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突破1.4 空间向量的应用
A组 基础巩固
1．（2021·全国高一课时练面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，则平面与平面的关系是（ ）
A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直
【答案】C
【分析】
由题设知，根据空间向量共线定理，即可判断平面与平面的位置关系.
【详解】
平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，
，
平面与平面的关系是平行或重合．
故选：C．
2．（2020·全国高二课时练习）已知，，则平面ABC的一个单位法向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
设平面的法向量为，进而得，再根据为单位向量即可得答案.
【详解】
设平面的法向量为，
则有取，则.
所以．因为，
所以平面的一个单位法向量可以是.
故选：B
3．（2021·全国高三专题练习）若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A． B．
C． D．与斜交
【答案】B
【分析】
首先可以判断，即可得到直线与平面的位置关系；
【详解】
解：∵，，∴，即，∴.
故选：B.
4．（2021·全国高二课时练习）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行
C．垂直 D．MN在平面BB1C1C内
【答案】B
【分析】
以点C1为坐标原点，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面BB1C1C的一个法向量，利用向量数量积的坐标运算可得线面平行．
【详解】
以点C1为坐标原点，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由于A1M＝AN＝，则
又C1D1⊥平面BB1C1C，所以＝(0，a，0)为平面BB1C1C的一个法向量．
因为，所以，又平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.
故选：B
5．（2021·青海高二期中（理））如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】
由题意可得，，
以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，，，
因此异面直线与所成角的余弦值等于.
故选：D.
6．（2021·北京高二期末）如图，在正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系，利用向量法求解直线与所成的角即可．
【详解】
解：设正方体的棱长为2，如图所示建立空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，2，，，2，，
则
所以
，
所以异面直线与直线所成角的余弦值为，
故选：．
7．（2021·福建省厦门集美中学高二期中）直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形， AA1＝AB，M是A1C1的中点，则AM与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
取的中点，以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，即可根据线面角的向量公式求出．
【详解】
如图所示，取的中点，以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
不妨设，则，
所以，平面的一个法向量为
设AM与平面所成角为，向量与所成的角为，
所以，
即AM与平面所成角的正弦值为．
故选：B．
8．（2021·云南师大附中高二期中（理））平行六面体的各棱长均相等，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用基底向量表示出向量，，即可根据向量的夹角公式求出．
【详解】
如图所示：不妨设棱长为1，
，，
所以＝＝，
，，
即，故异面直线与所成角的余弦值为．
故选：B．
9．（2021·全国（理））在由三棱柱截得的几何体中，平面点分别是棱的中点.若直线与所成角的余弦值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题通过建立如图空间直角坐标系，分别求得直线与的方向向量，再利用向量的夹角公式，即可得解.
【详解】
以点为坐标原点，
所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系.
设则，
，
，
所以直线与所成角的余弦值
解得
故选：A.
10．（2021·广东）（多选题）如图，为正方体，下列结论中正确的是（ ）
A．平面
B．平面
C．与底面所成角的正切值是
D．过点与异面直线与成角的直线有条
【答案】ABD
【分析】
由直线与平面垂直的判定判断A与B；求解与底面所成角的正切值判断C；利用空间向量法可判断D．
【详解】
对于A选项，如图，在正方体中，
平面，平面，则，
由于四边形为正方形，则，
，因此，平面，故A正确；
对于B选项，在正方体中，
平面，平面，，
因为四边形为正方形，所以，，
，平面，
平面，，同理可得，
，平面，故B正确；
对于C选项，由平面，得为与平面所成角，
且，故C错误；
对于D选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，
则、、、，
，，
设过点且与直线、所成角的直线的方向向量为，
则，
，
整理可得，消去并整理得，解得或，
由已知可得，所以，，可得，
因此，过点与异面直线与成角的直线有条，D选项正确.
故选：ABD.
【点睛】
方法点睛：证明线面垂直的方法：
一是线面垂直的判定定理；
二是利用面面垂直的性质定理；
三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；
另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．
11．（2021·湖南）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则________________
【答案】6
【分析】
由平面法向量与平面的垂线的方向向量平行可得．
【详解】
∵，∴，∴，∴．
故答案为：6．
12．（2021·全国高二课时练习）如图，矩形中，，⊥平面，若在上只有一个点满足，则的值等于________.
【答案】
【详解】
连接AQ，取AD的中点O，连接OQ．
∵PA⊥平面ABCD，PA⊥DQ，PQ⊥DQ，
∴DQ⊥平面PAQ，所以DQ⊥AQ．
∴点Q在以线段AD的中点O为圆心的圆上，
又∵在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥DQ，
∴BC与圆O相切，（否则相交就有两点满足垂直，矛盾．）
∴OQ⊥BC，∵AD∥BC，∴OQ=AB=1，∴BC=AD=2，
即a=2．
故答案为：2．
考点：直线与平面垂直的性质．
13．（2021·浙江）如图，在棱长为4的正方体中，M是棱上的动点，N是棱的中点.当平面与底面所成的锐二面角最小时，___________.
【答案】
【分析】
建立空间直角坐标系，分别得到平面、平面的法向量，然后按照公式计算进行判断即可.
【详解】
如图
设，
设平面的一个法向量为
令，，则
平面的法向量的一个法向量为
设平面与底面所成的锐二面角为
所以
当时，有最大，则有最小，所以
故答案为：
B组 能力提升
14．（2021·浙江）长方体，，，点在长方体的侧面上运动，，则二面角的平面角正切值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题中的线面关系建立空间坐标系，运用空间向量求解即可.
【详解】
如图以点D为坐标原点建立空间坐标系
设点P的坐标为 图中各点的坐标表示如下：
B(1，1，0)，D1(0，0，2)，A(1，0，0)
，又
即，，所以
所以点P在平面BCC1B1内的轨迹为由点C到BB1四等分点（靠近B点）的一条线段，
且点P由C点向BB1四等分点移动过程中，二面角B-AD-P逐渐增大
当点P位于C点处时，二面角B-AD-P最小，最小值为0
当点P为与BB1四等分点处时，二面角B-AD-P最大，此时，
即为二面角B-AD-P的平面角，
所以二面角B-AD-P正切值的取值范围为[0，].选项ACD错误，选项B正确
故选：B.
15．（2021·广州市第十六中学高一期中）（多选题）正方体的校长为2，E，F，G分别为的中点．则（ ）
A．直线与直线垂直
B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面面积为
D．点和点D到平面的距离相等
【答案】BCD
【分析】
以D为原点,分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
利用向量法可以判断选项ABD；对于C:先做出截面AEFD1，判断其为梯形，直接求面积即可.
【详解】
以D为原点,分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
则
所以，
对于A:因为，所以直线与直线不垂直.故A错误；
对于B：设平面AEF的法向量，则取y=1,得.∵且A1G平面AEF,∴直线A1G与平面AEF平行.故B正确；
对于C：
连接∵E,F分别是的中点，
∴面AEF截正方体所得的截面为梯形AEFD1，
∴面AEF截正方体所得的截面面积为：.故C正确；
对于D：由前面可知平面AEF的法向量.
∴点A1到平面AEF的距离，
点D到平面AEF的距离,
∴点和点D到平面的距离相等.故D正确.
故选:BCD.
【点睛】
立体几何题目的基本方法：
(1)用几何法证明或计算；
(2) 向量法：①建立合适的坐标系；②把要用到的向量正确表示；③利用向量法证明或计算.
16．（2021·湖南高三一模）（多选题）如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积不变
B．平面
C．
D．平面平面
【答案】ABD
【分析】
利用等体积法判断体积不变，A正确；证明平面平面，即知平面，B正确；建立空间直角坐标系，通过空间向量的数量积运算证明C错误D正确即可.
【详解】
解：对于A，的面积是定值，，平面，平面，
∴平面，故到平面的距离为定值，
∴三棱锥的体积是定值，即三棱锥的体积不变，故A正确；
对于B，，
∴平面平面，平面，平面，故B正确；
对于C，以为原点，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，P在上，故可设，
则，
，，
则不一定为0，
和不垂直，故C错误；
对于D，设，
则，
，，，，
设平面平面的法向量，
则，取，得，
设平面的法向量，
则，取，得，
.
∴平面和平面垂直，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】
方法点睛：
空间中证明平行（垂直）的位置关系的方法：
（1）通过线面、面面平行（垂直）的判定定理和性质定理直接证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，利用相量法求解证明即可.
17．（2021·广东揭阳市·高二期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAD为正三角形，四边形ABCD为梯形，二面角P－AD－C为直二面角，且AB∥DC，AB⊥AD，AD＝AB＝DC，F为PC的中点.
（1）求证：BF∥平面PAD；
（2）求直线PC与平面PAB所成的角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）取的中点，连接，．证明四边形为平行四边形．推出．然后证明平面．
（2）取的中点，连接，说明为二面角的平面角．以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为．利用空间向量的数量积求解即可．
【详解】
（1）证明：证明：如图所示，取的中点，连接，．
为的中点，．
又，且．
四边形为平行四边形．．
又平面，平面，平面．
（2）解：取的中点，连接，由为正三角形，．
取的中点，连接，四边形为梯形，
．．为二面角的平面角．
又二面角为直二面角，．．
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
设，则，， ， ，
故，．
设平面的一个法向量为，则
则可取．
设直线与平面所成的角为．
．
，．
故直线与平面所成的角的余弦值为．
18．（2021·寿县第一中学高一月考）如图，在三棱柱中，平面，，.
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的大小；
（3）点在线段上，且，试问在线段上是否存在一点，满足平面，若存在，求的值，若不存在，请说明理由？
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.
【分析】
（1）推导出，，，从而平面，进而，由此可得证．
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成的角．
（3）求出平面的法向量，由平面，利用向量法能求出的值．
【详解】
（1）证明：在三棱柱中，平面，，．
，，，
，平面，
平面，，
，平面．
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，0，，，0，，，2，，，0，，
，0，，，，，
设异面直线与所成角为，
则，又，．
异面直线与所成角的大小为．
（3）解：，，，，，，
，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，
点在线段上，且，点在线段上，
设，，，，，，，则，，，
即，
解得，
平面，，
解得．
的值为．
19．（2020·江西省兴国县第三中学高三月考（理））如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）连接，由题设易知，再根据线面平行的判定即可证平面；
（2）构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，写出对应点的坐标，并求出面、面的一个法向量，进而求二面角的余弦值．
【详解】
（1）连接，由，分别为，的中点，如下图，
∴，又面，面，
∴平面.
（2）构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，
∴，，，，，
∴，，，，
又二面角即为二面角，
若是面的一个法向量，则，若，即，
若是面的一个法向量，则，若，即，
∴，则锐二面角的余弦值为.
20．（2020·江苏省高邮中学高二月考）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，点是棱的中点.（用空间向量法）
（1）证明：；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，写出相关点的空间坐标，
（1）确定的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算求，即可证.
（2）确定异面直线与的方向向量、空间坐标，利用空间向量夹角的坐标运算求与所成角的余弦值即可.
【详解】
如下图，构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，则，，，，，，
（1），
∴，即，
∴.
（2），，
∴，又，，
∴，故异面直线与所成角的余弦值为；
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突破1.4 空间向量的应用
A组 基础巩固
1．（2021·全国高一课时练面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，则平面与平面的关系是（ ）
A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直
2．（2020·全国高二课时练习）已知，，则平面ABC的一个单位法向量为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·全国高三专题练习）若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A． B．
C． D．与斜交
4．（2021·全国高二课时练习）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行
C．垂直 D．MN在平面BB1C1C内
5．（2021·青海高二期中（理））如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·北京高二期末）如图，在正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021·福建省厦门集美中学高二期中）直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形， AA1＝AB，M是A1C1的中点，则AM与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．．
8．（2021·云南师大附中高二期中（理））平行六面体的各棱长均相等，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·全国（理））在由三棱柱截得的几何体中，平面点分别是棱的中点.若直线与所成角的余弦值为，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·广东）（多选题）如图，为正方体，下列结论中正确的是（ ）
A．平面
B．平面
C．与底面所成角的正切值是
D．过点与异面直线与成角的直线有条
11．（2021·湖南）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则________________
12．（2021·全国高二课时练习）如图，矩形中，，⊥平面，若在上只有一个点满足，则的值等于________.
13．（2021·浙江）如图，在棱长为4的正方体中，M是棱上的动点，N是棱的中点.当平面与底面所成的锐二面角最小时，___________.
B组 能力提升
14．（2021·浙江）长方体，，，点在长方体的侧面上运动，，则二面角的平面角正切值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（2021·广州市第十六中学高一期中）（多选题）正方体的校长为2，E，F，G分别为的中点．则（ ）
A．直线与直线垂直
B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面面积为
D．点和点D到平面的距离相等
16．（2021·湖南高三一模）（多选题）如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积不变
B．平面
C．
D．平面平面
17．（2021·广东揭阳市·高二期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAD为正三角形，四边形ABCD为梯形，二面角P－AD－C为直二面角，且AB∥DC，AB⊥AD，AD＝AB＝DC，F为PC的中点.
（1）求证：BF∥平面PAD；
（2）求直线PC与平面PAB所成的角的余弦值.
18．（2021·寿县第一中学高一月考）如图，在三棱柱中，平面，，.
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的大小；
（3）点在线段上，且，试问在线段上是否存在一点，满足平面，若存在，求的值，若不存在，请说明理由？
19．（2020·江西省兴国县第三中学高三月考（理））如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
20．（2020·江苏省高邮中学高二月考）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，点是棱的中点.（用空间向量法）
（1）证明：；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
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