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突破2.3 直线的交点坐标与距离公式
一、考情分析
二、考点梳理
一、两条直线的交点坐标
1．基础知识
几何元素及关系 代数表示
点M
直线l 不同时为0)
点M在直线l上
直线与的交点是M 方程组的解是_______
2．两条直线的交点
已知两条不重合的直线不同时为0),不同时为0)，如果这两条直线相交，则交点一定同时在这两条直线上，交点坐标是这两个直线方程的唯一公共解；如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点必是和的
____________.
3．两条直线的位置关系与对应直线方程组成的方程组的解的联系
直线与的位置关系 相交 重合 平行
直线与的公共点个数 一个 无数个 零个
方程组的解 _______ _______ 无解
二、两点间的距离
平面上任意两点间的距离公式为 .
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离.
三、点到直线的距离
1．点到直线的距离
点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的 .
2．点到直线的距离公式
平面上任意一点到直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离为 .
四、两条平行直线间的距离
1．两条平行直线间的距离
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间 的长.
2．两条平行直线间的距离公式
一般地，两条平行直线(其中A与B不同时为0，且)间的距离 .
五、对称问题
对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称.
1．点关于点对称
点关于点的对称是对称问题中最基本的问题,是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题.
设点关于点M(a,b)的对称点为P′(x,y),则有，所以，即点
.特别地,点P关于坐标原点O的对称点为.
2．点关于直线对称
对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为,则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系:
①（直线l的斜率存在且不为零）；②线段的中点在直线l上；
③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即.
常见的点关于直线的对称点：
①点关于x轴的对称点 ；
②点关于y轴的对称点 ；
③点关于直线y=x的对称点 ；
④点关于直线y= x的对称点 ；
⑤点关于直线x=m(m≠0)的对称点；
⑥点关于直线y=n(n≠0)的对称点.
3．直线关于直线对称
（1）直线与关于直线l对称，它们具有以下几种几何性质：
①若与相交，则直线l是、夹角的平分线；
②若与平行，则直线l在、之间且到、的距离相等；
③若点A在上，则点A关于直线l的对称点B一定在上，此时AB⊥l,且线段AB的中点M在l上（即l是线段AB的垂直平分线）.充分利用这些性质，可以找出多种求直线的方程的方法.
（2）常见的对称结论有：设直线l为Ax+By+C=0,
①l关于x轴对称的直线是 ;
②l关于y轴对称的直线是 ;
③l关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0;
④l关于直线y= x对称的直线是A( y)+B( x)+C=0
三、题型突破
(一) 直线的交点问题
例1．（1）（2020·广西高二学业考试）设直线与直线的交点为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
联立两直线方程，求出交点坐标即可.
【详解】
由题意知，
，
所以点P的坐标为
故选：B
（2）．（2020·河北艺术职业中学高二月考）两直线和的交点在y轴上，则k的值是（ ）
A．-24 B．6 C．±6 D．24
【答案】C
【分析】
通过直线的交点代入两条直线方程，然后求解即可．
【详解】
因为两条直线和的交点在轴上，
所以设交点为，
所以，消去，可得．
故选：．
【点睛】
本题考查两条直线的交点坐标的求法与应用，考查计算能力，属于基础题．
（3）．（2021·黑龙江哈九中高二期末（文））直线与的交点在第四象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
联立方程可直接求出交点坐标，令交点的横坐标大于零，纵坐标小于零，解不等式组即可.
【详解】
解：直线与的交点在第四象限，
，
联立方程： ，
解得，
即，
解得：.
故选：C.
【变式训练1-1】．（2021·扶风县法门高中高一期末）求过和的交点，且与直线垂直的直线方程．
【答案】
【分析】
解方程组可得两直线的交点，再由垂直，确定直线斜率，利用直线点斜式，求得直线方程.
【详解】
解方程组，
得，即交点．
直线的斜率，
所求直线的斜率是.
故所求直线的方程是，即.
故答案为：.
【变式训练1-2】．（2021·全国高二专题练习）已知直线与直线垂直，那么与的交点坐标是______________.
【答案】
【分析】
先根据直线垂直得，再联立方程即可得答案.
【详解】
解：根据两条直线垂直的充要条件得：，解得，
所以，与直线联立方程解方程得：，.
所以与的交点坐标是.
故答案为：
【点睛】
对于直线（不同时为零），直线（不同时为零）；
当直线时，等价于；
当直线时，等价于；
【变式训练1-3】．（2020·安徽桐城市第八中学高二月考）若三条直线，与直线交于一点，则（ ）
A．-2 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】
由前两个方程求出交点，将交点坐标代入第三条直线的方程中，即可求出参数值.
【详解】
两方程联立可得交点坐标为：，代入第三条直线方程：，
解得：.
故选C.
【点睛】
本题考查直线的交点，只需要联立方程即可求出交点，本题可将任意两条直线联立求交点坐标或其表达式，再代入另一条直线的方程即可，注意计算的准确性.
距离公式的应用
点到点的距离
例2．（2020·河北艺术职业中学高二月考）已知点，，且，则的值为
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】
利用两点间距离公式构造方程求得结果.
【详解】
由题意知：，解得：或
本题正确结果：
【点睛】
本题考查两点间距离公式的应用，属于基础题.
【变式训练2-1】．（2018·重庆高二期中（文））已知点点，则为
A．4 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用两点间距离公式求解即可．
【详解】
解：点点，
则．
故选：C．
【点睛】
本题考查两点间距离公式的应用，是基本知识的考查．
点到直线的距离
例3．（1）（2021·黔西南州同源中学高一期末）点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
直接利用点到直线的距离公式求解即可.
【详解】
点到直线的距离，
故选:B .
（2）．（2019·安徽高二期中（文））过点且与原点距离最大的直线方程是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
结合图形可知，所求直线为过点且与原点和点连线垂直的直线，其斜率为,根据斜率和所过的点得到直线方程.
【详解】
结合图形可知，所求直线为过点且与原点和点连线垂直的直线，其斜率为，直线方程为，即.
故答案为A.
【点睛】
这个题目考查了直线方程的求法，涉及数形结合思想的应用，属于基础题.
【变式训练3-1】．（2021·全国高二课时练习）若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k的值是
A．1 B．-3 C．1或 D．-3或
【答案】D
【分析】
由题得，解方程即得k的值.
【详解】
由题得，解方程即得k=-3或.
故答案为D
【点睛】
(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 点到直线的距离.
【变式训练3-2】．（2021·全国高二课前预习）点到直线：的距离最大时，与的值依次为( )
A．3，－3 B．5，2
C．5，1 D．7，1
【答案】C
【分析】
将直线方程整理为，可得直线经过定点，由此可得当直线与垂直时的长，并且此时点到直线的距离达到最大值，从而可得结果.
【详解】
直线，
即，
直线是过直线和交点的直线系方程，
由，得，
可得直线经过定点，
当直线与垂直时，
点到直线的距离最大，
的最大值为，
此时轴，
可得直线斜率不存在，即.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查直线的方程与应用，以及直线过定点问题，属于中档题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ，从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
【变式训练3-3】．（2021·江西省万载中学高一期末（理））直线，为直线上动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，所求最值即为到直线距离的平方，即可求解.
【详解】
解：由题意得：表示到的距离的平方,而为直线上动点,所以的最小值，即为到直线距离的平方，即，
故选：C
【变式训练3-4】．（2021·全国高二课时练习）(多选)若点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为1，则a的值为（ ）
A．0 B．
C．5 D．－
【答案】AB
【分析】
利用点到直线距离公式求解即可.
【详解】
点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为
故，解得或
故选：AB
平行直线的距离
例4．（2021·江苏省运河中学高一期中）若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】C
【分析】
根据平行关系得出或，再由距离公式得出满足条件.
【详解】
∵，∴，解得或
当时，当时
故选：C
（2）．（2021·贵州高一期末）已知直线，直线，则与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用两平行线间的距离公式即可求解.
【详解】
直线的方程可化为，
则与之间的距离．
故选：D
【变式训练4-1】．（2020·江西省宜春中学高二期中（理））已知直线，直线，若，则直线与的距离为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用直线平行的性质解得，再由两平行线间的距离求解即可
【详解】
∵直线l1：ax+2y﹣1＝0，直线l2：8x+ay+2﹣a＝0，l1∥l2，
∴，且
解得a＝﹣4．
所以直线l1：4x-2y+1＝0，直线l2：4x-2y+3＝0，
故与的距离为
故选A．
【点睛】
本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的灵活运用．
例5（2021·江西高一期末（文））已知直线，.
（1）当时，求实数的值；
（2）当时，求直线与之间的距离.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由直线方程的一般式中两直线垂直的系数关系求解即可；
（2）由直线方程的一般式中两直线平行的系数关系与两平行线的距离公式求解即可
【详解】
（1）因为，
所以，
解得.
（2）因为，
所以，
解得或1.
当时，直线与重合，不合题意，舍去；
当时，直线的方程为，
直线的方程为，
即，
所以所求距离.
【变式训练5-1】．（2021·江苏高二专题练习）已知直线方程为.
（1）证明：直线恒过定点；
（2）为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少
（3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时直线的方程.
【答案】（1）证明见解析；（2）时，距离最大，最大值为；（3）面积的最小值为，此时直线方程为.
【分析】
（1）整理直线方程可得方程组，解方程组可求得定点坐标；
（2）易知当定点与连线垂直时，点到直线距离最大；求出方程后，利用直线垂直关系可构造方程求得；利用两点间距离公式可求得最大值；
（3）利用直线方程可坐标，并确定的取值范围，利用表示出，可得一个分式型的函数，通过换元法可表示出，由二次函数最值的求解方法可求得所求面积最小值，并求得的值，由此可得直线方程.
【详解】
（1）由直线方程整理可得：，
由得：，直线恒过定点；
（2）由（1）知：直线恒过定点，
则当与直线垂直时，点到直线距离最大，
又所在直线方程为：，即，
当与直线垂直时，，解得：；
则最大值；
（3）由题意知：直线斜率存在且不为零，
令得：，即；
令得：，即；
又位于轴的负半轴，，解得：；
，
令，则，，
，
，，
则当，即时，，，
此时直线的方程为：.
直线的对称问题
例4．（1）（2021·兰州市外国语高级中学高一期末）与直线关于轴对称的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
把方程中换成，整理即得．
【详解】
直线关于轴对称的直线的方程为，即．
故选：B．
（2）．（2021·浙江高三其他模拟）点关于直线的对称点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设出对称点，根据对称 关系列出式子即可求解.
【详解】
解：设点关于直线的对称点是，
则有，解得，，
故点关于直线的对称点是.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：关于轴对称问题：
（1）点关于直线的对称点，则有；
（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
（3）．（2021·全国高二课时练习）已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】B
【分析】
根据题意画出图形，结合图形求出点关于直线的对称点，则即为的最小值.
【详解】
根据题意画出图形，如图所示：
设点关于直线的对称点，
连接，则即为的最小值，且.
故选：.
【点睛】
本题考查了动点到定点距离之和最小值问题，解题方法是求出定点关于直线对称的点坐标，然后运用两点之间的距离公式求出最值.
【变式训练4-1】．（2021·全国高二专题练习）已知点，，点在轴上，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用对称性，结合两点间线段最短进行求解即可.
【详解】
点，，点在轴上，
点关系轴的对称点为，
.
故选：B.
【变式训练4-2】．（2021·全国高二专题练习）已知点，，动点P在直线上，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】
求得关于直线的对称点，利用两点间的距离公式求得的最小值.
【详解】
关于直线的对称点的坐标为，
则，
则的最小值是.
故选：C
【变式训练4-3】．（2021·北京八中高二期末）直线与直线关于轴对称，则直线的方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为直线与直线关于轴对称，横坐标与上的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变．
所以令代入方程可得，故选B．
(四) 综合问题
例5．（2021·江苏高二专题练习）（多选题）光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线还经过下列哪个点（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】
求出点关于直线的对称点的坐标，求出反射光线所在直线的方程，逐一验证各选项中的点是否在反射光线所在直线上，由此可得出合适的选项.
【详解】
因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以，反射光线经过点和点，反射光线所在直线的斜率为，
则反射光线所在直线的方程为，
当时，；当时，.
故选：BD.
【点睛】
结论点睛：若点与点关于直线对称，由方程组可得到点关于直线的对称点的坐标（其中，）.
【变式训练5-1】．（2021·全国高二专题练习）（多选题）光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线还经过下列哪个点（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】
求出点关于直线的对称点的坐标，求出反射光线所在直线的方程，逐一验证各选项中的点是否在反射光线所在直线上，由此可得出合适的选项.
【详解】
因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以，反射光线经过点和点，反射光线所在直线的斜率为，
则反射光线所在直线的方程为，
当时，；当时，.
故选：BD.
【点睛】
结论点睛：若点与点关于直线对称，由方程组可得到点关于直线的对称点的坐标（其中，）.
例6．（2021·黔西南州同源中学高一期末）已知直线，直线，，两平行直线间距离为，而过点的直线被、截得的线段长为，求：
（1）点坐标；
（2）直线的方程．
【答案】（1）；（2）或
【分析】
（1）利用可得的值，利用两平行直线间距离公式列方程可得的值，即可得点坐标；
（2）设直线斜率为，可根据已知条件求出直线与夹角为，再利用直线斜率，的斜率可得，求得的值即可得直线的方程．
【详解】
（1）因为直线，直线，，
所以，解得：，
因为，所以，
所以，即，
因为、两平行直线间距离为，
所以，解得：或（舍）
所以，
（2）设直线斜率为，直线与夹角为，则， 的斜率为，
则，解得：或，
所以直线的方程为或，
即或.
【变式训练6-1】．（2020·江西高一期末）在平面直角坐标系中，直线过点
①若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程；
②直线，且直线与直线关于直线对称，求直线的方程与的值．
【答案】①或；②；
【分析】
①分直线的截距均为0及不为0两种情况，设出直线方程，代入，求得直线方程；
②点在直线上，则关于直线对称的点在直线m上，从而求得参数b，直线m与直线的交点也是直线l与直线的交点，由两点式求得直线方程.
【详解】
①当直线的截距均为0时，则直线过点，设直线方程为，
又在直线上，则，直线方程为；
当直线的截距不为0时，设直线方程为，代入，
得，则直线方程为；
综上所述，直线方程为或；
②∵直线过点，
∴点关于直线对称的点在直线m上，
∴，解得
∴直线，其与直线交于点，
则点在直线l上，由直线过点，
则直线l：，即
四、定时训练（30分钟）
1．（2020·浙江高一期末）直线与直线的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
联立直线方程即可求出.
【详解】
联立直线方程，解得，
故交点坐标为.
故选：C.
2．（2021·全国高二专题练习）已知平面上两点，，，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】
利用两点间距离公式，结合配方法进行求解即可.
【详解】
根据题意，平面上两点，，，
则，则有，
则的最小值为，
故选：D.
3．（2021·全国高二课时练习）点到直线的距离为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
直接利用点到直线的距离公式得到答案.
【详解】
，答案为B
【点睛】
本题考查了点到直线的距离公式，属于简单题.
4．（2021·宜春神州天立高级中学有限责任公司高一期末）点到直线的距离的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由点到距离公式把距离表示成的三角函数，根据三角函数性质求得距离的取值范围.
【详解】
由点到直线距离公式有：
P到直线的距离为，
其中，
由三角函数性质易知，，
故，
故选：C.
5．（2020·四川省泸县第二中学高二期中（文））到直线的距离最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
首先求得直线恒过点，再分析求出点到直线的距离最大值即可.
【详解】
由直线可得：
直线恒过点,
所以当时，
点到直线的距离最大，
此时，
故选：A
【点睛】
本题主要考查点与直线的位置关系，在处理过程中要理解取得最值的条件，需要数形结合来理解，考查学生分析问题解决问题的能力.
6．（2021·全国高二专题练习）过和的交点，且与直线垂直的直线方程是________.
【答案】
【分析】
求出直线和的交点坐标，进而可得出所求直线方程.
【详解】
解方程组，得，即交点为.
直线的斜率，所求直线的斜率是.
故所求直线的方程是，即.
故答案为：.
7．（2020·山西省长治市第二中学校（文））直线与的交点坐标是______．
【答案】
【分析】
根据直线方程列方程组求的值，即为直线的交点坐标.
【详解】
联立直线方程有，解得，故它们的交点坐标为.
故答案为：.
8．（2020·四川省宜宾市第四中学校高二开学考试（文））已知直线：，直线：．
Ⅰ若直线与直线平行，求实数a的值；
Ⅱ若直线与直线垂直，求直线与的交点坐标．
【答案】（I）；（II）.
【分析】
Ⅰ由题意利用两条直线平行的条件求得实数a的值．
Ⅱ由题意利用两条直线垂直的条件求得a的值，再把两直线与的方程联立方程组，从而求得交点坐标．
【详解】
解：已知直线：，直线：．
Ⅰ若直线与直线平行，则有，求得．
Ⅱ若直线与直线垂直，则有，求得，
两直线即直线：，直线：，
由求得，
直线与的交点坐标为
【点睛】
本题主要考查两条直线平行和垂直的条件，求两条直线的交点的坐标，属于基础题．
9．（2021·湖南湘潭一中高二期中）已知两点，，两直线：，：．
求：（1）过点且与直线平行的直线方程；
（2）过线段的中点以及直线与的交点的直线方程．
【答案】（1）（2）．
【解析】
【试题分析】（1）设所求直线方程为：，将点坐标代入，求得的值，即得所求.（2）求得中点坐标和直线交点的坐标，利用点斜式得到所求直线方程.
【试题解析】
（1）设与：平行的直线方程为：，
将代入，得，解得，
故所求直线方程是：．
（2）∵，，∴线段的中点是，
设两直线的交点为，联立解得交点，
则，
故所求直线的方程为：，即．
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突破2.3 直线的交点坐标与距离公式
一、考情分析
二、考点梳理
一、两条直线的交点坐标
1．基础知识
几何元素及关系 代数表示
点M
直线l 不同时为0)
点M在直线l上
直线与的交点是M 方程组的解是_______
2．两条直线的交点
已知两条不重合的直线不同时为0),不同时为0)，如果这两条直线相交，则交点一定同时在这两条直线上，交点坐标是这两个直线方程的唯一公共解；如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点必是和的
____________.
3．两条直线的位置关系与对应直线方程组成的方程组的解的联系
直线与的位置关系 相交 重合 平行
直线与的公共点个数 一个 无数个 零个
方程组的解 _______ _______ 无解
二、两点间的距离
平面上任意两点间的距离公式为 .
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离.
三、点到直线的距离
1．点到直线的距离
点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的 .
2．点到直线的距离公式
平面上任意一点到直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离为 .
四、两条平行直线间的距离
1．两条平行直线间的距离
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间 的长.
2．两条平行直线间的距离公式
一般地，两条平行直线(其中A与B不同时为0，且)间的距离 .
五、对称问题
对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称.
1．点关于点对称
点关于点的对称是对称问题中最基本的问题,是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题.
设点关于点M(a,b)的对称点为P′(x,y),则有，所以，即点
.特别地,点P关于坐标原点O的对称点为.
2．点关于直线对称
对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为,则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系:
①（直线l的斜率存在且不为零）；②线段的中点在直线l上；
③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即.
常见的点关于直线的对称点：
①点关于x轴的对称点 ；
②点关于y轴的对称点 ；
③点关于直线y=x的对称点 ；
④点关于直线y= x的对称点 ；
⑤点关于直线x=m(m≠0)的对称点；
⑥点关于直线y=n(n≠0)的对称点.
3．直线关于直线对称
（1）直线与关于直线l对称，它们具有以下几种几何性质：
①若与相交，则直线l是、夹角的平分线；
②若与平行，则直线l在、之间且到、的距离相等；
③若点A在上，则点A关于直线l的对称点B一定在上，此时AB⊥l,且线段AB的中点M在l上（即l是线段AB的垂直平分线）.充分利用这些性质，可以找出多种求直线的方程的方法.
（2）常见的对称结论有：设直线l为Ax+By+C=0,
①l关于x轴对称的直线是 ;
②l关于y轴对称的直线是 ;
③l关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0;
④l关于直线y= x对称的直线是A( y)+B( x)+C=0
三、题型突破
(一) 直线的交点问题
例1．（1）（2020·广西高二学业考试）设直线与直线的交点为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2020·河北艺术职业中学高二月考）两直线和的交点在y轴上，则k的值是（ ）
A．-24 B．6 C．±6 D．24
（3）．（2021·黑龙江哈九中高二期末（文））直线与的交点在第四象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】．（2021·扶风县法门高中高一期末）求过和的交点，且与直线垂直的直线方程．
【变式训练1-2】．（2021·全国高二专题练习）已知直线与直线垂直，那么与的交点坐标是______________.
【变式训练1-3】．（2020·安徽桐城市第八中学高二月考）若三条直线，与直线交于一点，则（ ）
A．-2 B．2 C． D．
距离公式的应用
点到点的距离
例2．（2020·河北艺术职业中学高二月考）已知点，，且，则的值为
A． B． C．或 D．或
【变式训练2-1】．（2018·重庆高二期中（文））已知点点，则为
A．4 B．2 C． D．
点到直线的距离
例3．（1）（2021·黔西南州同源中学高一期末）点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2019·安徽高二期中（文））过点且与原点距离最大的直线方程是
A． B．
C． D．
【变式训练3-1】．（2021·全国高二课时练习）若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k的值是
A．1 B．-3 C．1或 D．-3或
【变式训练3-2】．（2021·全国高二课前预习）点到直线：的距离最大时，与的值依次为( )
A．3，－3 B．5，2
C．5，1 D．7，1
【变式训练3-3】．（2021·江西省万载中学高一期末（理））直线，为直线上动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-4】．（2021·全国高二课时练习）(多选)若点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为1，则a的值为（ ）
A．0 B．
C．5 D．－
平行直线的距离
例4．（2021·江苏省运河中学高一期中）若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（ ）
A． B．或 C． D．或
（2）．（2021·贵州高一期末）已知直线，直线，则与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】．（2020·江西省宜春中学高二期中（理））已知直线，直线，若，则直线与的距离为
A． B． C． D．
例5（2021·江西高一期末（文））已知直线，.
（1）当时，求实数的值；
（2）当时，求直线与之间的距离.
【变式训练5-1】．（2021·江苏高二专题练习）已知直线方程为.
（1）证明：直线恒过定点；
（2）为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少
（3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时直线的方程.
直线的对称问题
例4．（1）（2021·兰州市外国语高级中学高一期末）与直线关于轴对称的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
（2）．（2021·浙江高三其他模拟）点关于直线的对称点是（ ）
A． B． C． D．
（3）．（2021·全国高二课时练习）已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．5
【变式训练4-1】．（2021·全国高二专题练习）已知点，，点在轴上，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
【变式训练4-2】．（2021·全国高二专题练习）已知点，，动点P在直线上，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练4-3】．（2021·北京八中高二期末）直线与直线关于轴对称，则直线的方程为
A． B． C． D．
(四) 综合问题
例5．（2021·江苏高二专题练习）（多选题）光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线还经过下列哪个点（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】．（2021·全国高二专题练习）（多选题）光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线还经过下列哪个点（ ）
A． B． C． D．
例6．（2021·黔西南州同源中学高一期末）已知直线，直线，，两平行直线间距离为，而过点的直线被、截得的线段长为，求：
（1）点坐标；
（2）直线的方程．
【变式训练6-1】．（2020·江西高一期末）在平面直角坐标系中，直线过点
①若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程；
②直线，且直线与直线关于直线对称，求直线的方程与的值．
四、定时训练（30分钟）
1．（2020·浙江高一期末）直线与直线的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国高二专题练习）已知平面上两点，，，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
3．（2021·全国高二课时练习）点到直线的距离为
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2021·宜春神州天立高级中学有限责任公司高一期末）点到直线的距离的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·四川省泸县第二中学高二期中（文））到直线的距离最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国高二专题练习）过和的交点，且与直线垂直的直线方程是________.
7．（2020·山西省长治市第二中学校（文））直线与的交点坐标是______．
8．（2020·四川省宜宾市第四中学校高二开学考试（文））已知直线：，直线：．
Ⅰ若直线与直线平行，求实数a的值；
Ⅱ若直线与直线垂直，求直线与的交点坐标．
9．（2021·湖南湘潭一中高二期中）已知两点，，两直线：，：．
求：（1）过点且与直线平行的直线方程；
（2）过线段的中点以及直线与的交点的直线方程．
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