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突破1.4 空间向量的应用
一、考情分析
1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.
2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.
3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理.
4.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.
5.用向量语言表示点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题
6.能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题
二、经验分享
（一）空间中点、直线和平面的向量表示
1.点的位置向量
在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.如图.
2.空间直线的向量表示式
如图①,a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,设P是直线l上的任意一点,则点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得=ta,即=t.如图②,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使+ta, ①
或+t. ②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
3.空间平面的向量表示式
如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使+x+y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
4.平面的法向量
如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·=0}.
（二）、空间中直线、平面平行的向量表示
位置关系 向量表示
线线平行 设μ1,μ2分别是直线l1,l2的方向向量,则l1∥l2 μ1∥μ2 λ∈R,使得μ1=λμ2.
线面平行 设μ是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,l α,则l∥α μ⊥n μ·n=0.
面面平行 设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β n1∥n2 λ∈R,使得n1=λn2.
点睛：
1.空间平行关系的本质是线线平行,根据共线向量定理,只需证明直线的方向向量μ1∥μ2.此外,证明线面平行也可用共面向量定理,即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.
2.利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时,要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点,证明平面与平面平行时也要注意两平面没有公共点.
（三）、点到直线的距离、两条平行直线之间的距离
1.点到直线的距离
已知直线l的单位方向向量为μ,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.设=a,则向量在直线l上的投影向量=(a·μ)μ.点P到直线l的距离为PQ=.
2.两条平行直线之间的距离
求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.
点睛：点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题.
（四）、点到平面的距离、两个平行平面之间的距离
点到平面的距离
已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则点P到平面α的距离为PQ=.
（五）、点到平面的距离、两个平行平面之间的距离
1.利用向量方法求两异面直线所成角
若两异面直线l1,l2所成角为θ,它们的方向向量分别为a,b,则有cos θ=|cos
|= .
特别提醒：
不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来,因为两异面直线所成角的范围是,而两个向量夹角的范围是[0,π],事实上,两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系.
2.利用向量方法求直线与平面所成角
若直线l与平面α所成的角为θ,直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则有sin θ=|cos|=
特别提醒：
直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角.
3.利用向量方法求二面角
(1)若二面角α-l-β的平面角的大小为θ,其两个面α,β的法向量分别为n1,n2, 则|cos θ|=|cos|=
(2)二面角的大小还可以转化为两直线方向向量的夹角.在二面角α-l-β的两个半平面α,β内,各取一条与棱l垂直的直线,则当直线的方向向量的起点在棱上时,两个方向向量的夹角即为二面角的大小.
特别提醒：
由于二面角的取值范围是[0,π],而两个面的法向量的方向无法从图形上直观确定,因此不能认为二面角的大小就是其两个面法向量夹角的大小,需要结合具体图形判断二面角是锐角还是钝角,从而求得其大小.
三、题型分析
重难点题型突破1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
例1．(1)（2021·全国高二课时练习）在菱形中，若是平面的法向量，则以下结论中可能不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
(2)．（2021·浙江高二期末）已知正方体，是棱的中点，则在棱上存在点，使得（ ）
A． B．
C．平面 D．平面
(3)．（2020·全国高二课时练习）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A． B．
C． D．与斜交
(4)．（2021·新疆乌市八中高二月考（理））如图所示，正方体的棱长为，，分别为和上的点，且，则与平面的位置关系是（ ）．
A．斜交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
【变式训练1-1】．（2021·河北高二开学考试）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A． B． C． D．与斜交
【变式训练1-2】．（2021·福建省厦门集美中学高二月考）已知平面和平面的法向量分别为，，且，则___________．
【变式训练1-3】．（2021·上海位育中学高二期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则________．
【变式训练1-4】．（2021·全国高三专题练习（理））如图，正方体中，点，是上的两个三等分点，点，是上的两个三等分点，点，，分别为，和的中点，点是上的一个动点，下面结论中正确的是___________.
①与异面且垂直；
②与相交且垂直；
③平面；
④，，，四点共面.
重难点题型突破2 用空间向量研究距离问题
例2．(1)（2021·重庆一中高一期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成30°的角，则线段长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
(2)．（2020·全国高二课时练习）已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角P-AD-C为60°，则P到AB的距离是（ ）
A．2 B．
C．2 D．
(3)．（2020·全国高二课时练习）已知Rt△EFG的直角顶点E在平面α内，斜边FG∥α，且FG＝6cm，EF，EG与平面α分别成30°和45°角，则FG到平面α的距离是（ ）
A．cm B．cm
C．2cm D．2cm
【变式训练2-1】．（2021·浙江）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，若边上存在点，使得，则线段长度的最大值是___________.
【变式训练2-2】．（2021·浙江高二单元测试）如图，在正三棱柱中，分别是的中点．设D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______．
重难点题型突破3 用空间向量研究线面角、二面角问题
例3．（1）（2021·江苏高二期末）在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2021·福建师大附中高三其他模拟）过正方形的顶点作线段平面，若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
（3）．（2021·全国高三专题练习）如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练3-1】．（2021·四平市第一高级中学高一期末）在长方体中，，点分别是的中点，点是的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】．（2021·全国高二专题练习）（多选题）正方体中，下列叙述正确的有（ ）
A．直线与所成角为
B．直线与所成角为
C．直线与平面所成角为
D．直线与平面所成角为
【变式训练3-3】．（2021·揭西县河婆中学高二月考）（多选题）已知，分别是正方体的棱和的中点，则（ ）
A．与是异面直线
B．与所成角的大小为
C．与平面所成角的余弦值为
D．二面角的余弦值为
例4．（2021·新疆巴音郭楞蒙古自治州第二中学高三月考（理））在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，BC=BB1=4，，且∠BCC1=60°.
（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1：
（2）设二面角C-AC1-B的大小为θ，求sinθ的值.
例5．（2020·大连市第二十三中学高二月考）如图，在直三棱柱中，，，，点是中点.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
例6．（2020·大连市第二十三中学高二月考）在正四棱柱中，，为的中点.
（1）求直线与平面所成的角；
（2）求点到平面的距离.
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突破1.4 空间向量的应用
一、考情分析
1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.
2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.
3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理.
4.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.
5.用向量语言表示点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题
6.能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题
二、经验分享
（一）空间中点、直线和平面的向量表示
1.点的位置向量
在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.如图.
2.空间直线的向量表示式
如图①,a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,设P是直线l上的任意一点,则点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得=ta,即=t.如图②,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使+ta, ①
或+t. ②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
3.空间平面的向量表示式
如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使+x+y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
4.平面的法向量
如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·=0}.
（二）、空间中直线、平面平行的向量表示
位置关系 向量表示
线线平行 设μ1,μ2分别是直线l1,l2的方向向量,则l1∥l2 μ1∥μ2 λ∈R,使得μ1=λμ2.
线面平行 设μ是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,l α,则l∥α μ⊥n μ·n=0.
面面平行 设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β n1∥n2 λ∈R,使得n1=λn2.
点睛：
1.空间平行关系的本质是线线平行,根据共线向量定理,只需证明直线的方向向量μ1∥μ2.此外,证明线面平行也可用共面向量定理,即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.
2.利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时,要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点,证明平面与平面平行时也要注意两平面没有公共点.
（三）、点到直线的距离、两条平行直线之间的距离
1.点到直线的距离
已知直线l的单位方向向量为μ,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.设=a,则向量在直线l上的投影向量=(a·μ)μ.点P到直线l的距离为PQ=.
2.两条平行直线之间的距离
求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.
点睛：点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题.
（四）、点到平面的距离、两个平行平面之间的距离
点到平面的距离
已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则点P到平面α的距离为PQ=.
（五）、点到平面的距离、两个平行平面之间的距离
1.利用向量方法求两异面直线所成角
若两异面直线l1,l2所成角为θ,它们的方向向量分别为a,b,则有cos θ=|cos|= .
特别提醒：
不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来,因为两异面直线所成角的范围是,而两个向量夹角的范围是[0,π],事实上,两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系.
2.利用向量方法求直线与平面所成角
若直线l与平面α所成的角为θ,直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则有sin θ=|cos|=
特别提醒：
直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角.
3.利用向量方法求二面角
(1)若二面角α-l-β的平面角的大小为θ,其两个面α,β的法向量分别为n1,n2, 则|cos θ|=|cos|=
(2)二面角的大小还可以转化为两直线方向向量的夹角.在二面角α-l-β的两个半平面α,β内,各取一条与棱l垂直的直线,则当直线的方向向量的起点在棱上时,两个方向向量的夹角即为二面角的大小.
特别提醒：
由于二面角的取值范围是[0,π],而两个面的法向量的方向无法从图形上直观确定,因此不能认为二面角的大小就是其两个面法向量夹角的大小,需要结合具体图形判断二面角是锐角还是钝角,从而求得其大小.
三、题型分析
重难点题型突破1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
例1．(1)（2021·全国高二课时练习）在菱形中，若是平面的法向量，则以下结论中可能不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用法向量的概念得平面，利用线面垂直的性质定理证得A,D正确；利用四边形为菱形结合线面垂直的判定定理证得平面，从而证得选项C，即可得出结论.
【详解】
∵是平面的法向量，∴平面，平面，平面，,, A和D显然成立，
同理，
又∵四边形为菱形，，∴平面，∴，故选项C成立，不正确的只有选项B.
故选：B.
(2)．（2021·浙江高二期末）已知正方体，是棱的中点，则在棱上存在点，使得（ ）
A． B．
C．平面 D．平面
【答案】B
【分析】
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，写出点的坐标，用向量法确定线线平行与垂直，由向量与平行法向量的平行与垂直确定线面的平行与垂直．
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，，，设（，
则，，
因为，所以不可能平行，即不可能平行，
又，，因此可以垂直，即与可能垂直．
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
与不可能平行，因此与平面不可能垂直，
，因此与不可能垂直，因此与平面不可能平行，
故选：B．
(3)．（2020·全国高二课时练习）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A． B．
C． D．与斜交
【答案】B
【分析】
判断与的位置关系，进而可得出结论.
【详解】
由已知可得，则，因此，.
故选：B.
(4)．（2021·新疆乌市八中高二月考（理））如图所示，正方体的棱长为，，分别为和上的点，且，则与平面的位置关系是（ ）．
A．斜交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
【答案】B
【分析】
设，，，由空间向量的线性运算可得到，由此证得与，共面，可知平面，进而得到结论.
【详解】
设，，，
由题意知：，又，
，，
则，
与，共面，
平面，又平面平面，平面．
故选：B.
【详解】
【变式训练1-1】．（2021·河北高二开学考试）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A． B． C． D．与斜交
【答案】D
【分析】
根据直线的方向向量与平面法向量的关系，判断直线与平面的关系即可.
【详解】
所以与不平行也不垂直，所以与斜交.
故选：D
【变式训练1-2】．（2021·福建省厦门集美中学高二月考）已知平面和平面的法向量分别为，，且，则___________．
【答案】4
【分析】
利用向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】
因为平面和平面的法向量分别为，，且，
所以，
解得： 4.
故答案为：4
【变式训练1-3】．（2021·上海位育中学高二期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则________．
【答案】6
【分析】
根据线面平行的位置关系，转化为空间向量的坐标运算，即可求解.
【详解】
，且直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，
，即，
解得：.
故答案为：
【变式训练1-4】．（2021·全国高三专题练习（理））如图，正方体中，点，是上的两个三等分点，点，是上的两个三等分点，点，，分别为，和的中点，点是上的一个动点，下面结论中正确的是___________.
①与异面且垂直；
②与相交且垂直；
③平面；
④，，，四点共面.
【答案】①③④
【分析】
建立空间直角坐标系：①判断是否为零即可；②判断是否为零即可；③分别求得平面面和平面EFN的一个法向量，判断两个法向量是否共线即可；④由判断即可.
【详解】
建立如图所示空间直角坐标系：
设正方体棱长为3，
①因为,，所以，又矩形EFHG与矩形的中心重合，且过矩形的中心，所以与异面且垂直，故正确；
②因为,，所以，所以与不垂直，故错误；
③由，设平面的一个法向量 ，则，即，令，则,同理求得平面EFN的一个法向量，因为，所以平面平面，又因为平面，所以平面，故正确；
④因为，则，所以，则，所以，，，四点共面，故正确，
故答案为：①③④
【点睛】
方法点睛：1.用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为ν1和ν2，则l1∥l2(或l1与l2重合) ν1∥ν2 v1＝λν2.
(2)设直线l的方向向量为ν，与平面α共面的两个不共线向量ν1和ν2，则l∥α或l α 存在两个实数x，y，使ν＝xν1＋yν2．
(3)设直线l的方向向量为ν，平面α的法向量为u，则l∥α或l α ν⊥u u·ν＝0．
(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β u1∥u2 u1＝λu2.
2．用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为ν1和ν2，则l1⊥l2 ν1⊥ν2 ν1·ν2＝0．
(2)设直线l的方向向量为ν，平面α的法向量为u，则l⊥α ν∥u v＝λu．
(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β u1⊥u2 u1·u2＝0．
重难点题型突破2 用空间向量研究距离问题
例2．(1)（2021·重庆一中高一期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成30°的角，则线段长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
向量法. 以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，根据各点的坐标写出向量，点，对于点的设法，采用向量式，而后利用异面直线所成的角的向量计算公式列方程求解.
【详解】
如图，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，
则，
设，设，
则，
，
异面直线PQ与AD成的角，
，
，
，
即，解得，
，
可得.
故选：C.
(2)．（2020·全国高二课时练习）已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角P-AD-C为60°，则P到AB的距离是（ ）
A．2 B．
C．2 D．
【答案】D
【分析】
先作出P到AB的距离PE,再解三角形求出PE.
【详解】
因为ABCD为正方形，所以AD⊥DC.
由 ∠PDC为二面角P-AD-C的平面角，即∠PDC＝60°.
如图所示，过P作PH⊥DC于H.
∵,∴AD⊥面PDC.,∴AD⊥面PH.
又PH⊥DC, ,∴PH⊥面ABCD,
在平面AC内过H作HE⊥AB于E，连接PE，则PE⊥AB，
所以线段PE即为所求．
以H为坐标原点建立空间直角坐标系，
则
所以,∴
故选:D.
【点睛】
方法点睛：
距离的计算方法有两类：
（1）几何法：利用几何图形求值；
（2）向量法：把距离用向量表示出来，转化为代数计算.
(3)．（2020·全国高二课时练习）已知Rt△EFG的直角顶点E在平面α内，斜边FG∥α，且FG＝6cm，EF，EG与平面α分别成30°和45°角，则FG到平面α的距离是（ ）
A．cm B．cm
C．2cm D．2cm
【答案】B
【分析】
过F，G分别作FA⊥α，GB⊥α，A，B分别为垂足，连接AE，EB，设FG到平面α的距离为d，分别在Rt△FAE和Rt△GBE中把边长用d表示，建立方程，求出d..
【详解】
解析：如图所示，
过F，G分别作FA⊥α，GB⊥α，A，B分别为垂足，连接AE，EB，在Rt△FAE中，FE＝2FA；在Rt△GBE中，EG＝BG.设FG到平面α的距离为d，则d＝FA＝GB.在Rt△FEG中，EF2＋EG2＝36，即4d2＋2d2＝36，d2＝6，所以d＝ cm.
【点睛】
方法点睛：
距离的计算方法有两类：
（1）几何法：利用几何图形求值；
（2）向量法：把距离用向量表示出来，转化为代数计算.
【变式训练2-1】．（2021·浙江）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，若边上存在点，使得，则线段长度的最大值是___________.
【答案】2
【分析】
如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，，，根据，得，化简整理，根据二次函数得最值即可得出答案.
【详解】
解：如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
设，，
则，设，
则，
因为，所以，
即，
所以，
当，即时，取得最大值4，
所以的最大值为2，
即线段长度的最大值是2.
【变式训练2-2】．（2021·浙江高二单元测试）如图，在正三棱柱中，分别是的中点．设D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______．
【答案】．
【分析】
建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法线段长．
【详解】
解：如图以为坐标原点建立空间直角坐标系：
则设，
则，设直线与所成角为
所以
解得，所以，
故答案为：．
【点睛】
方法点睛：本题考查求空间线段长．解题方法是建立空间直角坐标系，求出线段两端点的坐标，求出空间向量的模得结合，这种方法把问题通过计算求解，减少了推理过程．
重难点题型突破3 用空间向量研究线面角、二面角问题
例3．（1）（2021·江苏高二期末）在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与所成角的余弦值.
【详解】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、，
，，，
因此，直线与所成角的余弦值为，
故选：B.
（2）．（2021·福建师大附中高三其他模拟）过正方形的顶点作线段平面，若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
【详解】
解：设，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，0，，，1，，，1，，
，1，，，1，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
平面的法向量，1，，
设平面与平面所成的锐二面角为，
则，
故选：．
（3）．（2021·全国高三专题练习）如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先设棱长为1，，建立如图坐标系，根据计算点P坐标和向量，再写出平面的一个法向量的坐标，根据构建关系，求其值域即可.
【详解】
如图，设正方体棱长为1，，则，
以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
则，故，，又，则，所以．
在正方体中，可知体对角线平面，
所以是平面的一个法向量，
所以．
所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值．
所以.
故选：A．
【点睛】
方法点睛：
求空间中直线与平面所成角的常见方法为：
（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；
（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；
（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.
【变式训练3-1】．（2021·四平市第一高级中学高一期末）在长方体中，，点分别是的中点，点是的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
建立空间直角坐标系，用向量法求异面直线所成的角
【详解】
如图，以为原点，为坐标轴建立空间直角坐标系，则
，
，
设异面直线与所成角为，
则，
异面直线与所成角的大小是，
故选：D
【变式训练3-2】．（2021·全国高二专题练习）（多选题）正方体中，下列叙述正确的有（ ）
A．直线与所成角为
B．直线与所成角为
C．直线与平面所成角为
D．直线与平面所成角为
【答案】AB
【分析】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.
【详解】
设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
所以，，，，，
对于A选项，，
所以，直线与所成角为，A对；
对于B选项，，即，
所以，直线与所成角为，B对；
对于C选项，平面的一个法向量为，，
所以，直线与平面所成角不是，C错；
对于D选项，平面的一个法向量为，
，
所以，直线与平面所成角为，D错.
故选：AB.
【变式训练3-3】．（2021·揭西县河婆中学高二月考）（多选题）已知，分别是正方体的棱和的中点，则（ ）
A．与是异面直线
B．与所成角的大小为
C．与平面所成角的余弦值为
D．二面角的余弦值为
【答案】AD
【分析】
对选项A，易判断A正确.以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设正方体边长为，再利用向量法依次判断B，C，D即可.
【详解】
对选项A，由图知：与是异面直线，故A正确；
以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
设正方体边长为，
对选项B，
，，，，
所以，，
设与所成角为，
则，
又因为，所以，故B错误.
对选项C，由题知：平面的法向量为，
因为，，
设与平面所成角为，
则，，故C错误；
对选项D，，，
设平面的法向量，
则，令得，
设平面的法向量，
则，令得，
设二面角的平面角为，
则，
又因为为锐角，所以，故D正确.
故选：AD
例4．（2021·新疆巴音郭楞蒙古自治州第二中学高三月考（理））在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，BC=BB1=4，，且∠BCC1=60°.
（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1：
（2）设二面角C-AC1-B的大小为θ，求sinθ的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）勾股定理证明结合证明即可证明；（2）建立空间坐标系求解
【详解】
解：（1）在中，，所以，即
因为，所以
所以，即
又，所以平面
又平面，所以平面平面.
（2）由题意知，四边形为菱形，且，则为正三角形，取的中点，连接，则
以为原点，以的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则
设乎面的法向量为，且.
由得取.
由四边形为菱形，得；
又平面，所以；
又，所以平面，
所以平面的法向量为.
所以.
故.
例5．（2020·大连市第二十三中学高二月考）如图，在直三棱柱中，，，，点是中点.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
以A为原点，为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，标记处各个点的坐标.
（1）表示出 ，用向量法求异面直线与所成角的余弦值；
（2）用向量法求平面与平面所成角的余弦值.
【详解】
如图示：以A为原点，为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.
（1） ，
所以异面直线与所成角的余弦值.
（2）显然面的一个法向量.
设面的一个法向量为，
则，不妨取y=-2，则
由图示，平面与平面所成角为锐角，所以
所以平面与平面所成角的余弦值为.
例6．（2020·大连市第二十三中学高二月考）在正四棱柱中，，为的中点.
（1）求直线与平面所成的角；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角；
（2）求出平面的法向量，根据计算可得；
【详解】
解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系
则，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则，化为，
令，解得，．
．
设直线与平面所成的角为，则，
因为
直线与平面所成的角为．
（2）设平面的法向量，，，
则，，令，解得，．
．
点到平面的距离．
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