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突破2.2 直线方程
一、考情分析
考点梳理
1、直线的点斜式方程
已知直线l经过点，且斜率为k，则直线l的方程为 .
这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的 ，简称 .
（1）.当直线l的倾斜角为0°时(如图1)，,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合，l的方程就是,或.
（2）.当直线l的倾斜角为90°时(如图2)，直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.因为这时l上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是,或.
【名师提醒】
（1）当直线的斜率存在时，才能用直线的点斜式方程.
（2）当取任意实数时，方程表示过定点的无数条直线.
2、直线的斜截式方程
我们把直线l与y轴交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的 .
如果直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则方程为，即 叫做直线的 ，简称 .
①当b=0时，表示过原点的直线；②当k=0且b≠0时，表示与x轴平行的直线；③当k=0且b=0时，表示与x轴重合的直线.
【名师提醒】
（1）纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、零或负数. 纵截距也可能不存在，比如当直线与y轴平行时.
（2）由于有些直线没有斜率，即有些直线在y轴上没有截距，所以并非所有直线都可以用斜截式表示.
3、直线的两点式方程
已知直线过两点,当时，直线的方程为 .这个方程是由直线上的两点确定的，因此称为直线的两点式方程，简称两点式.
4、直线的截距式方程
已知直线过点，()，则由直线的两点式方程可以得到直线的方程为 ___________.
我们把直线与轴的交点的横坐标叫做直线在轴上的_____________，此时直线在轴上的截距是 ___________.
这个方程由直线在两个坐标轴上的截距和确定，因此叫做直线的截距式方程，简称截距式.
5、中点坐标公式
若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为,则.此公式为线段的中点坐标公式.
6、直线的一般式方程
在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程 (其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.
【直线的一般式与斜截式、截距式的互化】
直线的一般式、斜截式、截距式如下表：
一般式 斜截式 截距式
不同时为0) 都不为0)
直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线.因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进行如下转化：
（1）当时,可化为,它表示在y轴上的截距为 ,斜率为 的直线.
（2）当均不为零时，可化为，它表示在x轴上的截距为 ，在y轴上的截距为 的直线.
7、直线系方程
1．平行直线系方程
把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.
2．垂直直线系方程
一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为 (其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值.
8、一般式方程中两直线平行与垂直的条件
若两条直线的方程是用一般式给出的,设直线的方程分别为,，
则可以在条件允许时将两方程化为斜截式方程，从而得出两直线平行与垂直的结论如下：
（1）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，且.
即,且或.
（2）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，或.
即.
三、题型突破
(一) 直线的点斜式方程
例1．（1）（2021·全国高二课时练习）已知直线的点斜式方程是，那么此直线的斜率是_________，倾斜角是_________.
【答案】1
【分析】
根据点斜式方程可直接得出斜率，求出倾斜角.
【详解】
根据点斜式方程可得该直线的斜率为1，故倾斜角为.
故答案为：1；.
（2）．（2021·全国高二课时练习）已知直线的点斜式方程是，那么此直线的斜率是_________，倾斜角是_________．
【答案】
【分析】
利用直线的斜率以及倾斜角之间的关系即可求解.
【详解】
由直线的点斜式方程，可得，
设直线的倾斜角为，且，
则，
即，
故答案为：；
（3）．（2021·陕西西安市西光中学）过点，且斜率为2的直线方程是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由直线的点斜式计算出直线方程.
【详解】
因为直线过点，且斜率为2，所以该直线方程为，即.故选
【点睛】
本题考查了求直线方程，由题意已知点坐标和斜率，故选用点斜式即可求出答案，较为简单.
【变式训练1-1】．（2021·玉林市第十一中学高一月考）经过点（，2），倾斜角为60°的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
求出直线的倾斜角的正切值即为直线的斜率，又直线过点，则由求出的斜率和点的坐标写出直线的方程即可
【详解】
由直线的倾斜角为，得到直线的斜率
又直线过点
则直线的方程为
故选
【点睛】
本题主要考查了直线的倾斜角和斜率的关系，运用点斜式根据一点坐标和斜率写出直线的方程，是基础题．
【变式训练1-2】．（2020·全国高二课时练习）（1）一条直线经过点，倾斜角为，则这条直线的点斜式方程为________；
（2）经过点且平行于轴的直线方程为________．
【答案】
【分析】
（1）求出直线的斜率，利用点斜式可求得直线的方程；
（2）判断出直线的斜率不存在，可直接写出直线方程.
【详解】
（1）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
所以直线的点斜式方程为；
（2）因为直线平行于轴，所以直线不存在斜率，所以直线方程为.
故答案为：（1）；（2）.
【变式训练1-3】．（2020·贵州省铜仁第一中学高一期末）过点且倾斜角为的直线方程是_______.
【答案】
【分析】
先求出斜率，再用点斜式写出直线方程，最后化简即可得出答案.
【详解】
∵直线倾斜角为，∴斜率，又∵直线过点，
∴直线方程为：.
故答案为：.
(二) 直线的斜截式方程
例2．（1）（2021·全国高一课时练习）在y轴上的截距为，且与y轴的夹角为的直线方程是__________．
【答案】或
【详解】
试题分析：因为与轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以又与轴上的截距为－6，所以直线方程为或．
考点：直线的方程
（2）．（2021·全国高二课时练习）倾斜角为,在轴上的截距为的直线方程是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
试题分析：倾斜角，直线方程截距式
考点：斜截式直线方程
点评：直线斜率为，在y轴上的截距为，则直线方程为，求直线方程最终结果整理为一般式方程
（3）．（2021·江苏高二专题练习）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在轴上的截距为
C．直线的倾斜角为60°
D．过点且垂直于直线的直线方程为
【答案】ABD
【分析】
将方程化为点斜式，即可判断A；令，得出在轴上的截距，进而判断B；将一般式方程化为斜截式，得出斜率，进而得出倾斜角，从而判断C；由两直线垂直得出斜率，最后由点斜式得出方程，进而判断D.
【详解】
可化为，则直线必过定点，故A正确；
令，则，即直线在轴上的截距为，故B正确；
可化为，则该直线的斜率为，即倾斜角为，故C错误；
设过点且垂直于直线的直线的斜率为
因为直线的斜率为，所以，解得
则过点且垂直于直线的直线的方程为，即，故D正确；
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查了求直线过定点，求直线的倾斜角，由两直线垂直求直线方程，属于中档题.
【变式训练2-1】已知点和直线l：.求：
（1）过点A且与直线l平行的直线方程；
（2）过点A且与直线l垂直的直线方程.
【解析】因为直线l：，所以该直线的斜率.
（1）过点且与直线l平行的直线方程为.
（2）过点且与直线l垂直的直线方程为.
【变式训练2-2】．（2019·全国）已知直线l经过点，且斜率为,则直线的方程为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
分析：直接利用点斜式求解即可.
详解：直线经过点，且斜率为，
直线的点斜式方程为，
整理得，故选A.
点睛：本题主要考查直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的 直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.
【变式训练2-3】．（2018·湖北荆门·高二期末（文））经过点，倾斜角为的直线方程为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求出直线的斜率，再由点斜式求得直线的方程．
【详解】
倾斜角为的直线的斜率，再根据直线经过点，
由点斜式求得直线的方程为，即，
故选D．
【点睛】
本题考查了由点斜式的方法求直线的方程，属于基础题．
(三) 直线的两点式方程
例3．（1）（2021·江苏高二专题练习）经过两点、的直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
求出直线的两点式方程，再化为一般方程可得答案.
【详解】
经过两点、的直线的方程为，即.
故选：D.
（2）．（2020·全国高二课时练习）经过与两点的直线的方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由已知得，两点的纵坐标相等，所以，该直线的斜率为0，可得直线方程为
【详解】
由两点的坐标可知，直线与轴平行，所以直线的方程为.
【点睛】
本题考查已知两点求直线方程，属于基础题
【变式训练3-1】．（2019·全国高一专题练习）过点，的直线方程是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由直线方程的两点式列方程．
【详解】
由直线方程的两点式得：，整理得：，故选B．
【点睛】
本题考查了直线方程的两点式：（且），利用两点式列方程，整理．
【变式训练3-2】．（2021·黑龙江哈九中高二期末（文））过点和的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由两点式方程即可求出.
【详解】
由两点式得，，
整理得.
故选B.
(四) 直线截距式方程
例4．（1）（2021·江苏高二专题练习）在x轴，y轴上的截距分别是－3，4的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
设分别求x轴，y轴上的截距，即可判断各项直线方程是否符合要求.
【详解】
A：时，，即；时，，即，故正确；
B：时，，即；时，，即，故错误；
C：时，，即；时，，即，故错误；
D：时，，即；时，，即，故错误；
故选：A.
（2）．已知直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程．
【解析】设直线的方程为，则，①
又直线过点，∴，②由①②得或.
∴直线的方程为或，即或．
【变式训练4-1】．（2019·全国）直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为．
A． B．2 C．1 D．
【答案】D
【分析】
分别计算出直线的横截距和纵截距后可求三角形的面积.
【详解】
令可得；
令可得，
故所求三角形的面积为，故选D.
【点睛】
本题考查直线的截距的计算，属于基础题.
【变式训练4-2】．（2021·全国高二课时练习）（多选题）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】
分两种情况求解，过原点时和不过原点时，结合所过点的坐标可求.
【详解】
当直线过坐标原点时，直线方程为；
当直线不过坐标原点时，设直线方程为，代入点可得，
即.
故选：AC.
【点睛】
直线在两坐标轴上截距相等时，有两种情况：一是直线经过坐标原点；二是直线斜率为.
(五) 直线的一般式方程
例5．（2020·全国高二课时练习）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．平面上任一条直线都可以用一个关于的二元一次方程（不同时为0）表示
B．当时，方程（不同时为0）表示的直线过原点
C．当时，方程表示的直线与轴平行
D．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化
【答案】ABC
【分析】
对于选项A，分和两种情况，将直线方程化为关于的二元一次方程（不同时为0），可知正确；
对于选项B，将原点代入方程，可知正确；
对于选项C，将方程化为，可知正确；
对于选项D，当时，方程不能化为斜截式，可知错误.
【详解】
对于选项A，在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，
当时，直线的斜率存在，其方程可写成，
它可变形为，与比较，
可得，显然不同时为0，
当时，直线方程为，与比较，
可得，显然不同时为0，所以此说法是正确的.
对于选项B，当时，方程（不同时为0），
即，显然有，即直线过原点.故此说法正确.
对于选项C，当时，方程可化为，
它表示的直线与轴平行，故此说法正确.
对于选项D，当时，方程不能化为斜截式，故此说法错误.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查了直线方程一般式的概念，考查了直线方程的一般式与其它四种形式的互化，属于基础题.
【变式训练5-1】．（2020·全国高二课时练习）已知，则直线通过( ) 象限
A．第一、二、三 B．第一、二、四 C．第一、三、四 D．第二、三、四
【答案】A
【分析】
根据判断、、的正负号，即可判断直线通过的象限 ．
【详解】
因为，所以，
①若则，，直线通过第一、二、三象限．
②若则，，直线通过第一、二、三象限．
【点睛】
本题考查直线，作为选择题，可以采用赋值法，直接写出直线，再判断，属于基础题．
【变式训练5-2】．（2019·安徽蚌埠二中高二月考（文））直线的方程为： ，若直线不经过第二象限，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直线斜率与截距讨论不经过第二象限时所满足的条件，解得结果.
【详解】
若直线斜率不存在，即不经过第二象限，
若直线斜率存在，即，所以，
综上实数的取值范围为，选C.
【点睛】
本题考查直线方程，考查空基本分析与求解能力，属于中档题．
(六) 直线的定点问题
例6．（2021·全国高一课时练习）设有直线，当k变动时，所有直线都经过定点（ ）
A．（0，0） B．（0，1） C．（3，1） D．（2，1）
【答案】C
【分析】
将原直线方程变形为点斜式方程，即可知所有直线都经过定点．
【详解】
原直线方程变形为，根据点斜式方程可知，所有直线都经过定点．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查直线系过定点问题的解法，属于基础题．
【变式训练6-1】．（2018·山西大附中高二期中（文））方程所表示的直线
A．恒过定点 B．恒过定点
C．恒过点和点 D．都是平行直线
【答案】B
【分析】
方程（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0化为：a（x+2）﹣x﹣y+1＝0，令，解出即可得出．
【详解】
方程（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0化为：a（x+2）﹣x﹣y+1＝0，
令，解得x＝﹣2，y＝3．
所表示的直线恒过点（﹣2，3）．
故选B．
【点睛】
本题考查了直线系方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
(七) 已知直线方程求解参数范围
例7．（1）（2021·浙江高三专题练习）设直线，直线，若，则_______，若，则______．
【答案】
【分析】
根据两直线平行：，求出，再代入直线，两直线不重合可得答案；由直线垂直：，即可求解.
【详解】
当，则，解得，
当时，两直线不重合，即；
当时，则，解得，
故答案为：；
（2）．（2021·福建省连城县第一中学高二月考）已知直线:，直线:，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据直线的垂直，即可求出tanα=2，再根据二倍角公式即可求出．
【详解】
因为l1⊥l2，所以，
所以tanα=2，
所以.
故选：B．
【点睛】
本题考查了两直线的垂直的充要条件，以及正切二倍角公式，属于容易题.
例8．（2021·宜春神州天立高级中学有限责任公司高一期末）已知直线．
（1）求证：无论为何实数，直线恒过一定点；
（2）若直线过点，且与轴负半轴、轴负半轴围成三角形面积最小，求直线的方程．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）解方程组，可得定点的坐标；
（2）设直线的方程为，分析可得，求出该直线与两坐标轴的交点坐标，可得出三角形面积关于的关系式，结合基本不等式可求得的最小值，利用等号成立可求得的值，即可得出直线的方程.
【详解】
（1）证明：将直线的方程化为，
解方程组，解得，故直线恒过定点；
（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为零，
设直线的方程为，
令，可得，令，可得，
由已知可得，解得，
所以，三角形面积为，
当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.
例9．（2021·四川资阳·高一期末）解答下面两个小题：
（1）直线经过点，倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的方程；
（2）直线经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求的方程．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】
（1）利用正切的二倍角公式求出直线的斜率，结合过点即可得直线的方程；
（2）由题可知：所求直线的斜率为，由点斜式即可得直线的方程.
【详解】
（1）设直线的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为．
因为，所以．
又直线经过点，
所以，所求直线方程为，即．
（2）由题可知，所求直线的斜率为．
又过点，由点斜式得或．
故所求直线的方程为或．
四、定时训练（30分钟）
1．（2019·江苏扬州中学高一月考）下列说法的错误的是（ ）
A．经过定点的倾斜角不为的直线的方程都可以表示为
B．经过定点的倾斜角不为的直线的方程都可以表示为
C．不经过原点的直线的方程都可以表示为
D．经过任意两个不同的点、直线的方程都可以表示为
【答案】C
【分析】
由点斜式方程可判断A；由直线的斜截式可判断B；讨论直线的截距是否为0，可判断C；
由两点式的直线方程可判断D．
【详解】
经过定点P（x0，y0）的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y-y0=k（x-x0），故A正确；
经过定点A（0，b）的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y=kx+b，故B正确；
不经过原点的直线的方程不一定都可以表示为，比如x=a或y=b，故C错误；
过任意两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）直线的方程都可以表示为：
（y-y1）（x2-x1）=（x-x1）（y2-y1），故D正确．
故选C．
【点睛】
本题考查直线方程的适用范围，注意直线的斜率是否存在，以及截距的定义，考查判断能力和推理能力，是基础题．
2．（2020·怀仁市大地学校高中部高二月考（理））无论 取何实数，直线恒过一定点，则该定点坐标为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
通过整理直线的形式，可求得所过的定点.
【详解】
直线可整理为，
当 ，解得，
无论为何值，直线总过定点.
故选A.
【点睛】
本题考查了直线过定点问题，属于基础题型.
3．（2022·全国高三专题练习）“”是“直线与直线相互垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
直线与直线相互垂直得到，再利用充分必要条件的定义判断得解.
【详解】
因为直线与直线相互垂直，
所以，
所以.
所以时，直线与直线相互垂直，所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分条件；
当直线与直线相互垂直时，不一定成立，所以“”是“直线与直线相互垂直”的非必要条件.
所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件.
故选：A
【点睛】
方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
4．（2020·四川省叙永县第一中学校高二期中（文））是直线和直线垂直的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
因为直线和直线垂直，所以或，再根据充分必要条件的定义判断得解.
【详解】
因为直线和直线垂直，
所以或.
当时，直线和直线垂直；
当直线和直线垂直时，不一定成立.
所以是直线和直线垂直的充分不必要条件，
故选：A．
【点睛】
方法点睛：充分必要条件的常用的判断方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件选择合适的方法求解.
5．（2020·夏津第一中学高二月考）（多选题）下列关于直线的方程，叙述不正确的是（ ）
A．经过定点的直线都可以用方程表示
B．经过任意两个不同点，的直线都可以用方程表示
C．不经过原点的直线都可以用方程表示
D．经过定点的直线都可以用方程表示
【答案】ACD
【分析】
根据各种直线方程的适用范围，逐个分析判断即可
【详解】
解：对于A，经过定点，且斜率存在的直线都可以用方程表示，所以A错误；
对于B，经过任意两个不同点，的直线都可以用方程表示，所以B正确；
对于C，不经过原点，且与坐标轴不垂直的直线都可以用方程表示，所以C错误；
对于D，经过定点，且斜率存在的直线都可以用方程表示，所以D错误，
故选：ACD
【点睛】
此题考查各个直线方程的适用范围，考查命题的真假判断，属于基础题
6．（2021·全国高二课时练习）（多选题）如果，，那么直线经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】ABC
【分析】
确定直线在轴、轴上截距的正负，数形结合可知直线所经过的象限.
【详解】
直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
如下图所示：
由图象可知，直线经过第一、二、三象限.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查直线所过象限的判断，一般作出直线的图象即可判断，考查数形结合思想的应用，属于基础题.
7．（2021·上海市长征中学高二期中）已知点M是直线与x轴的交点，把绕点按逆时针方向旋转得到直线，求直线的方程．
【答案】.
【分析】
设直线的倾斜角为，可得和，根据两角和的正切公式，求得直线的斜率为，结合点斜式方程，即可求解.
【详解】
由直线，令，解得，即直线与轴的交点为，
设直线的倾斜角为，可得，
则，
即把绕点按逆时针方向旋转得到直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
8．（2021·全国）写出下列直线的点斜式方程.
（1）经过点，斜率是；
（2）经过点，倾斜角是；
（3）经过点，倾斜角是；
（4）经过点倾斜角是．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；
【分析】
根据直线的点斜式方程解题即可.
【详解】
（1）因为直线经过点，斜率是，
所以直线的点斜式方程为；
（2）因为直线经过点，倾斜角是，所以斜率为
所以直线的点斜式方程为；
（3）经过点，倾斜角是，所以斜率为
所以直线的点斜式方程为；
（4）经过点，倾斜角是，所以斜率为
所以直线的点斜式方程为；
9．（2021·浙江高一期末）已知直线，求
（1）求直线l的斜率：
（2）若直线m与l平行，且过点，求直线m的方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据直线方程，直接写出斜率即可；
（2）由两线平行斜率相等，结合所过的点坐标写出直线方程.
【详解】
（1）由直线方程知：，即直线l的斜率为；
（2）由（1），根据直线m与l平行，且过点，则直线m：，
∴直线m一般形式为.
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突破2.2 直线方程
一、考情分析
考点梳理
1、直线的点斜式方程
已知直线l经过点，且斜率为k，则直线l的方程为 .
这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的 ，简称 .
（1）.当直线l的倾斜角为0°时(如图1)，,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合，l的方程就是,或.
（2）.当直线l的倾斜角为90°时(如图2)，直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.因为这时l上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是,或.
【名师提醒】
（1）当直线的斜率存在时，才能用直线的点斜式方程.
（2）当取任意实数时，方程表示过定点的无数条直线.
2、直线的斜截式方程
我们把直线l与y轴交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的 .
如果直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则方程为，即 叫做直线的 ，简称 .
①当b=0时，表示过原点的直线；②当k=0且b≠0时，表示与x轴平行的直线；③当k=0且b=0时，表示与x轴重合的直线.
【名师提醒】
（1）纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、零或负数. 纵截距也可能不存在，比如当直线与y轴平行时.
（2）由于有些直线没有斜率，即有些直线在y轴上没有截距，所以并非所有直线都可以用斜截式表示.
3、直线的两点式方程
已知直线过两点,当时，直线的方程为 .这个方程是由直线上的两点确定的，因此称为直线的两点式方程，简称两点式.
4、直线的截距式方程
已知直线过点，()，则由直线的两点式方程可以得到直线的方程为 ___________.
我们把直线与轴的交点的横坐标叫做直线在轴上的_____________，此时直线在轴上的截距是 ___________.
这个方程由直线在两个坐标轴上的截距和确定，因此叫做直线的截距式方程，简称截距式.
5、中点坐标公式
若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为,则.此公式为线段的中点坐标公式.
6、直线的一般式方程
在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程 (其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.
【直线的一般式与斜截式、截距式的互化】
直线的一般式、斜截式、截距式如下表：
一般式 斜截式 截距式
不同时为0) 都不为0)
直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线.因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进行如下转化：
（1）当时,可化为,它表示在y轴上的截距为 ,斜率为 的直线.
（2）当均不为零时，可化为，它表示在x轴上的截距为 ，在y轴上的截距为 的直线.
7、直线系方程
1．平行直线系方程
把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.
2．垂直直线系方程
一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为 (其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值.
8、一般式方程中两直线平行与垂直的条件
若两条直线的方程是用一般式给出的,设直线的方程分别为,，
则可以在条件允许时将两方程化为斜截式方程，从而得出两直线平行与垂直的结论如下：
（1）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，且.
即,且或.
（2）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，或.
即.
三、题型突破
(一) 直线的点斜式方程
例1．（1）（2021·全国高二课时练习）已知直线的点斜式方程是，那么此直线的斜率是_________，倾斜角是_________.
（2）．（2021·全国高二课时练习）已知直线的点斜式方程是，那么此直线的斜率是_________，倾斜角是_________．
（3）．（2021·陕西西安市西光中学）过点，且斜率为2的直线方程是
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】．（2021·玉林市第十一中学高一月考）经过点（，2），倾斜角为60°的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】．（2020·全国高二课时练习）（1）一条直线经过点，倾斜角为，则这条直线的点斜式方程为________；
（2）经过点且平行于轴的直线方程为________．
【变式训练1-3】．（2020·贵州省铜仁第一中学高一期末）过点且倾斜角为的直线方程是_______.
(二) 直线的斜截式方程
例2．（1）（2021·全国高一课时练习）在y轴上的截距为，且与y轴的夹角为的直线方程是__________．
（2）．（2021·全国高二课时练习）倾斜角为,在轴上的截距为的直线方程是
A． B． C． D．
（3）．（2021·江苏高二专题练习）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在轴上的截距为
C．直线的倾斜角为60°
D．过点且垂直于直线的直线方程为
【变式训练2-1】已知点和直线l：.求：
（1）过点A且与直线l平行的直线方程；
（2）过点A且与直线l垂直的直线方程.
【变式训练2-2】．（2019·全国）已知直线l经过点，且斜率为,则直线的方程为
A． B． C． D．
【变式训练2-3】．（2018·湖北荆门·高二期末（文））经过点，倾斜角为的直线方程为
A． B． C． D．
(三) 直线的两点式方程
例3．（1）（2021·江苏高二专题练习）经过两点、的直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
（2）．（2020·全国高二课时练习）经过与两点的直线的方程为
A． B． C． D．
【变式训练3-1】．（2019·全国高一专题练习）过点，的直线方程是
A． B． C． D．
【变式训练3-2】．（2021·黑龙江哈九中高二期末（文））过点和的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
(四) 直线截距式方程
例4．（1）（2021·江苏高二专题练习）在x轴，y轴上的截距分别是－3，4的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
（2）．已知直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程．
【变式训练4-1】．（2019·全国）直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为．
A． B．2 C．1 D．
【变式训练4-2】．（2021·全国高二课时练习）（多选题）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
(五) 直线的一般式方程
例5．（2020·全国高二课时练习）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．平面上任一条直线都可以用一个关于的二元一次方程（不同时为0）表示
B．当时，方程（不同时为0）表示的直线过原点
C．当时，方程表示的直线与轴平行
D．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化
【变式训练5-1】．（2020·全国高二课时练习）已知，则直线通过( ) 象限
A．第一、二、三 B．第一、二、四 C．第一、三、四 D．第二、三、四
【变式训练5-2】．（2019·安徽蚌埠二中高二月考（文））直线的方程为： ，若直线不经过第二象限，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
(六) 直线的定点问题
例6．（2021·全国高一课时练习）设有直线，当k变动时，所有直线都经过定点（ ）
A．（0，0） B．（0，1） C．（3，1） D．（2，1）
【变式训练6-1】．（2018·山西大附中高二期中（文））方程所表示的直线
A．恒过定点 B．恒过定点
C．恒过点和点 D．都是平行直线
(七) 已知直线方程求解参数范围
例7．（1）（2021·浙江高三专题练习）设直线，直线，若，则_______，若，则______．
（2）．（2021·福建省连城县第一中学高二月考）已知直线:，直线:，若，则（ ）
A． B． C． D．
例8．（2021·宜春神州天立高级中学有限责任公司高一期末）已知直线．
（1）求证：无论为何实数，直线恒过一定点；
（2）若直线过点，且与轴负半轴、轴负半轴围成三角形面积最小，求直线的方程．
例9．（2021·四川资阳·高一期末）解答下面两个小题：
（1）直线经过点，倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的方程；
（2）直线经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求的方程．
四、定时训练（30分钟）
1．（2019·江苏扬州中学高一月考）下列说法的错误的是（ ）
A．经过定点的倾斜角不为的直线的方程都可以表示为
B．经过定点的倾斜角不为的直线的方程都可以表示为
C．不经过原点的直线的方程都可以表示为
D．经过任意两个不同的点、直线的方程都可以表示为
2．（2020·怀仁市大地学校高中部高二月考（理））无论 取何实数，直线恒过一定点，则该定点坐标为
A． B． C． D．
3．（2022·全国高三专题练习）“”是“直线与直线相互垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2020·四川省叙永县第一中学校高二期中（文））是直线和直线垂直的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2020·夏津第一中学高二月考）（多选题）下列关于直线的方程，叙述不正确的是（ ）
A．经过定点的直线都可以用方程表示
B．经过任意两个不同点，的直线都可以用方程表示
C．不经过原点的直线都可以用方程表示
D．经过定点的直线都可以用方程表示
6．（2021·全国高二课时练习）（多选题）如果，，那么直线经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2021·上海市长征中学高二期中）已知点M是直线与x轴的交点，把绕点按逆时针方向旋转得到直线，求直线的方程．
8．（2021·全国）写出下列直线的点斜式方程.
（1）经过点，斜率是；
（2）经过点，倾斜角是；
（3）经过点，倾斜角是；
（4）经过点倾斜角是．
9．（2021·浙江高一期末）已知直线，求
（1）求直线l的斜率：
（2）若直线m与l平行，且过点，求直线m的方程．
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