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突破2.4 圆的方程
一、考情分析
二、考点梳理
知识点一 圆的定义及方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C：(a，b)
半径：r
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 圆心：
半径：r＝
知识点二 点与圆的位置关系
(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系．
(2)三种情况
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．
①(x0 －a)2＋(y0 －b)2＝r2 点在圆上；
②(x0 －a)2＋(y0 －b)2>r2 点在圆外；
③(x0－a)2＋(y0 －b)2
三、题型突破
重难点突破01 求圆的方程
例1．（1）（2021·云南高一期末）已知圆C的圆心坐标为（2，3），半径为4，则圆C的标准方程为（ ）
A．(x-2)2+(y-3)2 =4 B．(x+2)2+(y+3)2 =16
C．(x+2)2+(y+3)2=4 D．(x-2)2+(y-3)2 =16
（2）.（云南省昭通一中2019届期末）圆心在y轴上，半径长为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1
（3）．（2021·全国高二专题练习）若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】．（多选题）（2020江苏省如皋中学高二月考）以直线与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】．（2021·乌苏市第一中学高二开学考试）过点，且圆心在直线上的圆的方程（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】．（2021·全国高二单元测试）已知点，，则以线段为直径的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2021·全国高二课时练习）写出下列圆的标准方程.
（1）圆心为，半径是；
（2）圆心为，且经过点．
【变式训练2-1】．（2021·全国高二课时练习）求下列各圆的方程，并面出图形.
（1）圆心为点，且过点；
（2）过，，三点．
【变式训练2-2】．（2020·陕西渭南高二期末）已知直线在轴上的截距为，且垂直于直线．
（1）求直线的方程；
（2）设直线与两坐标轴分别交于、两点，内接于圆，求圆的一般方程．
重难点突破02 圆的最值问题（几何关系）
例3．（1）．（2020·包头市回民中学高二期中（文））过点作圆的最短弦，则这条弦所在直线的方程是__.
（2）（山东省日照一中2019届期末）若实数x，y满足x2＋y2－2x＋4y＝0，则x－2y的最大值为( )
A. B．10 C．9 D．5＋2
（3）（四川树德中学2019届模拟）已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为__________．
【变式训练3-1】．（2020·全国高二课时练习）若圆的圆心到直线的距离为，则的值为_________.
【变式训练3-2】．（广西南宁三中2019届模拟）已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求y－x的最大值和最小值；
(2)求x2＋y2的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值．
重难点突破03 有关圆的综合问题
例4．(1)（山东省青岛二中2019届质检）已知实数x，y满足x2＋y2＝4(y≥0)，则m＝x＋y的取值范围是( )
A．(－2，4) B.[－2，4]
C．[－4,4] D．[－4,2]
(2)．（江西省赣州一中2019届期中）若过点P(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围是________．
【变式训练4-1】．（2021·青海西宁·高二期末（文））若直线经过圆的圆心，则的最小值是（ ）.
A．16 B．12 C．9 D．8
【变式训练4-2】．（2020江苏海安高级中学高二月考）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是_________．
例5．（2020·湖南怀化市·高一期末）在平面直角坐标系中，圆经过三点．
（1）求圆的方程；
（2）若圆与直线交于两点，且，求的值．
【变式训练5-1】．（2020山东菏泽四中高二月考）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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突破2.4 圆的方程
一、考情分析
二、考点梳理
知识点一 圆的定义及方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C：(a，b)
半径：r
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 圆心：
半径：r＝
知识点二 点与圆的位置关系
(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系．
(2)三种情况
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．
①(x0 －a)2＋(y0 －b)2＝r2 点在圆上；
②(x0 －a)2＋(y0 －b)2>r2 点在圆外；
③(x0－a)2＋(y0 －b)2三、题型突破
重难点突破01 求圆的方程
例1．（1）（2021·云南高一期末）已知圆C的圆心坐标为（2，3），半径为4，则圆C的标准方程为（ ）
A．(x-2)2+(y-3)2 =4 B．(x+2)2+(y+3)2 =16
C．(x+2)2+(y+3)2=4 D．(x-2)2+(y-3)2 =16
【答案】D
【分析】
直接利用圆的标准方程求解即可．
【详解】
解：由圆的标准方程得：
圆心坐标为（2，3），半径为4的圆的标准方程是：
．
故选：．
（2）.（云南省昭通一中2019届期末）圆心在y轴上，半径长为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1
【答案】A
【解析】依题意，设圆心坐标为(0，a)，则＝1，所以a＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
（2）．（江西省南昌二中2019届模拟）圆(x－3)2＋(y－1)2＝5关于直线y＝－x对称的圆的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝5 B．(x－1)2＋(y－3)2＝5
C．(x＋1)2＋(y＋3)2＝5 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝5
【答案】C
【解析】由题意知，所求圆的圆心坐标为(－1，－3)，半径为，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋3)2＝5，故选C.
（3）．（2021·全国高二专题练习）若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据二元二次方程表示圆的条件列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】
由圆的一般式方程可得，即，求得，
故选：A
【变式训练1-1】．（多选题）（2020江苏省如皋中学高二月考）以直线与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】令，则；令，则.所以设直线与两坐标轴的交点分别为.,以为圆心，过点的圆的方程为：.以为圆心，过点的圆的方程为：.故选：AD.
【变式训练1-2】．（2021·乌苏市第一中学高二开学考试）过点，且圆心在直线上的圆的方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先求得线段AB的中垂线的方程，再根据圆心又在直线上求得圆心，圆心到点A的距离为半径，可得圆的方程.
【详解】
因为过点，，
所以线段AB的中点坐标为，，
所以线段AB的中垂线的斜率为，
所以线段AB的中垂线的方程为，
又因为圆心在直线上，
所以，解得，
所以圆心为，
所以圆的方程为.
故选：C
【变式训练1-3】．（2021·全国高二单元测试）已知点，，则以线段为直径的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
求出圆的直径式方程后再将其化简为标准方程，从而可得正确的选项，我们也可以求出圆心和半径，从而得到圆的方程.
【详解】
法1：以线段为直径的圆的直径式方程为，
整理得到：，
故选：D.
法2：因为圆以为直径，故圆心为的中点，
又，故圆的半径为5，
故以线段为直径的圆的方程为：.
故选：D.
例2．（2021·全国高二课时练习）写出下列圆的标准方程.
（1）圆心为，半径是；
（2）圆心为，且经过点．
【答案】（1）（x+3）2+（y﹣4）2＝5．（2）（x+8）2+（y﹣3）2＝25．
【分析】
（1）根据圆心和半径，直接写出圆的标准方程．（2）先求出圆的半径，可得圆的标准方程．
【详解】
解：（1）∵圆心在C（﹣3，4），半径长是，故圆的标准方程为（x+3）2+（y﹣4）2＝5．
（2）∵圆心在C（﹣8，3），且经过点M（﹣5，﹣1），故半径为MC5，
故圆的标准方程为 （x+8）2+（y﹣3）2＝25．
【变式训练2-1】．（2021·全国高二课时练习）求下列各圆的方程，并面出图形.
（1）圆心为点，且过点；
（2）过，，三点．
【答案】（1）（图见解析）（2）（图见解析）
【分析】
（1）求出半径，利用圆的标准方程写出即可.
（2）设出圆的一般方程，将三点代入解出即可.
【详解】
（1）由题意知半径,
所以圆的方程为：.
（2）设圆的一般方程为：.
将，，代入得：
所以圆的方程为：.
【变式训练2-2】．（2020·陕西渭南高二期末）已知直线在轴上的截距为，且垂直于直线．
（1）求直线的方程；
（2）设直线与两坐标轴分别交于、两点，内接于圆，求圆的一般方程．
【解析】（1）设直线的方程为．
∵直线的斜率为，所以直线的斜率．则直线的方程为．
（2）设圆的一般方程为．由于是直角三角形，
所以圆的圆心是线段的中点，半径为；
由，得，；
故，解得，，．
则圆的一般方程为：．
重难点突破02 圆的最值问题（几何关系）
例3．（1）．（2020·包头市回民中学高二期中（文））过点作圆的最短弦，则这条弦所在直线的方程是__.
【答案】.
【分析】
利用配方法将圆化成标准方程，得其圆心为，当垂直这条弦时，所得到的弦长最短，求出直线的斜率后，再根据两条直线垂直的条件和点斜式即可得解.
【详解】
解：将圆化成标准形式为，圆心为，则点A在圆内，
当垂直这条弦时，所得到的弦长最短，
，
这条弦所在直线的斜率为，其方程为，即.
故答案为：.
【点睛】
本题考查直线截圆的弦长问题，熟练掌握圆的一般方程与标准方程互化、两条直线垂直的条件等基础知识点是解题的关键，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.
（2）（山东省日照一中2019届期末）若实数x，y满足x2＋y2－2x＋4y＝0，则x－2y的最大值为( )
A. B．10 C．9 D．5＋2
【答案】B
【解析】原方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，表示以(1，－2)为圆心，为半径的圆．设x－2y＝b，则x－2y可看作直线x－2y＝b在x轴上的截距，当直线与圆相切时，b取得最大值或最小值，此时＝，所以b＝10或b＝0，所以x－2y的最大值是10.
（3）（四川树德中学2019届模拟）已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为__________．
【答案】
【解析】x2＋y2－2y＝0可化为x2＋(y－1)2＝1，则圆C为以(0,1)为圆心，1为半径的圆．如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时△ABP的面积最小，直线AB的方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离d＝，又|AB|＝＝5，所以△ABP的面积的最小值为×5×＝.
【变式训练3-1】．（2020·全国高二课时练习）若圆的圆心到直线的距离为，则的值为_________.
【答案】4或2
【分析】
利用圆心到直线的距离构建关于的方程，解方程后可得的值.
【详解】
圆的圆心为，它到直线的距离为，
故或.
故答案为：4或2.
【点睛】
本题考查点到直线的距离，利用公式计算距离时注意把直线方程整理为一般方程.
【变式训练3-2】．（广西南宁三中2019届模拟）已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求y－x的最大值和最小值；
(2)求x2＋y2的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值．
【解析】方程x2＋y2－4x＋1＝0可变形为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．
(1)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(2)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，x2＋y2在原点与圆心连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，最小值是(2－)2＝7－4.
(3)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.所以的最大值为，最小值为－.
重难点突破03 有关圆的综合问题
例4．(1)（山东省青岛二中2019届质检）已知实数x，y满足x2＋y2＝4(y≥0)，则m＝x＋y的取值范围是( )
A．(－2，4) B.[－2，4]
C．[－4,4] D．[－4,2]
【答案】B
【解析】x2＋y2＝4(y≥0)表示圆x2＋y2＝4的上半部分，如图所示，直线x＋y－m＝0的斜率为－，在y轴上的截距为m.当直线x＋y－m＝0过点(－2,0)时，m＝－2.设圆心(0,0)到直线x＋y－m＝0的距离为d，则即解得m∈[－2，4]．
(2)．（江西省赣州一中2019届期中）若过点P(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－∞，－3)∪
【解析】圆的方程可化为(x－a)2＋y2＝3－2a.因为过点P(a，a)能作圆的两条切线，所以点P在圆的外部，即解得a<－3或1【变式训练4-1】．（2021·青海西宁·高二期末（文））若直线经过圆的圆心，则的最小值是（ ）.
A．16 B．12 C．9 D．8
【答案】C
【分析】
先求出圆心坐标，即可得出，再利用基本不等式,即可求解.
【详解】
解：化为标准方程为：，
圆心坐标为，带入直线方程，得，
所以，
故选C.
【变式训练4-2】．（2020江苏海安高级中学高二月考）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是_________．
【答案】或
【解析】设的垂直平分线为，的外心为欧拉线方程为
与直线的交点为，，①
由，，重心为，代入欧拉线方程，得，②，由 ①②可得或 .
例5．（2020·湖南怀化市·高一期末）在平面直角坐标系中，圆经过三点．
（1）求圆的方程；
（2）若圆与直线交于两点，且，求的值．
【答案】⑴ ⑵
【解析】
试题分析：（1）利用圆的几何性质布列方程组得到圆的方程；（2）设出点A，B的坐标，联立直线与圆的方程，消去y，确定关于x的一元二次方程，已知的垂直关系，确定x1x2+y1y2=0，利用韦达定理求得a．
试题解析：
⑴因为圆的圆心在线段的直平分线上，
所以可设圆的圆心为，
则有解得
则圆C的半径为
所以圆C的方程为
⑵设，其坐标满足方程组：
消去，得到方程
由根与系数的关系可得，
由于可得,
又所以
由①，②得，满足故
【变式训练5-1】．（2020山东菏泽四中高二月考）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.
【解析】（1）设，.
由 可得，则.
又，故.
因此的斜率与的斜率之积为，所以.
故坐标原点在圆上.
（2）由（1）可得.
故圆心的坐标为，圆的半径.
由于圆过点，因此，故，
即，
由（1）可得.
所以，解得或.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，
圆的方程为.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆 的方程为.
四、定时训练（30分钟）
1．（2020邢台市第八中学高二期末）方程表示以为圆心,4为半径的圆,则D,E,F的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，2，3，4，解得D＝4，E＝﹣6，F＝﹣3．
2.（2020全国高二课时练）已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是( )
A.x2+y2+4x-2y-5=0 B.x2+y2-4x+2y-5=0
C.x2+y2+4x-2y=0 D.x2+y2-4x+2y=0
【答案】C
【解析】设直径的两个端点分别为A(a,0),B(0,b),圆心为点(-2,1),由线段中点坐标公式得=-2,=1,解得a=-4,b=2.∴半径r=,∴圆的方程是(x+2)2+(y-1)2=5,即x2+y2+4x-2y=0.
3．（多选题）（2020·南京市秦淮中学高二月考）已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心为 B．圆被轴截得的弦长为8
C．圆的半径为5 D．圆被轴截得的弦长为6
【答案】ABCD
【解析】由圆的一般方程为，则圆，
故圆心为，半径为，则AC正确；令，得或，弦长为6，故D正确；
令，得或，弦长为8，故B正确.故选：ABCD.
4．（2021·江苏高二专题练习）方程y＝表示的曲线是（ ）
A．一个圆 B．两条射线
C．半个圆 D．一条射线
【答案】C
【分析】
把方程两边平方，注意变量的取值范围，可得选项．
【详解】
由得，即，∴曲线表示圆x2＋y2＝36在x轴上方的半圆．
故选：C.
【点睛】
易错点睛：把方程变形化为圆的标准方程（或直线的一般方程），但在变化过程中要注意变量取值范围的变化，如本题有，因此曲线只能是半圆，对直线可能是射线也可能线段，这与变量取值范围有关．
5．（2021·全国高二专题练习）方程表示一个圆，则m的取值范围是_______
【答案】
【分析】
把圆的一般方程化为标准方程，可得实数m的取值范围．
【详解】
方程，即表示圆，
，求得，则实数m的取值范围为，
故答案为：
【点睛】
结论点睛：本题主要考查圆的普通方程化为标准方程，考查二元二次方程是圆的方程的条件，考查配方法，属于基础题．对于二元二次方程，可通过配方法配方成，当时，表示点；当时，表示圆.
6．（2021·浙江高二单元测试）已知圆，直线．
（1）判断直线与圆C的位置关系；
（2）设直线与圆C交于A，B两点，若直线的倾斜角为120°，求弦AB的长．
【答案】(1)直线l与圆C必相交 (2)．
【分析】
（1）判断直线过定点，利用点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系；（2）根据直线的倾斜角为，求出直线斜率以及直线的方程，利用弦长公式即可求弦的长.
【详解】
(1)直线l可变形为y－1＝m(x－1)，因此直线l过定点D(1，1)，
又＝1<，所以点D在圆C内，则直线l与圆C必相交．
(2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m，又k＝tan 120°＝－，即m＝－．
此时，圆心C(0，1)到直线l： x＋y－－1＝0的距离d＝＝，
又圆C的半径r＝，所以|AB|＝2＝2＝．
【点睛】
本题主要考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式以及直线过定点问题，属于中档题. 已知直线方程，判断直线过定点主要形式有：（1）斜截式，，直线过定点；（2）点斜式直线过定点.
7．（2020·任丘市第一中学高一开学考试）已知圆C过点，圆心在直线上.
（1）求圆C的方程；
（2）过圆O1：上任一点P作圆C的两条切线，切点分别为Q，T，求四边形PQCT面积的取值范围.
【答案】(1).
(2).
【解析】
分析：（1）根据条件设圆的方程为，由题意可解得，于是可求得圆的方程．（2）根据几何知识可得，故将所求范围的问题转化为求切线长的问题，然后根据切线长的求法可得结论．
详解：（1）由题意设圆心为，半径为，
则圆的标准方程为．
由题意得，解得，
所以圆的标准方程为．
（2）由圆的切线的性质得，
而．
由几何知识可得，
又，
所以，
故，
所以，
即四边形面积的取值范围为．
点睛：解决圆的有关问题时经常结合几何法求解，借助图形的直观性可使得问题的求解简单直观．如在本题中将四边形的面积转化为切线长的问题，然后再转化为圆外一点到圆上的点的距离的范围的问题求解．
8．（2020·全国高二课时练习）如图，已知矩形四点坐标为A（0，-2），C（4，2），B（4，-2），D（0，2）．
（1）求对角线所在直线的方程；
（2）求矩形外接圆的方程；
（3）若动点为外接圆上一点，点为定点，问线段PN中点的轨迹是什么，并求出该轨迹方程．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
试题分析：（1）已知两点坐标可以采用两点式求出直线方程．（2）要求外接圆方程先求出圆心坐标，给出中点坐标就可以了，然后用两点之间的距离公式求半径（3）设点坐标，用未知的点坐标表示已知的点坐标，然后代入原圆的方程化简即可．
（1）由两点式可知，对角线所在直线的方程为，
整理得
（2）设G为外接圆的圆心，则G为AC的中点，∴G即（2，0）
设r为外接圆半径，则r=，∴r=
∴外接圆方程为
（3）设P点坐标，线段PN中点M坐标为（x，y），则，
∴①∵为外接圆上一点 ∴ 将①代入整理得：，
∴该轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，轨迹方程为．
点睛：求轨迹方程的一般方法：定义法，如果动点的运动规律符合某种曲线定义，可先设直线方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程．当然还有参数法，代入法等．
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