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突破2.5 直线与圆、圆与圆位置关系
A组 基础巩固
1．（2021·佛山市南海区狮山高级中学高二月考）已知圆，，则两圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
2．（2021·富宁县第一中学高二月考（文））条件“圆与直线相切”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2020·青海西宁市·湟川中学高二期中）过点可以向圆引两条切线，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·昭通市昭阳区第一中学高一月考（文））直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A． B． C． D．
5．（2021·全国）已知圆，圆，点分别在圆和圆上，点在轴上，则的最小值为
A．7 B．8 C．9 D．10
6．（2021·江西新余·（文））已知两点，，，若圆上存在点，使得，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·四川阆中中学（理））已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为
A． B． C． D．
8．（2021·全国高二专题练习）过点总可以作两条直线与圆相切，则的取值范围是
A． B．
C． D．
9．（2020·全国高二课时练习）已知为圆的直径，点为直线上任意一点，则的最小值为
A． B． C． D．
10．（2020·全国高二）已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点.则_________.
11．（2020·正定县弘文中学高二月考）当直线被圆截得的弦最短时，的值为____________.
12．（2021·全国高三专题练习（文））直线：与圆：交于、两点，则______.
13．（2020·宜城市第三高级中学高二月考）已知圆C：，点P坐标为，过点P作圆C的切线，切点为A，B．
求直线PA，PB的方程；
求过P点的圆的切线长；
求直线AB的方程．
14．（2020·全国高二课时练习）如图所示，圆与圆的半径都是1，，过动点分别作圆、圆的切线（为切点），使得，试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程．
B组 能力提升
15．（2021·全国高二课时练习）（多选题）在平面直角坐标系中，圆的方程为.若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取可以是
A． B． C． D．
16．（2021·全国高三专题练习）（多选题）若是圆：上任一点，则点到直线距离的值可以为（ ）
A．4 B．6 C． D．8
17．（2021·全国高二课时练习）（多选题）已知圆：和圆：相交于、两点，下列说法正确的是（ ）
A．两圆有两条公切线
B．直线的方程为
C．线段的长为
D．所有过点、的圆系的方程可以记为
18．（2020·全国高三专题练习）（多选）已知圆上到直线的距离等于1的点至少有2个，则实数a的值可以为（ ）
A． B． C．0 D．2
19．（2021·四川省南充高级中学（理））已知直线与圆：相交于，两点，为坐标原点，且，则实数的值为_____
20．（2021·浙江高二单元测试）已知P是直线l: 上一动点，过点P作圆C:的两条切线，切点分别为A、B.则四边形PACB面积的最小值为___________.
21．（2020·长春市第二十九中学（文））当圆的圆心到直线的距离最大时，__________．
22．（2021·全国高二课时练习）在平面直角坐标中，圆与圆相交与两点．
（I）求线段的长．
（II）记圆与轴正半轴交于点，点在圆C上滑动，求面积最大时的直线的方程．
23．（2021·南城县第二中学高一月考）已知一个动点在圆上移动，它与定点所连线段的中点为.
（1）求点的轨迹方程；
（2）过定点的直线与点的轨迹方程交于不同的两点，，且满足，求直线的方程.
24．（2021·全国高二课时练习）已知为圆：上任意一点.
(1)求的最大值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值.
25．（2021·浙江高二单元测试）已知直线与圆相交于两点．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若为圆上的动点，求的取值范围.
26．（2020·四川石室佳兴外国语学校高二期中（文））如果实数，满足，求：
（1）的最大值与最小值；
（2）的最大值和最小值.
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突破2.5 直线与圆、圆与圆位置关系
A组 基础巩固
1．（2021·佛山市南海区狮山高级中学高二月考）已知圆，，则两圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
【答案】D
【分析】
由两圆的方程得到圆心坐标及对应的半径，根据圆心距与两圆半径的数量关系，判断两圆的位置关系.
【详解】
由题设，，，
∴，，则，又，
∴，故两圆内切.
故选：D
2．（2021·富宁县第一中学高二月考（文））条件“圆与直线相切”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
首先求得当圆与直线相切时，的值，由此确定充分、必要条件.
【详解】
∵圆心，半径，∴，或.
所以“圆与直线相切”是“”成立的必要不充分条件.
故选：B
3．（2020·青海西宁市·湟川中学高二期中）过点可以向圆引两条切线，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据方程表示圆，以及点在圆外，列不等式即可求解.
【详解】
因为表示圆，
所以，解得：，
若过点可以向圆引两条切线，
则点在圆外，
所以，解得，
所以的范围是，
故选：C.
4．（2020·昭通市昭阳区第一中学高一月考（文））直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可
详解：直线分别与轴，轴交于，两点
,则
点P在圆上
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P到直线的距离的范围为
则
故答案选A.
5．（2021·全国）已知圆，圆，点分别在圆和圆上，点在轴上，则的最小值为
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【详解】
圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径.关于轴的对称点为，所以，故为其最小值.
6．（2021·江西新余·（文））已知两点，，，若圆上存在点，使得，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据圆的定义和圆与圆的位置关系进行求解即可.
【详解】
因为，所以点在以为直径的圆上，方程为，半径为，
圆的圆心坐标为，
该圆心到原点的距离为，半径为，
要想圆上存在点，使得，
说明圆和圆有公共点，
因此有，因为，所以，
故选：B
【点睛】
关键点睛：把问题转化为两个圆有公共点是解题的关键.
7．（2020·四川阆中中学（理））已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由于两圆不在直线的同侧，先做出圆关于直线对称的圆，把转化为，若最大，必须最大，最小.
【详解】
如图：
依题意得点在直线上，
点关于直线对称的点,
点在圆关于直线对称的圆上，
则，设圆的圆心为，
因为，，
所以，当五点共线，在线段上，在线段上时“=”成立.
因此，的最大值为4.
【点睛】
本题主要考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，距离和差的最值问题对称变换是常采用的方法.
8．（2021·全国高二专题练习）过点总可以作两条直线与圆相切，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
把圆的方程化成标准式，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0，列出关于的不等式，求出不等式的解集，由题意可知，点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程得到一个关系式，让其大于0列出关于的不等式，求出不等式的解集，综上，求出两解集的交集即为实数的取值范围．
【详解】
把圆的方程转化成标准方程得.由，解得.
又点应在已知圆的外部，把点的坐标代入圆的方程得，即，解得或，则实数的取值范围是，故选D.
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系，二元二次方程为圆的条件及一元二次不等式的解法．
9．（2020·全国高二课时练习）已知为圆的直径，点为直线上任意一点，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
试题分析：由题意得，设，，则，
∴，，
∴
，当且仅当时，等号成立，故选A．
考点：1．圆的标准方程；2．平面向量数量积及其运用．
10．（2020·全国高二）已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点.则_________.
【答案】4
【详解】
试题分析：由，得，代入圆的方程，整理得，解得，所以，所以．又直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．
【考点】直线与圆的位置关系
【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．
11．（2020·正定县弘文中学高二月考）当直线被圆截得的弦最短时，的值为____________.
【答案】
【分析】
先求得直线过定点，分析可知当直线与CM垂直时，直线被圆截得的弦长最短
，进而利用斜率的关系即可求得m的值．
【详解】
直线的方程可化为
所以直线会经过定点，解得定点坐标为 ，圆C圆心坐标为
当直线与CM垂直时，直线被圆截得的弦长最短
，
所以，解方程得
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，根据斜率关系求得参数的值，属于基础题．
12．（2021·全国高三专题练习（文））直线：与圆：交于、两点，则______.
【答案】
【分析】
利用垂径定理可求弦长.
【详解】
圆心到直线的距离为，故，
故答案为：.
13．（2020·宜城市第三高级中学高二月考）已知圆C：，点P坐标为，过点P作圆C的切线，切点为A，B．
求直线PA，PB的方程；
求过P点的圆的切线长；
求直线AB的方程．
【答案】（1）或；（2）；（3）
【分析】
（1）设过点P的直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求其斜率即可（2）在△中利用勾股定理求PA的长（3）利用AB与PC垂直的性质求出其斜率，由点斜式写出直线方程.
【详解】
(1).由已知得过点的圆的切线斜率的存在,
设切线方程为,即.
则圆心到直线的距离为,
即,
∴,∴或.
∴所求直线的切线方程为或,
即或.
(2).在△中,
∵,,
∴,
∴,
∴过点的圆的切线长为.
(3).直线的方程为.
【点睛】
本题考查直线与圆相切的性质，以及切线的相关平面几何性质，属于中档题.解决此类问题要注意对初中学习的圆的平面几何性质灵活使用.
14．（2020·全国高二课时练习）如图所示，圆与圆的半径都是1，，过动点分别作圆、圆的切线（为切点），使得，试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程．
【答案】（或）.
【分析】
建立直角坐标系，设P点坐标，根据几何关系列方程，化简即可得到结果.
【详解】
以的中点为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设点.
由已知，得.
因为两圆的半径均为1，所以，
则，即，
所以点的轨迹方程为（或）.
【点睛】
本题主要考查了与圆相关的动点轨迹方程，考查学生计算能力和转化能力，熟练运用数形结合的思想是本题的关键.
B组 能力提升
15．（2021·全国高二课时练习）（多选题）在平面直角坐标系中，圆的方程为.若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取可以是
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】
先得到的轨迹方程为圆，与直线有交点，得到的范围，得到答案.
【详解】
所作的圆的两条切线相互垂直，所以，圆点，两切点构成正方形
即
在直线上，圆心距
计算得到
故答案选AB
【点睛】
本题考查了圆的切线问题，通过切线垂直得到的轨迹方程是解题的关键.
16．（2021·全国高三专题练习）（多选题）若是圆：上任一点，则点到直线距离的值可以为（ ）
A．4 B．6 C． D．8
【答案】ABC
【分析】
由题意画出图形，求出圆心到直线距离的最大值，加半径可得点到直线距离的最大值，观察选项大小得答案.
【详解】
解：如图，
圆：的圆心坐标为，半径为，
直线过定点，由图可知，
圆心到直线距离的最大值为，
则点到直线距离的最大值为.
ABC中的值均不大于，只有D不符合.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.
17．（2021·全国高二课时练习）（多选题）已知圆：和圆：相交于、两点，下列说法正确的是（ ）
A．两圆有两条公切线
B．直线的方程为
C．线段的长为
D．所有过点、的圆系的方程可以记为
【答案】AC
【分析】
A. 根据圆与圆的位置关系判断； B. 圆：和圆：的方程相减判断；C. 先求得圆心到直线的距离，再利用弦长公式求解判断；D.根据 判断方程是否过AB两点，再判断方程是否表示过A、B的所有圆.
【详解】
A. 因为圆：和圆：相交于、两点，所以两圆有两条公切线，故正确；
B. 圆：和圆：的方程相减得：，所以直线的方程为，故错误；
C. 圆心到直线的距离为：，所以线段的长为，故正确；
D. 因为，所以恒成立，即过AB两点，方程可化为，
而恒成立，
所以方程表示圆，
但此圆系不包括圆M，故不正确.
故答案为：AC
【点睛】
本题主要考查两圆的位置关系，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.
18．（2020·全国高三专题练习）（多选）已知圆上到直线的距离等于1的点至少有2个，则实数a的值可以为（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】BCD
【分析】
根据题意可知圆心到直线l的距离，由此可求出的取值范围.
【详解】
由圆的方程可知圆心为，半径r为2，
因为圆O上到直线l的距离等于1的点至少有2个，
所以圆心到直线l的距离，
即，解得，
故结合选项可知实数a的值可以为，0，2.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离判断即可解决，属于中档题.
19．（2021·四川省南充高级中学（理））已知直线与圆：相交于，两点，为坐标原点，且，则实数的值为_____
【答案】
【分析】
设AB的中点为C,由题得圆心到直线的距离为，所以解方程即得m的值.
【详解】
设AB的中点为C,由题得
圆心到直线的距离为，
所以.
故答案为
【点睛】
本题主要考查平面向量的运算，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20．（2021·浙江高二单元测试）已知P是直线l: 上一动点，过点P作圆C:的两条切线，切点分别为A、B.则四边形PACB面积的最小值为___________.
【答案】2
【分析】
由圆的方程为求得圆心、半径r为，由“若四边形面积最小，则圆心与点的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长，最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．
【详解】
由题意得：圆的方程为：
∴圆心为，半径为2，
又∵四边形PACB的面积，所以当PC最小时，四边形PACB面积最小．将代入点到直线的距离公式，，
故四边形PACB面积的最小值为2．
故答案为：2
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时，还考查了转化思想．此题属中档题．
21．（2020·长春市第二十九中学（文））当圆的圆心到直线的距离最大时，__________．
【答案】
【解析】
∵ 圆的方程为
∴圆的标准方程为，其圆心
∵直线的方程为
∴直线过定点
∴圆心到直线的距离最大为圆心与点之间的距离
∴，即
∴
故答案为
点睛：本题考查圆的一般方程与标准方程，以及直线与圆的位置关系，涉及定点问题，属于难题，解决此类问题时，利用圆的几何性质数形结合求解.
22．（2021·全国高二课时练习）在平面直角坐标中，圆与圆相交与两点．
（I）求线段的长．
（II）记圆与轴正半轴交于点，点在圆C上滑动，求面积最大时的直线的方程．
【答案】（I）；（II）或．
【分析】
（I）先求得相交弦所在的直线方程，再求得圆的圆心到相交弦所在直线的距离，然后利用直线和圆相交所得弦长公式，计算出弦长.（II）先求得当时，取得最大值，根据两直线垂直时斜率的关系，求得直线的方程，联立直线的方程和圆的方程，求得点的坐标，由此求得直线的斜率，进而求得直线的方程.
【详解】
（I）由圆O与圆C方程相减可知，相交弦PQ的方程为．
点（0，0）到直线PQ的距离，
（Ⅱ），.
当时，取得最大值．
此时，又则直线NC为．
由，或
当点时，，此时MN的方程为．
当点时，，此时MN的方程为．
∴MN的方程为或．
【点睛】
本小题主要考查圆与圆相交所得弦长的求法，考查三角形面积公式，考查直线与圆相交交点坐标的求法，考查直线方程的求法，考查两直线垂直时斜率的关系，综合性较强，属于中档题.
23．（2021·南城县第二中学高一月考）已知一个动点在圆上移动，它与定点所连线段的中点为.
（1）求点的轨迹方程；
（2）过定点的直线与点的轨迹方程交于不同的两点，，且满足，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）设，动点，则：根据中点坐标公式解得，代入即可得解；
（2）当直线的斜率不存在时，直线与圆交于，，
此时，不合题意.当直线的斜率存在时，设直线，则
由消去得：，结合韦达定理，即可得解.
【详解】
（1）设，动点，则：
根据中点坐标公式解得
∵
∴
∴点的轨迹方程为
（2）当直线的斜率不存在时，
直线与圆交于，，
此时，不合题意.
当直线的斜率存在时，设直线，则
由消去得：
∴
又∵
∴即
故解得，经检验满足
综上所述，直线的方程为.
【点睛】
本题考查了相关点代入法求曲线方程，考查了利用韦达定理搭桥各个变量之间的关系解决问题，有一定的计算量，属于较难题.
24．（2021·全国高二课时练习）已知为圆：上任意一点.
(1)求的最大值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为；（3）最大值为，最小值为.
【分析】
（1）的最大值，等价于过圆上一点作斜率为的直线的截距的最大值，设，当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，计算即得解；
（2）看成是过点和的直线斜率，设直线的方程为：，利用圆心到直线的距离不大于半径解不等式即可.
（3）表示点与点的距离的平方，转化为圆上的点与点的距离的距离平方；
【详解】
解：(1)∵的圆心，半径，
设，将看成直线方程，
∵该直线与圆有公共点，∴圆心到直线的距离，
解上式得：，∴的最大值为.
(2)记点，∵表示直线的斜率，设直线的方程为：，即，由直线与圆有公共点，
∴，可得，
∴的最大值为，最小值为；
(3)∵设，等价于圆的圆心到原点的距离的平方，
则，
；
【点睛】
方法点睛：(1)型的最大值转化为直线的截距的最大值；
(2)型的最大值和最小值转化为过点和的直线斜率的最大值和最小值；
(3)型的最大值和最小值转化为和的距离的最大值和最小值的平方.
25．（2021·浙江高二单元测试）已知直线与圆相交于两点．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若为圆上的动点，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）求出圆的圆心与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由即可求解.
（Ⅱ）利用表示圆上的点与原点构成直线的斜率即可求解.
【详解】
（Ⅰ），
所以圆心为，半径，
则圆心到直线的距离：，
所以.
（Ⅱ）表示圆上的点与原点构成直线的斜率，
如图：当直线与圆相切时取得最值，
，
则，
由图可知：
所以的取值范围为.
【点睛】
本题考查了几何法求弦长、两点求斜率的计算公式、直线与圆的位置关系，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
26．（2020·四川石室佳兴外国语学校高二期中（文））如果实数，满足，求：
（1）的最大值与最小值；
（2）的最大值和最小值.
【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）最大值为，最小值为.
【分析】
（1）设，整理得，解不等式即得解；
（2）表示的是原点到圆上的任意点的距离的平方，即得解.
【详解】
（1）实数，满足，
则设，整理得，
所以圆心到直线的距离，
整理得，即，
所以的最大值为，最小值为.
（2）由于表示的是原点到圆上的任意点的距离的平方，
所以利用最大距离为圆心到原点的距离与半径的和，
即的平方，
故最大值为，
最小距离为圆心到原点的距离与半径的差，
即的平方，
故最小值为.
【点睛】
方法点睛：解析几何中的最值常用的方法有：（1）函数的方法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法.本题就利用了数形结合法求最值，要根据已知条件灵活选择方法求解.
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