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2021-2022学年上学期第三单元 圆锥曲线的方程单元测试卷（巅峰版）
高二数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教A选择性必修一2019第三单元 圆锥曲线的方程。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先将双曲线的方程化为标准方程得，再根据双曲线渐近线方程求解即可.
【详解】
解：将双曲线的方程化为标准方程得，
所以，
所以其渐近线方程为：，即.
故选：A.
2．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据椭圆的标准方程求得，，，再结合椭圆的离心率公式列出关于的方程，解之即得答案．
【详解】
解：由题意知，，且，
所以，
化简后得：.
故选：B．
【点睛】
本题考查椭圆的几何性质，以及根据椭圆的标准方程和离心率求得，，，化简计算，属于基础题．
3．设椭圆的标准方程为若其焦点在x轴上,则k的取值范围是( )
A．43 D．3【答案】A
【详解】
方程表示的椭圆焦点在x轴上，则：
，求解不等式组可得：4故k的取值范围是4本题选择A选项.
4．设是双曲线的两个焦点,是双曲线上的一点,且,则的面积等于（ ）
A． B．
C．24 D．48
【答案】C
【详解】
双曲线的实轴长为2,焦距为.根据题意和双曲线的定义知
,所以,,
所以,所以.所以.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了焦点三角形以及椭圆的定义运用,属于基础题型.
5．已知抛物线()的准线经过点，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出抛物线的准线方程为：，令即可求得的值，即可求解.
【详解】
抛物线()的准线为：，
因为准线经过点，可得，即，
所以抛物线为，焦点坐标为，
故选：B.
6．过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
作出图形，设，可得，，可将和均用表示，即可计算出该椭圆的离心率.
【详解】
设该椭圆的焦距为，如下图所示：
设，轴，，，
，，
由椭圆定义可得，因此，该椭圆的离心率为.
故选：B.
【点睛】
本题考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的焦点三角形问题，一般利用椭圆定义来处理，考查计算能力，属于中等题.
7．设椭圆的右顶点为A，右焦点为为椭圆E在第二象限上的点，直线交椭圆E于另一个点C（O为坐标原点），若直线平分线段，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
结合图象取AC中点为M，并连OM，利用中位线定理得到及相似比，即得到的关系，即得离心率.
【详解】
如上图，设AC中点为M，连接OM，则OM为的中位线，易得，且，故，且 ，
即，可得，故.
故选：D.
8．已知双曲线的右焦点为F，以F为圆心，a为半径的圆与它的一条渐近线相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
过点向渐近线作垂线,垂足为,则,由几何性质可得,则,再根据可得,则,进而在中,利用勾股定理,整理后即可得到离心率
【详解】
由题,设过点且垂直于渐近线的直线与渐近线交于点,即,
所以,
由圆的性质可得为中点,
因为,所以,则,
在中,,即,
整理可得,所以,
故选：A
【点睛】
本题考查双曲线的离心率,考查双曲线的几何性质的应用,考查数形结合思想与运算能力
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）
9．已知曲线（ ）
A．若，则为椭圆
B．若，则为双曲线
C．若为椭圆，则其长轴长一定大于
D．若为焦点在轴上的双曲线，则其离心率小于
【答案】BCD
【分析】
根据曲线所表示的图形求出对应的参数的取值范围，可判断AB选项的正误；求出椭圆长轴长的表达式，可判断C选项的正误；利用双曲线的离心率公式可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，若为椭圆，则，A不正确；
对于B选项，若为双曲线，等价于，即或，B正确：
对于C选项，当时，椭圆长轴长，
当时，椭圆长轴长，C正确；
对于D选项，若为焦点在轴上的双曲线，则，解得，
双曲线的离心率为，D正确.
故选：BCD.
10．已知点、是双曲线的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则（ ）
A．等于双曲线的实轴长
B．的面积为
C．双曲线的离心率为
D．直线是双曲线的一条渐近线
【答案】BC
【分析】
利用双曲线的定义可判断A选项的正误；利用三角形的面积公式可判断B选项的正误；利用勾股定理可得出、的等量关系，可求出双曲线的离心率，进而可判断C选项的正误；求出的值，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，，由双曲线的定义可得，，则，A选项错误；
对于B选项，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，则，
所以，的面积为，B选项正确；
对于C选项，由勾股定理可得，，，
因此，双曲线的离心率为，C选项正确；
对于D选项，，，则，
所以，双曲线的渐近线方程为，D选项错误.
故选：BC.
【点睛】
方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
11．已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点.若线段的长是16，中点到轴的距离是6，为坐标原点，则（ ）
A．抛物线的方程是 B．抛物线的准线为
C．直线的斜率为1 D．的面积为
【答案】AD
【分析】
结合抛物线的定义求得，由此判断AB选项的正确性.设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程，结合弦长求得直线的斜率，由此判断C选项的正确性.求得的面积，由此判断D选项的正确性.
【详解】
依题意直线过抛物线的焦点，，中点到轴的距离是6，
结合抛物线的定义可知，
所以抛物线方程为，准线为，所以A正确，B错误.
抛物线焦点坐标为，设直线的方程为，
，消去并化简得，
设，则.
所以，解得.所以C错误.
当时，直线的方程为，即，原点到直线的距离为，
所以.当时，同理求得，D正确.
故选：AD
12．某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积为，求点M的轨迹方程”时，将其中已知条件“斜率之积为”拓展为“斜率之积为常数”之后，进行了如图所示的作图探究：
参考该同学的探究，下列结论正确的有：（ ）
A．时，点M的轨迹为椭圆(不含与x轴的交点)
B．时，点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆(不含与x轴的交点)
C．时，点M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(不含与x轴的交点)
D．时，点M的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(不含与x轴的交点)
【答案】BCD
【分析】
首先设，由，整理可得（），再根据各个选项中的取值范围，结合椭圆和双曲线的标准方程，进行分析判断即可得解.
【详解】
设，，
整理可得（），
对A，若，点M的轨迹为圆(不含与x轴的交点)，故A错误；
对B，若，由（），则，故B正确；
对C，若，由（），则，故C正确；
对D，，（），，故D正确.
故选：BCD.
第Ⅱ卷
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．椭圆的两个焦点，，过点作垂直于轴的直线与椭圆相交，其中一个交点为，则__________．
【答案】
【详解】
由题意，椭圆左焦点，，
则垂线段，
所以，
故答案为：．
考点：椭圆的定义．
14．斜率为直线经过椭圆的左顶点，且与椭圆交于另一个点，若在轴上存在点使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为_______．
【答案】
【详解】
设经过椭圆的左顶点且斜率为的直线方程为，联立，得，解得，则，的中点为，的中垂线方程为，令，得，则，，则，即，化简，得，则，即该椭圆的离心率为.
15．已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点．则曲线C的方程为______．
【答案】
【分析】
由双曲线的渐近线方程可得,求得椭圆的焦点,可得,解方程可得a,b,进而得到双曲线的方程．
【详解】
解：双曲线的渐近线方程为,
由一条渐近线方程为,可得
椭圆的焦点为,，
可得
由可得,,
即双曲线的方程为,
故答案为:．
【点睛】
本题考查椭圆和双曲线的方程和性质,考查方程思想和运算能力,属于基础题．
16．已知椭圆的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，点P在椭圆G上，且满足．当b变化时，给出下列三个命题：
①点P的轨迹关于y轴对称；
②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个；
③的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是___________．
【答案】①③
【分析】
运用椭圆的定义可得也在椭圆上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；
通过的变化，可得②不正确；由图象可得当的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，的值取得最小，即可判断③．
【详解】
解：椭圆的两个焦点分别为
，和，，
短轴的两个端点分别为和，
设，点在椭圆上，且满足，
由椭圆定义可得，，
即有在椭圆上．
对于①，将换为方程不变，则点的轨迹关于轴对称，
故①正确；
对于②，由图象可得轨迹关于，轴对称，且，
则椭圆上满足条件的点有4个，
不存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个，故②不正确；
对于③，点靠近坐标轴时或，越大，点远离坐标轴时，越小，所以，即时，取得最小值，此时，与
两方程相加得，即的最小值为 2，故③正确．
故答案为：①③．
【点睛】
本题考查椭圆的对称性及由椭圆上的点到焦点的距离之和等于到短轴的顶点距离之和可得另一个椭圆，及到定点距离的最值的判断．
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．抛物线截直线所得弦长为．
（1）求的值；
（2）以此弦为底边，以轴上点为顶点的三角形面积为，求点坐标．
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）设直线交抛物线于点、，将直线方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可得出关于的等式，结合可求得实数的值；
（2）设点，求出点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得关于的等式，即可解得的值，即可得出点的坐标.
【详解】
（1）设直线交抛物线于点、，
联立，消去整理可得，
，解得，
由韦达定理可得，，
所以，，
解得；
（2）设点，则点到直线的距离为，
所以，，解得或.
故点的坐标为或.
18．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设为椭圆右顶点，过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线，分别交直线于，两点. 求证：，两点的纵坐标之积为定值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【分析】
（Ⅰ）求出后可得椭圆方程.
（Ⅱ）当直线的斜率不存在，计算可得两点的纵坐标之积为.当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，，则，联立直线方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理化简后可得定值.
【详解】
解：（Ⅰ）因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，
所以半径等于原点到直线的距离，，即.
由离心率，可知，且，得.
故椭圆的方程为.
（Ⅱ）由椭圆的方程可知.
若直线的斜率不存在，则直线方程为，
所以.
则直线的方程为，直线的方程为.
令，得，.
所以两点的纵坐标之积为.
若直线的斜率存在，设直线的方程为,
由得，
依题意恒成立.
设，
则.
设，
由题意三点共线可知，
所以点的纵坐标为.同理得点的纵坐标为.
所以
综上，两点的纵坐标之积为定值.
【点睛】
求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组，消元后得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系式中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值等问题.
19．已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若，求的最大值；
（Ⅲ）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若、和点 共线，求.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【分析】
（Ⅰ）根据题干可得的方程组，求解的值，代入可得椭圆方程；
（Ⅱ）设直线方程为，联立，消整理得，利用根与系数关系及弦长公式表示出，求其最值；
（Ⅲ）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合三点共线，利用共线向量基本定理得出等量关系，可求斜率.
【详解】
（Ⅰ）由题意得，所以，
又，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）设直线的方程为，
由消去可得，
则，即，
设，，则，，
则，
易得当时，，故的最大值为；
（Ⅲ）设，，，，
则 ①， ②，
又，所以可设，直线的方程为，
由消去可得，
则，即，
又，代入①式可得，所以，
所以，同理可得．
故，，
因为三点共线，所以，
将点的坐标代入化简可得，即．
【点睛】
本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到三者之间的关系即可求解；第二问主要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公式变形为，再将根与系数关系代入求解；第三问考查椭圆与向量的综合知识，关键在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解.
20．已知椭圆的左顶点为，动直线与椭圆w交于不同的两点（不与点A重合），点A在以为直径的圆上，点P关于原点O的对称点为M．
（Ⅰ）求椭圆w的方程及离心率；
（Ⅱ）求证：直线过定点；
（Ⅲ）（i）求面积的最大值；
（ii）若为直角三角形，求直线的方程．
【答案】（Ⅰ），离心率为；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）（i）；（ii）或.
【分析】
（Ⅰ）根据左顶点可得，求出，即可求出方程，得出离心率；
（Ⅱ）当轴时，由可得直线的方程为，当与x轴不垂直时，联立直线与椭圆方程，由结合韦达定理可求出定点；
（Ⅲ）（i）利用求面积，讨论轴时和与x轴不垂直两种情况表示出面积，再根据二次函数性质即可求出范围，得出最值；
（ii）设，分三种情况讨论：①当时，利用求解；②当时，分轴时和与x轴不垂直时，利用判断；③当时，利用求解.
【详解】
解答：（Ⅰ）因为椭圆的左顶点为，
所以，所以，
所以椭圆w的方程为，
因为，所以
所以椭圆w的离心率为．
（Ⅱ）设，
当轴时，，
因为点A在以为直径的圆上，
所以，所以，
所以，
因为，
所以，
解方程得或，
因为不过，所以舍去，
所以，所以直线的方程为．
当与x轴不垂直时，
设的方程为，
由得，
所以 ，
因为，
所以，
所以，
所以 ，
所以，
所以，
所以或，
当时，直线的方程为过，不合题意，舍去．
当时，直线的方程为，
综上，直线过定点．
（Ⅲ）（i）连接，因为O为中点，
所以
当轴时，由（Ⅱ）知
所以．
当与x轴不垂直时，
令
所以
因为
所以
综上，当直线时，的面积最大，最大值为．
（Ⅲ）（ii）因为为直角三角形，设
下面分三种情况讨论：
①当时，则
因为
所以，所以，所以无解．
所以不可能为直角．
②当时，
当轴时，
由椭圆的对称性知
此时的方程为
当与x轴不垂直时，
又
所以，此时．
③当时
因为的方程为
因为，所以
又因为，所以
所以直线的方程为
由得
因在椭圆上，所以
解得，
所以直线的方程为
综上，直线的方程为或.
【点睛】
方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为，；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为形式；
（5）代入韦达定理求解.
21．已知椭圆的左．右焦点分别为,短轴两个端点为,且四边形的边长为 的正方形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若,分别是椭圆长轴的左,右端点,动点满足,连结,交椭圆于点．证明: 的定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,试问轴上是否存在异于点,的定点,使得以为直径的圆恒过直线,的交点,若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由．
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ) 存在,使得以为直径的圆恒过直线,的交点.
【详解】
试题分析：（I）由于四边形为正方形，所以，由此求得椭圆方程为.（II）设出直线的方程，联立直线方程和椭圆方程，求出点坐标，代入可求得值为.（III）设出点的坐标，利用圆的直径所对圆周角为直角的几何性质得到，结合（II）将的坐标代入上式，可求得.
试题解析：(Ⅰ)由题意得,
,
所以所求的椭圆方程为
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,
由题意可设,．
因为
所以
由整理得:
因为
所以，
所以
(Ⅲ)设,则．
若以为直径的圆恒过,的交点,则,
所以恒成立
由(Ⅱ)可知,
．
所以．
即恒成立．
所以．
所以存在,使得以为直径的圆恒过直线,的交点．
22．已知抛物线，过焦点F的直线l与抛物线交于S，T，且.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设点P是x轴下方（不含x轴）一点，抛物线C上存在不同的两点A，B满足，其中为常数，且两点D，E均在C上，弦AB的中点为M.
①若点P坐标为，抛物线过点A，B的切线的交点为N，证明：点N在直线MP上；
②若直线PM交抛物线于点Q，求证；为定值（定值用表示）.
【答案】（1）（2）①证明见解析②证明见解析，定值为
【分析】
（1）设直线：,联立直线与抛物线可得,则由韦达定理得,,代入中即可求得,进而得到抛物线方程；
（2）设,则,,①由可得,将点的坐标代入抛物线中可得,则,进而得到,是方程的两根,从而求得点、点的坐标,利用导数求得切线方程,联立即可求得交点,因而得证；
②由,得,代回抛物线方程, 同理①整理后可得,为方程的两根,求得点的坐标,则,将点坐标代入求证即可
【详解】
（1）由题,显然直线的斜率存在,设：,,
联立得,,
由韦达定理得,,
,
,
即
,
则抛物线方程为
（2）设,则,,
①由,,得,
点D在抛物线C上,
故,
即,则,
由,所以,即,
同理可得,
即,是方程的两根,
解得或,
不妨,,则中点,直线
由,所以,
得两切线,
所以,解得,则,
所以N在直线PM上
②设,,
由,得,
代D入抛物线C,
则,
即,
化简得：,
同理将E代入抛物线C得：,
即,为方程的两根,
由韦达定理得,,,
所以,,
显然,
所以设,
所以,,
故,为定值
【点睛】
本题考查抛物线方程,考查抛物线中的定值问题,考查运算能力与转化思想
高一数学试题 第3页（共4页） 高一数学试题 第4页（共4页）
高一数学试题 第1页（共4页） 高一数学试题 第2页（共4页）绝密★启用前|满分数学命制中心
2021-2022学年上学期第三单元 圆锥曲线的方程单元测试卷（巅峰版）
高二数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教A选择性必修一2019第三单元 圆锥曲线的方程。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
3．设椭圆的标准方程为若其焦点在x轴上,则k的取值范围是( )
A．43 D．34．设是双曲线的两个焦点,是双曲线上的一点,且,则的面积等于（ ）A． B． C．24 D．48
5．已知抛物线()的准线经过点，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．设椭圆的右顶点为A，右焦点为为椭圆E在第二象限上的点，直线交椭圆E于另一个点C（O为坐标原点），若直线平分线段，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的右焦点为F，以F为圆心，a为半径的圆与它的一条渐近线相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）
9．已知曲线（ ）
A．若，则为椭圆 B．若，则为双曲线
C．若为椭圆，则其长轴长一定大于 D．若为焦点在轴上的双曲线，则其离心率小于
10．已知点、是双曲线的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则（ ）
A．等于双曲线的实轴长 B．的面积为
C．双曲线的离心率为 D．直线是双曲线的一条渐近线
11．已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点.若线段的长是16，中点到轴的距离是6，为坐标原点，则（ ）
A．抛物线的方程是 B．抛物线的准线为
C．直线的斜率为1 D．的面积为
12．某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积为，求点M的轨迹方程”时，将其中已知条件“斜率之积为”拓展为“斜率之积为常数”之后，进行了如图所示的作图探究：
参考该同学的探究，下列结论正确的有：（ ）
A．时，点M的轨迹为椭圆(不含与x轴的交点)
B．时，点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆(不含与x轴的交点)
C．时，点M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(不含与x轴的交点)
D．时，点M的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(不含与x轴的交点)
第Ⅱ卷
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．椭圆的两个焦点，，过点作垂直于轴的直线与椭圆相交，其中一个交点为，则__________．
14．斜率为直线经过椭圆的左顶点，且与椭圆交于另一个点，若在轴上存在点使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为_______．
15．已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点．则曲线C的方程为______．
16．已知椭圆的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，点P在椭圆G上，且满足．当b变化时，给出下列三个命题：
①点P的轨迹关于y轴对称；②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个；
③的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是___________．
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．抛物线截直线所得弦长为．
（1）求的值；
（2）以此弦为底边，以轴上点为顶点的三角形面积为，求点坐标．
18．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设为椭圆右顶点，过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线，分别交直线于，两点. 求证：，两点的纵坐标之积为定值.
19．已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、.
（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若，求的最大值；
（Ⅲ）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若、和点 共线，求.
20．已知椭圆的左顶点为，动直线与椭圆w交于不同的两点（不与点A重合），点A在以为直径的圆上，点P关于原点O的对称点为M．
（Ⅰ）求椭圆w的方程及离心率；（Ⅱ）求证：直线过定点；
（Ⅲ）（i）求面积的最大值；（ii）若为直角三角形，求直线的方程．
21．已知椭圆的左．右焦点分别为,短轴两个端点为,且四边形的边长为 的正方形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若,分别是椭圆长轴的左,右端点,动点满足,连结,交椭圆于点．证明: 的定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,试问轴上是否存在异于点,的定点,使得以为直径的圆恒过直线,的交点,若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由．
22．已知抛物线，过焦点F的直线l与抛物线交于S，T，且.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设点P是x轴下方（不含x轴）一点，抛物线C上存在不同的两点A，B满足，其中为常数，且两点D，E均在C上，弦AB的中点为M.
①若点P坐标为，抛物线过点A，B的切线的交点为N，证明：点N在直线MP上；
②若直线PM交抛物线于点Q，求证；为定值（定值用表示）.
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