2021-2022学年冀教新版九年级上册数学《第28章 圆》单元测试卷（word版有答案）

2021-2022学年冀教新版九年级上册数学《第28章 圆》单元测试卷
一．选择题
1．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC．若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（　　）
A．70° B．60° C．50° D．40°
2．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是（　　）
A．8或6 B．10或8 C．10 D．8
3．如图，＝＝，已知AB是⊙O的直径，∠BOC＝40°，那么∠AOE＝（　　）
A．40° B．60° C．80° D．120°
4．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于（　　）
A． B． C．2 D．
5．对于以下图形有下列结论，其中正确的是（　　）
A．如图①，AC是弦
B．如图①，直径AB与组成半圆
C．如图②，线段CD是△ABC边AB上的高
D．如图②，线段AE是△ABC边AC上的高
6．如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB，已知∠DOB＝72°，则∠E等于（　　）
A．36° B．30° C．18° D．24°
7．如图，已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（　　）
A．（6，8） B．（4，5） C．（4，） D．（4，）
8．如图，AB是直径，，∠BOC＝40°，则∠AOE的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
9．如图，设AD，BE，CF为三角形ABC的三条高，若AB＝6，BC＝5，EF＝3，则线段BE的长为（　　）
A． B．4 C． D．
二．填空题
10．如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则a、b、c的大小是　 　．
11．如图所示的三个圆是同心圆，那么图中阴影部分的面积为　 　．（结果保留π）
12．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，求AB的长是　 　．
13．若三角形的三边长分别为6，8，10，则此三角形的外接圆半径是　 　．
14．在平面直角坐标系中有A，B，C三点，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为　 　．
15．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为　 　．
16．如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为　 　．
17．如图，已知半⊙O的直径AB为3，弦AC与弦BD交于点E，OD⊥AC，垂足为点F，AC＝BD，则弦AC的长为　 　．
18．已知⊙O半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB＝，则弦AB所对的圆周角度数是　 　．
三．解答题
19．如图，AB、CD为⊙O中两条直径，点E、F在直径CD上，且CE＝DF．
求证：AF＝BE．
20．如图，AC是Rt△OAB斜边上的高，到点O的距离等于OA的所有点组成的图形记为G，图形G与OB交于点D，连接AD．
（1）依题意补全图形，并求证：AD平分∠BAC；
（2）如果OC＝6，tanB＝，求BD的长．
21．已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由．
22．如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．
23．如图所示，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE，BE交AC于点F．
（1）求证：CE＝AE；
（2）填空：①当∠ABC＝　 　时，四边形AOCE是菱形；
②若AE＝，AB＝，则DE的长为　 　．
24．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．
25．如图，⊙O的半径均为R．
（1）请在图①中画出弦AB，CD，使图①为轴对称图形而不是中心对称图形；请在图②中画出弦AB，CD，使图②仍为中心对称图形；
（2）如图③，在⊙O中，AB＝CD＝m（0＜m＜2R），且AB与CD交于点E，夹角为锐角α．求四边形ACBD的面积（用含m，α的式子表示）；
（3）若线段AB，CD是⊙O的两条弦，且AB＝CD＝R，你认为在以点A，B，C，D为顶点的四边形中，是否存在面积最大的四边形？请利用图④说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵AD∥OC，
∴∠AOC＝∠DAO＝70°，
又∵OD＝OA，
∴∠ADO＝∠DAO＝70°，
∴∠AOD＝180﹣70°﹣70°＝40°．
故选：D．
2．解：由勾股定理可知：
①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；
②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长＝＝20，
因此这个三角形的外接圆半径为10．
综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10．
故选：B．
3．解：∵＝＝，∠BOC＝40°，
∴∠EOD＝∠COD＝∠BOC＝40°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝60°．
故选：B．
4．解：∵∠E＝∠ABD，
∴tan∠AED＝tan∠ABD＝＝．
故选：D．
5．解：A、AC不是弦，故错误；
B、半圆是弧，不包括弧所对的弦，故错误；
C、线段CD是△ABC边AB上的高，正确；
D、线段AE不是△ABC边AC上的高，故错误，
故选：C．
6．解：如图：
CE＝OB＝CO，得
∠E＝∠1．
由∠2是△EOC的外角，得∠2＝∠E+∠1＝2∠E．
由OC＝OD，得∠D＝∠2＝2∠E．
由∠3是三角形△ODE的外角，得∠3＝E+∠D＝∠E+2∠E＝3∠E．
由∠3＝72°，得3∠E＝72°．
解得∠E＝24°．
故选：D．
7．解：∵⊙P经过点A、B、C，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∴点P的横坐标为4，
设点P的坐标为（4，y），
作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，
由题意得，
＝，
解得，y＝，
故选：C．
8．解：∵，∠BOC＝40°，
∴∠BOC＝∠COD＝∠EOD＝40°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝60°．
故选：D．
9．解：∵AD，BE，CF为△ABC的三条高，易知B，C，E，F四点共圆
∴△AEF∽△ABC
∴，即cos∠BAC＝
∴sin∠BAC＝
∴在Rt△ABE中，BE＝AB sin∠BAC＝6＝．
故选：D．
二．填空题
10．解：连接OA，OD，OM．
∵四边形ABOC、DEOF、HMON均为矩形．
∴OA＝BC，OD＝EF，OM＝HN
∴BC＝EF＝HN
即a＝b＝c．
故答案是：a＝b＝c．
11．解：把最小圆的阴影部分圆点为定点顺时针旋转90°，然后把最外边的阴影部分逆时针旋转90°，即可填充满最大圆的
而最大圆的面积为π
∴答案为．
12．解：连接OC，
∵CD＝4，OD＝3，
在Rt△ODC中，
∴OC＝＝＝5，
∴AB＝2OC＝10，
故答案为：10．
13．解：∵62+82＝102，
∴此三角形是直角三角形，
∴此三角形的外接圆半径是＝5，
故答案为：5．
14．解：∵A（1，3），B（3，3），C（5，1）不在同一直线上
∴经过点A，B，C可以确定一个圆
∴该圆圆心必在线段AB的垂直平分线上
∴设圆心坐标为M（2，m）
则点M在线段BC的垂直平分线上
∴MB＝MC
由勾股定理得：＝
∴1+m2﹣6m+9＝9+m2﹣2m+1
∴m＝0
∴圆心坐标为M（2，0）
故答案为：（2，0）．
15．解：连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，
则∠C＝∠D，∠PBD＝90°，
∵PA⊥BC，
∴∠PAC＝90°，
∴∠PAC＝∠PBD，
∴△PAC∽△PBD，
∴＝，
∵⊙O的半径为5，AP＝3，PB＝x，PC＝y，
∴＝，
∴xy＝30，
∴y＝，
故答案为：y＝．
16．解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故答案为：5．
17．解：∵OD⊥AC，
∴＝，∠AFO＝90°，
又∵AC＝BD，
∴＝，即+＝+，
∴＝，
∴＝＝，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°，
∵AB＝3，
∴AO＝BO＝，
∴AF＝AOsin∠AOF＝×＝，
则AC＝2AF＝；
18．解：如图所示，
∵OC⊥AB，
∴C为AB的中点，即AC＝BC＝AB＝，
在Rt△AOC中，OA＝1，AC＝，
根据勾股定理得：OC＝＝＝，即OC＝AC，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴∠AOC＝45°，
同理∠BOC＝45°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝90°，
∵∠AOB与∠ADB都对，
∴∠ADB＝∠AOB＝45°，
∵大角∠AOB＝270°，
∴∠AEB＝135°，
∴弦AB所对的圆周角为45°或135°．
故答案为：45°或135°．
三．解答题
19．解：∵AB、CD为⊙O中两条直径，
∴OA＝OB，OC＝OD，
∵CE＝DF，
∴OE＝OF，
在△AOF和△BOE中，
，
∴△AOF≌△BOE（SAS），
∴AF＝BE．
20．（1）证明：如图，∵∠OAB＝90°，
∴∠OAD+∠DAB＝90°，
∵AC是Rt△OAB斜边上的高，
∴AC⊥OB，
∴∠ACD＝∠DAC+∠ADO＝90°，
∵图形G是圆O，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠DAB＝∠DAC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵tanB＝，
∴＝，
设AC＝3x，BC＝4x，则AB＝5x，
∴＝，OA＝，
Rt△AOC中，∵OC＝6，
∴，
解得：x＝，
∵x＞0，
∴x＝，
∴BD＝OC+BC﹣OD＝6+4×﹣＝．
21．解：如图，
连接AC，BD相交于点O，连接OE，OF，OG，OH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD＝BC，AC⊥BD，
∵点E是AB的中点，
∴OE＝AB，
同理：OF＝BC，OG＝CD，OH＝AD，
∴OE＝OF＝OG＝OH，
∴点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上．
22．证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF＝EF＝BF＝CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心， BC为半径的圆上．
23．证明（1）∵AB＝AC，AC＝CD
∴∠ABC＝∠ACB，∠CAD＝∠D
∵∠ACB＝∠CAD+∠D＝2∠CAD
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠CAD
∵∠CAD＝∠EBC，且∠ABC＝∠ABE+∠EBC
∴∠ABE＝∠EBC＝∠CAD，
∵∠ABE＝∠ACE
∴∠CAD＝∠ACE
∴CE＝AE
（2）①当∠ABC＝60°时，四边形AOCE是菱形；
理由如下：
如图，连接OE
∵OA＝OE，OE＝OC，AE＝CE
∴△AOE≌△EOC（SSS）
∴∠AOE＝∠COE，
∵∠ABC＝60°
∴∠AOC＝120°
∴∠AOE＝∠COE＝60°，且OA＝OE＝OC
∴△AOE，△COE都是等边三角形
∴AO＝AE＝OE＝OC＝CE，
∴四边形AOCE是菱形
故答案为：60°
②如图，过点C作CN⊥AD于N，
∵AE＝，AB＝，
∴AC＝CD＝2，CE＝AE＝，且CN⊥AD
∴AN＝DN
在Rt△ACN中，AC2＝AN2+CN2，①
在Rt△ECN中，CE2＝EN2+CN2，②
∴①﹣②得：AC2﹣CE2＝AN2﹣EN2，
∴8﹣3＝（+EN）2﹣EN2，
∴EN＝
∴AN＝AE+EN＝＝DN
∴DE＝DN+EN＝
故答案为：
24．解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；
（2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D．
∵BC＝16cm，
∴BD＝8cm，
∵AB＝10cm，
∴AD＝6cm，
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，
∴R2＝82+（R﹣6）2，
解得：R＝cm，
∴圆片的半径R为cm．
25．解：（1）答案不唯一，如图①、②
（2）过点A，B分别作CD的垂线，垂足分别为M，N，
∵S△ACD＝CD AM＝CD AE sinα，S△BCD＝CD BN＝CD BE sinα，
∴S四边形ACBD＝S△ACD+S△BCD＝CD AE sinα+CD BE sinα
＝CD （AE+BE）sinα＝CD AB sinα＝m2 sinα．
（3）存在．分两种情况说明如下：
①当AB与CD相交时，由（2）及AB＝CD＝知S四边形ACBD＝AB CD sinα＝R2sinα，
②当AB与CD不相交时，如图④．
∵AB＝CD＝，OC＝OD＝OA＝OB＝R，
∴∠AOB＝∠COD＝90°．
而S四边形ABCD＝SRt△AOB+SRt△OCD+S△AOD+S△BOC＝R2+S△AOD+S△BOC
延长BO交⊙O于点E，连接EC，
则∠1+∠3＝∠2+∠3＝90°．
∴∠1＝∠2．
∴△AOD≌△COE．
∴S△AOD＝S△OCE
∴S△AOD+S△BOC＝S△OCE+S△BOC＝S△BCE
过点C作CH⊥BE，垂足为H，
则S△BCE＝BE CH＝R CH．
∴当CH＝R时，S△BCE取最大值R2
综合①、②可知，当∠1＝∠2＝90°．
即四边形ABCD是边长为的正方形时，S四边形ABCD＝R2+R2＝2R2为最大值．