2019人教版选修二 等比数列同步练习
一、单选题
1．已知等比数列 中， ，则公比 （ ）
A．9或-11 B．3或-11 C．3或 D．3或-3
2．（2021·景德镇模拟）已知等比数列 中， ， 且 ，则 （ ）
A．±16 B．16 C．±4 D．4
3．（2021·淄博模拟）已知 为等比数列， 为其前 项和，若 ，则公比 （ ）．
A． B． C．1 D．2
4．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念）有下列四个说法：①等比数列中的某一项可以为0；②等比数列中公比的取值范围是 ；③若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；④若 ，则 ， ， 成等比数列.其中说法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2021·吉林模拟） 是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化．目前我国最高的 基站海拔6500米．从全国范围看，中国 发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期．现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少 ，则第一个工程队承建的基站数（单位：万）约为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020高二上·济宁期末）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难次日脚痛减一半六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第6天走了（ ）
A．48里 B．24里 C．12里 D．6里
7．（2020高二上·泰州期末）已知正项等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，则“ ”是“ ”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
8．（2020高三上·河南月考）在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R0个人，为第一轮传染，这R0个人中每人再传染R0个人，为第二轮传染，…….R0一般由疾病的感染周期 感染者与其他人的接触频率 每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数 ，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M，则当M>1000时需要的天数至少为（ ）参考数据：lg38≈1.58
A．34 B．35 C．36 D．37
二、多选题
9．（2020高三上·威海期末）已知数列 ……，其中第一项是 ，接下来的两项是 再接下来的三项是 依次类推…，第 项记为 ，数列 的前 项和为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2020高三上·湖北期中）已知等比数列 的公比为 ，前4项的和为 ，且 ， ， 成等差数列，则 的值可能为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
11．（2020高二上·石家庄月考）设首项为1的数列 的前 项和为 ，已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A．数列 为等比数列
B．数列 的通项公式为
C．数列 为等比数列
D．数列 的前 项和为
12．（2020高三上·南京月考）若数列 的前 项和是 ，且 ，数列 满足 ，则下列选项正确的为（ ）
A．数列 是等差数列
B．
C．数列 的前 项和为
D．数列 的前 项和为 ，则
三、填空题
13．（2021·新疆模拟）记 为等比数列 的前 项和，若 ，则 .
14．（2021·遂宁模拟）记 为正项等比数列 的前 项和，若 ， ，则 的值为 .
15．（2021·绍兴模拟）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何？”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍：小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚， 为前n天两只老鼠打洞长度之和，则 尺.
16．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）等比数列 中， ，前 项和为 ， ， ， 成等差数列，则 的最大值为 .
四、解答题
17．（2021·新乡模拟）已知等比数列 的第2项和第5项分别为2和16，数列 的前 项和为 .
（1）求 ， ；
（2）求数列 的前 项和 .
18．（2021·宝鸡模拟）已知等差数列 的公差 ，且 ，数列 是各项均为正数的等比数列，且满足 ， .
（1）求数列 与 的通项公式；
（2）设数列 满足 ，其前 项和为 .求证： .
19．（2021·焦作模拟）已知数列 的前 项和为 ，且 和 的等差中项为1．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 ．
20．（2021·肇庆模拟）已知：数列 中， ， ， ， .
（1）证明数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
21．（2021·重庆模拟）已知数列 的前n项和为 ，且6， ， 成等差数列．
（1）求 ；
（2）是否存在 ，使得 对任意 成立？若存在，求m的所有取值；否则，请说明理由．
22．（2021·吕梁模拟）数列 满足 ， .
（1）求证：数列 为等比数列；
（2）设 ，求 的前 项和 .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】∵ 为等比数列，令首项为 ，公比为 ，则 ，
∴解得： 或
故答案为：D.
【分析】 根据通项公式可得关于首项和公比的方程组，解得即可．
2．【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解:已知 ，且
解得 ,
又因为 是等比数列,
所以 ,
所以 ,可得 ,
所以 .
故答案为：B
【分析】 由已知结合等比数列的性质可求a5，进而可求公比q，然后代入等比数列的通项公式即可求解．
3．【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
因为 ，所以 2.
故答案为：D
【分析】利用等比数列通项公式即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的性质
【解析】【解答】对于①，因为等比数列中的各项都不为0，所以①不正确；
对于②，因为等比数列的公比不为0，所以②不正确；
对于③，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以③正确；
对于④，只有当 ， ， 都不为0时， ， ， 才成等比数列，所以④不正确.
因此，正确的说法只有1个，
故答案为：B.
【分析】利用等比数列的定义和公比的取值范围，再结合等比数列的性质，从而找出说法正确的选项。
5．【答案】B
【知识点】等比数列的前n项和；等比关系的确定
【解析】【解答】设每个工程队承建的基站数形成数列 ，
则由题可得 ，故 是以 为公比的等比数列，
可得 ，解得 .
故答案为：B.
【分析】根据题意结合等比数列的定义即可得出每个工程队承建的基站数成等比数列，再由等比数列的前n项和公式代入数值计算出结果即可。
6．【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题可得此人每天走的路程形成公比为 的等比数列 ，
则 ，解得 ，
，
故此人第6天走了6里。
故答案为：D.
【分析】利用实际问题的已知条件，将实际问题转化为公比为 的等比数列 ，再利用等比数列的前n项和公式，进而求出等比数列的首项，再利用等比数列的通项公式，进而求出等比数列第6项的值，进而求出实际问题中此人第6天走的路程。
7．【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 .
由 得 ，即 ，即 ，所以 ，
由 ，又 ，则 ，则 ，则 ，
综上可得：“ ”是“ ”的充分必要条件，
故答案为：C.
【分析】由等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式结合题意即可得出公比的取值范围；再由首项和公比的性质即可得出数列为递增数列由此即可得出结论成立，再由充分和必要条件的定义即可得出答案。
8．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；等比数列的通项公式
【解析】【解答】设第 轮感染人数为 ，则数列 为等比数列，其中 ，公比为 ，
所以 ，解得 ，
而每轮感染周期为7天，所以需要的天数至少为 ．
故答案为：D.
【分析】首先根据题意即可得出数列为等比数列由此求出数列的通项公式，再由对数的运算性质整理即可得出n的值再周期性即可得出结果。
9．【答案】A,C
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；类比推理
【解析】【解答】A.由题可将数列分组，
第一组： 第二组： 第三组：
则前 组一共有 … 个数，
第 组第 个数即 ，故 ，C对，
又 ，故 ，
又 ，
则为第11组第5个数，
第11组有数： ，
故 ，A对，
对于D. 每一组的和为 … ，
故前 组之和为 … ，
，
D不符合题意，
对于B，
由D可知， ，
， ，
，
B不符合题意，
故答案为：AC。
【分析】由题可将数列分组，再结合类比推理的方法和等差数列前n项和公式和等比数列前n项和公式，从而找出正确的选项。
10．【答案】A,C
【知识点】等比数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为 ， ， 成等差数列，
所以 ，
因此， ，
故 ．
又 是公比为 的等比数列，
所以由 ，
得 ，即 ，
解得 或 ．
故答案为：AC．
【分析】运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比的值．
11．【答案】A,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比关系的确定
【解析】【解答】因为 ，所以 ．
又 ，所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列，A符合题意；
所以 ，则 ．
当 时， ，但 ，B不符合题意；
由 可得 ，即 ，C不符合题意；
因为 ，所以
所以数列 的前 项和为 ，D符合题意．
故答案为：AD．
【分析】首先由上来的递推公式代入数值即可得出数列数列 是等比数列，结合等比数列的通项公式即可得出数列的前n项和公式，再由数列前n项和公式与项之间的关系即可得出数列的通项公式，由数列的通项公式即可得出该数列为等比数列，借助等比数列的前n项和公式整理即可得出数列的前n项和公式；由此对选项逐一判断即可得出答案。
12．【答案】B,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比关系的确定；数列的求和
【解析】【解答】当 时， ，
当 时，由 ，得 ，
两式相减得： ，
又 ，
所以数列 是以2为首项，以2为公比的等比数列，
所以 ， ，数列 的前 项和为 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：BD
【分析】首先由数列的通项公式以及数列前n项和公式整理出数列的递推关系，进而得出数列为等比数列，再由数列的通项公式整理数列的通项公式，整理化简由裂项相消法即可求出数列前n项和，由放缩法即可得出Tn的取值范围，对选项逐一判断即可得出答案。
13．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】 是等比数列，且
设 等比数列的公比 ，根据等比数列通项公式
可得 ①， ②.
将②÷①可得
故
代入①解得
，
故答案为： .
【分析】 设{an}等比数列的公比q，根据等比数列通项公式，列出方程组，求出首项和公比，由此能求出结果．
14．【答案】127
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】设等比数列 的公比为 ，由 有 ，解得 ， (舍去)，所以 ，所以 .
故答案为：127
【分析】利用等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式代入数值计算出结果即可。
15．【答案】
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题意知:大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,以2为公比的等比数列,
所以大老鼠前 天打洞长度之和为 ,
同理小老鼠前 天打洞长度之和为 ,
所以
所以
故答案为：
【分析】 由题意知:大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,以2为公比的等比数列，小老鼠每天打洞的距离构成以1为首项，以为公比的等比数列，然后结合等比数列的求和公式可求.
16．【答案】4
【知识点】数列的函数特性；等比数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】设等比数列 的公比为 ，
由已知得， ，即 ，
∴ ，∴ ，
又 ，
∴ ，则 ，
当 为奇数时， ；
当 为偶数时， ，
综上所述， 的最大值为4。
故答案为：4。
【分析】利用已知条件结合等差中项公式和等比数列的前n项和公式，再结合等比数列的通项公式，进而求出首项和公比，再结合等比数列的前n项和公式结合分类讨论的方法求出 的取值范围，进而得出 的最大值。
17．【答案】（1）解：设等比数列 的公比为 ，
由题意可得： 解得： ，
∴
数列 为首项为 ，公差为 的等差数列，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式可求得 ， 再根据等差数列的求和公式可得 ；
（2）由（1）得 ，再有分组求和法求得 。
18．【答案】（1）解：由 ，且 .
∴ ，解得 .
故 .
∵ 为等比数列， ，设公比为 ，则 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
，
所以 ， ；
（2）解：由（1）得 ，
∴①，
∴②，
∴由①②得：
∴
，
∴ ，
∴ .
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式，进而求出等差数列的首项，再利用等差数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式，再利用已知条件结合等比数列的通项公式，进而求出等比数列的公比，再利用等比数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式。
（2）利用（1）求出的数列 与 的通项公式结合 ， 进而求出数列 的通项公式，再利用错位相减的方法，进而求出数列 的前 项和为 ，再利用放缩法证出不等式 成立。
19．【答案】解：（Ⅰ）因为 和 的等差中项为1，
所以 ，即 ，
当 时， ．
两式相减得 ，整理得 ．
在 中，令 得 ，
所以，数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
因此 ．
（Ⅱ） ．
则 ．
所以
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）利用等差中项公式结合已知条件，再利用与的关系式，再结合分类讨论的方法，进而结合等比数列的定义，判断出数列 是以2为首项，2为公比的等比数列， 进而利用等比数列通项公式求出数列 的通项公式。
（2）利用（1）求出的数列 的通项公式和 ， 进而求出数列 的通项公式，再利用裂项相消的方法，进而求出数列 的前 项和。
20．【答案】（1）证明：由 ，得 ．
又 ，所以 ．
故 ，所以数列 是以1为首项，以2为公比的等比数列．
所以数列 的通项公式为 ．
（2）解：由 ，得 ，
， ①
， ②
由①－②得 ，
则 ．
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比关系的确定；数列的求和
【解析】【分析】(1)首先由已知的数列的递推公式整理即可得到由此即可得出数列是等比数列，结合等比数列的通项公式代入数值计算出答案即可。
(2)由(1)的结论整理即可得到数列的通项公式，再由错位相减法计算出结果即可。
21．【答案】（1）解：因为6， ， 成等差数列，所以 ，
因此有 ，两式相减得: ，
即 ，
当 时， ，∴ ，故 是以2为首项， 为公比的等比数列，
∴ ；
（2）解： ，∴题中不等式等价于 ，
即 ，即 对 成立，
∵ 且 时 ，∴ ，显然m为偶数， 成立，
当 时 ，故 ．
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列的性质；数列的极限
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差中项公式，得出 ，再利用的关系式，再结合分类讨论的方法和等比数列的定义，进而求出数列 的通项公式。
（2）利用（1）求出的数列 的通项公式，得出 ， 所以 对任意 成立等价于 ， 即 对 成立， 因为 且 时 ， 所以 ， 显然m为偶数， 成立， 当 时 ， 从而求出m的值。
22．【答案】（1）证明：由 ，得 ，
又 ，所以 为首项为1，公比为 的等比数列
（2）解：由（1）得， ，即 .
所以 ①
②
由① - ②得，
所以
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式变形，再结合等比数列的定义，进而证出数列 为等比数列。
（2）利用（1）数列 为等比数列，再结合等比数列的通项公式求出数列 的通项公式，再结合 ， 进而求出数列 的通项公式，再结合错位相减的方法，进而求出数列 的前n项和。
1 / 12019人教版选修二 等比数列同步练习
一、单选题
1．已知等比数列 中， ，则公比 （ ）
A．9或-11 B．3或-11 C．3或 D．3或-3
【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】∵ 为等比数列，令首项为 ，公比为 ，则 ，
∴解得： 或
故答案为：D.
【分析】 根据通项公式可得关于首项和公比的方程组，解得即可．
2．（2021·景德镇模拟）已知等比数列 中， ， 且 ，则 （ ）
A．±16 B．16 C．±4 D．4
【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解:已知 ，且
解得 ,
又因为 是等比数列,
所以 ,
所以 ,可得 ,
所以 .
故答案为：B
【分析】 由已知结合等比数列的性质可求a5，进而可求公比q，然后代入等比数列的通项公式即可求解．
3．（2021·淄博模拟）已知 为等比数列， 为其前 项和，若 ，则公比 （ ）．
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
因为 ，所以 2.
故答案为：D
【分析】利用等比数列通项公式即可得出答案。
4．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念）有下列四个说法：①等比数列中的某一项可以为0；②等比数列中公比的取值范围是 ；③若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；④若 ，则 ， ， 成等比数列.其中说法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的性质
【解析】【解答】对于①，因为等比数列中的各项都不为0，所以①不正确；
对于②，因为等比数列的公比不为0，所以②不正确；
对于③，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以③正确；
对于④，只有当 ， ， 都不为0时， ， ， 才成等比数列，所以④不正确.
因此，正确的说法只有1个，
故答案为：B.
【分析】利用等比数列的定义和公比的取值范围，再结合等比数列的性质，从而找出说法正确的选项。
5．（2021·吉林模拟） 是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化．目前我国最高的 基站海拔6500米．从全国范围看，中国 发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期．现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少 ，则第一个工程队承建的基站数（单位：万）约为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】等比数列的前n项和；等比关系的确定
【解析】【解答】设每个工程队承建的基站数形成数列 ，
则由题可得 ，故 是以 为公比的等比数列，
可得 ，解得 .
故答案为：B.
【分析】根据题意结合等比数列的定义即可得出每个工程队承建的基站数成等比数列，再由等比数列的前n项和公式代入数值计算出结果即可。
6．（2020高二上·济宁期末）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难次日脚痛减一半六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第6天走了（ ）
A．48里 B．24里 C．12里 D．6里
【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题可得此人每天走的路程形成公比为 的等比数列 ，
则 ，解得 ，
，
故此人第6天走了6里。
故答案为：D.
【分析】利用实际问题的已知条件，将实际问题转化为公比为 的等比数列 ，再利用等比数列的前n项和公式，进而求出等比数列的首项，再利用等比数列的通项公式，进而求出等比数列第6项的值，进而求出实际问题中此人第6天走的路程。
7．（2020高二上·泰州期末）已知正项等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，则“ ”是“ ”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 .
由 得 ，即 ，即 ，所以 ，
由 ，又 ，则 ，则 ，则 ，
综上可得：“ ”是“ ”的充分必要条件，
故答案为：C.
【分析】由等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式结合题意即可得出公比的取值范围；再由首项和公比的性质即可得出数列为递增数列由此即可得出结论成立，再由充分和必要条件的定义即可得出答案。
8．（2020高三上·河南月考）在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R0个人，为第一轮传染，这R0个人中每人再传染R0个人，为第二轮传染，…….R0一般由疾病的感染周期 感染者与其他人的接触频率 每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数 ，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M，则当M>1000时需要的天数至少为（ ）参考数据：lg38≈1.58
A．34 B．35 C．36 D．37
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；等比数列的通项公式
【解析】【解答】设第 轮感染人数为 ，则数列 为等比数列，其中 ，公比为 ，
所以 ，解得 ，
而每轮感染周期为7天，所以需要的天数至少为 ．
故答案为：D.
【分析】首先根据题意即可得出数列为等比数列由此求出数列的通项公式，再由对数的运算性质整理即可得出n的值再周期性即可得出结果。
二、多选题
9．（2020高三上·威海期末）已知数列 ……，其中第一项是 ，接下来的两项是 再接下来的三项是 依次类推…，第 项记为 ，数列 的前 项和为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；类比推理
【解析】【解答】A.由题可将数列分组，
第一组： 第二组： 第三组：
则前 组一共有 … 个数，
第 组第 个数即 ，故 ，C对，
又 ，故 ，
又 ，
则为第11组第5个数，
第11组有数： ，
故 ，A对，
对于D. 每一组的和为 … ，
故前 组之和为 … ，
，
D不符合题意，
对于B，
由D可知， ，
， ，
，
B不符合题意，
故答案为：AC。
【分析】由题可将数列分组，再结合类比推理的方法和等差数列前n项和公式和等比数列前n项和公式，从而找出正确的选项。
10．（2020高三上·湖北期中）已知等比数列 的公比为 ，前4项的和为 ，且 ， ， 成等差数列，则 的值可能为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】A,C
【知识点】等比数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为 ， ， 成等差数列，
所以 ，
因此， ，
故 ．
又 是公比为 的等比数列，
所以由 ，
得 ，即 ，
解得 或 ．
故答案为：AC．
【分析】运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比的值．
11．（2020高二上·石家庄月考）设首项为1的数列 的前 项和为 ，已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A．数列 为等比数列
B．数列 的通项公式为
C．数列 为等比数列
D．数列 的前 项和为
【答案】A,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比关系的确定
【解析】【解答】因为 ，所以 ．
又 ，所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列，A符合题意；
所以 ，则 ．
当 时， ，但 ，B不符合题意；
由 可得 ，即 ，C不符合题意；
因为 ，所以
所以数列 的前 项和为 ，D符合题意．
故答案为：AD．
【分析】首先由上来的递推公式代入数值即可得出数列数列 是等比数列，结合等比数列的通项公式即可得出数列的前n项和公式，再由数列前n项和公式与项之间的关系即可得出数列的通项公式，由数列的通项公式即可得出该数列为等比数列，借助等比数列的前n项和公式整理即可得出数列的前n项和公式；由此对选项逐一判断即可得出答案。
12．（2020高三上·南京月考）若数列 的前 项和是 ，且 ，数列 满足 ，则下列选项正确的为（ ）
A．数列 是等差数列
B．
C．数列 的前 项和为
D．数列 的前 项和为 ，则
【答案】B,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比关系的确定；数列的求和
【解析】【解答】当 时， ，
当 时，由 ，得 ，
两式相减得： ，
又 ，
所以数列 是以2为首项，以2为公比的等比数列，
所以 ， ，数列 的前 项和为 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：BD
【分析】首先由数列的通项公式以及数列前n项和公式整理出数列的递推关系，进而得出数列为等比数列，再由数列的通项公式整理数列的通项公式，整理化简由裂项相消法即可求出数列前n项和，由放缩法即可得出Tn的取值范围，对选项逐一判断即可得出答案。
三、填空题
13．（2021·新疆模拟）记 为等比数列 的前 项和，若 ，则 .
【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】 是等比数列，且
设 等比数列的公比 ，根据等比数列通项公式
可得 ①， ②.
将②÷①可得
故
代入①解得
，
故答案为： .
【分析】 设{an}等比数列的公比q，根据等比数列通项公式，列出方程组，求出首项和公比，由此能求出结果．
14．（2021·遂宁模拟）记 为正项等比数列 的前 项和，若 ， ，则 的值为 .
【答案】127
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】设等比数列 的公比为 ，由 有 ，解得 ， (舍去)，所以 ，所以 .
故答案为：127
【分析】利用等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式代入数值计算出结果即可。
15．（2021·绍兴模拟）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何？”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍：小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚， 为前n天两只老鼠打洞长度之和，则 尺.
【答案】
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题意知:大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,以2为公比的等比数列,
所以大老鼠前 天打洞长度之和为 ,
同理小老鼠前 天打洞长度之和为 ,
所以
所以
故答案为：
【分析】 由题意知:大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,以2为公比的等比数列，小老鼠每天打洞的距离构成以1为首项，以为公比的等比数列，然后结合等比数列的求和公式可求.
16．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）等比数列 中， ，前 项和为 ， ， ， 成等差数列，则 的最大值为 .
【答案】4
【知识点】数列的函数特性；等比数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】设等比数列 的公比为 ，
由已知得， ，即 ，
∴ ，∴ ，
又 ，
∴ ，则 ，
当 为奇数时， ；
当 为偶数时， ，
综上所述， 的最大值为4。
故答案为：4。
【分析】利用已知条件结合等差中项公式和等比数列的前n项和公式，再结合等比数列的通项公式，进而求出首项和公比，再结合等比数列的前n项和公式结合分类讨论的方法求出 的取值范围，进而得出 的最大值。
四、解答题
17．（2021·新乡模拟）已知等比数列 的第2项和第5项分别为2和16，数列 的前 项和为 .
（1）求 ， ；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1）解：设等比数列 的公比为 ，
由题意可得： 解得： ，
∴
数列 为首项为 ，公差为 的等差数列，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式可求得 ， 再根据等差数列的求和公式可得 ；
（2）由（1）得 ，再有分组求和法求得 。
18．（2021·宝鸡模拟）已知等差数列 的公差 ，且 ，数列 是各项均为正数的等比数列，且满足 ， .
（1）求数列 与 的通项公式；
（2）设数列 满足 ，其前 项和为 .求证： .
【答案】（1）解：由 ，且 .
∴ ，解得 .
故 .
∵ 为等比数列， ，设公比为 ，则 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
，
所以 ， ；
（2）解：由（1）得 ，
∴①，
∴②，
∴由①②得：
∴
，
∴ ，
∴ .
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式，进而求出等差数列的首项，再利用等差数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式，再利用已知条件结合等比数列的通项公式，进而求出等比数列的公比，再利用等比数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式。
（2）利用（1）求出的数列 与 的通项公式结合 ， 进而求出数列 的通项公式，再利用错位相减的方法，进而求出数列 的前 项和为 ，再利用放缩法证出不等式 成立。
19．（2021·焦作模拟）已知数列 的前 项和为 ，且 和 的等差中项为1．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】解：（Ⅰ）因为 和 的等差中项为1，
所以 ，即 ，
当 时， ．
两式相减得 ，整理得 ．
在 中，令 得 ，
所以，数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
因此 ．
（Ⅱ） ．
则 ．
所以
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）利用等差中项公式结合已知条件，再利用与的关系式，再结合分类讨论的方法，进而结合等比数列的定义，判断出数列 是以2为首项，2为公比的等比数列， 进而利用等比数列通项公式求出数列 的通项公式。
（2）利用（1）求出的数列 的通项公式和 ， 进而求出数列 的通项公式，再利用裂项相消的方法，进而求出数列 的前 项和。
20．（2021·肇庆模拟）已知：数列 中， ， ， ， .
（1）证明数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）证明：由 ，得 ．
又 ，所以 ．
故 ，所以数列 是以1为首项，以2为公比的等比数列．
所以数列 的通项公式为 ．
（2）解：由 ，得 ，
， ①
， ②
由①－②得 ，
则 ．
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比关系的确定；数列的求和
【解析】【分析】(1)首先由已知的数列的递推公式整理即可得到由此即可得出数列是等比数列，结合等比数列的通项公式代入数值计算出答案即可。
(2)由(1)的结论整理即可得到数列的通项公式，再由错位相减法计算出结果即可。
21．（2021·重庆模拟）已知数列 的前n项和为 ，且6， ， 成等差数列．
（1）求 ；
（2）是否存在 ，使得 对任意 成立？若存在，求m的所有取值；否则，请说明理由．
【答案】（1）解：因为6， ， 成等差数列，所以 ，
因此有 ，两式相减得: ，
即 ，
当 时， ，∴ ，故 是以2为首项， 为公比的等比数列，
∴ ；
（2）解： ，∴题中不等式等价于 ，
即 ，即 对 成立，
∵ 且 时 ，∴ ，显然m为偶数， 成立，
当 时 ，故 ．
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列的性质；数列的极限
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差中项公式，得出 ，再利用的关系式，再结合分类讨论的方法和等比数列的定义，进而求出数列 的通项公式。
（2）利用（1）求出的数列 的通项公式，得出 ， 所以 对任意 成立等价于 ， 即 对 成立， 因为 且 时 ， 所以 ， 显然m为偶数， 成立， 当 时 ， 从而求出m的值。
22．（2021·吕梁模拟）数列 满足 ， .
（1）求证：数列 为等比数列；
（2）设 ，求 的前 项和 .
【答案】（1）证明：由 ，得 ，
又 ，所以 为首项为1，公比为 的等比数列
（2）解：由（1）得， ，即 .
所以 ①
②
由① - ②得，
所以
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式变形，再结合等比数列的定义，进而证出数列 为等比数列。
（2）利用（1）数列 为等比数列，再结合等比数列的通项公式求出数列 的通项公式，再结合 ， 进而求出数列 的通项公式，再结合错位相减的方法，进而求出数列 的前n项和。
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