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突破2.1 直线的倾斜角与斜率
一、考情分析
二、考点梳理
知识点一、直线的倾斜角
1．直线的确定
在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的几何要素是：已知直线上的一点和这条直线的方向，二者缺一不可.
2．直线倾斜角的概念
当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l 方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
【倾斜角与倾斜程度】
平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.因此，我们可用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度.
3．倾斜角的取值范围
当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围是 .
如下图：的倾斜角为0°，的倾斜角为锐角，的倾斜角为直角，的倾斜角为钝角.
知识点二、直线的斜率
1．斜率的定义
我们把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k表示，即.
【特别提醒】：倾斜角是90°的直线没有斜率.
2．斜率与倾斜角之间的关系
①当直线的倾斜角α=0°时，斜率k=0，直线与x轴 ；
②当0°<α<90°时，斜率k>0，且k值增大，倾斜角随着 ；
③当α=90°时，斜率k (此时直线是存在的，直线与x轴垂直）；
④当90°<α<180°时，斜率k<0，且k值增大，倾斜角也随着 .
3．直线的倾斜程度
（1）倾斜角α不是90°的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同.因此，我们可以用 表示直线的倾斜程度.
（2）直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数角度，倾斜角侧重于几何角度.
知识点三、过两点的直线的斜率公式
1．公式
经过两点的直线的斜率公式为 .
【名师提醒】
（1）当直线的倾斜角为时，斜率公式不适用，因此在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况.
（2）斜率计算公式中的值与所选取的两点在直线上的位置无关，两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换.
（3）当直线与轴平行或重合时，直线的斜率公式成立，此时.
知识点四、两直线平行
1．特殊情况下的两条直线平行的判定
两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为 ，故它们互相平行.
2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定
两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的 相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们 ，即.
五、两直线垂直
1．特殊情况下的两条直线垂直的判定
当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为 ，另一条直线的倾斜角为 时，两条直线互相垂直.
2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 ；反之，如果两条直线的斜率之积等于 1，那么它们互相 ，即.
三、题型突破
重难点题型突破1 求直线的斜率
（1）已知倾斜角求斜率时，若，根据公式直接计算.当倾斜角未给出时，可根据直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直等)确定出所求直线的倾斜角，再代入计算.
（2）已知两点求直线的斜率时，首先应检验两点的横坐标是否相等.若相等，则斜率不存在；若不相等，则可用斜率公式直接计算.
例1．（1）（2021·浙江高二单元测试）若直线经过两点，则直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2021·全国高二课时练习）直线的倾斜角为
A． B． C． D．
（3）．（2021·全国高二课时练习）（多选题）下列说法中正确的是
A．若是直线的倾斜角，则
B．若是直线的斜率，则
C．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
【变式训练1-1】．（2020·四川省宜宾市第四中学校高二开学考试（文））直线的倾斜角为__________；
【变式训练1-2】．（2019·四川阆中中学（文））若直线过点，，则直线的倾斜角是（ )
A．30° B．45° C．60° D．90°
【变式训练1-3】．（2021·全国高二课时练习）（多选题）下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有（ ）
A．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角
B．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
C．若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为
D．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为
重难点题型突破2 三点共线
两点即可确定一条直线，要证三点共线，只要证过同一点的两直线的斜率相等即可.用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x轴，即斜率不存在的情况.斜率存在的前提下，当三点中任意两点所确定的直线的斜率相等时，三点共线.
例2．（2018·全国高二单元测试）已知，，三点．
（1）求过A，B两点的直线的斜率．
（2）若过A，C两点的直线的倾斜角为，求m的值．
（3）A，B，C三点可能共线吗？若能，求出m的值．
【变式训练2-1】．（2018·义乌市义亭中学）若，，三点共线，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】．（2021·全国高二专题练习）若A(a，0)，B(0，b)，C(，)三点共线，则________.
【变式训练2-3】．（2020·江苏高一期中）若三点A(-2，12)，B(1，3)，C(m，-6)共线，则m的值为____．
重难点题型突破3 直线倾斜角与斜率的关系
（1）直线的倾斜角α与斜率k的关系：，由直线的倾斜角能求斜率，反过来，由直线的斜率能求倾斜角.注意倾斜角的取值范围是.
（2）在范围内，，且k随着α的增大而增大；在范围内，，且k随着α的增大而增大.但在范围内， k并不是随着α的增大而增大的.
例3．（1）（2021·宁夏银川二中高一期末）设，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．或
（2）．（2020·湖北省天门中学高二月考）直线的倾斜角范围是
A． B．
C． D．
（3）．（2020·全国高二课时练习）过点的直线的倾斜角的范围是，则实数的取值范围是___________.
【变式训练3-1】．（2021·江苏高二专题练习）已知两点、，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-2】．（2019·全国高一单元测试）给出下列说法：
①若点，，则直线的倾斜角为；
②若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点；
③若直线的斜率为，则这条直线必过与两点；
其中正确说法的序号为______.
【变式训练3-3】．（2021·全国高二课时练习）已知、两点，直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
重难点题型突破4 直线的平行与垂直
（1）在判断两条直线是否平行时，首先应判断直线的斜率是否存在，然后根据斜率的关系进行判断，同时不要漏掉两条直线重合的情况.
（2）判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于 1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.
例4．（1）（2020·福建厦门一中高二期中）已知直线与直线垂直，则实数的值是
A．0 B． C．0或 D．或
（2）．（2021·福建厦门一中高二期末）已知直线和互相平行，则实数等于（ ）
A．或3 B．
C． D．1或
【变式训练4-1】．（2020·江苏金沙中学高二月考）（多选题）直线，，，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】．（2020·全国高二课时练习）（多选）若直线的倾斜角为，且，则直线的倾斜角可能为（ ）
A． B． C． D．
例5．（2021·全国高二单元测试）已知两直线：和：.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
【变式训练5-1】．（2019·河北高一月考）已知直线：与：.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
四、定时训练（30分钟）
1．（2019·安徽蚌埠二中高二月考（文））若直线倾斜角是（ ）
A．30° B．120° C．60° D．150°
2．（2020·山东省淄博第四中学高二期中）直线过点且与以点为端点的线段恒相交，则的斜率取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
3．（2021·全国高二专题练习）将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国高二专题练习）（多选题）在下列四个命题中，错误的有（ ）
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
5．（2021·江苏高二专题练习）（多选题）已知直线：与：平行，则的值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
6．（2021·上海高二专题练习）已知直线与平行，则的值是____．
7．（2018·济南外国语学校（文））已知直线与互相垂直，且经过点，则__________．
8．（2021·黑龙江哈九中高三月考（文））已知直线：，：，，若，则___________.
9．（2021·全国高二课时练习）若直线与直线垂直，则________.
10．（2021·江苏高二专题练习）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的倾斜角与斜率k的取值范围，并说明理由．
11．（2021·新疆高一期末）已知直线；．
（1）若，求的值．
（2）若，且他们的距离为，求的值．
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突破2.1 直线的倾斜角与斜率
一、考情分析
二、考点梳理
知识点一、直线的倾斜角
1．直线的确定
在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的几何要素是：已知直线上的一点和这条直线的方向，二者缺一不可.
2．直线倾斜角的概念
当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l 方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
【倾斜角与倾斜程度】
平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.因此，我们可用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度.
3．倾斜角的取值范围
当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围是 .
如下图：的倾斜角为0°，的倾斜角为锐角，的倾斜角为直角，的倾斜角为钝角.
知识点二、直线的斜率
1．斜率的定义
我们把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k表示，即.
【特别提醒】：倾斜角是90°的直线没有斜率.
2．斜率与倾斜角之间的关系
①当直线的倾斜角α=0°时，斜率k=0，直线与x轴 ；
②当0°<α<90°时，斜率k>0，且k值增大，倾斜角随着 ；
③当α=90°时，斜率k (此时直线是存在的，直线与x轴垂直）；
④当90°<α<180°时，斜率k<0，且k值增大，倾斜角也随着 .
3．直线的倾斜程度
（1）倾斜角α不是90°的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同.因此，我们可以用 表示直线的倾斜程度.
（2）直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数角度，倾斜角侧重于几何角度.
知识点三、过两点的直线的斜率公式
1．公式
经过两点的直线的斜率公式为 .
【名师提醒】
（1）当直线的倾斜角为时，斜率公式不适用，因此在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况.
（2）斜率计算公式中的值与所选取的两点在直线上的位置无关，两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换.
（3）当直线与轴平行或重合时，直线的斜率公式成立，此时.
知识点四、两直线平行
1．特殊情况下的两条直线平行的判定
两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为 ，故它们互相平行.
2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定
两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的 相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们 ，即.
五、两直线垂直
1．特殊情况下的两条直线垂直的判定
当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为 ，另一条直线的倾斜角为 时，两条直线互相垂直.
2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 ；反之，如果两条直线的斜率之积等于 1，那么它们互相 ，即.
三、题型突破
重难点题型突破1 求直线的斜率
（1）已知倾斜角求斜率时，若，根据公式直接计算.当倾斜角未给出时，可根据直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直等)确定出所求直线的倾斜角，再代入计算.
（2）已知两点求直线的斜率时，首先应检验两点的横坐标是否相等.若相等，则斜率不存在；若不相等，则可用斜率公式直接计算.
例1．（1）（2021·浙江高二单元测试）若直线经过两点，则直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用斜率公式求出直线，根据斜率值求出直线的倾斜角.
【详解】
直线的斜率为，因此，直线的倾斜角为，故选C.
【点睛】
本题考查直线的倾斜角的求解，考查直线斜率公式的应用，考查计算能力，属于基础题．
（2）．（2021·全国高二课时练习）直线的倾斜角为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出斜率，根据斜率与倾斜角关系，即可求解.
【详解】
化为，
直线的斜率为，倾斜角为.
故选:D.
【点睛】
本题考查直线方程一般式化为斜截式，求直线的斜率、倾斜角，属于基础题.
（3）．（2021·全国高二课时练习）（多选题）下列说法中正确的是
A．若是直线的倾斜角，则
B．若是直线的斜率，则
C．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
【答案】ABC
【分析】
利用所学的直线的倾斜角和斜率的知识对每一个选项命题判断分析得解.
【详解】
A. 若是直线的倾斜角，则,是正确的；
B. 若是直线的斜率，则，是正确的；
C. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率，是正确的；
D. 任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角，是错误的，倾斜角为90°的直线没有斜率.
故选：ABC
【点睛】
本题主要考查直线的倾斜角和斜率，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
【变式训练1-1】．（2020·四川省宜宾市第四中学校高二开学考试（文））直线的倾斜角为__________；
【答案】
【分析】
把直线的一般方程化为斜截式方程，得到斜率，即可求出倾斜角.
【详解】
由可得： ，所以斜率，即，所以倾斜角为，故填.
【点睛】
本题主要考查直线的斜率及倾斜角，属于基础题.
【变式训练1-2】．（2019·四川阆中中学（文））若直线过点，，则直线的倾斜角是（ )
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【分析】
由两点求斜率公式求得直线l的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求得直线l的倾斜角．
【详解】
∵直线l经过点，
∴，
设直线l的倾斜角为α，（0°≤α＜180°），
则tan，α=45°．
故选B．
【点睛】
本题考查了两点求斜率公式，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．
【变式训练1-3】．（2021·全国高二课时练习）（多选题）下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有（ ）
A．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角
B．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
C．若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为
D．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为
【答案】AD
【分析】
由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，得出结论；
【详解】
平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，故A正确；
若直线的倾斜角为，而不存在，所以斜率不存在，故B错；
若一条直线的斜率为，因为，即斜率为，则该直线的倾斜角为，故C错；
若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，故D正确；
故选：AD.
【点睛】
本题主要考查斜率与倾斜角的相关概念，属于基础题型.
重难点题型突破2 三点共线
两点即可确定一条直线，要证三点共线，只要证过同一点的两直线的斜率相等即可.用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x轴，即斜率不存在的情况.斜率存在的前提下，当三点中任意两点所确定的直线的斜率相等时，三点共线.
例2．（2018·全国高二单元测试）已知，，三点．
（1）求过A，B两点的直线的斜率．
（2）若过A，C两点的直线的倾斜角为，求m的值．
（3）A，B，C三点可能共线吗？若能，求出m的值．
【答案】（1）；（2）1；（3）能共线 m=3
【分析】
(1)根据斜率公式求解；
（2）利用直线的斜率的定义，倾斜角和斜率的关系，以及斜率公式得tan45°=1= ， 即可求得m的值；
（3）若三点共线，则任过两点的直线的斜率相等，根据斜率公式，求m的值.
【详解】
解：（1）.
（2）由，得.
（3）若，，三点共线，则有，即，解得.
【点睛】
本题考查了斜率公式，考查了斜率与倾斜角的关系；判断A,B,C三点共线的两种常用方法：① ,②根据两点写出直线方程，再判断第三点是否适合直线方程.
【变式训练2-1】．（2018·义乌市义亭中学）若，，三点共线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先求出，从而可得关于的方程，故可求的值.
【详解】
因为，，故，
因为三点共线，故，故，
故选：A.
【变式训练2-2】．（2021·全国高二专题练习）若A(a，0)，B(0，b)，C(，)三点共线，则________.
【答案】
【分析】
由斜率相等得的关系．
【详解】
解析：由题意得，
ab+2(a+b)=0，．
故答案为：．
【变式训练2-3】．（2020·江苏高一期中）若三点A(-2，12)，B(1，3)，C(m，-6)共线，则m的值为____．
【答案】4
【解析】
【分析】
由三点共线的性质可得AB和AC的斜率相等，由坐标表示斜率解方程即可得解.
【详解】
由题意可得kAB=kAC,∴，∴m=4，
故答案为4.
【点睛】
本题主要考查了三点共线，斜率的坐标表示，属于基础题.
重难点题型突破3 直线倾斜角与斜率的关系
（1）直线的倾斜角α与斜率k的关系：，由直线的倾斜角能求斜率，反过来，由直线的斜率能求倾斜角.注意倾斜角的取值范围是.
（2）在范围内，，且k随着α的增大而增大；在范围内，，且k随着α的增大而增大.但在范围内， k并不是随着α的增大而增大的.
例3．（1）（2021·宁夏银川二中高一期末）设，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．或
【答案】D
【分析】
如图，求出可得斜率的取值范围.
【详解】
由题设可得，
因为直线与线段相交，则或，
故选：D.
（2）．（2020·湖北省天门中学高二月考）直线的倾斜角范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由题意，设直线的倾斜角为，根据直线方程，求得，即可求解.
【详解】
由题意，设直线的倾斜角为
直线的斜率为，
即，又由，所以，
故选B.
【点睛】
本题主要考查了直线方程的应用，以及直线的斜率与倾斜角的关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
（3）．（2020·全国高二课时练习）过点的直线的倾斜角的范围是，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
由两点的坐标得出直线的斜率，再运用直线的倾斜角与斜率的关系可得答案.
【详解】
当时，直线的倾斜角为，满足题意；
当时，直线的斜率为，或，
所以或，解得或.
综上，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查由两点求出直线的倾斜角，直线倾斜角与直线的斜率的关系，注意考虑斜率不存在的情况，属于中档题.
【变式训练3-1】．（2021·江苏高二专题练习）已知两点、，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
作出图形，求出直线、的斜率，数形结合可得出直线的斜率的取值范围，进而可求得直线的倾斜角的取值范围.
【详解】
如下图所示：
直线的斜率为，直线的斜率为，
由图形可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率.
因此，直线的倾斜角的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：求直线倾斜角的取值范围的关键就是求出直线的斜率的取值范围，结合图象，利用直线、的斜率可得所要求的斜率的取值范围.
【变式训练3-2】．（2019·全国高一单元测试）给出下列说法：
①若点，，则直线的倾斜角为；
②若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点；
③若直线的斜率为，则这条直线必过与两点；
其中正确说法的序号为______.
【答案】①②
【分析】
①根据坐标可知直线与轴垂直，可知倾斜角为，①正确；②根据倾斜角可知直线斜率，利用两点坐标可求得斜率，二者相同，②正确；③可举出反例，可知③错误.
【详解】
①横坐标相同，显然直线与轴垂直，斜率不存在，倾斜角为，①正确；
②直线过定点，斜率为，又，故直线必过点，②正确；
③斜率为的直线有无数条，所以直线不一定过与两点，如：，③错误.
本题正确结果：①②
【点睛】
本题考查直线相关命题的辨析，涉及到直线倾斜角、斜率关系、直线与直线上的点的知识.
【变式训练3-3】．（2021·全国高二课时练习）已知、两点，直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
作出图形，求出当直线分别经过点、时，直线的斜率的值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】
直线恒过点，
则直线的斜率为，直线的斜率为，
由图可知直线的斜率的取值范围是，
故选：C.
重难点题型突破4 直线的平行与垂直
（1）在判断两条直线是否平行时，首先应判断直线的斜率是否存在，然后根据斜率的关系进行判断，同时不要漏掉两条直线重合的情况.
（2）判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于 1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.
例4．（1）（2020·福建厦门一中高二期中）已知直线与直线垂直，则实数的值是
A．0 B． C．0或 D．或
【答案】C
【分析】
由一般式方程可知直线垂直时，从而构造方程求得结果.
【详解】
由直线垂直可得：，解得：或
本题正确选项：
【点睛】
本题考查根据直线垂直的位置关系求解参数值的问题，属于基础题.
（2）．（2021·福建厦门一中高二期末）已知直线和互相平行，则实数等于（ ）
A．或3 B．
C． D．1或
【答案】A
【分析】
由两直线平行，得到，求出，再验证，即可得出结果.
【详解】
∵两条直线和互相平行，
∴，解得或，
若，则与平行，满足题意；
若，则与平行，满足题意；
故选：A．
【变式训练4-1】．（2020·江苏金沙中学高二月考）（多选题）直线，，，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】
根据可得出关于实数的等式，可求得实数的值，然后逐一检验即可得出结果.
【详解】
直线，，，
则，整理得，解得或或.
当时，，，成立；
当时，，，成立；
当时，，，成立.
综上所述，或或.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查利用两直线平行求参数，考查计算能力，属于基础题.
【变式训练4-2】．（2020·全国高二课时练习）（多选）若直线的倾斜角为，且，则直线的倾斜角可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】
根据直线的倾斜角的可能值进行分类讨论，结合图形分析另一条直线倾斜角的值.
【详解】
（1）当时，的倾斜角为（如图1）；
（2）当时，的倾斜角为（如图2）；
（3）当时，的倾斜角为（如图3）；
（4）当时，的倾斜角为（如图4）．
故直线的倾斜角可能为，但不可能为．
故选：ABC.
【点睛】
本题考查两条直线垂直时，倾斜角的大小关系，结合图形分析即可，较简单.
例5．（2021·全国高二单元测试）已知两直线：和：.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）本题先建立方程，再求实数的值；
（2）本题先建立方程，再求实数的值，最后验证是否符合题意.
【详解】
解：（1）若，则，
解得，故所求实数的值为.
（2）若，得，即，
解得或.
当时，的方程为，的方程为，显然两直线重合，不符合题意.
当时，的方程为，的方程为，显然两直线平行，符合题意.
综上，当时，.
【点睛】
本题考查两条直线平行与垂直求参数的问题，是基础题.
【变式训练5-1】．（2019·河北高一月考）已知直线：与：.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）或.（2）
【分析】
（1）由两直线垂直，代入公式求出的值.
（2）由两直线平行，代入公式且两直线不重合求出的值.
【详解】
解：（1）因为，所以，
解得或.
（2）因为，所以，
解得.
【点睛】
本题考查了由两直线的位置关系求出参量的值，代入公式即可求出结果，较为基础.
四、定时训练（30分钟）
1．（2019·安徽蚌埠二中高二月考（文））若直线倾斜角是（ ）
A．30° B．120° C．60° D．150°
【答案】B
【分析】
将直线的一般方程化为斜截式，由方程得出斜率，根据斜率公式求出倾斜角即可.
【详解】
直线的斜截式方程为：，所以斜率：；
由斜率公式：，解得：.
故选B.
【点睛】
本题考查直线方程的互化以及斜率公式，熟练掌握方程之间的互化，注意特殊角三角函数值以及倾斜角的取值范围.
2．（2020·山东省淄博第四中学高二期中）直线过点且与以点为端点的线段恒相交，则的斜率取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
∵
∴
根据如下图形可知，
使直线与线段相交的斜率取值范围是
故选：D.
3．（2021·全国高二专题练习）将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
原直线的倾斜角为，旋转后倾斜角为，从而求得斜率.
【详解】
原直线的倾斜角为，旋转后倾斜角为，所以新直线的斜率为.
故选：.
4．（2021·全国高二专题练习）（多选题）在下列四个命题中，错误的有（ ）
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
【答案】ABCD
【分析】
利用直线的倾斜角和斜率的定义逐一判断四个选项，即可得正确答案.
【详解】
对于A：当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在，所以A错误；
对于B：直线倾斜角的取值范围是，所以B错误；
对于C：一条直线的斜率为，此直线的倾斜角不一定为，
如的斜率为，它的倾斜角为，所以C错误；
对于D：一条直线的倾斜角为时，它的斜率为或不存在，所以D错误．
故选：ABCD
【点睛】
本题只要考查了直线的倾斜角与斜率的关系，以及定义的辨析，属于基础题.
5．（2021·江苏高二专题练习）（多选题）已知直线：与：平行，则的值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】CD
【分析】
由两直线平行得出，解出 的值，然后代入两直线方程进行验证.
【详解】
直线与 平行，
，整理得 ，解得或.
当时，直线，，两直线平行；
当时，直线， ，两直线平行.
因此，或.
故选：CD.
【点睛】
方法点睛：题考查直线的一般方程与平行关系，解题方法如下：
（1）根据两直线平行，系数所满足的条件，列出等量关系，求得参数的值；
（2）在求出参数后还应代入两直线方程进行验证，排除重合的情况得结果.
6．（2021·上海高二专题练习）已知直线与平行，则的值是____．
【答案】或
【分析】
由两直线平行得出，解出的值，然后代入两直线方程进行验证.
【详解】
直线与平行，
，整理得，解得或.
当时，直线，，两直线平行；
当时，直线，，两直线平行.
因此，或.
故答案为或.
【点睛】
本题考查直线的一般方程与平行关系，在求出参数后还应代入两直线方程进行验证，考查运算求解能力，属于基础题.
7．（2018·济南外国语学校（文））已知直线与互相垂直，且经过点，则__________．
【答案】-2
【分析】
将点代入直线l1，可得a,经检验可得直线l1的斜率存在，由斜率之积等于﹣1建立方程，解方程求得b的值．
【详解】
由于经过点，可得a=1．
又直线与互相垂直，的斜率必存在且为
又，，
解得b=﹣2，
故答案为-2.
【点睛】
本题主要考查两直线垂直的性质，两直线垂直斜率之积等于﹣1，注意考虑斜率不存在的情况，属于基础题．
8．（2021·黑龙江哈九中高三月考（文））已知直线：，：，，若，则___________.
【答案】或
【分析】
根据直线一般式时的平行关系求解并检验即可得答案.
【详解】
∵，
∴ ，解得：或 ，
检验，当时，：，：满足题意；
当时，：，：满足题意
故答案为：或
【点睛】
两直线位置关系的判断： 和的平行和垂直的条件属于常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论：
垂直： ；
平行： ，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验.
9．（2021·全国高二课时练习）若直线与直线垂直，则________.
【答案】
【分析】
由两直线垂直求出的值，然后利用二倍角的正弦公式结合弦化切的思想可求出的值.
【详解】
由于直线与直线垂直，则，
可得，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查二倍角正弦值的计算，涉及利用两直线垂直求参数以及弦化切思想的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
10．（2021·江苏高二专题练习）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的倾斜角与斜率k的取值范围，并说明理由．
【答案】，，理由见解析.
【分析】
根据题意作出图示，根据图示结合临界位置分析直线与线段有交点时倾斜角和斜率的取值范围.
【详解】
如下图所示，
当直线经过点时，斜率为，此时倾斜角为 ；
当直线经过点时，斜率为， 此时倾斜角为，
由题意可知，当直线从过点的位置开始，逆时针旋转至过点的位置，经过图中阴影部分时都能满足题意，
旋转过程中，倾斜角先从变化到，再从变化到，
所以倾斜角的取值范围是：；
旋转过程中，斜率先从变化到，再从变化到，
所以斜率的取值范围是：.
11．（2021·新疆高一期末）已知直线；．
（1）若，求的值．
（2）若，且他们的距离为，求的值．
【答案】（1）；（2），或
【详解】
试题分析：（1）因为两条直线是相互垂直的，故，解得；（2）因为两条直线是相互平行的，故，解得．
解析：设直线的斜率分别为，则、．
（1）若，则，∴
（2）若，则，∴．
∴可以化简为，
∴与的距离为，∴或
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