初中数学苏科版八年级上册2.4线段、角的轴对称性 同步练习
一、单选题
1．（2021八下·金水期中）三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点
2．（2021八下·中原期中）A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，为拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）
A．AB中点 B．BC中点
C．AC中点 D．∠C的平分线与AB的交点
3．（2021八下·中原期中）图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC=2，则S△ABE的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
4．（2021八下·达州期中）如图，在 Rt△ACB 中，∠C=90°， AD 平分∠CAB 交BC平D，DE ⊥AB 交AB于E，则下列结论中不正确的是( ）
A．BD +ED=BC B．DE 平分∠ADB
C．AD 平分∠EDC D．ED+AC>AD
5．（2020八上·无锡期中）如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E.已知PE＝10，则点P到AB的距离是（ ）
A．15 B．12 C．5 D．10
6．（2020八上·兴化月考）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，点D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
7．（2020八上·江苏月考）如图，△ABC 中，AB = 6cm ，AC = 8cm ，BC 的垂直平分线l 与 AC 相交于点 D ，则DABD 的周长为（ ）
A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm
8．（2020八上·江阴月考）如图，在 ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N， BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．11
9．（2020八上·洪泽月考）如图，在△ABC中，BC=10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长为18，则AC的长等于（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．（2020八上·泰兴月考）若P是△ 所在平面内的点，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．点P是△ 三边垂直平分线的交点
B．点P是△ 三条角平分线的交点
C．点P是△ 三边上高的交点
D．点P是△ 三边中线的交点
11．（2020八上·江都月考）如图，DE是AC边的垂直平分线，AB＝5cm，BC＝4cm.那△BEC的周长是（ ）
A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm
12．（2020八上·南京月考）在联欢会上，有 、 、 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在 的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边中垂线的交点 D．三边上高所在直线的交点
13．（2020八上·江阴月考）如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
14．（2019八上·海安月考）如图， 中， ， 平分 ， 于点 ， 于点 ， ，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
15．（2019八上·睢宁月考）在联欢会上，有A，B，C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点
16．（2019八上·东台月考）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D，△ABD的周长为16cm，AC为5cm，则△ABC的周长为（ ）
A．24cm B．21cm C．20cm D．无法确定
二、填空题
17．（2021八上·海安期末）如图， 是 的角平分线， ，则点 到 的距离为 .
18．（2021八上·邗江期末）如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝6，CD＝2，则△ABD的面积是 .
19．（2021八上·泰州期末）如图， 中， ， 的平分线交BC于点D， 于点E， ，则 面积是 .
20．（2020八上·宜兴期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AD平分∠BAC，交BC边于点D，若CD=1，则△ABD的面积为 .
21．（2020八上·无锡期中）如图，在 中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，且 与 的周长分别是16和10，则AB的长为
22．（2020八上·丹徒期中）如图，△ABC中，AB＝AC＝14cm，BC=10cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则△CBD的周长C△BCD= .
23．（2020八上·宿迁期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若CD＝2，则点D到AB的距离等于 .
24．（2020八上·东海期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为 cm.
25．（2020八上·东台期中）如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于D，若△ADB的周长是10cm，AB=3cm，则AC= cm.
26．（2020八上·无锡期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝12，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝4，则△ABD的面积为 .
27．（2020八上·洪泽月考）如图，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠BAC，且CD = 5，则点D到AB的距离为 .
28．（2020八上·江都月考）如图，△ABC中，∠A=100°，∠B=20°，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，则∠ACE的度数等于 .
29．（2020八上·大丰月考）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为 .
三、解答题
30．（2020八上·宜兴月考）已知△ABC中，AB=AC=8，DE垂直平分AB，交AC于E.已知△BEC的周长是13，求△ABC的周长.
31．（2020八上·沭阳月考）已知：如图，△ABC的两内角∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点P.求证：点P在∠A的角平分线上.
32．（2020八上·大丰月考）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E.若BC=13cm，则△ADE周长是多少？
33．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．
（1）若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF的度数；
（2）若EF=4，BF：FD=5：3，S△BCF=10，求点D到AB的距离．
34．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D．
（1）∠ECD和∠EDC相等吗？
（2）OC和OD相等吗？
（3）OE是线段CD的垂直平分线吗？
35．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．
36．如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
说明：（1）CF=EB．
（2）AB=AF+2EB．
37．（2019八下·港南期中）现要在三角地ABC内建一中心医院，使医院到A、B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．
38．在学完全等三角形后，李老师给出了下列题目：
求证：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
已知：
求证：
证明：
39．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：AC=AE；
（2）若点E为AB的中点，CD=4，求BE的长．
40．求证：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】因为三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，这样就能保证凳子到三名同学的距离相等，以保证游戏的公平.
故答案为：D.
【分析】根据题意可知，凳子的位置应该到三个顶点的距离相等，然后根据垂直平分线的性质解答即可.
2．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：因为文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，
所以点P是 三边垂直平分线的交点，
因为AB=1000米，BC=600米，AC=800米，
且 ，
所以 是直角三角形，则活动中心P的位置应在斜边AB的中点，
故答案为：A.
【分析】根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可知：点P是△ABC三边垂直平分线的交点；根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，于是可得活动中心P的位置应在斜边AB的中点.
3．【答案】A
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：根据题意，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠EAD=∠B=15°，
∴∠AEC=15°+15°=30°，
∵在△ACE中，∠ACE=90°，
∴AE=2AC=2×2=4，
∴BE=4，
∴S△ABE= ；
故答案为：A.
【分析】根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得AE=BE，由等边对等角可得∠EAD=∠B=15°，由三角形外角的性质可得∠AEC=∠ABE+∠BAE，在△ACE中，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得AE=2AC，然后由S△ABE=BE×AC可求解.
4．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：A、∵AD 平分∠CAB 交BC平D， DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE，∴BD+ED=BD+CD=BC，正确；
BCD、在Rt△AED和Rt△ACD中，，∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AE=AC，∠ADE=∠ADC，即AD平分∠EDC ，而DE不一定平分∠ADB，∵AE+ED>AD，∴ED+AC>AD，故CD正确，B不正确；
故答案为：B.
【分析】由角平分线的性质定理可得CD=DE，然后根据线段的和差关系即可得出BD +ED=BC；利用斜边直角边定理证明Rt△AED≌Rt△ACD，则可得出AE=AC，∠ADE=∠ADC，则可判断C正确，而B不一定正确；然后利用三角形的三边的关系可以判断D.
5．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点P到AB的距离是也是10.
故答案为：D.
【分析】已知条件给出了角平分线、PE⊥AC于点E等条件，利用角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求解.
6．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，
∴AE=BE
∴△BEC的周长为BE＋EC＋BC
=AE＋EC＋BC
=AC＋BC
=13
故答案为：B.
【分析】根据垂直平分线的性质可得AE=BE，然后根据三角形的周长公式和等量代换即可求出结论.
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵BC的垂直平分线l与AC相交于点D，
∴DB＝DC，
∴△ABD的周长＝AB＋AD＋DB＝AB＋AD＋DC＝AB＋AC＝14（cm），
故答案为：C.
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形周长公式计算，得到答案.
8．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∵△BCN的周长是7cm，
∴BN＋NC＋BC＝7（cm），
∴AN＋NC＋BC＝7（cm），
∵AN＋NC＝AC，
∴AC＋BC＝7（cm），
又∵AC＝4cm，
∴BC＝7 4＝3（cm）.
故答案为：A.
【分析】首先根据MN是线段AB的垂直平分线，可得AN＝BN，然后根据△BCN的周长是7cm，以及AN＋NC＝AC，求出BC的长为多少即可.
9．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵△BCE的周长等于18，
∴BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=18.
∵△ABC中，BC=10，
∴AC=18-10=8.
故答案为：B.
【分析】由AB的垂直平分线交AB边于点D，交AC边于点E，可得AE=BE，又由△BCE的周长等于18，即可求得AC+BC=18，然后由BC=10，求得AC的长.
10．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∵PB=PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
∴点P是△ 三边垂直平分线的交点.
故答案为：A.
【分析】根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上判断即可.
11．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： DE是AC边的垂直平分线，
AE=CE，
AB＝5cm，BC＝4cm，AB=AE+BE，
，
故答案为：A.
【分析】根据线段垂直平分线的性质定理可得AE=CE，然后由题意及三角形周长可求解.
12．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：为使游戏公平，凳子应到点A、B、C的距离相等
根据线段垂直平分线的性质，则凳子应放的最适当的位置是在 的三边中垂线的交点
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的性质即可得出结论.
13．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
由题意得，BC＋CE＋BE＝18，
则BC＋CE＋AE＝18，即BC＋AC＝18，又BC＝8，
∴AC＝10cm，
故答案为：B.
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据△BCE的周长等于18cm，求出AC的长.
14．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】过D作DG⊥AC于G,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,
∴DG=DE=2,
∵AB=6,AC=4,
∴ =
∴
∴BF=5
故答案为：C
【分析】过D作DG⊥AC于G,根据角平分线的性质得到DG=DE=2,根据三角形的面积公式列方程即可得到结论.
15．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】利用线段垂直平分线的性质可知：三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，
所以凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当.
故答案为：D.
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上.
16．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∵△ABD的周长=AB+BD+AD=16，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=AB+BD+AD+AC=16+5=21.
故答案为：B.
【分析】由垂直平分线可得AD＝DC，进而将求△ABC的周长转换成△ABD的周长再加上AC的长度即可.
17．【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠1=∠2，∠C=∠DEA=90°，
∴DC=DE，
∵BC=10，BD=6，
∴DC=DE=4，
∴则点D到AB的距离为4.
故答案为：4.
【分析】直接利用角平分线上的点到角两边的距离相等得出DC=DE，进而得出答案.
18．【答案】6
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解： 平分
点到AB的距离等于CD长度2，
所以
故答案为：6.
【分析】由角平分线上的点到角的两边距离相等性质得出点D到AB的距离等于CD长度2，进而根据三角形的面积计算方法解题.
19．【答案】12
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过D作DF⊥AB于F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，
∴DF=DE=4，
又∵AB=6，
∴△ABD面积= ×AB×DF= ×6×4=12，
故答案为：12.
【分析】过D作DF⊥AB于F，依据角平分线上的点到角两边的距离相等得到DF=DE=4，再根据三角形的面积公式列式进行计算得出△ABD的面积.
20．【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=1，
∴△ABD的面积= .
故答案为：3.
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，如图，由角平分线的性质可得DE=DC=1，再根据三角形的面积公式计算即可.
21．【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： 是 的垂直平分线，
，
的周长是10，
，即 ，
的周长是16，
，
.
故答案为：6.
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 ，根据三角形的周长公式计算即可.
22．【答案】24cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴BD=AD，
∵AB＝AC＝14cm，BC=10cm，
∴C△BCD=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=14+10=24cm，
故答案为：24cm.
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD=AD，利用C△BCD=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC即可求出结论.
23．【答案】2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DE⊥AB于E，则DE的长度就是D到AB边的距离.
∵AD平分∠CAB，∠ACD=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=2，
故答案为：2.
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DC=2，从而得出结论.
24．【答案】21
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝8cm，
∵△ABD的周长＝AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝21cm，
故答案为21.
【分析】根据线段的垂直平分线可得DA＝DC，AC＝2AE＝8cm，由于△ABD的周长＝AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，从而求出△ABC的周长＝AB+BC+AC的值.
25．【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∵△ADB的周长是10cm，
∴AD+BD+AB=10cm，
∴AD+CD+AB=10cm，
∴AC+AB=10cm，
∵AB=3cm，
∴AC=7cm，
故答案为：7.
【分析】根据线段的垂直平分线可得CD=BD，由AD+CD+AB=AD+BD+AB=10cm，从而可得AC+AB=10cm，据此即可求出AC的长.
26．【答案】24
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作 于 ，
平分 ， ， ，
，
的面积 ，
故答案为：24.
【分析】作 于 ，根据角平分线的上的点到角两边的距离相等求出 的长，根据三角形的面积公式计算即可.
27．【答案】5
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D 点作 于点E，则DE即为所求，
∵ ， 平分 交 于点 ，
∴CD=DE（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵CD=5，
∴DE=5.
故答案为：5.
【分析】直接根据角平分线上的点，到角两边的距离相等即可得出结论.
28．【答案】40°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵△ABC中，∠A=100°，∠B=20°，
∴∠ACB=180°﹣100°﹣20°=60°，
∵边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，
∴BE=CE，
∴∠ECB=∠B=20°，
∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=60°﹣20°=40°.
【分析】由三角形内角和定理可求得∠ACB的度数，再根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得BE=CE，然后由等边对等角可得∠ECB=∠B，最后有角的和差可求解.
29．【答案】2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，则PQ为最短距离，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴PA=PQ=2，
故答案为：2.
【分析】根据题意点Q是射线OM上的一个动点，要求PQ的最小值，需要找出满足题意的点Q，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P作PQ垂直OM，此时的PQ最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PQ，利用已知的PA的值即可求出PQ的最小值.
30．【答案】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵BE+BC+EC=13，
∴AE+BC+EC=13，即AC+BC=13，
∵AB=AC=8，
∴BC=5，
∴△ABC的周长=21.
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】由题意可知AE=BE，即AE+BC+EC=13，即可求出BC的长度，便可求出△ABC的周长.
31．【答案】解：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC，垂足分别为D、M、N，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴PD＝PM，PM＝PN，
∴PD＝PN，
∴点P在∠A的平分线上.
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC，垂足分别为D、M、N，根据角平分线的性质可得PD＝PM， PM＝PN，从而可得PD＝PN，再根据角平分线的判定方法即可证得结论.
32．【答案】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴AD=BD，AE=CE，
∴△ADE 的周长= AD+DE+AE =BD+DE+CE= BC =13cm.
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】直接根据线段垂直平分线的性质即可得出结论.
33．【答案】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABD=24°，
∴∠ABC=2∠ABD=48°，∠DBC=∠ABD=24°，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠ACB=180°﹣60°﹣48°=72°，
∵FE是BC的中垂线，
∴FB=FC，
∴∠FCB=∠DBC=24°，
∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=72°﹣24°=48°；
（2）过D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，
∵BD平分∠ABC，
∴DG=DH，
∵EF⊥BC，
∴EF∥DH，
∴△BEF∽△BHD，
∴，
∵EF=4，BF：FD=5：3，
∴DH=．
∴DG=DH=，
∴点D到AB的距离=．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义求出∠ABC=2∠ABD=48°，∠DBC=∠ABD=24°，根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据线段垂直平分线性质求出FC=FB，求出∠FCB，即可求出答案；
（2）过D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到DG=DH，通过△BEF∽△BHD，得到，代入数据求得DH=．即可得到结论．
34．【答案】解：（1）∠EDC与∠ECD相等
∵OE是∠AOB的平分线，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC=ED，
∴△CED是等腰三角形，
∴∠EDC=∠ECD；
（2）OC与OD相等
∵EC⊥OA，ED⊥OB，
∴∠ODE=∠OCE=90°
在Rt△ODE和Rt△OCE中，OE=OE（公共边），DE=CE
∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL）
∴OD=OC
（3）OE是线段CD的垂直平分线
∵EC=ED，
∴E点在线段CD的垂直平分线上
∵OC=OD，
∴O点在线段CD的垂直平分线上，
∴OE是线段CD的垂直平分线．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质结合全等三角形的性质解答
35．【答案】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E=∠DFC=90°，∴△BDE与△CDE均为直角三角形，∵∴△BDE≌△CDF，∴DE=DF，即AD平分∠BAC；（2）AB+AC=2AE．证明：∵BE=CF，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD，∵∠E=∠AFD=90°，∴∠ADE=∠ADF，在△AED与△AFD中，∵，∴△AED≌△AFD，∴AE=AF，∴AB+AC=AE﹣BE+AF+CF=AE+AE=2AE．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DE=DF，所以AD平分∠BAC；
（2）由（1）中△BDE≌△CDE可知BE=CF，AD平分∠BAC，故可得出△AED≌△AFD，所以AE=AF，故AB+AC=AE﹣BE+AF+CF=AE+AE=2AE．
36．【答案】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC，
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，，
∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．
∴CF=EB；
（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD=DE．
在△ADC与△ADE中，
∵
∴△ADC≌△ADE（HL），
∴AC=AE，
∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离即CD=DE．再根据Rt△CDF≌Rt△EBD，得CF=EB；
（2）利用角平分线性质证明∴△ADC≌△ADE，AC=AE，再将线段AB进行转化．
37．【答案】解：
作AB的垂直平分线EF，作∠BAC的角平分线AM，两线交于P，
则P为这个中心医院的位置．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据线段垂直平分线性质作出AB的垂直平分线，根据角平分线性质作出∠BAC的角平分线，即可得出答案．
38．【答案】解：已知：PE=PF，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，求证：点P在∠AOB的平分线上．证明：在Rt△POE和Rt△POF中，，∴Rt△POE≌Rt△POF，∴∠EOP=∠FOP，∴点P在∠AOB的平分线上．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据题意画出图形，写出已知和求证，根据全等三角形的判定和性质证明结论．
39．【答案】（1）证明：∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴CD=DE，∠AED=∠C=90°，∠CAD=∠EAD，
在△ACD和△AED中
∴△ACD≌△AED，
∴AC=AE；
（2）解：∵DE⊥AB，点E为AB的中点，
∴AD=BD，
∴∠B=∠DAB=∠CAD，
∵∠C=90°，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°，
∵CD=DE=4，∠DEB=90°，
∴BD=2DE=8，
由勾股定理得：BE==4．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】（1）求出△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）求出AD=BD，推出∠B=∠DAB=∠CAD，求出∠B=30°，即可求出BD=2CD=8，根据勾股定理求出即可．
40．【答案】已知：PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，PC=PD，
求证：∠COP=∠DOP，
证明：连接OP，
在Rt△OCP和Rt△ODP中，
，
∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL），
∴∠COP=∠DOP．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】作出图形，写出已知、求证，连接OP，然后利用“HL”证明Rt△OCP和Rt△ODP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠COP=∠DOP，再根据角平分线的定义证明即可．
1 / 1初中数学苏科版八年级上册2.4线段、角的轴对称性 同步练习
一、单选题
1．（2021八下·金水期中）三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】因为三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，这样就能保证凳子到三名同学的距离相等，以保证游戏的公平.
故答案为：D.
【分析】根据题意可知，凳子的位置应该到三个顶点的距离相等，然后根据垂直平分线的性质解答即可.
2．（2021八下·中原期中）A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，为拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）
A．AB中点 B．BC中点
C．AC中点 D．∠C的平分线与AB的交点
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：因为文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，
所以点P是 三边垂直平分线的交点，
因为AB=1000米，BC=600米，AC=800米，
且 ，
所以 是直角三角形，则活动中心P的位置应在斜边AB的中点，
故答案为：A.
【分析】根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可知：点P是△ABC三边垂直平分线的交点；根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，于是可得活动中心P的位置应在斜边AB的中点.
3．（2021八下·中原期中）图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC=2，则S△ABE的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：根据题意，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠EAD=∠B=15°，
∴∠AEC=15°+15°=30°，
∵在△ACE中，∠ACE=90°，
∴AE=2AC=2×2=4，
∴BE=4，
∴S△ABE= ；
故答案为：A.
【分析】根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得AE=BE，由等边对等角可得∠EAD=∠B=15°，由三角形外角的性质可得∠AEC=∠ABE+∠BAE，在△ACE中，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得AE=2AC，然后由S△ABE=BE×AC可求解.
4．（2021八下·达州期中）如图，在 Rt△ACB 中，∠C=90°， AD 平分∠CAB 交BC平D，DE ⊥AB 交AB于E，则下列结论中不正确的是( ）
A．BD +ED=BC B．DE 平分∠ADB
C．AD 平分∠EDC D．ED+AC>AD
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：A、∵AD 平分∠CAB 交BC平D， DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE，∴BD+ED=BD+CD=BC，正确；
BCD、在Rt△AED和Rt△ACD中，，∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AE=AC，∠ADE=∠ADC，即AD平分∠EDC ，而DE不一定平分∠ADB，∵AE+ED>AD，∴ED+AC>AD，故CD正确，B不正确；
故答案为：B.
【分析】由角平分线的性质定理可得CD=DE，然后根据线段的和差关系即可得出BD +ED=BC；利用斜边直角边定理证明Rt△AED≌Rt△ACD，则可得出AE=AC，∠ADE=∠ADC，则可判断C正确，而B不一定正确；然后利用三角形的三边的关系可以判断D.
5．（2020八上·无锡期中）如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E.已知PE＝10，则点P到AB的距离是（ ）
A．15 B．12 C．5 D．10
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点P到AB的距离是也是10.
故答案为：D.
【分析】已知条件给出了角平分线、PE⊥AC于点E等条件，利用角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求解.
6．（2020八上·兴化月考）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，点D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，
∴AE=BE
∴△BEC的周长为BE＋EC＋BC
=AE＋EC＋BC
=AC＋BC
=13
故答案为：B.
【分析】根据垂直平分线的性质可得AE=BE，然后根据三角形的周长公式和等量代换即可求出结论.
7．（2020八上·江苏月考）如图，△ABC 中，AB = 6cm ，AC = 8cm ，BC 的垂直平分线l 与 AC 相交于点 D ，则DABD 的周长为（ ）
A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵BC的垂直平分线l与AC相交于点D，
∴DB＝DC，
∴△ABD的周长＝AB＋AD＋DB＝AB＋AD＋DC＝AB＋AC＝14（cm），
故答案为：C.
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形周长公式计算，得到答案.
8．（2020八上·江阴月考）如图，在 ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N， BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．11
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∵△BCN的周长是7cm，
∴BN＋NC＋BC＝7（cm），
∴AN＋NC＋BC＝7（cm），
∵AN＋NC＝AC，
∴AC＋BC＝7（cm），
又∵AC＝4cm，
∴BC＝7 4＝3（cm）.
故答案为：A.
【分析】首先根据MN是线段AB的垂直平分线，可得AN＝BN，然后根据△BCN的周长是7cm，以及AN＋NC＝AC，求出BC的长为多少即可.
9．（2020八上·洪泽月考）如图，在△ABC中，BC=10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长为18，则AC的长等于（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵△BCE的周长等于18，
∴BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=18.
∵△ABC中，BC=10，
∴AC=18-10=8.
故答案为：B.
【分析】由AB的垂直平分线交AB边于点D，交AC边于点E，可得AE=BE，又由△BCE的周长等于18，即可求得AC+BC=18，然后由BC=10，求得AC的长.
10．（2020八上·泰兴月考）若P是△ 所在平面内的点，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．点P是△ 三边垂直平分线的交点
B．点P是△ 三条角平分线的交点
C．点P是△ 三边上高的交点
D．点P是△ 三边中线的交点
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∵PB=PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
∴点P是△ 三边垂直平分线的交点.
故答案为：A.
【分析】根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上判断即可.
11．（2020八上·江都月考）如图，DE是AC边的垂直平分线，AB＝5cm，BC＝4cm.那△BEC的周长是（ ）
A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： DE是AC边的垂直平分线，
AE=CE，
AB＝5cm，BC＝4cm，AB=AE+BE，
，
故答案为：A.
【分析】根据线段垂直平分线的性质定理可得AE=CE，然后由题意及三角形周长可求解.
12．（2020八上·南京月考）在联欢会上，有 、 、 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在 的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边中垂线的交点 D．三边上高所在直线的交点
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：为使游戏公平，凳子应到点A、B、C的距离相等
根据线段垂直平分线的性质，则凳子应放的最适当的位置是在 的三边中垂线的交点
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的性质即可得出结论.
13．（2020八上·江阴月考）如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
由题意得，BC＋CE＋BE＝18，
则BC＋CE＋AE＝18，即BC＋AC＝18，又BC＝8，
∴AC＝10cm，
故答案为：B.
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据△BCE的周长等于18cm，求出AC的长.
14．（2019八上·海安月考）如图， 中， ， 平分 ， 于点 ， 于点 ， ，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】过D作DG⊥AC于G,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,
∴DG=DE=2,
∵AB=6,AC=4,
∴ =
∴
∴BF=5
故答案为：C
【分析】过D作DG⊥AC于G,根据角平分线的性质得到DG=DE=2,根据三角形的面积公式列方程即可得到结论.
15．（2019八上·睢宁月考）在联欢会上，有A，B，C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】利用线段垂直平分线的性质可知：三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，
所以凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当.
故答案为：D.
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上.
16．（2019八上·东台月考）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D，△ABD的周长为16cm，AC为5cm，则△ABC的周长为（ ）
A．24cm B．21cm C．20cm D．无法确定
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∵△ABD的周长=AB+BD+AD=16，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=AB+BD+AD+AC=16+5=21.
故答案为：B.
【分析】由垂直平分线可得AD＝DC，进而将求△ABC的周长转换成△ABD的周长再加上AC的长度即可.
二、填空题
17．（2021八上·海安期末）如图， 是 的角平分线， ，则点 到 的距离为 .
【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠1=∠2，∠C=∠DEA=90°，
∴DC=DE，
∵BC=10，BD=6，
∴DC=DE=4，
∴则点D到AB的距离为4.
故答案为：4.
【分析】直接利用角平分线上的点到角两边的距离相等得出DC=DE，进而得出答案.
18．（2021八上·邗江期末）如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝6，CD＝2，则△ABD的面积是 .
【答案】6
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解： 平分
点到AB的距离等于CD长度2，
所以
故答案为：6.
【分析】由角平分线上的点到角的两边距离相等性质得出点D到AB的距离等于CD长度2，进而根据三角形的面积计算方法解题.
19．（2021八上·泰州期末）如图， 中， ， 的平分线交BC于点D， 于点E， ，则 面积是 .
【答案】12
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过D作DF⊥AB于F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，
∴DF=DE=4，
又∵AB=6，
∴△ABD面积= ×AB×DF= ×6×4=12，
故答案为：12.
【分析】过D作DF⊥AB于F，依据角平分线上的点到角两边的距离相等得到DF=DE=4，再根据三角形的面积公式列式进行计算得出△ABD的面积.
20．（2020八上·宜兴期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AD平分∠BAC，交BC边于点D，若CD=1，则△ABD的面积为 .
【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=1，
∴△ABD的面积= .
故答案为：3.
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，如图，由角平分线的性质可得DE=DC=1，再根据三角形的面积公式计算即可.
21．（2020八上·无锡期中）如图，在 中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，且 与 的周长分别是16和10，则AB的长为
【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： 是 的垂直平分线，
，
的周长是10，
，即 ，
的周长是16，
，
.
故答案为：6.
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 ，根据三角形的周长公式计算即可.
22．（2020八上·丹徒期中）如图，△ABC中，AB＝AC＝14cm，BC=10cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则△CBD的周长C△BCD= .
【答案】24cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴BD=AD，
∵AB＝AC＝14cm，BC=10cm，
∴C△BCD=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=14+10=24cm，
故答案为：24cm.
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD=AD，利用C△BCD=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC即可求出结论.
23．（2020八上·宿迁期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若CD＝2，则点D到AB的距离等于 .
【答案】2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DE⊥AB于E，则DE的长度就是D到AB边的距离.
∵AD平分∠CAB，∠ACD=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=2，
故答案为：2.
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DC=2，从而得出结论.
24．（2020八上·东海期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为 cm.
【答案】21
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝8cm，
∵△ABD的周长＝AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝21cm，
故答案为21.
【分析】根据线段的垂直平分线可得DA＝DC，AC＝2AE＝8cm，由于△ABD的周长＝AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，从而求出△ABC的周长＝AB+BC+AC的值.
25．（2020八上·东台期中）如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于D，若△ADB的周长是10cm，AB=3cm，则AC= cm.
【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∵△ADB的周长是10cm，
∴AD+BD+AB=10cm，
∴AD+CD+AB=10cm，
∴AC+AB=10cm，
∵AB=3cm，
∴AC=7cm，
故答案为：7.
【分析】根据线段的垂直平分线可得CD=BD，由AD+CD+AB=AD+BD+AB=10cm，从而可得AC+AB=10cm，据此即可求出AC的长.
26．（2020八上·无锡期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝12，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝4，则△ABD的面积为 .
【答案】24
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作 于 ，
平分 ， ， ，
，
的面积 ，
故答案为：24.
【分析】作 于 ，根据角平分线的上的点到角两边的距离相等求出 的长，根据三角形的面积公式计算即可.
27．（2020八上·洪泽月考）如图，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠BAC，且CD = 5，则点D到AB的距离为 .
【答案】5
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D 点作 于点E，则DE即为所求，
∵ ， 平分 交 于点 ，
∴CD=DE（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵CD=5，
∴DE=5.
故答案为：5.
【分析】直接根据角平分线上的点，到角两边的距离相等即可得出结论.
28．（2020八上·江都月考）如图，△ABC中，∠A=100°，∠B=20°，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，则∠ACE的度数等于 .
【答案】40°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵△ABC中，∠A=100°，∠B=20°，
∴∠ACB=180°﹣100°﹣20°=60°，
∵边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，
∴BE=CE，
∴∠ECB=∠B=20°，
∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=60°﹣20°=40°.
【分析】由三角形内角和定理可求得∠ACB的度数，再根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得BE=CE，然后由等边对等角可得∠ECB=∠B，最后有角的和差可求解.
29．（2020八上·大丰月考）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为 .
【答案】2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，则PQ为最短距离，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴PA=PQ=2，
故答案为：2.
【分析】根据题意点Q是射线OM上的一个动点，要求PQ的最小值，需要找出满足题意的点Q，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P作PQ垂直OM，此时的PQ最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PQ，利用已知的PA的值即可求出PQ的最小值.
三、解答题
30．（2020八上·宜兴月考）已知△ABC中，AB=AC=8，DE垂直平分AB，交AC于E.已知△BEC的周长是13，求△ABC的周长.
【答案】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵BE+BC+EC=13，
∴AE+BC+EC=13，即AC+BC=13，
∵AB=AC=8，
∴BC=5，
∴△ABC的周长=21.
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】由题意可知AE=BE，即AE+BC+EC=13，即可求出BC的长度，便可求出△ABC的周长.
31．（2020八上·沭阳月考）已知：如图，△ABC的两内角∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点P.求证：点P在∠A的角平分线上.
【答案】解：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC，垂足分别为D、M、N，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴PD＝PM，PM＝PN，
∴PD＝PN，
∴点P在∠A的平分线上.
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC，垂足分别为D、M、N，根据角平分线的性质可得PD＝PM， PM＝PN，从而可得PD＝PN，再根据角平分线的判定方法即可证得结论.
32．（2020八上·大丰月考）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E.若BC=13cm，则△ADE周长是多少？
【答案】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴AD=BD，AE=CE，
∴△ADE 的周长= AD+DE+AE =BD+DE+CE= BC =13cm.
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】直接根据线段垂直平分线的性质即可得出结论.
33．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．
（1）若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF的度数；
（2）若EF=4，BF：FD=5：3，S△BCF=10，求点D到AB的距离．
【答案】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABD=24°，
∴∠ABC=2∠ABD=48°，∠DBC=∠ABD=24°，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠ACB=180°﹣60°﹣48°=72°，
∵FE是BC的中垂线，
∴FB=FC，
∴∠FCB=∠DBC=24°，
∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=72°﹣24°=48°；
（2）过D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，
∵BD平分∠ABC，
∴DG=DH，
∵EF⊥BC，
∴EF∥DH，
∴△BEF∽△BHD，
∴，
∵EF=4，BF：FD=5：3，
∴DH=．
∴DG=DH=，
∴点D到AB的距离=．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义求出∠ABC=2∠ABD=48°，∠DBC=∠ABD=24°，根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据线段垂直平分线性质求出FC=FB，求出∠FCB，即可求出答案；
（2）过D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到DG=DH，通过△BEF∽△BHD，得到，代入数据求得DH=．即可得到结论．
34．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D．
（1）∠ECD和∠EDC相等吗？
（2）OC和OD相等吗？
（3）OE是线段CD的垂直平分线吗？
【答案】解：（1）∠EDC与∠ECD相等
∵OE是∠AOB的平分线，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC=ED，
∴△CED是等腰三角形，
∴∠EDC=∠ECD；
（2）OC与OD相等
∵EC⊥OA，ED⊥OB，
∴∠ODE=∠OCE=90°
在Rt△ODE和Rt△OCE中，OE=OE（公共边），DE=CE
∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL）
∴OD=OC
（3）OE是线段CD的垂直平分线
∵EC=ED，
∴E点在线段CD的垂直平分线上
∵OC=OD，
∴O点在线段CD的垂直平分线上，
∴OE是线段CD的垂直平分线．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质结合全等三角形的性质解答
35．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．
【答案】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E=∠DFC=90°，∴△BDE与△CDE均为直角三角形，∵∴△BDE≌△CDF，∴DE=DF，即AD平分∠BAC；（2）AB+AC=2AE．证明：∵BE=CF，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD，∵∠E=∠AFD=90°，∴∠ADE=∠ADF，在△AED与△AFD中，∵，∴△AED≌△AFD，∴AE=AF，∴AB+AC=AE﹣BE+AF+CF=AE+AE=2AE．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DE=DF，所以AD平分∠BAC；
（2）由（1）中△BDE≌△CDE可知BE=CF，AD平分∠BAC，故可得出△AED≌△AFD，所以AE=AF，故AB+AC=AE﹣BE+AF+CF=AE+AE=2AE．
36．如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
说明：（1）CF=EB．
（2）AB=AF+2EB．
【答案】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC，
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，，
∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．
∴CF=EB；
（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD=DE．
在△ADC与△ADE中，
∵
∴△ADC≌△ADE（HL），
∴AC=AE，
∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离即CD=DE．再根据Rt△CDF≌Rt△EBD，得CF=EB；
（2）利用角平分线性质证明∴△ADC≌△ADE，AC=AE，再将线段AB进行转化．
37．（2019八下·港南期中）现要在三角地ABC内建一中心医院，使医院到A、B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．
【答案】解：
作AB的垂直平分线EF，作∠BAC的角平分线AM，两线交于P，
则P为这个中心医院的位置．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据线段垂直平分线性质作出AB的垂直平分线，根据角平分线性质作出∠BAC的角平分线，即可得出答案．
38．在学完全等三角形后，李老师给出了下列题目：
求证：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
已知：
求证：
证明：
【答案】解：已知：PE=PF，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，求证：点P在∠AOB的平分线上．证明：在Rt△POE和Rt△POF中，，∴Rt△POE≌Rt△POF，∴∠EOP=∠FOP，∴点P在∠AOB的平分线上．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据题意画出图形，写出已知和求证，根据全等三角形的判定和性质证明结论．
39．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：AC=AE；
（2）若点E为AB的中点，CD=4，求BE的长．
【答案】（1）证明：∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴CD=DE，∠AED=∠C=90°，∠CAD=∠EAD，
在△ACD和△AED中
∴△ACD≌△AED，
∴AC=AE；
（2）解：∵DE⊥AB，点E为AB的中点，
∴AD=BD，
∴∠B=∠DAB=∠CAD，
∵∠C=90°，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°，
∵CD=DE=4，∠DEB=90°，
∴BD=2DE=8，
由勾股定理得：BE==4．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】（1）求出△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）求出AD=BD，推出∠B=∠DAB=∠CAD，求出∠B=30°，即可求出BD=2CD=8，根据勾股定理求出即可．
40．求证：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
【答案】已知：PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，PC=PD，
求证：∠COP=∠DOP，
证明：连接OP，
在Rt△OCP和Rt△ODP中，
，
∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL），
∴∠COP=∠DOP．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】作出图形，写出已知、求证，连接OP，然后利用“HL”证明Rt△OCP和Rt△ODP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠COP=∠DOP，再根据角平分线的定义证明即可．
1 / 1
