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突破3.1 椭圆
A组 基础巩固
1．（2021·河北高二期末）已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·全国高三专题练习（理））已知定点F1，F2，且|F1F2|＝8，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝8，则动点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．圆 C．直线 D．线段
3．（2021·全国高二课时练习）如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，，…，，是椭圆的左焦点，则（ ）
A．35 B．30 C．25 D．20
4．（2021·全国高二课时练习）与椭圆有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，使得过点所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2019·长沙市南雅中学高二月考）椭圆的左 右焦点分别为 ，是椭圆上的一点，，且，垂足为，若四边形为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·曲靖市沾益区第四中学高二月考（理））设，分别是椭圆：的左、右两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·江苏无锡·高二开学考试）设，是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于，两点，则的最大值为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
9．（2021·全国高三专题练习（文））已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
10．（2020·辽宁锦州·）点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2020·红桥·天津三中高二月考）已知动圆与定圆内切，且动圆经过一定点．则动圆圆心的轨迹的方程是______．
12．（2021·渝中·重庆巴蜀中学高二开学考试）方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是____________．
13．（2020·全国）如图，设A，B的坐标分别为(－5，0)，(5，0)．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－则点M的轨迹方程为________．
14．（2020·江苏高二期中）椭圆的短轴长为______.
15．（2021·江苏高二期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点，若点P为椭圆C上的一个动点，则的最小值为____________.
16．（2021·汕头市达濠华侨中学高二期末）已知椭圆的上焦点为，是椭圆上一点，点，当点 在椭圆上运动时，的最大值为__________.
B组 能力提升
17．（2020·湖北武汉·）（多选题）已知动圆Р与圆C1：外切，且与圆C2：内切，动圆圆心Р的轨迹方程为C，则下列说法正确的是（ ）
A．轨迹方程C为 B．轨迹方程C的焦距为3
C．轨迹方程C的长轴为10 D．轨迹方程C的离心率为
18．（2021·江苏高二）（多选题）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（ ）
A． B．椭圆的焦距为
C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则
19．（2021·全国高二课时练习）（多选题）若椭圆的焦距为2，则实数的值可为（ ）
A．1 B．4 C．6 D．7
20．（2020·张家口市第一中学高二月考）（多选题）设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．离心率
C．面积的最大值为
D．以线段为直径的圆与直线相切
21．（2021·全国高二专题练习）（多选题）已知椭圆的两个焦点分别为，与轴正半轴交于点，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆标准方程的选项是（ ）
A．是等腰直角三角形
B．已知椭圆的离心率为，短轴长为2
C．是等边三角形，且椭圆的离心率为
D．设椭圆的焦距为4，点在圆上
22．（2021·全国高二单元测试）如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，与的公共点为，，其中的离心率为.
（1）求，的值.
（2）过点的直线与，分别交于点，（均异于点，），是否存在直线，使得以为直径的圆恰好过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
23．（2021·渝中·重庆巴蜀中学高二开学考试）设椭圆的的焦点为是C上的动点，直线经过椭圆的一个焦点，的周长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求的最小值和最大值．
24．（2021·渝中·重庆巴蜀中学高二开学考试）写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点在坐标轴上，且经过和两点；
（2）过点，且与椭圆有相同的焦点．
25．（2020·张家口市第一中学高二月考）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在坐标轴上，短轴长为4，离心率为；
（2）与椭圆有相同的焦点，且过点.
26．（2020·河北武强中学高二月考）已知椭圆：．
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知定点，若直线（）与椭圆交于A、两点，则是否存在实数，使得以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
27．（2021·西藏拉萨中学高三月考（理））（1）一动圆过定点，且与定圆相切，求动圆圆心的轨迹E的方程．
（2）直线l经过点A且不与x轴重合，l与轨迹E相交于P、Q两点，求的面积的最大值．
28．（2021·陕西汉中·高三月考（文））已知椭圆C：的上端点为，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设经过点且不经过点M的直线l与椭圆C相交于A，B两点．若，分别为直线，的斜率，求的值
29．（2021·河南高三月考（理））已知椭圆：的上顶点与下顶点在直线：的两侧，且点到的距离是到的距离的倍．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设与交于，两点，求证：直线与的斜率之和为定值．
30．（2021·运城市新康国际实验学校（文））已知椭圆，椭圆上动点到左焦点距离的最大值为3，最小值为1.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点为椭圆长轴的左端点，为椭圆上异于椭圆长轴端点的两点， 记直线斜率分别为，若，请判断直线是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由.
31．（2021·富宁县第一中学高二月考（文））已知椭圆的离心率为，两焦点，与椭圆上的顶点构成边长为2的等边.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与相交于，两点，在轴上是否存在点，使得为定值？如果有，求出点的坐标及定值；如果没有，请说明理由.
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突破3.1 椭圆
A组 基础巩固
1．（2021·河北高二期末）已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据定义可判断点的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求出轨迹方程.
【详解】
由题可得圆心，半径为6，
是垂直平分线上的点，，
，
点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，
，故点的轨迹方程为.
故选：B.
2．（2021·全国高三专题练习（理））已知定点F1，F2，且|F1F2|＝8，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝8，则动点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．圆 C．直线 D．线段
【答案】D
【分析】
直接利根据动点的轨迹进行判断即可.
【详解】
因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，所以动点P的轨迹是线段F1 F2.
故选：D
3．（2021·全国高二课时练习）如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，，…，，是椭圆的左焦点，则（ ）
A．35 B．30 C．25 D．20
【答案】A
【分析】
设椭圆右焦点为，利用椭圆的对称性有，，，结合椭圆的定义，即可求目标式的值.
【详解】
设椭圆的右焦点为，由椭圆的对称性，知，，，
∴．
故选：A
4．（2021·全国高二课时练习）与椭圆有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设待求椭圆方程，由已知共焦点椭圆的方程求焦点坐标，并结合短轴长求椭圆参数，进而写出椭圆方程即可.
【详解】
椭圆可化为，知焦点在轴上，焦点坐标为，
可设所求椭圆的方程为，则．又，即，
∴，即椭圆的标准方程为．
故选：B
5．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，使得过点所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
若长轴端点，由椭圆性质：过的两条切线互相垂直可得，结合求椭圆离心率的范围.
【详解】
在椭圆的长轴端点处向圆引两条切线，，
若椭圆上存在点，使过的两条切线互相垂直，则只需，即，
∴，得，
∴，又，
∴，即．
故选：C
6．（2019·长沙市南雅中学高二月考）椭圆的左 右焦点分别为 ，是椭圆上的一点，，且，垂足为，若四边形为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题设有，可得，结合椭圆的有界性，列不等式求椭圆的离心率的范围.
【详解】
若，又四边形为平行四边形，，
∴，即，
∴，解得.
故选：D
7．（2021·曲靖市沾益区第四中学高二月考（理））设，分别是椭圆：的左、右两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由，分别是椭圆：的左、右两个焦点，求得m的范围，当点位于短轴端点时，取最大值，要使上存在点满足，则的最大值大于或等于，从而可得答案.
【详解】
解：由，分别是椭圆：的左、右两个焦点，
则，
当点位于短轴端点时，取最大值，要使上存在点满足，
则的最大值大于或等于，即点位于短轴端点时，大于或等于，
则，解得．
故选：D.
8．（2020·江苏无锡·高二开学考试）设，是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于，两点，则的最大值为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
【答案】A
【分析】
先根据的周长为定值得到的关系，然后分析得到当轴时有最大值，计算此时的值即可求解出的最大值.
【详解】
因为，所以，
所以当取最小值时，有最大值，
当轴时，此时取最小值，且，
所以的最大值为，
故选：A.
9．（2021·全国高三专题练习（文））已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【分析】
本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】
由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.
10．（2020·辽宁锦州·）点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先根据椭圆的定义转化为，即求的最小值，即为圆心与的距离减半径即可.
【详解】
设椭圆的左焦点为，则
求的最小值即求的最小值，圆的半径为圆心为
所以的最小值为
所以的最小值为
故选：D.
【点睛】
本题考查了椭圆的定义，以及圆上一动点与圆外一定点的距离的最值问题，解决问题时需要对题中的目标进行转化，将多个动点转化为少（单）动点的问题，从而解决问题.
11．（2020·红桥·天津三中高二月考）已知动圆与定圆内切，且动圆经过一定点．则动圆圆心的轨迹的方程是______．
【答案】
【分析】
已知圆的方程求出圆的圆心坐标和半径，再由动圆P与定圆B内切,且过，可得，由此可得动圆圆心P的轨迹E是以B、A为焦点,长轴长为6的椭圆，则椭圆方程可求.
【详解】
由可得 ，
圆心,半径，
动圆与定圆内切，且过 ，
.
动圆圆心P的轨迹E是以B、A为焦点,长轴长为6的椭圆.
设椭圆方程为，
则.
椭圆的方程为.
故答案为：
12．（2021·渝中·重庆巴蜀中学高二开学考试）方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是____________．
【答案】；
【分析】
根据椭圆的标准方程求解．
【详解】
由题意且，解得．
故答案为：．
13．（2020·全国）如图，设A，B的坐标分别为(－5，0)，(5，0)．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－则点M的轨迹方程为________．
【答案】
【分析】
求动点M的轨迹方程，首先设M的坐标为（x，y），由已知点A、B的坐标代入求得直线AM、BM的斜率，由乘积为即可得到点M坐标的关系式，将其整理化简可得到M的轨迹方程，最后去除多余点
【详解】
设点M的坐标为（x，y），因为点A的坐标是（－5，0）．
所以直线AM的斜率kAM＝ （x≠－5），
同理，直线BM的斜率kBM＝ （x≠5）．
由已知有·＝ （x≠±5），
化简，得点M的轨迹方程为
故答案为：
14．（2020·江苏高二期中）椭圆的短轴长为______.
【答案】
【分析】
根据椭圆方程确定焦点位置求解．
【详解】
因为，
所以椭圆的焦点在轴上，
所以，
则椭圆的短轴长为.
故答案为：
15．（2021·江苏高二期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点，若点P为椭圆C上的一个动点，则的最小值为____________.
【答案】1
【分析】
根据已知可以转化为，然后由三点共线即两点之间线段最短可得答案.
【详解】
由已知得，，
因为，所以，
所以，
所以当三点共线时，最小，
即.
故答案为：1.
【点睛】
本题考查了椭圆上的点到焦点和定点距离和的问题，解题关键是利用定义转化为两点之间线段最短的问题，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
16．（2021·汕头市达濠华侨中学高二期末）已知椭圆的上焦点为，是椭圆上一点，点，当点 在椭圆上运动时，的最大值为__________.
【答案】
【分析】
先设椭圆的下焦点为，由椭圆的定义知：，利用，即可得到的最大值．
【详解】
解：如图所示：
设椭圆的下焦点为，
，
，，
又，
即，
，
又，
当且仅当，，共线且在线段上时等号成立，
，
，
，
的最大值为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题解题关键是数形结合，根据三角形的三边性质及椭圆的定义即可得到最值.
B组 能力提升
17．（2020·湖北武汉·）（多选题）已知动圆Р与圆C1：外切，且与圆C2：内切，动圆圆心Р的轨迹方程为C，则下列说法正确的是（ ）
A．轨迹方程C为 B．轨迹方程C的焦距为3
C．轨迹方程C的长轴为10 D．轨迹方程C的离心率为
【答案】ACD
【分析】
根据圆的位置得出动点P到两个定点的距离之和为10，再由椭圆的定义得点P在以两定点为焦点，10为长轴长的椭圆上.求得椭圆的标准方程，根据椭圆的几何性质可判断得选项.
【详解】
圆C1：的圆心，半径，圆C2：的圆心，半径，
设点，动圆的半径为，则由题意得，
所以，即动点P到两个定点的距离之和为10.
又因为，所以点P在以两定点为焦点，10为长轴长的椭圆上.
所以设此椭圆的轨迹方程为C为，这里，，则，
因此，动圆圆心P所在的曲线方程为：.所以轨迹方程为C的焦距为6，轨迹方程为C的长轴长为10，轨迹方程为C的离心率为，
故选：ACD.
18．（2021·江苏高二）（多选题）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（ ）
A． B．椭圆的焦距为
C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则
【答案】CD
【分析】
结合椭圆的表达式分析，联立可求的取值，由可求，进而判断焦距，若焦点在轴，则，若焦点在轴上，则
【详解】
由题可知，，又椭圆中，故，联立求得，故A错误；
当，即时，焦点在轴，，故B错误，C正确；
当，即时，焦点在轴上，，故B错误，D正确
故选：CD
19．（2021·全国高二课时练习）（多选题）若椭圆的焦距为2，则实数的值可为（ ）
A．1 B．4 C．6 D．7
【答案】BC
【分析】
分别考虑焦点在轴、轴上的两种情况，然后根据求解出的值.
【详解】
若焦点在轴上，则，故；若
焦点在轴上，则，故．
故选：BC．
20．（2020·张家口市第一中学高二月考）（多选题）设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．离心率
C．面积的最大值为
D．以线段为直径的圆与直线相切
【答案】AD
【分析】
根据椭圆方程求得，根据椭圆的性质及点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】
由题意，椭圆，可得，可得，
所以焦点为,
根据椭圆的定义，所以A正确；
椭圆的离心率为，所以B错误；
其中面积的最大值为，所以C错误；
由原点到直线的距离，
所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D正确.
故选：AD
21．（2021·全国高二专题练习）（多选题）已知椭圆的两个焦点分别为，与轴正半轴交于点，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆标准方程的选项是（ ）
A．是等腰直角三角形
B．已知椭圆的离心率为，短轴长为2
C．是等边三角形，且椭圆的离心率为
D．设椭圆的焦距为4，点在圆上
【答案】BD
【分析】
对每个选项依次计算判断，简单计算即可.
【详解】
对A，若是等腰直角三角形可知，没具体数据得不出方程；
对B，已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则，由
所以，所以椭圆标准方程为，故B正确；
对C，是等边三角形，且椭圆的离心率为，所以，，数据不足，得不到结果；
对D，设椭圆的焦距为4，点在圆上，所以，
由，所以，所以椭圆方程为，故D正确
故选：BD
22．（2021·全国高二单元测试）如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，与的公共点为，，其中的离心率为.
（1）求，的值.
（2）过点的直线与，分别交于点，（均异于点，），是否存在直线，使得以为直径的圆恰好过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1），；（2）存在，方程为.
【分析】
（1）由，的方程，令，得到，，然后再利用求解；
（2）由（1）知上半椭圆的方程为，设直线方程为，代入的方程，利用韦达定理分别求得点P，Q的坐标，再由 求解.
【详解】
（1）在，的方程中，令，可得，
则，.
设的半焦距为，
由及，得，
∴，.
（2）存在.由（1）知，上半椭圆的方程为.
由题意知，直线与轴不重合也不垂直，
设其方程为，代入的方程，整理得，
.（*）
设点的坐标为，
∵直线过点，
∴是方程（*）的一个根.
由一元二次方程根与系数的关系得，从而，
∴点的坐标为.
同理，由，得点的坐标为，
∴，，
∵以为直径的圆恰好过点A，
∴，
∴，即.
∵，∴，解得.
经检验，符合题意.
故直线的方程为.
23．（2021·渝中·重庆巴蜀中学高二开学考试）设椭圆的的焦点为是C上的动点，直线经过椭圆的一个焦点，的周长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求的最小值和最大值．
【答案】(1)；(2)最小值为2，最大值为4.
【分析】
(1)由给定条件求出半焦距c，再由的周长列出方程再经计算即得；
(2)设出点P的坐标，求出关于的函数关系及的范围，求得函数最值即可.
【详解】
(1)显然椭圆的焦点在x轴上，直线交x轴于点，于是得椭圆的焦点，即半焦距，
而的周长为，则有，解得，，
所以椭圆的标准方程为；
(2)设椭圆上的点，于是有，即，，
令坐标原点为O，则O是线段F1F2的中点，于是得，
因此，当时，，当或时，，
所以的最小值为2，最大值为4.
24．（2021·渝中·重庆巴蜀中学高二开学考试）写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点在坐标轴上，且经过和两点；
（2）过点，且与椭圆有相同的焦点．
【答案】(1)；(2).
【分析】
(1)由给定条件设出椭圆方程，利用待定系数法求解即得；
(2)根据条件求出半焦距c的平方，设出椭圆方程，将点P的坐标代入计算即得.
【详解】
(1)依题意，设椭圆方程为，因椭圆经过点和，
于是得，即，解得，
所以所求椭圆的标准方程为；
(2)因所求方程的椭圆与与椭圆有相同的焦点，则其焦点在x轴上，且半焦距c有，
设所求椭圆方程为，而此椭圆过点，
于是得，又，解得，
所以所求椭圆的标准方程为.
25．（2020·张家口市第一中学高二月考）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在坐标轴上，短轴长为4，离心率为；
（2）与椭圆有相同的焦点，且过点.
【答案】（1）当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为；（2）．
【分析】
(1)根据题意，求出，再根据焦点在不同位置，即可求解.
(2)先设椭圆标准方程，再带入条件求解，即可.
【详解】
依题意可得，则，，
当焦点在x轴上时，椭的标准方程为；
当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为．
依题意可得焦点是在x轴上，故设椭圆方程为，
因为椭圆C 与椭圆有相同的焦点，且过点，
所以椭圆C 的方程为，解得即．
26．（2020·河北武强中学高二月考）已知椭圆：．
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知定点，若直线（）与椭圆交于A、两点，则是否存在实数，使得以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在；．
【分析】
（1）根据椭圆方程，求得a，c的值，代入公式，即可得答案.
（2）假设存在实数满足条件，将直线与椭圆联立，根据韦达定理，可得，表达式，根据题意，可得，结合数量积公式，化简计算，可求得k值，即可得答案.
【详解】
解：（1）由题意，知，，则，，
所以椭圆的离心率为．
（2）假设存在实数满足条件，由，得，
所以，即或．
设，，则，①
而．
要使以为直径的圆过点，只需，即，
所以，
所以．②
将①代入②，解得，满足题意．
综上，存在，使得以为直径的圆过点．
27．（2021·西藏拉萨中学高三月考（理））（1）一动圆过定点，且与定圆相切，求动圆圆心的轨迹E的方程．
（2）直线l经过点A且不与x轴重合，l与轨迹E相交于P、Q两点，求的面积的最大值．
【答案】（1）；（2）3.
【分析】
（1）设动圆圆心为，半径为R．由与定圆相切，且点A的圆C内，由，即，利用椭圆的定义求解；
（2）设l的方程为：，代入，由，结合韦达定理求解.
【详解】
（1）设动圆圆心为，半径为R．
定圆C的圆心，半径为4. 点A的圆C内．
，
且 ，
轨迹E是以C、A为焦点，长轴长为4的椭圆，
所以椭圆方程为：.
（2）设l的方程为：，代入，
得，
设，
则，，
，
，
令，
则
在为增函数
，即时，取最大值3.
28．（2021·陕西汉中·高三月考（文））已知椭圆C：的上端点为，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设经过点且不经过点M的直线l与椭圆C相交于A，B两点．若，分别为直线，的斜率，求的值
【答案】(1)；(2)-1
【分析】
(1)由题意可求出，，进而得到椭圆方程；
(2)设直线l方程和点，，将直线方程代入椭圆方程得到关于的一元二次方程，根据韦达定理可得、，进而得到的表达式，化简求值即可.
【详解】
解：（1）由题意知，，
又∵，
∴，.
故椭圆C的方程为.
（2）易知直线l的斜率存在，可设直线l的方程为，即，
将代入得，
由题设可知，
设，，
则，，
∴.
29．（2021·河南高三月考（理））已知椭圆：的上顶点与下顶点在直线：的两侧，且点到的距离是到的距离的倍．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设与交于，两点，求证：直线与的斜率之和为定值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】
（Ⅰ）由点到直线的距离公式即求；
（Ⅱ）由直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理法即可证明.
【详解】
（Ⅰ）由椭圆的方程可得，，
由题意可得，解得或．
当时，点，都在直线的下方，不符合题意，
故．
（Ⅱ）联立消去可得，
设，，则，．
直线与的斜率之和
．
因此直线与的斜率之和为定值．
30．（2021·运城市新康国际实验学校（文））已知椭圆，椭圆上动点到左焦点距离的最大值为3，最小值为1.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点为椭圆长轴的左端点，为椭圆上异于椭圆长轴端点的两点， 记直线斜率分别为，若，请判断直线是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由.
【答案】（1）；（2）过定点，.
【分析】
（1）由题意可得a-c=1,a+c=3，求出，再由即可求解.
（2）讨论直线斜率存在与否，将直线与椭圆方程联立，根据，利用韦达定理化简整理可得，求出或，代入直线方程即可求解.
【详解】
（1）由题可知a-c=1,a+c=3， 解得 a=2,c=1,则b=3，
故椭圆的标准方程为.
（2）设点的坐标分别为，
（ⅰ）当直线斜率不存在时，
由题意知，直线方程和曲线方程联立得：，，
（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，消去得：，
由，有，
由韦达定理得：，，
故，可得：，
可得：，
整理为：，
故有，
化简整理得：，解得：或，
当时直线的方程为，即，过定点不合题意，
当时直线的方程为，即，过定点，
综上，由（ⅰ）（ⅱ）知，直线过定点.(也可以直接设x=my+n避免讨论)
31．（2021·富宁县第一中学高二月考（文））已知椭圆的离心率为，两焦点，与椭圆上的顶点构成边长为2的等边.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与相交于，两点，在轴上是否存在点，使得为定值？如果有，求出点的坐标及定值；如果没有，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在点，定值为.
【分析】
（1）根据是等边且边长为2，及，列出方程组，可求解；
（2）当直线斜率存在时，用坐标表示：
代入韦达定理即得解，当斜率不存在时，验证成立即可
【详解】
（1）∵，∴，，
∵是等边且边长为2，∴，，又，∴，
故，，，∴椭圆方程为.
（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，，，
，则.
若存在定点满足条件，
则有
，
如果要上式为定值，则必须有
因此点；
当直线斜率不存在时，直线，代入椭圆方程可得
此时成立；
故存在点满足.
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