初中数学北师大版八年级下学期期末考试复习专题：09 分式方程
一、单选题
1．（2021·北部湾模拟）抗击“新冠肺炎”疫情中，某呼吸机厂家接到一份生产300台呼吸机的订单，在生产完成一半时，应客户要求，需提前供货，每天比原来多生产20台呼吸机，结果提前2天完成任务.设原来每天生产x台呼吸机，下列列出的方程中正确的是（ ）
A． + ＝ ﹣2 B． + ＝ +2
C． ＝ ﹣2 D． ＝ ﹣2
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原来每天生产x台呼吸机，
根据题意可列方程： ，
整理，得：
故答案为：D.
【分析】根据相等关系“实际生产300台呼吸机所需的时间=原计划生产300台呼吸机所需的时间-2”可列方程.
2．（2021·顺德模拟）若关于x的不等式组 有且只有8个整数解，关于y的方程 的解为非负数，则满足条件的整数a的值为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或 或
【答案】D
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：不等式组 ，
解(1)得 ，
解(2)得 ，
∴不等式组的解集为 ；
∵不等式组有且只有8个整数解，
∴ ，
解得 ；
解分式方程 得 ；
∵方程的解为非负数，
∴ 即 ；
综上可知： ；
∵a是整数，
∴ 或 或 ．
故答案为：D．
【分析】解不等式组，得到不等式组的解集，根据整数解的个数判断a的取值范围，解分式方程，用含有a的式子表示y，根据解的非负性求出a的取值范围，确定符合条件的整数a，相加即可．
3．（2021·青白江模拟）分式方程 的解为（ ）
A．x=﹣1 B．x=1或x=﹣1 C．x=0或x=1 D．x=1
【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：3x=x+2
2x=2
解之：x=1
当x=1时，x（x+1）≠0
∴x=1是原方程的解.
故答案为：D.
【分析】先去分母将分式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解，然后检验可得方程的解.
4．（2021·本溪模拟）某工厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务．若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划每周生产x万个口罩，由题意得
．
故答案为：A．
【分析】设原计划每周生产x万个口罩，根据结果比原计划提前一周完成任务列方程即可．
5．（2021九下·海淀月考）若关于 的分式方程 有增根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解： ，
方程两边都乘（x 1）得2m 1 7x＝5（x 1），
∵原方程有增根，
∴最简公分母x 1＝0，
解得x＝1，
当x＝1时，2m 1 7＝0，
解得m＝4．
故答案为：D．
【分析】将分式方程转化为2m 1 7x＝5（x 1），根据增根的意义得到x＝1，然后将x＝1代入整式方程，即可求出m的值．
二、填空题
6．（2021·无棣模拟）分式 与 的和为2，则x的值为 ．
【答案】4
【知识点】解分式方程；列分式方程
【解析】【解答】根据题意可知 ，
等式两边同乘 得： ，
整理得： ，
解得 ．
经检验 是原分式方程的根．
故答案为：4．
【分析】根据题意列出分式方程求解并检验即可。
7．（2021八下·上海期中）方程 的根是 ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得
解得x=±3
∵分母x+3≠0，∴x≠-3
故x=3．
故答案为：x=3．
【分析】去分母，解之即可。
8．（2021八下·上海期中）甲、乙二人加工某种零件，若单独工作，则乙比甲多用12天才能完成，若两人合作，则8天可以完成，设甲单独工作x天完成，列方程得 ．
【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲单独工作x天可以完成，则乙单独工作（x+12）天才能完成，
由题意，得
．
故答案为 ．
【分析】设甲单独工作x天可以完成，则乙单独工作（x+12）天才能完成，由题意，列方程，解之即可。
9．（2021·青羊模拟）若关于x的分式方程 有增根，则k的值为 .
【答案】1
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：∵关于x的分式方程 有增根
∴x=2
∴
则有：
将x=2代入得
解得k=1
故答案为： 1
【分析】根据增根的定义求出增根x=2，然后将分式方程化为整式方程，再将x=2代入即可求出K值.
10．（2021八下·浦东期中）观察方程①：x＋ ＝4，方程②：x＋ ＝6，方程③：x＋ ＝8．
（1）方程①的根为： ；方程②的根为： ；方程③的根为： ；
（2）按规律写出第四个方程： ；此分式方程的根为： ；
（3）写出第n个方程（系数用n表示）： ；此方程解是： ．
【答案】（1）x1＝1，x2＝3；x1＝2，x2＝4；x1＝3，x2＝5
（2）x＋ ＝10；x1＝4，x2＝6．
（3）x＋ ＝2n＋2；x1＝n，x2＝n＋2
【知识点】解分式方程；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）方程①根：x1＝1，x2＝3；
方程②根：x1＝2，x2＝4；
方程③根：x1＝3，x2＝5；
（2）方程④：x＋ ＝10；方程④根：x1＝4，x2＝6．
（3）第n个方程：x＋ ＝2n＋2．解是：x1＝n，x2＝n＋2
【分析】（1）根据方程，分别求出三个方程的根即可；
（2）根据分式的规律，写出第四个方程，求出根即可；
（3）根据式子的规律写出方程，计算方程的解即可。
三、计算题
11．（2021八下·上海期中）解方程：
【答案】解： ．
．
∴ ．
经检验， 是原方程的增根，舍去． 是原方程的解
∴原方程的解是
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】根据题意，由分式的基本性质，解方程得到答案即可。
12．（2021八下·姜堰期中）解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
经检验， 是原分式方程的根.
（2）解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，合并，得 ，
系数化为1，得 ，
经检验， 是增根，原分式方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）先去分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可.
（2）先去分母（右边的2不能漏乘），将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可.
四、解答题
13．（2021·宽城模拟）为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书．已知七、八年级同学捐书总数相等都是900本，八年级捐书人数比七年级多30人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.2倍．求八年级人均捐书的数量．
【答案】解：设八年级人均捐书x本．
根据题意，得 ，解得：x=5
经检验，x=5是原方程的解，且符合题意．
答：八年级人均捐书5本．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设八年级人均捐书x本，则七年级人均捐书1.2x本，根据捐书人数=捐书总量÷人均捐书数量，结合八年级捐书人数比七年级多30人，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
14．（2021八下·乐山期中）如图5，小明家、王老师家、学校在同一条路上．小明家到王老师家路程为3 km，王老师家到学校的路程为0.5 km，由于小明父母战斗在抗击“新冠疫情”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学. 已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？
【答案】解：设王老师步行速度每小时xkm，骑自行车速度每小时3xkm.
依题意得： .
解之得：x=5.
经检验：x=5是方程的根.
∴x=5 ， 3x=15
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】本题已知路程的具体数值、速度的倍数关系、时间的关系，可以利用时间的关系列分式方程解决。总路程为2×3+0.5=6.5km，王老师平时上班路程为0.5km；平时步行速度设为x km/h，那么骑自行车的速度为3x km/h，利用等量关系式 骑自行车的总时间-步行上班时间=20分钟，列方程即可。注意20分钟要换算单位为小时。本题的关键在于找出等量关系式，并且要注意时间的单位换算。
15．（2021·铁西模拟）甲、乙两支工程队修建公路，已知甲队每天修路的长度比乙队每天修路的长度多50米，甲队修路600米与乙队修路300米用的天数相同．
（1）求甲、乙两支工程队每天各修路多少米？
（2）计划修建长度为3600米的公路，因工程需要，甲、乙两支工程队都要参与这条公路的修建．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.5万元，在总费用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工 天．
【答案】（1）解：设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路（x+50）米，
依题意，得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
∴
答：甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米．
（2）32
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：（2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工 天，
∴依题意得： ，
解得： ，
即：至少安排乙工程队施工32天，
故答案是：32．
【分析】（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路（x+50）米， 根据：甲队修路600米与乙队修路300米用的天数相同，列出方程，求解并检验即可；
（2）设安排乙工程队施工m天， 根据总费用不超过40万元 ，列出不等式并求解即可.
1 / 1初中数学北师大版八年级下学期期末考试复习专题：09 分式方程
一、单选题
1．（2021·北部湾模拟）抗击“新冠肺炎”疫情中，某呼吸机厂家接到一份生产300台呼吸机的订单，在生产完成一半时，应客户要求，需提前供货，每天比原来多生产20台呼吸机，结果提前2天完成任务.设原来每天生产x台呼吸机，下列列出的方程中正确的是（ ）
A． + ＝ ﹣2 B． + ＝ +2
C． ＝ ﹣2 D． ＝ ﹣2
2．（2021·顺德模拟）若关于x的不等式组 有且只有8个整数解，关于y的方程 的解为非负数，则满足条件的整数a的值为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或 或
3．（2021·青白江模拟）分式方程 的解为（ ）
A．x=﹣1 B．x=1或x=﹣1 C．x=0或x=1 D．x=1
4．（2021·本溪模拟）某工厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务．若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021九下·海淀月考）若关于 的分式方程 有增根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2021·无棣模拟）分式 与 的和为2，则x的值为 ．
7．（2021八下·上海期中）方程 的根是 ．
8．（2021八下·上海期中）甲、乙二人加工某种零件，若单独工作，则乙比甲多用12天才能完成，若两人合作，则8天可以完成，设甲单独工作x天完成，列方程得 ．
9．（2021·青羊模拟）若关于x的分式方程 有增根，则k的值为 .
10．（2021八下·浦东期中）观察方程①：x＋ ＝4，方程②：x＋ ＝6，方程③：x＋ ＝8．
（1）方程①的根为： ；方程②的根为： ；方程③的根为： ；
（2）按规律写出第四个方程： ；此分式方程的根为： ；
（3）写出第n个方程（系数用n表示）： ；此方程解是： ．
三、计算题
11．（2021八下·上海期中）解方程：
12．（2021八下·姜堰期中）解下列方程：
（1）
（2）
四、解答题
13．（2021·宽城模拟）为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书．已知七、八年级同学捐书总数相等都是900本，八年级捐书人数比七年级多30人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.2倍．求八年级人均捐书的数量．
14．（2021八下·乐山期中）如图5，小明家、王老师家、学校在同一条路上．小明家到王老师家路程为3 km，王老师家到学校的路程为0.5 km，由于小明父母战斗在抗击“新冠疫情”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学. 已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？
15．（2021·铁西模拟）甲、乙两支工程队修建公路，已知甲队每天修路的长度比乙队每天修路的长度多50米，甲队修路600米与乙队修路300米用的天数相同．
（1）求甲、乙两支工程队每天各修路多少米？
（2）计划修建长度为3600米的公路，因工程需要，甲、乙两支工程队都要参与这条公路的修建．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.5万元，在总费用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工 天．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原来每天生产x台呼吸机，
根据题意可列方程： ，
整理，得：
故答案为：D.
【分析】根据相等关系“实际生产300台呼吸机所需的时间=原计划生产300台呼吸机所需的时间-2”可列方程.
2．【答案】D
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：不等式组 ，
解(1)得 ，
解(2)得 ，
∴不等式组的解集为 ；
∵不等式组有且只有8个整数解，
∴ ，
解得 ；
解分式方程 得 ；
∵方程的解为非负数，
∴ 即 ；
综上可知： ；
∵a是整数，
∴ 或 或 ．
故答案为：D．
【分析】解不等式组，得到不等式组的解集，根据整数解的个数判断a的取值范围，解分式方程，用含有a的式子表示y，根据解的非负性求出a的取值范围，确定符合条件的整数a，相加即可．
3．【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：3x=x+2
2x=2
解之：x=1
当x=1时，x（x+1）≠0
∴x=1是原方程的解.
故答案为：D.
【分析】先去分母将分式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解，然后检验可得方程的解.
4．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划每周生产x万个口罩，由题意得
．
故答案为：A．
【分析】设原计划每周生产x万个口罩，根据结果比原计划提前一周完成任务列方程即可．
5．【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解： ，
方程两边都乘（x 1）得2m 1 7x＝5（x 1），
∵原方程有增根，
∴最简公分母x 1＝0，
解得x＝1，
当x＝1时，2m 1 7＝0，
解得m＝4．
故答案为：D．
【分析】将分式方程转化为2m 1 7x＝5（x 1），根据增根的意义得到x＝1，然后将x＝1代入整式方程，即可求出m的值．
6．【答案】4
【知识点】解分式方程；列分式方程
【解析】【解答】根据题意可知 ，
等式两边同乘 得： ，
整理得： ，
解得 ．
经检验 是原分式方程的根．
故答案为：4．
【分析】根据题意列出分式方程求解并检验即可。
7．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得
解得x=±3
∵分母x+3≠0，∴x≠-3
故x=3．
故答案为：x=3．
【分析】去分母，解之即可。
8．【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲单独工作x天可以完成，则乙单独工作（x+12）天才能完成，
由题意，得
．
故答案为 ．
【分析】设甲单独工作x天可以完成，则乙单独工作（x+12）天才能完成，由题意，列方程，解之即可。
9．【答案】1
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：∵关于x的分式方程 有增根
∴x=2
∴
则有：
将x=2代入得
解得k=1
故答案为： 1
【分析】根据增根的定义求出增根x=2，然后将分式方程化为整式方程，再将x=2代入即可求出K值.
10．【答案】（1）x1＝1，x2＝3；x1＝2，x2＝4；x1＝3，x2＝5
（2）x＋ ＝10；x1＝4，x2＝6．
（3）x＋ ＝2n＋2；x1＝n，x2＝n＋2
【知识点】解分式方程；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）方程①根：x1＝1，x2＝3；
方程②根：x1＝2，x2＝4；
方程③根：x1＝3，x2＝5；
（2）方程④：x＋ ＝10；方程④根：x1＝4，x2＝6．
（3）第n个方程：x＋ ＝2n＋2．解是：x1＝n，x2＝n＋2
【分析】（1）根据方程，分别求出三个方程的根即可；
（2）根据分式的规律，写出第四个方程，求出根即可；
（3）根据式子的规律写出方程，计算方程的解即可。
11．【答案】解： ．
．
∴ ．
经检验， 是原方程的增根，舍去． 是原方程的解
∴原方程的解是
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】根据题意，由分式的基本性质，解方程得到答案即可。
12．【答案】（1）解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
经检验， 是原分式方程的根.
（2）解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，合并，得 ，
系数化为1，得 ，
经检验， 是增根，原分式方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）先去分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可.
（2）先去分母（右边的2不能漏乘），将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可.
13．【答案】解：设八年级人均捐书x本．
根据题意，得 ，解得：x=5
经检验，x=5是原方程的解，且符合题意．
答：八年级人均捐书5本．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设八年级人均捐书x本，则七年级人均捐书1.2x本，根据捐书人数=捐书总量÷人均捐书数量，结合八年级捐书人数比七年级多30人，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
14．【答案】解：设王老师步行速度每小时xkm，骑自行车速度每小时3xkm.
依题意得： .
解之得：x=5.
经检验：x=5是方程的根.
∴x=5 ， 3x=15
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】本题已知路程的具体数值、速度的倍数关系、时间的关系，可以利用时间的关系列分式方程解决。总路程为2×3+0.5=6.5km，王老师平时上班路程为0.5km；平时步行速度设为x km/h，那么骑自行车的速度为3x km/h，利用等量关系式 骑自行车的总时间-步行上班时间=20分钟，列方程即可。注意20分钟要换算单位为小时。本题的关键在于找出等量关系式，并且要注意时间的单位换算。
15．【答案】（1）解：设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路（x+50）米，
依题意，得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
∴
答：甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米．
（2）32
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：（2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工 天，
∴依题意得： ，
解得： ，
即：至少安排乙工程队施工32天，
故答案是：32．
【分析】（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路（x+50）米， 根据：甲队修路600米与乙队修路300米用的天数相同，列出方程，求解并检验即可；
（2）设安排乙工程队施工m天， 根据总费用不超过40万元 ，列出不等式并求解即可.
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