
∵经过点 ，代入，
得： ，
则 = =2×3-11=-5.
故答案为：-5.
【分析】根据二次函数的平移后的表达式，再将点 ，代入，得： ，最后将 变形求值即可。
28．（2021·福建模拟）二次函数 ，当 时， 的最小值为1，则 的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵二次函数 ， ，
∴函数图象开口向下，对称轴 ，
①当 ，即 时，
当 时，y随x的增大而减小，
，
当 时， 或 ，不符合题意；
②当 时，
时，y随x的增大而增大，x=0时， 恒成立，此时 都满足题意；
时， ， ，
即当 时，y在 随x的增大而增大，
∴x=0时， ，符合题意，
则此情况下；
③当 时，即 ，当 时， ，
当 时， ，
∵ 的最小值为1，
∴ ， ，
此时 ，
综上： .
【分析】根据二次函数的图象性质分类讨论即可；
29．（2021·武汉模拟）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a＋b＝0；②9a＋c＞3b；③4a＋2b≥am2＋bm（m为任意实数）；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；其中正确的结论有　 　（填序号）.
【答案】①③
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵抛物线的对称轴为直线x=2
∴
即b+4a=0
故①正确
观察图象知，当x=-3时，函数值为负，即有9a-3b+c<0
∴9a＋c<3b
故②错误
∵函数在x=2时取得最大值4a+2b+c
∴对任意的实数m，都有
即
故③正确
观察图象知，当x>-1时，随自变量的增加，函数值有增有减
故④错误
【分析】由于抛物线的对称轴为直线x=，据此判断①；由图象知，当x=-3时，函数值y=9a-3b+c<0，据此判断②；当x=2时y取最大值4a+2b+c，从而得出对任意的实数m，都有 ，据此判断③；由图象知当x>-1时，函数图象先上升后下降，据此判断④.
30．（2021·武汉模拟）函数 的图象与 轴交于点 ，顶点坐标为 ，其中 .以下结论正确的是　 　.
① ；②函数 在 和 处的函数值相等；③函数 的图象与 的函数图象总有两个不同交点；④函数 在 内既有最大值又有最小值.
【答案】①④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵顶点坐标为 ，
∴抛物线的对称轴为： ，
∵函数 的图象与 轴交于点 ，
∴-1-（2+1）=-4，另一交点坐标为（-4，0）
设抛物线解析式为
代入坐标得
解得：
∴
∵
故a= ＜0，b= ＜0，c= ＞0
∴ ，①正确；
∵对称轴为x=-1
∴函数 在 处的函数值相等，故②错误；
∵顶点为（ 1，n），
∴抛物线解析式为；y＝a（x＋1）2＋n＝ax2＋2ax＋a＋n，
联立得
可得ax2＋（2a k）x＋a＋n 1＝0，
∴△＝（2a k）2 4a（a＋n 1）＝k2 4ak＋4a 4an，
∵无法判断△是否大于0，
∴无法判断函数y＝kx＋1的图象与y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的函数图象的交点个数，故③错误；
当 时，x=-1时，函数 有最大值，
∵-1+3＜3+1
∴x=3时，函数有最小值 ，故④正确；
故答案为：①④.
【分析】 ① 根据顶点法设，代入 求出a与n的关系式，然后将代入函数关系式将其整理成 形式，结合n>0即可判断a、b、c的正负性，从而得出abc的正负性； ② 根据二次函数的坐标特征即可判断； ③联立直线与抛物线的解析式，得出关于x的二元一次方程，由根的判别式的值进行判定； ④ 根据二次函数的性质求出最大值和最小值即可判断.
31．（2021·兰州模拟）若点A（﹣2，y1）和B（1，y2）是二次函数y＝x2﹣4x﹣3图象上的两点，则y1　 　y2.（填“＜”“＝”或“＞”）
【答案】＞
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A（﹣2.y1）和B（1，y2）是二次函数y＝x2﹣4x﹣3图象上的两点，
∴y1=（-2）2-4×（-2）-3=9，y2=12-4×1-3=-6，
∵9＞-6，
∴y1＞y2，
故答案为：＞.
【分析】因为点A和点B在二次函数的图象上，则把点A和点B的横坐标代入解析式得出y1和y2的值，从而进行比较大小即可得出结论.
三、综合题
32．（2021·永嘉模拟）已知二次函数y=x2+ax+b的图象经过点（3，0），（n，0），最小值为m.
（1）用含a的代数式表示m.
（2）若b-m=5，求n的值.
【答案】（1）解：把点（3，0）代入 ，
得 ，
∴ .
（2）解：由 ，
得 ，
解得
又∵ ，
∴ .
∵ ，
∴
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）把点（3，0）代入抛物线的解析式中把b用a表示出来，再根据顶点坐标公式求出m的最值即可求解；
（2）把a和m的表达式代入b-m=5中求出a值，再根据抛物线额对称轴方程列式求出n即可.
33．（2021·白云模拟）抛物线G： （a为常数）的顶点为A．
（1）用a表示点A的坐标；
（2）经过探究发现，随着a的变化，点A始终在某一抛物线H上，若将抛物线G向右平移 个单位后，所得抛物线顶点B仍在抛物线H上；
①平移距离t是a的函数吗？如果是，求出函数解析式，并写出a的取值范围；如果不是，请说明理由；
②若 在 时，都有y随x的增大而增大，设抛物线H的顶点为C，借助图象，求直线 与x轴交点的横坐标的最小值．
【答案】（1）解：由题意得：
，
∴顶点A的坐标为 ；
（2）解：由点A的坐标 可知抛物线H的解析式为： ，
抛物线G向右平移t个单位后的解析式为 ，
∴此时的定点 ，
①∵将抛物线G向右平移 个单位后，所得抛物线顶点B仍在抛物线H上，
∴ ，
整理得： ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴平移距离t是a的函数，函数解析式为 ；
②由题意可得如图：
∵ 在 时，都有y随x的增大而增大，
∴对称轴为直线 ，
∵抛物线H的解析式为： ，
∴ ，
设直线AC的解析式为 ，代入点A，点C的坐标得：
，解得： ，
∴直线AC的解析式为 ，
当y=0时，则有 ，解得： ，
∵ ，
∴当 时，x有最小值 ，
∴直线 与x轴交点的横坐标的最小值为 ．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将抛物线的解析式化成顶点式即可；
（2）①根据平移的性质得到平移后的抛物线，继而计算得到抛物线的顶点B，由抛物线的对称性气促胡a和t的函数关系即可；
②根据题意，即可得到抛物线的对称轴，继而求出抛物线H的顶点C，联立得到解析式即可。
34．（2021·南通模拟）已知抛物线 过点
（1）求b的值；
（2）当 时，请确定m，n的大小关系；
（3）若当 时，y有最小值3，求 的值.
【答案】（1）解：∵ 是抛物线上的两点
∴ 关于对称轴对称
∴
∴
∴
（2）解：如图
∵ 是抛物线上两点
∴当 时，
由图可知， ①当 时，
②当 时，
（3）解：如图，①当 时，在 时y取最小值
此时
令
则 （不合题意，舍）
如图② 时，在 时y取最小值
此时
令
解得：
综上所述：
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）根据 两点坐标的特点知，两点关于抛物线的对称轴对称，从而可得抛物线的顶点横坐标，进而可求得b的值；
（2）当m=n时，a=1，当 及 时，结合图象即可判断m、n的大小关系；
（3）根据抛物线的对称轴为直线x=2，所以分 和 两种情况讨论，结合函数图象即可求得a的值.
35．（2021九上·富县期末）已知抛物线 （ 为常数）的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点.
（1）求k的值；
（2）若点P在抛物线 上，且点P到y轴的距离是2，求点P的坐标.
【答案】（1）解：∵抛物线 的对称轴是y轴，
∴ ，解得 ， .
∵抛物线 与x轴有两个交点，
∴ ，解得 ，
∴ ；
（2）解：由（1）知抛物线的表达式为 ，
∵点P在抛物线 上，且点P到y轴的距离是2，
∴点P的横坐标为2或-2.
当 时， ；当 时， .
∴点P的坐标为 或 .
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)先根据抛物线 的对称轴是y轴 ，得到 ，得到kd的值，再根据 与x轴有两个交点，且开口向上，知 ，最终得到k的值.
（2）先由（1）得到抛物线的表达式为 ，再把x=2与x=-2代入，得到y的值就可以找到p的坐标.
36．（2021九上·东海期末）已知二次函数 .
（1）在如图所示的网格中画出这个二次函数的图象；
（2）当x满足　 　时，y随的增大而减小；
（3）当 时，函数y的取值范围是　 　；
（4）当 时，自变量x的取值范围是　 　
【答案】（1）解：∵ ，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3，-4），
令x=0，得y=5，令y=0，得x=1或5，
∴抛物线与y轴交点为（0，5），与x轴交点为（1，0）、（5，0），
∴根据抛物线的上述特征可画出抛物线如下：
（2）
（3）
（4） 或
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（2）由抛物线的增减性可知，当 时，y随的增大而减小，
故答案为：x<3；
（3）由抛物线的对称性可知，x=0或6时，y=5，
又由抛物线的顶点坐标可知，当 0≤x≤6 时，y≥-4，
∴由二次函数图象可得：当 0≤x≤6 时，函数y的取值范围是 4≤y≤5 ，
故答案为： 4≤y≤5；
（4）令y=0，可得： ，
解之得：x=1或x=5；
∴由抛物线的增减性可知：
当 y≥0 时，自变量x的取值范围是x≤1或 x≥5，
故答案为：x≤1或x≥5.
【分析】（1）根据二次函数画图步骤：①找顶点坐标，与x轴、y轴得交点坐标，②在直角坐标系中描点，③连线，进行画图即可；
（2）由于图象的开口向上，且对称轴直线是x=3，故在对称轴左侧y随的增大而减小，据此即可得出答案；
（3）求当 时，函数y的取值范围，就是求x轴下方图象上自变量的取值范围，据此即可得出答案；
（4）求当 时，自变量x的取值范围，就是求x轴上方图象上自变量的取值范围，据此即可得出答案.
37．（2021·浦东模拟）如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线 ： 向右平移得到新抛物线 ，如果“平衡点”为（3，3），那么新抛物线 的表达式为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线 ： 向右平移 （ ＞ ）个单位可得：
：
把 代入
或
或
经检验： 不合题意，取
故答案为：
【分析】先求抛物线 ： 向右平移 （ ＞ ）个单位的函数解析式，再把 代入平移后的解析式，求解 即可得到答案．
38．（2021九上·临海期末）抛物线y=a(x-2)2的顶点为A，与y轴交于点B(0，4).
（1）求a的值
（2）若将该抛物线向右平移6个单位，求平移所得抛物线与原抛物线的交点坐标；
（3）将抛物线y=a(x-2)2沿射线BA方向平移，在平移过程中抛物线能否经过原点 请说明理由.
【答案】（1）解：4=a(0-2)2,
解得a=1；
（2）解：抛物线向右平移6个单位后得：y=（x-2-6）2=（x-8）2,
令（x-8）2=（x-2）2，
∴x-8=±（x-2），
解得x=5,
y=（5-2）2=9，
∴两抛物线的交点坐标为（5,9）;
（3）解：不能经过原点。理由如下，
∵A（2,0），B（0,4），
设经过AB的直线为：y=kx+4,
∴0=2k+4,
∴k=-2,
∴y=-2x+4，
；平移过程中抛物线的解析式为y=(x-m)2-2m+4,
∴与y轴的交点坐标为：m2-2m+4=0,
∵m2-2m+4=(m-1)2+3>0,
∴此方程无解，
∴不能等经过原点.
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【分析】（1）将B点坐标代入函数式即可求出a值；
（2）先求抛物线向右移动6个单位后的解析式，再把两解析式联立求出交点坐标即可；
（3）先求出直线AB的解析式，再根据AB的解析式设沿BA方向移动的解析式，求出其与y轴的交点坐标，再判断即可.
39．（2021九上·河池期末）已知 是关于 的二次函数， ， 满足下表
x … -1 0 1 3 …
y … 0 0.75 1 0 …
观察上表（不用求解析式），直接写出该函数如下性质：
（1）图象函数名称　 　，开口方向　 　；
（2）对称轴表达式　 　；
（3）顶点坐标　 　；
（4） 随 的变化情况　 　，　 　.
【答案】（1）抛物线；向下
（2）
（3）（1，1）
（4）当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）∵ 是关于 的二次函数，∴图象名称是抛物线，
观察x，y的值可知抛物线开口方向向下；
故答案为：抛物线，向下；
（2）由表可知，图象与x轴交于点 ， ，故对称轴 ；
故答案为： ；
（3）因为对称轴为 ，所以顶点坐标为（1，1）；
故答案为：（1，1）；
（4）因为对称轴为 且开口向下，
所以当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小.
故答案为：当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小.
【分析】(1)二次函数就是抛物线，观察x,y的值得到开口向下；
(2)由表格观察到图象与x轴交于点 ， ,由对称轴公式得到；
(3)对称轴就是顶点横坐标的值，观察表格顶点为（1，1）；
(4)开口向下，在对称轴左边时， 随 的增大而增大；在对称轴右边时， 随 的增大而减小.
40．（2020九上·温州期末）已知点 在二次函数 的图象上，且当 时，函数y有最小值2.
（1）求这个二次函数的表达式.
（2）如果两个不同的点 ， 也在这个函数的图象上，求 的值.
【答案】（1）解：设y=a(x-1)2+2,
∴3=a(0-1)2+2,
解得a=1,
∴y=(x-1)2+2=x2-2x+3.
（2）解：∵对称轴方程：x-1=0,即x=1,
∵yC=yD,
∴ ,
∴m+n=2.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）根据顶点式设函数的解析式为y=a(x-1)2+2, 代入点（0,3）即可求出a值，则知函数解析式；
（2）根据二次函数图象的坐标特点，可得 ,则m+n值可求.
1 / 1初中数学苏科版九年级下册5.2 二次函数图像及性质 同步练习
一、单选题
1．（2021·漳浦模拟）二次函数 ，若 为正整数，且 随 的增大而减小，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．（2021·泰山模拟）如图，已知抛物线 的对称轴为直线 ．给出下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中，正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2021·乐清模拟）已知两点A(-6，y1)，B(2，y2)均在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上，若y1>y2，则抛物线的顶点横坐标m的值可以是（　　）
A．-6 B．-5 C．-2 D．-1
4．（2021·金东模拟）若二次函数y=x2+2x+k的图象经过点(1，y1)，(-2，y2)，则y1与y2的大小关系为（　　）
A．y1>y2 B．y1=y2 C．y15．（2021·龙华模拟）如图，已知抛物线L1：y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，将该抛物线向右平移n（n＞0）个单位长度后得到抛物线L2，L2与x轴交于C、D两点，记抛物线L2的函数表达式为y＝f（x）．则下列结论中错误的是（　　）
A．若n＝2，则抛物线L2的函数表达式为：y＝﹣x2+6x﹣5
B．CD＝4
C．不等式f（x）＞0的解集是n﹣1＜x＜n+3
D．对于函数y＝f（x），当x＞n时，y随x的增大而减小
6．（2020·深圳模拟）将抛物线y＝x2﹣4x+3平移，使它平移后图象的顶点为（﹣2，4），则需将该抛物线（　　）
A．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位
B．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位
C．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位
D．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位
7．（2021·深圳模拟）已知点A(a－m，y1)、B(a－n，y2)、C(a+b，y3)都在二次函数y=x2－2ax +1的图象上，若0A．y1< y2< y3 B．y1 < y3< y2
C．y3< y1< y2 D．y2< y3< y1
8．（2021·清远模拟）将抛物线 向左平移2个单位，得到抛物线的解析式是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2021·盐田模拟）如图，抛物线y＝a ＋bx＋c与直线y＝kx交于M，N两点，则二次函数y＝a ＋（b﹣k）x＋c的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2021·铁西模拟）在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，下列点在平移后的图象上的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2021·岳池模拟）抛物线y=﹣x2经过平移得到抛物线y=﹣（x+2）2﹣3，平移的方法是（　　）
A．向左平移2个，再向下平移3个单位
B．向右平移2个，再向下平移3个单位
C．向左平移2个，再向上平移3个单位
D．向右平移2个，再向上平移3个单位
12．（2021·道里模拟）抛物线y＝﹣3（x＋1）2﹣2的顶点坐标是（　　）
A．（1，2） B．（1，﹣2）
C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
13．（2021·汝阳模拟）抛物线y＝（x﹣2）2+3的对称轴是（　　）
A．直线x＝﹣3 B．直线x＝3 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2
14．（2021九下·江夏月考）抛物线 的顶点坐标为（　　）
A．（3，－5） B．（－3，5）
C．（－3，－5） D．（3，5）
15．（2021九下·广州开学考）把抛物线y=12x2﹣1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y=12（x+1）2﹣3 B．y=12（x﹣1）2﹣3
C．y=12（x+1）2+1 D．y=12（x﹣1）2+1
16．（2021九下·广州开学考）抛物线y=2(x-1)2-2的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
17．（2021·徐汇模拟）将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的顶点是（　　）
A．（3，﹣2） B．（﹣3，﹣2）
C．（3，2） D．（﹣3，2）
18．（2021·松江模拟）将抛物线y＝（x﹣2）2+1向上平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（2，4） B．（﹣1，1） C．（5，1） D．（2，﹣2）
19．（2021九下·鄞州月考）下列二次函数的图象的对称轴是y轴的是（　　）
A．y=－(x+1)2+1 B．y=(x－1)2+1
C．y=－(x－1)2+1 D．y=－x2+1
20．（2021九下·成都月考）如图，二次函数 图象的对称轴是 ，下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
21．（2021·永州模拟）抛物线 的开口方向为向　 　
22．（2021·哈尔滨模拟）二次函数y＝﹣（x﹣3）2+6的最大值是　 　．
23．（2021·哈尔滨模拟）抛物线 的顶点坐标是　 　．
24．（2021·泗洪模拟）将抛物线 的图象向上平移3个单位，则平移后抛物线的函数表达式为　 　.
25．（2021·绥宁模拟）将抛物线y＝﹣x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式（顶点式）是　 　.
26．（2021·普陀模拟）抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是直线　 　．
27．（2021·阳信模拟）将抛物线 向上平移3个单位长度后，经过点 ，则8a-4b-11的值是　 　．
28．（2021·福建模拟）二次函数 ，当 时， 的最小值为1，则 的取值范围是　 　.
29．（2021·武汉模拟）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a＋b＝0；②9a＋c＞3b；③4a＋2b≥am2＋bm（m为任意实数）；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；其中正确的结论有　 　（填序号）.
30．（2021·武汉模拟）函数 的图象与 轴交于点 ，顶点坐标为 ，其中 .以下结论正确的是　 　.
① ；②函数 在 和 处的函数值相等；③函数 的图象与 的函数图象总有两个不同交点；④函数 在 内既有最大值又有最小值.
31．（2021·兰州模拟）若点A（﹣2，y1）和B（1，y2）是二次函数y＝x2﹣4x﹣3图象上的两点，则y1　 　y2.（填“＜”“＝”或“＞”）
三、综合题
32．（2021·永嘉模拟）已知二次函数y=x2+ax+b的图象经过点（3，0），（n，0），最小值为m.
（1）用含a的代数式表示m.
（2）若b-m=5，求n的值.
33．（2021·白云模拟）抛物线G： （a为常数）的顶点为A．
（1）用a表示点A的坐标；
（2）经过探究发现，随着a的变化，点A始终在某一抛物线H上，若将抛物线G向右平移 个单位后，所得抛物线顶点B仍在抛物线H上；
①平移距离t是a的函数吗？如果是，求出函数解析式，并写出a的取值范围；如果不是，请说明理由；
②若 在 时，都有y随x的增大而增大，设抛物线H的顶点为C，借助图象，求直线 与x轴交点的横坐标的最小值．
34．（2021·南通模拟）已知抛物线 过点
（1）求b的值；
（2）当 时，请确定m，n的大小关系；
（3）若当 时，y有最小值3，求 的值.
35．（2021九上·富县期末）已知抛物线 （ 为常数）的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点.
（1）求k的值；
（2）若点P在抛物线 上，且点P到y轴的距离是2，求点P的坐标.
36．（2021九上·东海期末）已知二次函数 .
（1）在如图所示的网格中画出这个二次函数的图象；
（2）当x满足　 　时，y随的增大而减小；
（3）当 时，函数y的取值范围是　 　；
（4）当 时，自变量x的取值范围是　 　
37．（2021·浦东模拟）如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线 ： 向右平移得到新抛物线 ，如果“平衡点”为（3，3），那么新抛物线 的表达式为　 　．
38．（2021九上·临海期末）抛物线y=a(x-2)2的顶点为A，与y轴交于点B(0，4).
（1）求a的值
（2）若将该抛物线向右平移6个单位，求平移所得抛物线与原抛物线的交点坐标；
（3）将抛物线y=a(x-2)2沿射线BA方向平移，在平移过程中抛物线能否经过原点 请说明理由.
39．（2021九上·河池期末）已知 是关于 的二次函数， ， 满足下表
x … -1 0 1 3 …
y … 0 0.75 1 0 …
观察上表（不用求解析式），直接写出该函数如下性质：
（1）图象函数名称　 　，开口方向　 　；
（2）对称轴表达式　 　；
（3）顶点坐标　 　；
（4） 随 的变化情况　 　，　 　.
40．（2020九上·温州期末）已知点 在二次函数 的图象上，且当 时，函数y有最小值2.
（1）求这个二次函数的表达式.
（2）如果两个不同的点 ， 也在这个函数的图象上，求 的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由二次函数 可得：二次项系数 ，开口向下，对称轴为直线 ，
∵ 为正整数，且 随 的增大而减小，
∴ ，解得： ，
故答案为：C.
【分析】由于a=-1＜0，可得抛物线开口向下，对称轴为直线 ，在对称轴的右侧 随 的增大而减小，结合x为正整数即可求出结论.
2．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由图象可得：a＜0，c＞0，﹣ ＝1，
∴b＝-2a＞0，
∴ ；
∴①符合题意，
∵﹣ ＝1，
∴b＝-2a，
∴ ，
∴②符合题意，
∵对称轴为直线 ，
∴ ，
解得x=-1,
∴（3，0）的对称点为（-1，0）
当x=﹣1时，y =a﹣b+c，
∴a﹣b+c=0，
∴③符合题意，
当x＝m时，y＝a +bm+c，
当x＝1时，y有最大值为a+b+c，
∴a +bm+c≤a+b+c，
∴a +bm≤a+b，
∴④不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据抛物线开口向下得出a＜0，由抛物线与y轴交点在x轴上方，得出c＞0，由﹣ ＝1，可得b＜0，∴b＝-2a，据此判断①②；根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0），可得当x=﹣1时，y =a﹣b+c=0，据此判断③；当x＝1时，y有最大值为a+b+c，从而得出a +bm+c≤a+b+c，据此判断④.
3．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：假设点A(-6，y1)，B(2，y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的两个对称点，
∴对称轴为直线x=；
∵ y1>y2，
∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，y的值越小，
∴该抛物线的顶点的横坐标m＞-2，
∴选项中m=-1.
故答案为：D.
【分析】假设点A(-6，y1)，B(2，y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的两个对称点，可求出抛物线的对称轴，再根据y1>y2，可得到抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，y的值越小，由此可求出顶点横坐标的取值范围，根据各选项，可得答案.
4．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：y=（x+1）2+k-1
∴抛物线的对称轴为直线x=-1
∴ 点(1，y1) 的对称点为（-3，y1），
∵当x＜-1时y随x的增大而减小，-3＜-2，
∴y1＞y2.
故答案为：A.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的对称轴，由此可求出点(1，y1) 的对称点为（-3，y1），再利用二次函数的性质，可知当x＜-1时y随x的增大而减小，即可得到y1与y2的大小关系.
5．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A．当n＝2时，则y＝﹣（x﹣2）2+2（x﹣2）+3＝﹣x2+6x﹣5，故A不符合题意；
B．令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x＝3或﹣1，故AB＝3﹣（﹣1）＝4＝CD，故B不符合题意；
C．由平移的性质知，平移后抛物线和x轴交点的坐标为x＝n+3或n﹣1，从图象看，不等式f（x）＞0的解集是n﹣1＜x＜n+3不符合题意；
D．平移后抛物线和x轴交点的坐标为x＝n+3或n﹣1，则抛物线的对称轴为直线x＝ （n+3+n﹣1）＝n+1，
故当x＞n+1时，y随x的增大而减小，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据函数图象的性质和特点，以及便宜的性质主次求解即可。
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，则抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点坐标为（2，﹣1），
把点（2，﹣1）先向左平移4个单位，再向上平移5个单位得到点（﹣2，4），
所以将抛物线y＝x2﹣4x+3先向左平移4个单位，再向上平移5个单位，使它平移后图象的顶点为（﹣2，4）．
故答案为：C．
【分析】利用配方法得到抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点坐标为（2，-1），在通过顶点的平移的规律确定抛物线的平移规律。
7．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=x2－2ax
+1
∴对称轴为x=a
点A、B的情况：n>m，故点B比点A离对称轴远，故y2>y1；
点A、C的情况：my1；
点B，C的情况：by3；
∴故y1故答案为B.
【分析】先确定二次函数图象的对称轴，然后运用二次函数的性质进行解答即可．
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y=2(x-1)2+1向左平移2个单位，得到抛物线的解析式是y=2(x-1+2)2+1．
即y=2(x+1)2+1．
故答案为：B．
【分析】按照“左加右减”的规律即可求得．
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由图像可知a＞0，b＞0，c＞0，k＜0，则b－k＞0，可排除选项B、D，由图像可知抛物线y＝a ＋bx＋c与直线y＝kx有两个不同的交点，则一元二次方程a ＋bx＋c＝kx有两个不等的实数根，即一元二次方程a ＋（b－k）x＋c＝0有两个不等的实数根，所以二次函数y＝a ＋（b﹣k）x＋c的图象与x轴有两个交点，
故答案为：A．
【分析】利用二次函数解析式和二次函数图象进行判断求解即可。
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵原抛物线的顶点为（0，0），向左平移2个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（-2，-2），
∴可设新抛物线的解析式为： ，
∴代入得： ，
∴所得图象的解析式为： ，
则点在平移后的图象上的是 ，
故答案为：B．
【分析】 求出二次函数 顶点为（0，0），根据坐标平移的特征得出新抛物线的顶点为（-2，-2），从而得出新抛物线解析式，然后逐一验证各选项中的坐标即可.
11．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线y=-x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标为（-2，-3），而点（0，0）向左平移2个，再向下平移3个单位可得到（-2，-3），所以抛物线y=-x2向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y=﹣（x+2）2﹣3.
故答案为：A.
【分析】利用二次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，由此可得答案.
12．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵y＝﹣3（x＋1）2﹣2，
∴抛物线顶点坐标为（ 1， 2），
故答案为：D．
【分析】由抛物线解析式可直接求得结论．
13．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+3，
∴对称轴是直线x＝2.
故答案为：C.
【分析】根据抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝h即可确定抛物线y＝（x﹣2）2+3的对称轴.
14．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标为 ，
故答案为：C.
【分析】：抛物线 （a≠0）的顶点坐标为（h,k）据此解答即可.
15．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】∵把抛物线y=12x2﹣1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，
∴得到的抛物线的解析式为y=12（x﹣1）2﹣3，
故答案为：B．
【分析】二次函数图象与几何变换．
16．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】∵y=2(x-1)2-2是二次函数解析式的顶点式，
∴抛物线y=2(x-1)2-2的对称轴是直线x=1，
故答案为：B．
【分析】根据顶点式二次函数的解析式，可得二次函数的对称轴，即可得答案．
17．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线 向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，
得 ，
∴顶点坐标为（3，﹣2），
故答案为：A．
【分析】利用函数图象平移的性质：左加右减，上加下减求解即可。
18．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：将抛物线 向上平移3个单位，
得 ，即 ，
顶点坐标为 ，
故答案为：A．
【分析】根据抛物线平移规律：上加下减，左加右减，可得平移后的抛物线解析式
，据此求出结论即可.
19．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解： 抛物线y=－(x+1)2+1的对称轴为直线x=-1，故A不符合题意；
B、抛物线y=(x－1)2+1的对称轴为直线x=1，故B不符合题意；
C、抛物线y=－(x－1)2+1的对称轴为直线x=1，故C不符合题意；
D、抛物线y=－x2+1的对称轴为y轴，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】二次函数y=a（x-h）2+k的对称轴为直线x=h，可得到各选项中抛物线的对称轴，由此可作出判断.
20．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：A、根据开口向下，所以a＜0，故A选项错误，不符合题意；
B、抛物线交y轴的正半轴，所以c＞0，故B选项错误，不符合题意；
C、由对称轴是x＝1，可得 ，即 ，可知2a+b＝0，故C选项正确，符合题意；
D、抛物线与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，故D选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据图象开口向下，可判断出a的正负，据此判断A；根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴可得c的正负，进而判断B；根据对称轴为直线x=1可得b=-2a，进而判断C的正误；根据抛物线与x轴有两个交点可得b2-4ac的正负，进而判断D的正误.
21．【答案】上
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵y＝2（x+3）2﹣3，
∴ ，抛物线开口向上，
故答案为：上.
【分析】二次函数“y=a(x-h)2+k”中，a＞0，抛物线开口向上，a＜0，抛物线开口向下，据此即可得出答案.
22．【答案】6
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】∵ ，
∴抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，最大值是6．
故答案为：6．
【分析】直接利用顶点式即可写出最大值．
23．【答案】（-4，-5）
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】∵二次函数的解析式为y=-3（x+4）2-5，
∴其顶点坐标为：（-4，-5）．
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
24．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线 的图象向上平移3个单位后得到新的图象，那么平移后抛物线的函数表达式为 ，
故答案为： .
【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可.
25．【答案】y＝﹣（x﹣2）2﹣1
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y＝﹣x2向右平移2个单位长度所得直线解析式为：y＝﹣（x﹣2）2；
再向下平移1个单位为：y＝﹣（x﹣2）2﹣1.
故答案为：y＝﹣（x﹣2）2﹣1.
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可.
26．【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴方程x＝ ，
∴抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是x＝ ．
即对称轴是x＝ ．
故答案为：x＝ ．
【分析】抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴方程x=，据此计算即可.
27．【答案】-5
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线 向上平移3个单位长度后，
表达式为： ，
∵经过点 ，代入，
得： ，
则 = =2×3-11=-5.
故答案为：-5.
【分析】根据二次函数的平移后的表达式，再将点 ，代入，得： ，最后将 变形求值即可。
28．【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵二次函数 ， ，
∴函数图象开口向下，对称轴 ，
①当 ，即 时，
当 时，y随x的增大而减小，
，
当 时， 或 ，不符合题意；
②当 时，
时，y随x的增大而增大，x=0时， 恒成立，此时 都满足题意；
时， ， ，
即当 时，y在 随x的增大而增大，
∴x=0时， ，符合题意，
则此情况下；
③当 时，即 ，当 时， ，
当 时， ，
∵ 的最小值为1，
∴ ， ，
此时 ，
综上： .
【分析】根据二次函数的图象性质分类讨论即可；
29．【答案】①③
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵抛物线的对称轴为直线x=2
∴
即b+4a=0
故①正确
观察图象知，当x=-3时，函数值为负，即有9a-3b+c<0
∴9a＋c<3b
故②错误
∵函数在x=2时取得最大值4a+2b+c
∴对任意的实数m，都有
即
故③正确
观察图象知，当x>-1时，随自变量的增加，函数值有增有减
故④错误
【分析】由于抛物线的对称轴为直线x=，据此判断①；由图象知，当x=-3时，函数值y=9a-3b+c<0，据此判断②；当x=2时y取最大值4a+2b+c，从而得出对任意的实数m，都有 ，据此判断③；由图象知当x>-1时，函数图象先上升后下降，据此判断④.
30．【答案】①④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵顶点坐标为 ，
∴抛物线的对称轴为： ，
∵函数 的图象与 轴交于点 ，
∴-1-（2+1）=-4，另一交点坐标为（-4，0）
设抛物线解析式为
代入坐标得
解得：
∴
∵
故a= ＜0，b= ＜0，c= ＞0
∴ ，①正确；
∵对称轴为x=-1
∴函数 在 处的函数值相等，故②错误；
∵顶点为（ 1，n），
∴抛物线解析式为；y＝a（x＋1）2＋n＝ax2＋2ax＋a＋n，
联立得
可得ax2＋（2a k）x＋a＋n 1＝0，
∴△＝（2a k）2 4a（a＋n 1）＝k2 4ak＋4a 4an，
∵无法判断△是否大于0，
∴无法判断函数y＝kx＋1的图象与y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的函数图象的交点个数，故③错误；
当 时，x=-1时，函数 有最大值，
∵-1+3＜3+1
∴x=3时，函数有最小值 ，故④正确；
故答案为：①④.
【分析】 ① 根据顶点法设，代入 求出a与n的关系式，然后将代入函数关系式将其整理成 形式，结合n>0即可判断a、b、c的正负性，从而得出abc的正负性； ② 根据二次函数的坐标特征即可判断； ③联立直线与抛物线的解析式，得出关于x的二元一次方程，由根的判别式的值进行判定； ④ 根据二次函数的性质求出最大值和最小值即可判断.
31．【答案】＞
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A（﹣2.y1）和B（1，y2）是二次函数y＝x2﹣4x﹣3图象上的两点，
∴y1=（-2）2-4×（-2）-3=9，y2=12-4×1-3=-6，
∵9＞-6，
∴y1＞y2，
故答案为：＞.
【分析】因为点A和点B在二次函数的图象上，则把点A和点B的横坐标代入解析式得出y1和y2的值，从而进行比较大小即可得出结论.
32．【答案】（1）解：把点（3，0）代入 ，
得 ，
∴ .
（2）解：由 ，
得 ，
解得
又∵ ，
∴ .
∵ ，
∴
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）把点（3，0）代入抛物线的解析式中把b用a表示出来，再根据顶点坐标公式求出m的最值即可求解；
（2）把a和m的表达式代入b-m=5中求出a值，再根据抛物线额对称轴方程列式求出n即可.
33．【答案】（1）解：由题意得：
，
∴顶点A的坐标为 ；
（2）解：由点A的坐标 可知抛物线H的解析式为： ，
抛物线G向右平移t个单位后的解析式为 ，
∴此时的定点 ，
①∵将抛物线G向右平移 个单位后，所得抛物线顶点B仍在抛物线H上，
∴ ，
整理得： ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴平移距离t是a的函数，函数解析式为 ；
②由题意可得如图：
∵ 在 时，都有y随x的增大而增大，
∴对称轴为直线 ，
∵抛物线H的解析式为： ，
∴ ，
设直线AC的解析式为 ，代入点A，点C的坐标得：
，解得： ，
∴直线AC的解析式为 ，
当y=0时，则有 ，解得： ，
∵ ，
∴当 时，x有最小值 ，
∴直线 与x轴交点的横坐标的最小值为 ．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将抛物线的解析式化成顶点式即可；
（2）①根据平移的性质得到平移后的抛物线，继而计算得到抛物线的顶点B，由抛物线的对称性气促胡a和t的函数关系即可；
②根据题意，即可得到抛物线的对称轴，继而求出抛物线H的顶点C，联立得到解析式即可。
34．【答案】（1）解：∵ 是抛物线上的两点
∴ 关于对称轴对称
∴
∴
∴
（2）解：如图
∵ 是抛物线上两点
∴当 时，
由图可知， ①当 时，
②当 时，
（3）解：如图，①当 时，在 时y取最小值
此时
令
则 （不合题意，舍）
如图② 时，在 时y取最小值
此时
令
解得：
综上所述：
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）根据 两点坐标的特点知，两点关于抛物线的对称轴对称，从而可得抛物线的顶点横坐标，进而可求得b的值；
（2）当m=n时，a=1，当 及 时，结合图象即可判断m、n的大小关系；
（3）根据抛物线的对称轴为直线x=2，所以分 和 两种情况讨论，结合函数图象即可求得a的值.
35．【答案】（1）解：∵抛物线 的对称轴是y轴，
∴ ，解得 ， .
∵抛物线 与x轴有两个交点，
∴ ，解得 ，
∴ ；
（2）解：由（1）知抛物线的表达式为 ，
∵点P在抛物线 上，且点P到y轴的距离是2，
∴点P的横坐标为2或-2.
当 时， ；当 时， .
∴点P的坐标为 或 .
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)先根据抛物线 的对称轴是y轴 ，得到 ，得到kd的值，再根据 与x轴有两个交点，且开口向上，知 ，最终得到k的值.
（2）先由（1）得到抛物线的表达式为 ，再把x=2与x=-2代入，得到y的值就可以找到p的坐标.
36．【答案】（1）解：∵ ，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3，-4），
令x=0，得y=5，令y=0，得x=1或5，
∴抛物线与y轴交点为（0，5），与x轴交点为（1，0）、（5，0），
∴根据抛物线的上述特征可画出抛物线如下：
（2）
（3）
（4） 或
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（2）由抛物线的增减性可知，当 时，y随的增大而减小，
故答案为：x<3；
（3）由抛物线的对称性可知，x=0或6时，y=5，
又由抛物线的顶点坐标可知，当 0≤x≤6 时，y≥-4，
∴由二次函数图象可得：当 0≤x≤6 时，函数y的取值范围是 4≤y≤5 ，
故答案为： 4≤y≤5；
（4）令y=0，可得： ，
解之得：x=1或x=5；
∴由抛物线的增减性可知：
当 y≥0 时，自变量x的取值范围是x≤1或 x≥5，
故答案为：x≤1或x≥5.
【分析】（1）根据二次函数画图步骤：①找顶点坐标，与x轴、y轴得交点坐标，②在直角坐标系中描点，③连线，进行画图即可；
（2）由于图象的开口向上，且对称轴直线是x=3，故在对称轴左侧y随的增大而减小，据此即可得出答案；
（3）求当 时，函数y的取值范围，就是求x轴下方图象上自变量的取值范围，据此即可得出答案；
（4）求当 时，自变量x的取值范围，就是求x轴上方图象上自变量的取值范围，据此即可得出答案.
37．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线 ： 向右平移 （ ＞ ）个单位可得：
：
把 代入
或
或
经检验： 不合题意，取
故答案为：
【分析】先求抛物线 ： 向右平移 （ ＞ ）个单位的函数解析式，再把 代入平移后的解析式，求解 即可得到答案．
38．【答案】（1）解：4=a(0-2)2,
解得a=1；
（2）解：抛物线向右平移6个单位后得：y=（x-2-6）2=（x-8）2,
令（x-8）2=（x-2）2，
∴x-8=±（x-2），
解得x=5,
y=（5-2）2=9，
∴两抛物线的交点坐标为（5,9）;
（3）解：不能经过原点。理由如下，
∵A（2,0），B（0,4），
设经过AB的直线为：y=kx+4,
∴0=2k+4,
∴k=-2,
∴y=-2x+4，
；平移过程中抛物线的解析式为y=(x-m)2-2m+4,
∴与y轴的交点坐标为：m2-2m+4=0,
∵m2-2m+4=(m-1)2+3>0,
∴此方程无解，
∴不能等经过原点.
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【分析】（1）将B点坐标代入函数式即可求出a值；
（2）先求抛物线向右移动6个单位后的解析式，再把两解析式联立求出交点坐标即可；
（3）先求出直线AB的解析式，再根据AB的解析式设沿BA方向移动的解析式，求出其与y轴的交点坐标，再判断即可.
39．【答案】（1）抛物线；向下
（2）
（3）（1，1）
（4）当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）∵ 是关于 的二次函数，∴图象名称是抛物线，
观察x，y的值可知抛物线开口方向向下；
故答案为：抛物线，向下；
（2）由表可知，图象与x轴交于点 ， ，故对称轴 ；
故答案为： ；
（3）因为对称轴为 ，所以顶点坐标为（1，1）；
故答案为：（1，1）；
（4）因为对称轴为 且开口向下，
所以当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小.
故答案为：当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小.
【分析】(1)二次函数就是抛物线，观察x,y的值得到开口向下；
(2)由表格观察到图象与x轴交于点 ， ,由对称轴公式得到；
(3)对称轴就是顶点横坐标的值，观察表格顶点为（1，1）；
(4)开口向下，在对称轴左边时， 随 的增大而增大；在对称轴右边时， 随 的增大而减小.
40．【答案】（1）解：设y=a(x-1)2+2,
∴3=a(0-1)2+2,
解得a=1,
∴y=(x-1)2+2=x2-2x+3.
（2）解：∵对称轴方程：x-1=0,即x=1,
∵yC=yD,
∴ ,
∴m+n=2.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）根据顶点式设函数的解析式为y=a(x-1)2+2, 代入点（0,3）即可求出a值，则知函数解析式；
（2）根据二次函数图象的坐标特点，可得 ,则m+n值可求.
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