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突破2.3 直线的交点坐标与距离公式
A组 基础巩固
1．（2020·河南南阳·高一期末）直线:与:交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
联立直线方程得到方程组，解得即可；
【详解】
解：联立方程得
解得，所以直线:与:交点的坐标为
故选：A
2．（2020·重庆巴蜀中学高二期中）直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用两直线垂直的公式求出，两直线联立求交点坐标即可.
【详解】
由直线与直线互相垂直，
可得，
即，
所以直线的方程为：；
由，
得它们的交点坐标为.
故选：B.
3．（2020·安徽六安一中高二月考（文））已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（ ）
A．20 B．10 C．0 D．-5
【答案】B
【分析】
由直线垂直的性质可得，将点分别代入直线方程即可得解.
【详解】
因为直线与互相垂直，
所以，解得，
又垂足坐标为，代入直线可得，解得，
将代入直线可得，解得，
故.
故选：B.
4．（2021·全国高三专题练习（理））若直线与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
先求出l1的定点，再利用点关于点的对称求出l1的定点的对称点，该点即为所求点.
【详解】
直线恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2).
【点睛】
本题考查直线关于点对称的相关问题，利用对称性求解是解题的关键，属基础题.
5．（2021·广西梧州市·高一期中）已知直线过定点，则点关于对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据直线方程得到定点A的坐标，设其关于的对称点坐标，列出方程组，解之即可.
【详解】
直线即，故，
设点关于的对称点坐标为．
则解得．
点关于的对称点坐标为．
故选：A．
6．（2021·湖南高考真题）点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】
点到直线的距离为，
故选：D.
7．（2021·全国高二专题练习）已知直线恒经过定点，则点到直线的距离是（ ）
A．6 B．3 C．4 D．7
【答案】B
【分析】
把直线方程整理为关于的方程，由恒等式知识求得定点坐标，然后由点到直线距离公式求解．
【详解】
由直线方程变形为：，
由，解得，
所以直线恒经过定点，
故点到直线的距离是，
故选：B.
8．（2021·陕西）已知直线，则点P(2，2)关于对称的点的坐标为（ ）
A．(1，3) B．(-1，-1) C．(-1，5) D．(-2，-2)
【答案】C
【分析】
设点，根据对称得到,计算得到答案.
【详解】
设点，根据对称得到,解得：，所以(-1，5).
故选：C.
9．（2020·合肥市庐阳高级中学高二期中（文））若实数：x，y满足关系式，则式子的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据的几何意义，结合点到直线距离公式求得的最小值.
【详解】
，表示点到点的距离.
点到直线的距离为.
故选：A
10．（2021·江苏高二专题练习）下列三个命题中，
点到直线的距离为3．
过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为．
直线与直线的距离是．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】A
【分析】
对①，根据点到线的距离公式求解即可；
对②，分析直线在两坐标轴上的截距均为0时，即可判断；
对③，根据平行直线间的距离公式求解即可
【详解】
①中，点到直线的距离为：，故此命题错误；
②中，当直线在两坐标轴上的截距均为0时，直线方程为，满足题意，故此命题错误；
③中，两平行线与的距离为：，故此命题正确．
综上可知，三个命题中只有③是正确的，因此正确命题的个数为1．
故选：A．
11．（2020·全国高二课时练习）（多选）已知两点到直线的距离相等，则实数的值可以是（ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】AB
【分析】
由点到直线的距离公式可得关于的方程，进而可求出实数的值.
【详解】
解：由题意得，解得或3.
故选:AB.
【点睛】
本题考查了点到直线距离公式的应用，属于基础题.
12．（2021·福建省连城县第一中学高二月考）（多选）已知直线l经过点，且点到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】
由题可知直线l的斜率存在，所以设直线l的方程为，然后利用点到直线的距离公式列方程，可求出直线的斜率，从而可得直线方程
【详解】
当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即．
由已知得，所以或，
所以直线l的方程为或．
故选：AB
【点睛】
此题考查直线方程的求法，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题
13．（2019·云南省大姚县第一中学高一期末）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线的一般式方程为______.
【答案】
【分析】
首先联立方程求两直线的交点，再利用两直线垂直斜率之积为-1，可求得所求直线斜率，然后根据点斜式可得直线方程.
【详解】
由方程组，得交点坐标为，
因为所求直线垂直于直线，故所求直线的斜率，
由点斜式得所求直线方程为，即.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查两条直线的交点坐标的求法，考查从直线的一般方程求斜率，考查两条直线垂直斜率之积为，考查学生的运算能力，属于基础题.
14．（2020·全国）已知点，点，则________．
【答案】
【分析】
直接利用两点间的距离公式求解即可．
【详解】
点A（2，1），B（5，﹣1），则|AB|．
故答案为．
【点睛】
本题考查两点间的距离公式的应用，基本知识的考查．
B组 能力提升
15．（2021·全国高二专题练习）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则三角形PQR周长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
建立如图所求的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点坐标，关于轴对称性坐标，由反射性质四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即得．
【详解】
建立如图所求的直角坐标系，得，直线方程为，的重心为，
设，关于直线的对称为，
则，解得，则，
易知关于轴的对称点为，根据光线反射原理知四点共线，
∴直线的方程为，即，又直线过，
∴，解得或（舍去），，
∴，，
．
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：本题考查直线方程的应用，解题关键是利用对称性，把的三边转化为到同一条直线上，利用直线方程求得点位置，然后得路程的最小值．
16．（2021·全国高一课时练习）已知两定点、，动点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
作出图形，可知点、在直线的同侧，并求出点关于直线的对称点的坐标，即可得出的最小值为.
【详解】
如下图所示：
由图形可知，点、在直线的同侧，且直线的斜率为，
设点关于直线的对称点为点，则，
解得，，即点，
由对称性可知，
故选：D.
【点睛】
本题考查位于直线同侧线段和的最小值的计算，一般利用对称思想结合三点共线求得，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
17．（2019·四川雅安中学高二月考）光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点.
(1)求点关于直线对称点的坐标；
(2)求反射光线所在直线的一般式方程．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
(1)根据对称点与A连线垂直直线 ，以及对称点与A 中点在直线 上列方程组解得结果，(2)根据对称性得反射光线所在直线经过A的对称点和，再根据点斜式求直线方程.
【详解】
（Ⅰ）设点关于直线l的对称点为，则
解得，即点关于直线l的对称点为．
（Ⅱ）由于反射光线所在直线经过点和，所以反射光线所在直线的方程为即.
【点睛】
本题考查点关于直线对称点问题，考查基本求解能力.
18．（2018·怀仁市第一中学校高二月考（文））直线过点，且分别交轴的正半轴和轴的正半轴于两点，为坐标原点.
①当最小时，求的方程；
②若最小，求的方程.
【答案】（1）；（2）
【分析】
①设直线斜率，表示出直线方程，分别表示出，根据基本不等式求出最值，由等号成立条件求出斜率，进而求得直线方程；
②由两点间距离公式分别表示出两线段长，求出线段的积，结合基本不等式即可求出最值，由等号成立条件求出斜率，进而求得直线方程.
【详解】
①依题意，的斜率存在，且斜率为负，
设直线的斜率为，则直线的方程为.
令，可得；令，可得.
.
∴当且仅当且，即时，
取最小值，这时的方程为.
②
当且仅当且，即时，
取最小值，这时的方程为.
【点睛】
本题考查直线方程与基本不等式求最值的条件，结合题意要首先判断斜率的正负，注意基本不等式等号成立的条件，也可以将此函数看作对勾函数解决问题.
19．（2020·全国高三专题练习）已知直线，点.求：
（1）直线关于点对称的直线的方程；
（2）直线关于直线的对称直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求出关于点的对称点，利用在直线上，即得解；
（2）先求解关于直线的对称点的坐标，再求解与的交点N，由两点式得到直线方程
【详解】
（1）设为上任意一点，
则关于点的对称点为，
在直线上，，
即.
（2）在直线上取一点，如，
则关于直线的对称点必在上.
设对称点为，则
解得.
设与的交点为，则由
得.
又经过点，
由两点式得直线方程为.
【点睛】
本题考查了点关于直线对称和直线关于直线对称问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
20．（2020·浙江高一期末）在中，已知
（1）若直线过点且点到的距离相等，求直线的方程；
（2）若直线：为的平分线，求直线的方程.
【答案】（1）或；（2）
【分析】
（1）转化条件为直线过线段的中点或，结合直线方程的知识即可得解；
（2）转化条件为点关于直线的对称点在直线上，由轴对称的性质可得，再由直线方程的知识即可得解.
【详解】
（1）点到的距离相等，直线过线段的中点或，
①当直线过线段的中点时，直线斜率不存在，则的方程为；
②当时，则斜率，
则的方程为，即；
综上，的方程为或；
（2）直线为的平分线，所以点关于直线的对称点在直线上，
则有，解得，即，
直线的斜率，
直线的方程为，即
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是转化题目条件，再结合直线的位置关系、直线方程即可得解.
21．（2021·江苏高二专题练习）已知直线．
（1）求证：无论取何值，直线始终经过第一象限；
（2）若直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
【答案】（1）证明见解析； （2）面积的最小值为4，直线的方程为．
【分析】
（1）先将直线方程化成点斜式，求得、的值，可得定点坐标，再根据定点在第一象限，可得直线始终经过第一象限；
（2）法一：先求得、的坐标，可得的面积为表达式，再利用基本不等式，求得的最小值及此时的值，进而得到此时直线的方程．
法二：设直线的方程为，则，直线过定点，所以，利用基本不等式求得，则可得的最小值及此时的的值，进而得到此时直线的方程．
【详解】
（1）因为直线，即，令，求得，，
即直线过定点且在第一象限，
所以无论取何值，直线始终经过第一象限．
（2）方法一：因为直线与轴，轴正半轴分别交于，两点，所以，
令，解得；令，得，
即，，
∴，
∵，∴，
则，
当且仅当，也即时，取得等号，
则，
∴，从而的最小值为4，
此时直线的方程为，即．
方法二：因为直线与轴，轴正半轴分别交于，两点，设，，
设直线的方程为，则，
又直线过定点，所以，
又因为，，所以，
即：，所以，
∴，即的最小值为4，
此时，解得，，
所以直线的方程为，即：．
【点睛】
本题主要考查直线经过定点问题和直线方程，涉及三角形的面积、截距的定义，以及利用基本不等式求面积最值，考查计算能力．
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突破2.3 直线的交点坐标与距离公式
A组 基础巩固
1．（2020·河南南阳·高一期末）直线:与:交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·重庆巴蜀中学高二期中）直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·安徽六安一中高二月考（文））已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（ ）
A．20 B．10 C．0 D．-5
4．（2021·全国高三专题练习（理））若直线与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点
A． B．
C． D．
5．（2021·广西梧州市·高一期中）已知直线过定点，则点关于对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·湖南高考真题）点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全国高二专题练习）已知直线恒经过定点，则点到直线的距离是（ ）
A．6 B．3 C．4 D．7
8．（2021·陕西）已知直线，则点P(2，2)关于对称的点的坐标为（ ）
A．(1，3) B．(-1，-1) C．(-1，5) D．(-2，-2)
9．（2020·合肥市庐阳高级中学高二期中（文））若实数：x，y满足关系式，则式子的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·江苏高二专题练习）下列三个命题中，
点到直线的距离为3．
过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为．
直线与直线的距离是．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
11．（2020·全国高二课时练习）（多选）已知两点到直线的距离相等，则实数的值可以是（ ）
A． B．3 C． D．1
12．（2021·福建省连城县第一中学高二月考）（多选）已知直线l经过点，且点到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
13．（2019·云南省大姚县第一中学高一期末）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线的一般式方程为______.
14．（2020·全国）已知点，点，则________．
B组 能力提升
15．（2021·全国高二专题练习）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则三角形PQR周长等于（ ）
A． B． C． D．
16．（2021·全国高一课时练习）已知两定点、，动点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
17．（2019·四川雅安中学高二月考）光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点.
(1)求点关于直线对称点的坐标；
(2)求反射光线所在直线的一般式方程．
18．（2018·怀仁市第一中学校高二月考（文））直线过点，且分别交轴的正半轴和轴的正半轴于两点，为坐标原点.
①当最小时，求的方程；
②若最小，求的方程.
19．（2020·全国高三专题练习）已知直线，点.求：
（1）直线关于点对称的直线的方程；
（2）直线关于直线的对称直线的方程.
20．（2020·浙江高一期末）在中，已知
（1）若直线过点且点到的距离相等，求直线的方程；
（2）若直线：为的平分线，求直线的方程.
21．（2021·江苏高二专题练习）已知直线．
（1）求证：无论取何值，直线始终经过第一象限；
（2）若直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
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