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突破2.2 直线方程
A组 基础巩固
1．（2021·宁夏吴忠中学高二期末（文））过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·江苏高一期中）已知直线，，则它们的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·卓尼县柳林中学高一期末）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是
A． B．
C．或 D．或
4．（2018·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高二月考）光线通过点A（2，3），在直线l：x+y+1=0上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·广西玉林市·高一期中）过两点和的直线在轴上的截距为 .
A． B． C． D．2
6．（2020·山西寿阳县一中（理））直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为3，则的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．或
7．（2020·山西寿阳县一中（理））直线和直线在同一坐标系中可能是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·全国高二课时练习）在同一平面直角坐标系中，两直线与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2020·全国高二单元测试）(多选题)下列说法错误的是（ ）
A．若直线与直线互相垂直，则
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．过，两点的所有直线的方程为
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
10．（2018·江西高一期末）下列说法正确的是
A．截距相等的直线都可以用方程表示
B．方程不能表示平行轴的直线
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．经过两点，的直线方程为
11．（2020·全国高二课时练习）已知直线过点，且直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，则直线的点斜式方程为________．
12．（2020·山东新泰市第一中学）坐标平面内过点，且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为___________.
13．（2021·全国高二课时练习）过A(1，4)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有________条．
14．（2019·石家庄市藁城区第一中学高一月考）直线经过一定点，则该定点的坐标是_____．
B组 能力提升
15．（2021·全国高二专题练习）（多选题）下列说法正确的有（ ）
A．若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限
B．直线过定点
C．过点斜率为的点斜式方程为
D．斜率为，在y轴截距为3的直线方程为．
16．（2020·重庆十八中高二期中）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8
B．过，两点的直线方程为
C．直线与直线相互垂直．
D．经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为
17．（2021·江苏高二专题练习）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．截距相等的直线都可以用方程表示
B．方程能表示平行y轴的直线
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．经过两点，的直线方程
18．（2021·全国高二课时练习）直线l过点(2,2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程．
19．（2021·玉林市第十一中学高一月考）已知中，、、.
（1）求边所在直线的一般式方程；
（2）求边上的高所在直线的一般式方程.
20．（2021·湖北荆州市·高二期末）已知直线过点，根据下列条件分别求直线的方程：
（1）直线的倾斜角为45°；
（2）直线在轴 轴上的截距相等.
21．（2020·合肥市庐阳高级中学高二期中（文））直线l经过点，
（1）直线l与直线垂直，求直线l的方程；
（2）直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.
22．（2020·全国高三专题练习（文））求满足下列条件的直线方程.
（1）斜率为，经过点；
（2）斜率为，在轴上的截距是；
（3）经过两点和；
（4）经过两点和.
23．（2021·全国高二单元测试）设直线的方程为.
（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的值；
（2）若不经过第三象限，求的取值范围.
24．（2021·浙江高一期末）已知直线的方程为，点P的坐标为．
（1）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；
（2）设点Q为直线上的动点，且，求的最大值，及取到最大值时m的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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突破2.2 直线方程
A组 基础巩固
1．（2021·宁夏吴忠中学高二期末（文））过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题，可先得到所求直线的斜率，然后利用点斜式，即可得到本题答案.
【详解】
因为所求直线垂直于直线，又直线的斜率为，
所以所求直线的斜率，
所以直线方程为，即.
故选：A
【点睛】
本题主要考查直线方程的求法，属基础题.
2．（2020·江苏高一期中）已知直线，，则它们的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据直线的倾斜方向和纵截距的正负确定两个直线方程的正负后可得正确的选项.
【详解】
对于A，直线方程中的，直线方程中的，矛盾；
对于B，直线方程中的，直线方程中的，矛盾；
对于C，直线方程中的，直线方程中的，符合；
对于D，直线方程中的，直线方程中的，矛盾；
故选C.
【点睛】
如果直线方程的形式是点斜式，则可以根据直线不同的倾斜程度确定它们斜率的大小（也可以确定它们的符号），一般地，如果直线经过第一、三象限，则斜率为正；如果直线经过第二、四象限，则斜率为负.
3．（2021·卓尼县柳林中学高一期末）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【详解】
设过点A(4，1)的直线方程为y-1=k(x-4)(k≠0),
令x=0,得y=1-4k;令y=0,得x=4-.
由已知得1-4k=4-,∴k=-1或k=,
∴所求直线方程为x+y-5=0或x-4y=0.故选C.
4．（2018·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高二月考）光线通过点A（2，3），在直线l：x+y+1=0上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据对称的性质，设点关于直线的对称点为，，利用斜率和中点坐标可得
，利用直线的点斜式方程可得反射光线所在直线的方程．
【详解】设点关于直线的对称点为，，则
解得：．
由于反射光线所在直线经过点和，
所以反射光线所在直线的方程为，即．
故选A
【点睛】
本题主要考查点线点对称问题，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
5．（2021·广西玉林市·高一期中）过两点和的直线在轴上的截距为 .
A． B． C． D．2
【答案】A
【详解】
直线方程为=，
化为截距式为+=1，则在x轴上的截距为-.
故答案选A．
6．（2020·山西寿阳县一中（理））直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为3，则的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．或
【答案】D
【分析】
求出直线与坐标轴的交点坐标，然后计算三角形面积．
【详解】
在中令，得，令，得，即交点分别为，，据题意：，解得或．
故选D．
【点睛】
本题考查直线与坐标轴围成的三角形面积，解题时需先求出直线与两坐标轴的交点坐标，注意坐标可正可负．因此求三角形面积时应加绝对值符号．
7．（2020·山西寿阳县一中（理））直线和直线在同一坐标系中可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由四个选项中的可知，分别由四个选项中的的符号推导的斜率和纵截距的符号可得解.
【详解】
根据题意可知，，
对于、、，由可知，，所以：的斜率为正数，故、、不正确；
对于，由可知，，此时：符合，故正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查了根据直线方程识别图象，属于基础题.
8．（2021·全国高二课时练习）在同一平面直角坐标系中，两直线与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
将直线的方程转化截距离式，得出两直线在轴上的截距与在轴上的截距的关系可得选项.
【详解】
直线化为在轴上的截距为，在轴上的截距为；
直线化为在轴上的截距为，在轴上的截距，
所以两直线中一直线在轴上的截距与另一直线在轴上的截距互为相反数，
对于A选项：两直线中一直线在轴上的截距与另一直线在轴上的截距同为正数，不满足题意；
对于B选项：两直线中一直线在轴上的截距与另一直线在轴上的截距同为负数，不满足题意；
对于C选项：两直线中一直线在轴上的截距与另一直线在轴上的截距同为负数，不满足题意；
对于D选项：两直线中一直线在轴上的截距与另一直线在轴上的截距均异号，满足题意，
故选：D.
【点睛】
本题考查直线的截距离式的理解与辨析，属于基础题.
9．（2020·全国高二单元测试）(多选题)下列说法错误的是（ ）
A．若直线与直线互相垂直，则
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．过，两点的所有直线的方程为
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
【答案】ACD
【分析】
．根据直线垂直的等价条件进行判断，
．根据直线斜率以及正切函数的图象和性质进行判断，
．当直线和坐标轴平行时，不满足条件．
．过原点的直线也满足条件．
【详解】
解：．当，两直线方程分别为和，此时也满足直线垂直，故错误，
．直线的斜率，则，即，则，故正确，
．当，或，时直线方程为，或，此时直线方程不成立，故错误，
．若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，故错误，
故选：．
10．（2018·江西高一期末）下列说法正确的是
A．截距相等的直线都可以用方程表示
B．方程不能表示平行轴的直线
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．经过两点，的直线方程为
【答案】D
【详解】
A错误，比如过原点的直线，横纵截距均为0，这时就不能有选项中的式子表示；
B当m=0时，表示的就是和y轴平行的直线，故选项不对．
C不正确，当直线的倾斜角为90度时，正切值无意义，因此不能表示．故不正确．
D根据直线的两点式得到斜率为，再代入一个点得到方程为：．
故答案为D．
11．（2020·全国高二课时练习）已知直线过点，且直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，则直线的点斜式方程为________．
【答案】
【分析】
根据题意，设直线的倾斜角为，则，设直线的倾斜角为，斜率为，则，由二倍角的正切公式即可求出，最后根据直线的点斜式方程即可求得答案.
【详解】
解：由直线，得斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
设直线的倾斜角为，斜率为，
则，
又直线过点，所以直线的点斜式方程为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查直线的点斜式方程的求法，涉及直线的倾斜角和斜率的关系，以及二倍角的正切公式的应用，属于基础题.
12．（2020·山东新泰市第一中学）坐标平面内过点，且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为___________.
【答案】或.
【分析】
按照截距是否为0分两种情况讨论，可求得结果.
【详解】
当直线在在两坐标轴上截距相等且为0时，直线的方程为；
当直线在在两坐标轴上截距相等且不为0时，设直线的方程为，
又直线过点，则，解得，所以直线的方程为；
所以直线l的方程为或.
故答案为：或.
【点睛】
易错点睛：本题考查了直线方程的截距式，但要注意：截距式，只适用于不过原点或不垂直于x轴、y轴的直线，表示与x轴、y轴相交，且x轴截距为a，y轴截距为b的直线，考查学生分类讨论思想，属于基础题.
13．（2021·全国高二课时练习）过A(1，4)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有________条．
【答案】3
【分析】
根据题意可得有三种情况.
【详解】
解析：一条是截距为0，一条是截距相等(不为0)，一条是截距互为相反数(不为0)，共3条．
故答案为：3.
14．（2019·石家庄市藁城区第一中学高一月考）直线经过一定点，则该定点的坐标是_____．
【答案】（-，-）
【分析】
根据题意，将直线的方程变形可得m（x+2y+4）+（x-y）=0，进而解可得x、y的值，即可得答案．
【详解】
解：根据题意，直线（m+1）x-（1-2m）y+4m=0，即m（x+2y+4）+（x-y）=0，
又由，解可得，
则该直线恒过点（-，-）；
故答案为（-，-）．
【点睛】
本题考查直线的定点问题，注意将直线分离参数变形，属于基础题．
B组 能力提升
15．（2021·全国高二专题练习）（多选题）下列说法正确的有（ ）
A．若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限
B．直线过定点
C．过点斜率为的点斜式方程为
D．斜率为，在y轴截距为3的直线方程为．
【答案】ABC
【分析】
由直线过一、二、四象限，得到斜率，截距，可判定A正确；由把直线方程化简为，得到点都满足方程，可判定B正确；由点斜式方程，可判定C正确；由斜截式直线方程可判定D错误．
【详解】
对于A中，由直线过一、二、四象限，所以直线的斜率，截距，
故点在第二象限，所以A正确；
对于B中，由直线方程，整理得，
所以无论a取何值点都满足方程，所以B正确；
对于C中，由点斜式方程，可知过点斜率为的点斜式方程为，所以C正确；
由斜截式直线方程得到斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为，
所以D错误．
故选：ABC．
【点睛】
本题主要考查了直线的方程的形式，以及直线方程的应用，其中解答中熟记直线的点斜式的概念及形式，以及直线的斜率与截距的概念是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
16．（2020·重庆十八中高二期中）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8
B．过，两点的直线方程为
C．直线与直线相互垂直．
D．经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为
【答案】AC
【分析】
由题意逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【详解】
直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是×4×4＝8，故A正确；
当x2＝x1或y2＝y1时，式子＝无意义，故B不正确；
直线x﹣2y﹣4＝0与直线2x+y+1＝0的斜率之积为×（﹣2）＝﹣1，故线x﹣2y﹣4＝0与直线2x+y+1＝0垂直，故C正确；
经过点（1，2）且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣3＝0或y＝2x，故D错误，
故选：AC．
【点睛】
结论点睛：
两条直线垂直；
截距式直线方程：，①在两坐标轴上截距都相等，②在两坐标轴上截距相反；
过两点的直线方程的表示：①时，，②时，，③时，.
17．（2021·江苏高二专题练习）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．截距相等的直线都可以用方程表示
B．方程能表示平行y轴的直线
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．经过两点，的直线方程
【答案】BD
【分析】
．当直线过原点时，无法表示；．当时，满足条件；．当倾斜角为时，无法表示；．结合两点式方程进行判断即可.
【详解】
解：对于A，截距相等为0的直线都不可以用方程表示，故错误；
对于B，当时，方程能表示平行y轴的直线，故正确；
对于C，经过点，倾斜角为的直线方程不能写成，故错；
对于D，经过两点，的直线均可写成，故正确．
故选：BD．
18．（2021·全国高二课时练习）直线l过点(2,2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程．
【答案】或．
【分析】
直线l的斜率不存在，直接写出直线方程，检验是否符合题意即可；直线l的斜率存在时，设出直线方程，根据三角形的面积为2建立方程，解出值即可.
【详解】
当直线l的斜率不存在时，l的方程为，经检验符合题目的要求．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，
当时，l的方程为，经检验不符合题意，舍去，
当时，令y＝0得，x＝，
由三角形的面积为2，得，解得，
可得直线l的方程为，即；
综上可知，直线l的方程为或．
19．（2021·玉林市第十一中学高一月考）已知中，、、.
（1）求边所在直线的一般式方程；
（2）求边上的高所在直线的一般式方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求出直线的斜率，可写出直线的点斜式方程，再化为一般式方程即可；
（2）求出直线边上的高所在直线的斜率，可写出直线边上的高所在直线的点斜式方程，再化为一般方程即可.
【详解】
（1）直线的斜率为，所以，直线的方程为，
故边所在直线的一般式方程为；
（2）边上的高所在直线的斜率为，
所以，边上的高所在直线的方程为，化为一般式方程为.
20．（2021·湖北荆州市·高二期末）已知直线过点，根据下列条件分别求直线的方程：
（1）直线的倾斜角为45°；
（2）直线在轴 轴上的截距相等.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）由直线的倾斜角为45°，求得斜率，再利用直线的点斜式求解.
（2）设直线在轴、轴上的截距分别为，，分和若两种情况，将代入求解.
【详解】
（1）设直线的斜率为，由题意得.
又直线过点，
由直线的点斜式方程可得.
即直线的方程为.
（2）设直线在轴 轴上的截距分别为，，由题意得.
①若，则直线过点，，
可得直线的方程为；
②若，则直线的方程为，
将代入，得，即，
所以直线的方程为.
综上，直线的方程为或.
21．（2020·合肥市庐阳高级中学高二期中（文））直线l经过点，
（1）直线l与直线垂直，求直线l的方程；
（2）直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.
【答案】（1）；（2）或
【分析】
（1）利用点斜式求得直线的方程.
（2）利用截距式求得直线的方程.
【详解】
（1）直线的斜率为，所以直线的斜率为，
直线的方程为，即.
（2）当直线过原点时，直线的方程为，
当直线不过原点时，设直线的方程为，
代入点的坐标得，解得，
所以直线的方程为.
22．（2020·全国高三专题练习（文））求满足下列条件的直线方程.
（1）斜率为，经过点；
（2）斜率为，在轴上的截距是；
（3）经过两点和；
（4）经过两点和.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】
（1）写出直线的点斜式方程，化为一般方程即可；
（2）写出直线的斜截式方程，化为一般方程即可；
（3）写出直线的两点式方程，化为一般方程即可；
（4）写出直线的截距式方程，化为一般方程即可.
【详解】
（1）由题意可知直线的方程为，即为；
（2）由题意可知直线的方程为，即为；
（3）由题意可知直线的方程为，即为；
（4）由题意可知直线的方程为，即为.
23．（2021·全国高二单元测试）设直线的方程为.
（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的值；
（2）若不经过第三象限，求的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】
（1）分截距都为，与截距都不为两种情况讨论可得；
（2）直线不经过第三象限则斜率小于等于，纵截距大于等于，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】
（1）当截距都不为，则斜率时，即，符合题意；
当截距都为，即纵截距时，即，符合题意；
故或
（2）因为，即，
若不经过第三象限，则，解得，
故实数的取值范围为.
24．（2021·浙江高一期末）已知直线的方程为，点P的坐标为．
（1）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；
（2）设点Q为直线上的动点，且，求的最大值，及取到最大值时m的值．
【答案】（1）定点；（2）的最大值为5，.
【分析】
（1）将直线方程化为，由可求出定点；
（2）可得当且仅当点Q为定点时，取得最大值，由此即可得出所求.
【详解】
（1）将直线方程化为，
由可得，故直线恒过定点；
（2）设直线的定点，
则由可得
当且仅当点Q为定点时，取得最大值为5，
此时，
，，解得，
故的最大值为5，取到最大值时m的值为.
【点睛】
关键点睛：本题考查定点到动直线距离的最值，解题的关键是得出当且仅当点Q为定点时，取得最大.
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