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突破2.4 圆的方程
A组 基础巩固
1．（2021·广西玉林市·）过点，，且圆心在上的圆的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
首先根据圆心在，设圆心坐标为,再根据即可计算出圆的标准方程.
【详解】
由圆心在，设圆心坐标为,
因为点，在圆上
所以
所以圆心为，半径为.
因此圆的方程是
故选C．
2．（2021·浙江高二期末）以直线经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
先由直线的方程求得直线恒过的定点，再由圆的圆心和半径得出圆的方程得选项.
【详解】
解：因为直线方程为，即，所以直线过定点，
所以圆方程为，即，
故选：A.
3．（2021·青铜峡市高级中学高一期末）以点为圆心，与轴相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据圆与轴相切得出半径，再根据圆心和半径写出圆的标准方程.
【详解】
由题知，圆心为，
因为圆 与轴相切，所以圆的半径，
所求圆的方程为.
故选：C.
4．（2021·全国）两个点、与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆外，点在圆外
B．点在圆内，点在圆内
C．点在圆外，点在圆内
D．点在圆内，点在圆外
【答案】D
【分析】
本题可将点、代入方程左边，通过得出的值与的大小关系即可判断出结果.
【详解】
将代入方程左边得，
则点在圆内，
将代入方程左边得，
则点在圆外，
故选：D.
5．（2021·广东梅州·高二学业考试）圆心在C（4，-3），且与直线4x-3y=0相切的圆的方程为（ ）
A．x2+y2+8x+6y=0 B．x2+y2+8x-6y=0
C．x2+y2-8x+6y=0 D．x2+y2-8x-6y=0
【答案】C
【分析】
求出圆心到直线的距离，即圆的半径，即可求出方程.
【详解】
由题可得圆的半径为圆心到直线的距离，即，
所以圆的方程为，即.
故选：C.
6．（2021·安徽高二期末（文））若直线经过圆的圆心，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求出圆心坐标，将圆心的坐标代入直线方程，即可求得实数的值.
【详解】
圆的标准方程为，圆心坐标为，
由题意可得，解得.
故选：C.
7．（2021·全国高三专题练习）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．
【答案】(x-1)2+y2=4.
【分析】
由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.
【详解】
抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，
焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，
以F为圆心，
且与l相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.
【点睛】
本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．（2021·白银市第十中学高二月考（文））已知两点，以线段为直径的圆的方程为________________.
【答案】
【分析】
先求出圆心的坐标和半径,即得圆的方程.
【详解】
由题得圆心的坐标为（1,0），|MN|=
所以圆的半径为所以圆的方程为.
故答案为
【点睛】
本题主要考查圆的方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
9．（2020·天津市滨海新区塘沽第十三中学高二期中）圆关于直线对称的圆的方程为________
【答案】
【分析】
求出的圆心关于直线的对称点可得对称圆的圆心，又两圆的半径相等，由此可得所求圆的方程.
【详解】
圆的圆心为，半径为2，
设关于直线的对称点为，
则，解得.
，则圆关于直线对称的圆的方程为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了求圆关于直线对称的圆的方程，属于基础题.
10．（2020·全国）已知圆心为，且被直线截得的弦长为，则圆的方程为__________．
【答案】
【解析】
由题意可得弦心距d=，故半径r=5，
故圆C的方程为x2+（y+2）2=25，
故答案为x2+（y+2）2=25．
B组 能力提升
11．（2020·云南省下关第一中学高二月考（文））已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积．
【答案】（1）（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25．（2）12
【分析】
（1）求出半径，从而可得圆的标准方程；
（2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理求出弦长，从而可求出面积．
【详解】
解：（1）圆C的半径为 ，
从而圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25；
（2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，
在直角三角形ADC中，由点到直线的距离公式，得|CD|＝3，
所以，
所以|AB|＝2|AD|＝8，
所以△ABC的面积．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
12．（2021·全国高一课时练习）已知,,，圆经过,,三点.
（1）求圆的方程，并写出圆心坐标和半径的值；
（2）若过点的直线与圆交于、两点，求弦的长度的取值范围.
【答案】（1）圆：，圆心，半径；（2）.
【分析】
（1）由题意设圆方程为，待定系数法求的值，再把圆的方程化为标准式，即得圆心坐标和半径；
（2）设圆心到直线的距离为，判断点在圆内，数形结合可知，当直线过圆心时，；当时，.由弦长可得的取值范围.
【详解】
（1）设圆：.
圆过，，三点，
解得
圆：，化为标准式得，
圆心，半径.
（2）设圆心到直线的距离为，
点到圆心的距离为.
点在圆内，
.
结合图形，可知（过圆心时，；时，）.
.
【点睛】
本题考查待定系数法求圆的一般方程，考查直线和圆的位置关系，用到数形结合的数学思想，属于中档题.
13．（2021·全国）已知圆：和圆：，点，分别在圆和圆上.
（1）求圆的圆心坐标和半径；
（2）求的最大值.
【答案】（1），半径为；（2）．
【分析】
（1）圆方程配方后化为标准方程，可得圆心坐标和半径；
（2）求出圆心距，圆心距加上两个半径即为的最大值．
【详解】
（1）圆标准方程是，圆心为，半径为，
（2）圆的标准方程是，圆心为，半径为．
由（1），
所以．
【点睛】
本题考查圆的一般方程，考查两圆位置关系问题．圆的一般方程配方后成标准方程可得圆心坐标和半径，两圆上的点间距离的最值可由圆心距离与半径运算求得．
14．（2019·四川川大附中高二期中）已知圆的方程为．
（1）求圆心的轨迹方程．
（2）当最小时，求圆的方程（为坐标原点）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）求出圆心的坐标后消去可得圆心的轨迹.
（2）利用两点间的距离公式可求何时取最小值，从而得到对应的圆的方程.
【详解】
（1），令，则，
所以圆心的轨迹方程为：.
（2）因为， 故，
当时，取最小值，
此时圆的方程为：．
【点睛】
求动点的轨迹方程，一般有如下几种方法：
（1）几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；
（2）动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；
（3）参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程.
15．（2016·黑龙江高二学业考试）如图所示，圆心的坐标为，圆与轴和轴都相切.
（1）求圆的一般方程；
（2）求与圆相切，且在轴和轴上的截距相等的直线方程.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）确定圆的半径，已知圆心，即可得圆的标准方程，进而转化为一般方程；
（2）设直线y= -x+b，利用圆心到直线的距离等于半径，可得直线方程.
【详解】
（1）由题意得圆的半径，所以圆的方程是，故其一般方程是.
（2）由题意可知，在轴和轴上截距相等的直线，其斜率一定为，可设直线方程为.
因为直线与圆相切，所以，所以.
故所求直线的方程为.
【点睛】
本题考查了圆的一般方程与标准方程，考查了直线与圆的位置关系，考查了截距的意义，在解此类题目时 ，要注意观察图形，看是否有垂直于x轴的切线，以免遗漏k不存在时的切线.
16．（2020·玉林市田家炳中学）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点.
（1）求圆的标准方程；
（2）直线过点且与圆相交，所得弦长为4，求直线的方程.
【答案】(1)；(2)或.
【分析】
（1）先求的中垂线方程，再求交点得圆心，最后求半径（2）根据垂径定理得圆心到直线距离，设直线点斜式，根据点到直线距离公式求斜率，最后验证斜率不存在的情况是否满足条件.
【详解】
（1）设圆心为，则应在的中垂线上，其方程为，
由，即圆心坐标为
又半径，故圆的方程为.
（2）点在圆内，且弦长为，故应有两条直线.
圆心到直线距离.
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时圆心到直线距离为1，符合题意.
②当直线的斜率存在时，设为，直线方程为
整理为，则圆心到直线距离为，
解得，直线方程为，
综上①②，所求直线方程为或.
17．（2021·全国高一课时练习）某高速公路隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成（如图所示）．已知隧道总宽度为，行车道总宽度为，侧墙面高，为，弧顶高为．
（）建立适当的直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程．
（）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．
【答案】（1）；（2）3.5
【详解】
试题分析:（1）建立直角坐标系，设圆一般方程，根据三点E,F,M坐标解出参数（2）根据题意求出圆上横坐标等于c点横坐标的纵坐标，再根据要求在竖直方向上的高度之差至少要有得车辆通过隧道的限制高度
试题解析：（1）以所在直线为轴，以所在直线为轴，以1m为单位长度建立直角坐标系，则，，，由于所求圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为，因为，在圆上，所以，解得，，所以圆的方程为．
（2）设限高为，作，交圆弧于点，则，将的横坐标代入圆的方程，得，得或（舍），所以（m）．
答：车辆通过隧道的限制高度是米
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突破2.4 圆的方程
A组 基础巩固
1．（2021·广西玉林市·）过点，，且圆心在上的圆的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2021·浙江高二期末）以直线经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·青铜峡市高级中学高一期末）以点为圆心，与轴相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·全国）两个点、与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆外，点在圆外
B．点在圆内，点在圆内
C．点在圆外，点在圆内
D．点在圆内，点在圆外
5．（2021·广东梅州·高二学业考试）圆心在C（4，-3），且与直线4x-3y=0相切的圆的方程为（ ）
A．x2+y2+8x+6y=0 B．x2+y2+8x-6y=0
C．x2+y2-8x+6y=0 D．x2+y2-8x-6y=0
6．（2021·安徽高二期末（文））若直线经过圆的圆心，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全国高三专题练习）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．
8．（2021·白银市第十中学高二月考（文））已知两点，以线段为直径的圆的方程为________________.
9．（2020·天津市滨海新区塘沽第十三中学高二期中）圆关于直线对称的圆的方程为________
10．（2020·全国）已知圆心为，且被直线截得的弦长为，则圆的方程为__________．
B组 能力提升
11．（2020·云南省下关第一中学高二月考（文））已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积．
12．（2021·全国高一课时练习）已知,,，圆经过,,三点.
（1）求圆的方程，并写出圆心坐标和半径的值；
（2）若过点的直线与圆交于、两点，求弦的长度的取值范围.
13．（2021·全国）已知圆：和圆：，点，分别在圆和圆上.
（1）求圆的圆心坐标和半径；
（2）求的最大值.
14．（2019·四川川大附中高二期中）已知圆的方程为．
（1）求圆心的轨迹方程．
（2）当最小时，求圆的方程（为坐标原点）．
15．（2016·黑龙江高二学业考试）如图所示，圆心的坐标为，圆与轴和轴都相切.
（1）求圆的一般方程；
（2）求与圆相切，且在轴和轴上的截距相等的直线方程.
16．（2020·玉林市田家炳中学）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点.
（1）求圆的标准方程；
（2）直线过点且与圆相交，所得弦长为4，求直线的方程.
17．（2021·全国高一课时练习）某高速公路隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成（如图所示）．已知隧道总宽度为，行车道总宽度为，侧墙面高，为，弧顶高为．
（）建立适当的直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程．
（）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．
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