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2021-2022学年上学期第二单元 直线与圆单元测试卷（基础版）
高二数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教A版2019选择性必修一 第二单元 直线与圆。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（2020·四川绵阳市·东辰国际学校高二期中（理））直线的倾斜角为( )
A． B． C． D．
2．（2020·福建莆田二中高一月考）若方程表示圆，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
3．（2020·曲靖市关工委麒麟希望学校高二月考）过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高二期中（文））已知直线，若，则的值为（ ）
A．8 B．2 C． D．-2
5．（2020·安徽滁州市·高二期中（理））自圆：外一点引该圆的一条切线，切点为，切线的长度等于点到原点的长，则的最小值为
A． B． C．4 D．
6．（2020·重庆市万州沙河中学高二期中）直线与圆相切，则实数等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
7．（2020·全国高二课时练习）已知两条直线和互相平行，则等于．
A．或 B．或 C．或 D．或
8．（2020·黑龙江哈尔滨三中高二月考（理））已知点，，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）
9．（2021·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在轴上的截距为
C．直线的倾斜角为60°
D．过点且垂直于直线的直线方程为
10．（2020·江苏连云港市·赣榆一中高一月考）以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点
C．曲线与曲线恰有三条公切线，则
D．圆上存在4个点到直线的距离都等于1
11．（2021·全国高考真题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
12．（2020·山东济南市·济南一中）已知实数，满足方程，则下列说法错误的是
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最大值为
第Ⅱ卷
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（2020·黑龙江哈尔滨三中高二月考（理））若直线过，且被圆：截得的弦长为，则直线方程为________.
14．（2019·全国专题练习）已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则__________．
15．（2020·全国（理））过点作圆的两条切线，切点分别为，则= .
16．（2019·湖北随州市·随州二高高二月考）直线与圆相切，则=______________.
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（2020·曲靖市关工委麒麟希望学校高二月考）已知平面内两点.
（1）求的中垂线方程；
（2）求过点且与直线平行的直线的方程．
18．（2019·江西南昌市·南昌二中（理））已知动圆与定圆内切，与直线相切.
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；
（Ⅱ）若是上述轨迹上一点，求到点距离的最小值．
19．（2020·厦门市国祺中学）已知圆与圆相交于A，B两点.
（1）求直线的方程；
（2）求经过A，B两点且面积最小的圆的方程；
（3）求圆心在直线上，且经过A，B两点的圆的方程.
20．（2020·全国高三专题练习）已知点，直线：.
（1）求直线关于点对称的直线方程；
（2）求直线与两坐标轴围成的三角形的重心坐标.
21．（2020·黑龙江哈尔滨三中高二月考（理））圆：，点为轴上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，.
（1）若，求切线和直线的方程；
（2）若两条切线，与直线分别交于，两点，求面积的最小值.
22．（2018·江西南康中学（文））已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动.
（1）求线段中点的轨迹的方程；
（2）若一光线从点射出，经轴反射后，与轨迹相切，求反射光线所在的直线方程.
高一数学试题 第3页（共4页） 高一数学试题 第4页（共4页）
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2021-2022学年上学期第二单元 直线与圆单元测试卷（基础版）
高二数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教A版2019选择性必修一 第二单元 直线与圆。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（2020·四川绵阳市·东辰国际学校高二期中（理））直线的倾斜角为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据直线方程得斜率，再求倾斜角.
【详解】
因为直线，所以直线斜率为，所以倾斜角为，选C.
【点睛】
本题考查直线斜率以及倾斜角，考查基本分析求解能力，属基本题.
2．（2020·福建莆田二中高一月考）若方程表示圆，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
分析：二元二次方程表示圆的充要条件是，由此得出的取值范围．
详解：二元二次方程表示圆的充要条件是，所以．故选A．
点睛：通过配方得出，二元二次方程表示圆的充要条件为：；
3．（2020·曲靖市关工委麒麟希望学校高二月考）过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据两直线垂直时斜率乘积为，可以直接求出所求直线的斜率，再根据点斜式求出直线方程，最后化成一般式方程即可.
【详解】
因为直线的斜率为，故所求直线的斜率等于，
所求直线的方程为，即，
故选：C．
4．（2020·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高二期中（文））已知直线，若，则的值为（ ）
A．8 B．2 C． D．-2
【答案】D
【分析】
根据两条直线垂直，列方程求解即可.
【详解】
由题：直线相互垂直，
所以，
解得：.
故选：D
【点睛】
此题考查根据两条直线垂直，求参数的取值，关键在于熟练掌握垂直关系的表达方式，列方程求解.
5．（2020·安徽滁州市·高二期中（理））自圆：外一点引该圆的一条切线，切点为，切线的长度等于点到原点的长，则的最小值为
A． B． C．4 D．
【答案】D
【详解】
， ，，根据 ，化简得 ，即点在直线上，那么的最小值就是原点到直线的距离， ，而，所以的最小值就是，故选D.
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，但先求动点轨迹，再转化为求原点到直线的距离，意在考查转化划归能力及运算能力，点在直线外时，点到直线的距离是点和直线上其他点的距离的最小值，点在圆外时，点和圆上的点的连线的最大值是点到圆心的距离加半径，最小值是点和圆心的距离减半径，总之，再考查点，直线，圆的位置关系时，要充分利用数形结合来转化为熟悉的最值的求法.
6．（2020·重庆市万州沙河中学高二期中）直线与圆相切，则实数等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】C
【详解】
圆的方程即为（ ，圆心 到直线的距离等于半径 或者
故选C．
7．（2020·全国高二课时练习）已知两条直线和互相平行，则等于．
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【详解】
由.
8．（2020·黑龙江哈尔滨三中高二月考（理））已知点，，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【分析】
如图，先得到点为直线上一点，再将的最小值转化为的最小值，找到点关于直线的对称点为，利用对称性知的最小值为，代入坐标运算即可.
【详解】
解：圆的圆心为，圆的圆心为，
因为，则点为直线上一点，其与坐标轴交于点，
如图，连接，
，
要求的最小值，即求的最小值，
明显四边形为正方形，则点关于直线的对称点为，
连接
则，
又，
则的最小值为.
故选：D.
【点睛】
本题考查直线上一点到直线同侧两点距离和最小的问题，可根据几何特点快速求出点关于线的对称点，考查学生的转化能力和计算能力，是一道中档题.
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）
9．（2021·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在轴上的截距为
C．直线的倾斜角为60°
D．过点且垂直于直线的直线方程为
【答案】ABD
【分析】
将方程化为点斜式，即可判断A；令，得出在轴上的截距，进而判断B；将一般式方程化为斜截式，得出斜率，进而得出倾斜角，从而判断C；由两直线垂直得出斜率，最后由点斜式得出方程，进而判断D.
【详解】
可化为，则直线必过定点，故A正确；
令，则，即直线在轴上的截距为，故B正确；
可化为，则该直线的斜率为，即倾斜角为，故C错误；
设过点且垂直于直线的直线的斜率为
因为直线的斜率为，所以，解得
则过点且垂直于直线的直线的方程为，即，故D正确；
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查了求直线过定点，求直线的倾斜角，由两直线垂直求直线方程，属于中档题.
10．（2020·江苏连云港市·赣榆一中高一月考）以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点
C．曲线与曲线恰有三条公切线，则
D．圆上存在4个点到直线的距离都等于1
【答案】BC
【分析】
根据直线与圆的相关知识对各选项逐个判断即可解出．直线恒过定点，判断错误；求出直线方程，判断直线经过定点，正确；根据两圆外切，三条公切线，可得正确；根据圆心到直线的距离等于1，判断错误.
【详解】
对于，直线方程可化为，令，则，，，所以直线恒过定点，错误；
对于，设点的坐标为，所以，，以为直径的圆的方程为，
两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，，
令，，解得，，故直线经过定点，正确；
对于，根据两圆有三条公切线，所以两圆外切，曲线化为标准式得，
曲线化为标准式得，
所以，圆心距为5，因为有三条公切线，所以两圆外切，即，解得，正确；
对于，因为圆心到直线的距离等于1，所以直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线的距离等于1，错误；
故选：．
【点睛】
本题主要考查直线系过定点的求法，以及直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，属于中档题．
11．（2021·全国高考真题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
【答案】ACD
【分析】
计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】
结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.
12．（2020·山东济南市·济南一中）已知实数，满足方程，则下列说法错误的是
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】CD
【分析】
B中表示到原点距离的平方，求出原点到圆心距离可得圆上点到原点距离的最大值的最小值，可判断B，
A，C，D中均可以令对应式子，解得后代入圆方程，由判别式可得最值．从而得到判断．本题用了几何意义求解，转化为直线与圆有公共点，由圆心到直线的距离不大于半径可得结论．
【详解】
对于A，设，则，表示直线的纵截距，当直线与圆有公共点时，，解得，所以的最大值为，故A说法正确；
对于B，的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为，所以的最大值为，故B说法正确；
对于C，设，把代入圆方程得，则，解得，最大值为，故C说法错误；
对于D，设，则，表示直线的纵截距，当直线与圆有公共点时，，解得，所以的最大值为，故D说法错误.
故选：CD.
【点睛】
本题考查命题的真假判断，实质考查直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离不大于半径易得解，对平方式可用几何意义：两点间距离的平方求解．
第Ⅱ卷
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（2020·黑龙江哈尔滨三中高二月考（理））若直线过，且被圆：截得的弦长为，则直线方程为________.
【答案】或
【分析】
将圆化为，求出圆心，半径，讨论直线的斜率存在或不存在，分别利用圆心到直线的距离，利用点到直线的距离即可求解.
【详解】
圆：，即，
即圆心，半径，
当直线的斜率不存在时，直线，
此时弦心距，弦长为，满足条件；
当所求直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由弦长公式可得弦心距，
再利用点到直线的距离公式可得，解得，
故此直线方程为，
综上可得，满足条件的直线方程为或.
故答案为：或.
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，根据弦长求直线方程，考查了分类讨论的思想，属于基础题.
14．（2019·全国专题练习）已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则__________．
【答案】4
【分析】
由题，根据垂径定理求得圆心到直线的距离，可得m的值，既而求得CD的长可得答案.
【详解】
因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．
故答案为4
【点睛】
解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．
15．（2020·全国（理））过点作圆的两条切线，切点分别为，则= .
【答案】
【详解】
如图，连接，在直角三角形中，所以，，，故.
考点：1.直线与圆的位置关系；2.平面向量的数量积.
16．（2019·湖北随州市·随州二高高二月考）直线与圆相切，则=______________.
【答案】0
【分析】
根据题意可得圆心到的距离等于半径，列出方程可解得的值.
【详解】
化为，
圆的圆心，半径为2，
因为直线与圆相切，
圆心到的距离等于半径2，
即，解得，故答案为.
【点睛】
本题主要考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及待定系数法求直线的方程，属于难题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（2020·曲靖市关工委麒麟希望学校高二月考）已知平面内两点.
（1）求的中垂线方程；
（2）求过点且与直线平行的直线的方程．
【答案】（1）; （2）.
【详解】
试题分析：
(1)首先求得中点坐标，然后求得斜率，最后利用点斜式公式即可求得直线方程；
(2)利用点斜式可得直线方程为.
试题解析：
（1）， ∴的中点坐标为
，∴的中垂线斜率为
∴由点斜式可得 ∴的中垂线方程为
（2）由点斜式 ∴直线的方程
18．（2019·江西南昌市·南昌二中（理））已知动圆与定圆内切，与直线相切.
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；
（Ⅱ）若是上述轨迹上一点，求到点距离的最小值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设动圆圆心 ，那么动圆圆心到直线的距离 和到定圆圆心的距离相等，得到圆心的轨迹方程；（Ⅱ）根据两点间距离得到 ，根据（Ⅰ）的结论可知函数的定义域 ，所以讨论对称轴和定义域的关系，得到函数的最小值.
试题分析：（Ⅰ）设动圆的圆心，
∵动圆与定圆内切，与直线相切，
∴，
化简得．
（Ⅱ）设，则，
∴ ．
当时，时上式取得最小值，即取得最小值；
当时，时上式取得最小值，即取得最小值．
∴
19．（2020·厦门市国祺中学）已知圆与圆相交于A，B两点.
（1）求直线的方程；
（2）求经过A，B两点且面积最小的圆的方程；
（3）求圆心在直线上，且经过A，B两点的圆的方程.
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）直接把两圆的方程作差消去二次项即可得到公共弦所在的直线方程；
（2）求出中点坐标及的长度，则以为直径的圆的方程即为所求；
（3）求出两圆的交点坐标，设出圆心坐标，由半径相等求得圆心坐标，则圆心在直线上，且经过、两点的圆的方程可求．
【详解】
（1）由．
圆与圆的公共弦所在的直线方程为；
（2）以为直径的圆即为面积最小的圆
由，，
则中点为，
．
经过、两点且面积最小的圆的方程为．
（3）由（1）得，代入中得，，
或，即，，
又圆心在直线上，
设圆心为，则，，
即，解得．
圆心，半径．
圆心在直线上，且经过、两点的圆的方程为．
【点睛】
本题考查了两圆公共弦方程的求解，考查了圆的几何性质、圆的方程的求法，训练了圆系方程的用法，是中档题．
20．（2020·全国高三专题练习）已知点，直线：.
（1）求直线关于点对称的直线方程；
（2）求直线与两坐标轴围成的三角形的重心坐标.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设为所求直线上一点，其关于点对称的点为在直线上，根据中点坐标公式，得到代入直线的方程，即可得出结果；
（2）记直线与轴交点为，与轴交点为，先分别求出其坐标，再得到中点坐标，根据重心的性质，即可得出结果.
【详解】
（1）设为所求直线上一点，其关于点对称的点为在直线上，
则，所以，又，所以，
整理得，
即所求直线方程为：；
（2）记直线与轴交点为，与轴交点为，
由，令得，即；令得，即，
又原点为，记中点为，则，连接，则三角形的重心点在线段上， 且满足，设，
则，所以，即.
【点睛】
本题主要考查求直线关于点对称的直线方程，考查求三角形重心的坐标，属于常考题型.
21．（2020·黑龙江哈尔滨三中高二月考（理））圆：，点为轴上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，.
（1）若，求切线和直线的方程；
（2）若两条切线，与直线分别交于，两点，求面积的最小值.
【答案】（1）切线：或；；（2）.
【分析】
(1) 设切线方程为，根据到切线的距离等于1计算，得出切线方程；计算，得出以为圆心，以为半径的圆，将直线转化为两圆的公共弦求解；
(2)设直线与的直线方程分别为：，又与圆相切，所以，即．所以是方程的两实根，再根据公式,求其最小值，代入三角形面积公式求解.
【详解】
（1）时，，设圆的过点的切线方程为，即，故到直线的距离，
解得或，切线方程为和．
，，，
故以为圆心，以为半径的圆的方程为，
显然线段为圆和圆的公共弦，
直线的方程为：，即.
（2）设直线与的直线方程分别为：，又与圆相切，
所以，即．
所以，
，,
,
所以面积的最小值为.
【点睛】
本题主要考查直线和圆的位置关系，考查圆和圆的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
22．（2018·江西南康中学（文））已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动.
（1）求线段中点的轨迹的方程；
（2）若一光线从点射出，经轴反射后，与轨迹相切，求反射光线所在的直线方程.
【答案】(1) (2) ，
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设M（x，y），P（x0，y0），利用中点坐标公式，转化为P的坐标，代入圆的方程求解即可．（Ⅱ）设Q（-2，3）关于x轴对称点Q'（-2，-3）设过Q'（-2，-3）的直线 ：y+3=k（x+2），利用点到直线的距离公式化简求解即可．
解析：
设，
则代入
轨迹的方程为
（2）设关于轴对称点
设过的直线，即
∵，，
∴或
∴反射光线所在即
即
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