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突破3.1 椭圆
一、考情分析
二、考点梳理
知识点一 椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集．
知识点二 椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
图形
性质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴 长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b
焦距 ＝2c
离心率 e＝， e∈(0,1)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
【知识必备】
1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
(1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
(2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；
(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中
(1)当P为短轴端点时，θ最大．
(2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
4．AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
(1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|；
(2)直线AB的斜率kAB＝－.
三、题型突破
重难点题型突破01 椭圆的定义及其应用
例1、（1）（ 河南郑州外国语学校2019届模拟）如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
【答案】A
【解析】由折叠过程可知点M与点F关于直线CD对称，所以|PM|＝|PF|，所以|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝r，由椭圆的定义可知点P的轨迹为椭圆．
（2）．（2021·宁夏银川市·银川二中高一期末）如图，设是圆上的动点，点是在轴上的投影，是线段上一点，且.当点在圆上运动时，动点的轨迹方程是______．
【答案】
【分析】
设的坐标为，的坐标为，则由可得，代入，整理可得答案
【详解】
解：设的坐标为，的坐标为，
因为点是在轴上的投影，是线段上一点，且，
所以，
因为在圆上，
所以，化简得，
故答案为：
（3）．（2021·全国高二专题练习）动圆过定点，且内切于定圆：，动圆圆心的轨迹方程为________．
【答案】
【分析】
由点在圆内部可知动圆在圆内部，由两圆内切知圆心距，进而得到，由此确定动圆圆心轨迹为椭圆，由椭圆定义可计算求得轨迹方程.
【详解】
由圆方程知其圆心为，半径，
，即点在圆内部，动圆在圆内部，
设圆半径为，则，，
即，又，，
动圆圆心的轨迹满足以为焦点的椭圆，此时，，，
动圆圆心的轨迹方程为：.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查动点轨迹方程的求解问题，解题关键是能够根据两圆内切构造等量关系，即圆心距等于大圆半径与小圆半径之差，由此确定动点轨迹为椭圆.
【变式训练1-1】．（2021·全国高二课时练习）已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线
【答案】C
【分析】
比较与的大小关系，结合椭圆定义可得答案.
【详解】
因为（当且仅当时，等号成立），所以.
当时，，此时动点的轨迹是椭圆；
当时，，此时动点的轨迹是线段，
故选:C.
【变式训练1-2】．（2021·全国高二课时练习）已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据垂直平分线的性质得，再由椭圆的定义可得出点的轨迹是以，为焦点的椭圆，由椭圆的方程可求得动点的轨迹方程.
【详解】
解：由题意，可知圆的标准方程为，圆心为，半径为6．
∵线段的垂直平分线交于点，∴，∴，
∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，∴，，，∴其轨迹方程为．
故选：A．
【变式训练1-3】．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆上任意一点都满足关系式，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据关系式，可知点满足椭圆方程，即可根据定义，求解椭圆方程.
【详解】
由题设可知椭圆的焦点在轴上，其坐标分别为，，，故，，，所以椭圆的标准方程为．
故选：B
重难点题型突破02 椭圆的标准方程与简单的几何性质
例2．（1）（2020·莆田第二十五中学高二期中）（多选题）若为椭圆的方程，则（ ）
A．3 B．6 C．8 D．11
【答案】AC
【分析】
依题意得到，解得即可；
【详解】
解：因为为椭圆的方程，所以解得或
故选：AC
（2）．（2021·河北张家口·高二期末）点是椭圆的一个焦点，则实数m的值为________．
【答案】3
【分析】
由焦点坐标确定焦点在轴上，得不等关系．
【详解】
依题意，知椭圆的焦点在y轴上，∴，且，
∴，解得（舍）或，∴.
故答案为：3．
（3）．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆的一个顶点是(0，)，且离心率e＝，则椭圆的标准方程是____________．
【答案】或
【分析】
由离心率求得，然后按焦点所在轴分类讨论可得．
【详解】
是长半轴长，短半轴长，
∵，∴a＝2b，
若椭圆的焦点在x轴上，则b＝，a＝2；
若椭圆的焦点在y轴上，则a＝，b＝.
所以椭圆的标准方程是或.
故答案为：或．
【变式训练2-1】．（2021·湖南长郡中学高二期末）“ "是“方程 表示焦点在 轴上的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
根据焦点在轴上的椭圆的条件，列出不等式组求出的范围，再利用集合法判断即可.
【详解】
因为方程+=1表示焦点在轴上的椭圆，
所以，解得，
故“”是“方程+=1表示焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件.
故选：B
【变式训练2-2】．（2020·如皋市第一中学高二月考）已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则等于（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
【答案】D
【分析】
将椭圆的方程化为标准形式，进而根据焦距求出m的值.
【详解】
将椭圆的方程化为标准形式为
，
显然，即，
，解得.
故选：D
【变式训练2-3】．（2021·云南省楚雄天人中学高二月考（文））已知椭圆的中点在原点，焦点在x轴上，长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意设设 ，进而得，解方程即可求得答案.
【详解】
解：因为椭圆的中点在原点，焦点在x轴上，
所以设
又因为长轴长为12，离心率为，
所以，解得，
所以
所以椭圆的方程为
故选：C
【变式训练2-4】．（2021·湖南高二期末）已知椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用离心率与、的关系即可获解
【详解】
，得，得，即．
故选：B
【变式训练2-5】．（2021·贵溪市实验中学高三其他模拟）椭圆的半焦距是___________，离心率是___________.
【答案】
【分析】
首先根据题意得到，，，即可得到答案.
【详解】
由题知：椭圆，，，.
所以半焦距是，离心率为.
故答案为：，
【点睛】
本题主要考查椭圆的几何性质，属于简单题.
重难点题型突破03 求椭圆的标准方程
例3．（2021·全国高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；
（2）c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
（3）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点和
【答案】（1） ；（2）或；（3）
【分析】
（1）求出c＝2，，即可求出方程.
（2）求出a＝13， c＝5，即可求出结果.
（3）,代入即可得出结果.
【详解】
（1）由焦距是4，可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2).
由椭圆的定义知，，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.
又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为.
（2）由题意知，2a＝26，即a＝13，又因为c∶a＝5∶13，
所以c＝5,b2＝a2－c2＝132－52＝144，
所以椭圆的标准方程为或.
（3）设椭圆的方程为.
将A，B两点坐标代入方程，得，解得，
故所求椭圆的方程为.
【变式训练3-1】．（2021·全国）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过，两点；
（2）长轴长是短轴长的3倍，且经过点；
（3）焦距是8，离心率等于0.8．
【答案】（1）1；（2）或；（3）或
【分析】
（1）根据题意，分析可得要求的椭圆的焦点在x轴上，且，b，将a、b的值代入椭圆的标准方程即可得答案；
（2）根据题意，分析可得：a＝3b，分2种情况讨论椭圆的焦点位置，综合即可得答案；
（3）依题意求出、，再根据，求出，最后根据焦点的位置分类讨论即可；
【详解】
解：（1）根据题意，椭圆经过点，，
且，
则椭圆的焦点在x轴上，且，b，
则椭圆的方程为：1；
（2）根据题意，要求椭圆长轴长是短轴长的3倍，即，
若椭圆经过点，分2种情况讨论：
①椭圆的焦点在x轴上，则a＝3，b＝1，椭圆的标准方程为：，
②椭圆的焦点在y轴上，则b＝3，a＝9，椭圆的标准方程为：，
（3）根据题意，即，又，所以，因为，所以
若椭圆的焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为：．
若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为：．
【变式训练3-2】．（2021·全国）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过，两点；
（2）长轴长等于20，离心率等于．
【答案】（1） （2）或.
【分析】
（1）设出椭圆方程,根据椭圆经过点,,得出,代入方程即可.
（2）由条件可得,则可得,根据焦点所在的轴代入对应的标准方程即可.
【详解】
解:（1）设椭圆方程为:,因为椭圆经过点,,
,分别为左顶点和下顶点, 所以得,
所以椭圆标准方程为.
（2）椭圆的长轴长等于20, 离心率等于
依题意: ,所以，由即
所以椭圆标准方程为:或.
例4．（1）（2021·全国高三专题练习（文））已知椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M、N)，△AF1B的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为－，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先利用周长为求得值，得到M，N坐标，再设点，利用直线AM与AN的斜率之积构建关系，结合满足已知方程，解得，即得结果.
【详解】
由△AF1B的周长为，可知，解得，则，
设点，由直线AM与AN的斜率之积为－，可得，即 ①．
又，所以 ②，
由①②解得，所以椭圆C的标准方程为．
故选：C．
（2）（2021·江苏南通市·高三一模）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意设椭圆的标准方程为()，由面积为可得：，根据离心率再结合之间的关系即可得解.
【详解】
设椭圆的标准方程为()，焦距为，
则：解得
故选：D
【变式训练4-1】．（2021·上海高二期中）焦点在坐标轴上，焦距为，短轴长为4的椭圆的标准方程为___________.
【答案】或。
【分析】
根据条件计算出的值，然后分别考虑焦点在轴上和轴上的情况，由此求解出椭圆的标准方程.
【详解】
设椭圆的焦距为，短轴长为，长轴长为，且，
所以，
当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为：，
当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为：，
故答案为：或.
【变式训练4-2】．（2021·全国高三月考（理））已知椭圆的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线交于两点，且，且，则的标准方程为____________.
【答案】
【分析】
连接，根据，，得到四边形是矩形，设，由求解.
【详解】
如图所示：
连接，
因为，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又因为，
所以平行四边形是矩形，
设，
由题意得，
解得，
则，
故答案为：.
重难点题型突破04椭圆的范围与最值问题
例5．（1）已知，是椭圆的左、右焦点，点在上，则的最大值为______；若，则的最小值为______.
【答案】9 4
【分析】
首先根据题意得到，再利用基本不等式即可得到的最大值.根据题意得到，从而得到，从而得到答案.
【详解】
由可得：，，
则，
由椭圆定义可知，
，
当时取等号．
.
，
又（当且仅当在线段上时取等号），
.
故答案为：9；4.
【点睛】
本题考查椭圆的定义、几何性质、最值类问题，关键在于能够利用椭圆定义将焦半径进行转化，从而变成函数和几何问题来进行求解.
（2）．（2020·扬州市第一中学高二月考）（多选题）已知是椭圆上一点，，为其左右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．点纵坐标为 B．
C．的周长为 D．的内切圆半径为
【答案】CD
【分析】
设，利用以及椭圆方程可求出点坐标，即可判断A；求出，，利用韦达定理可判断B；根据椭圆的定义可判断C；根据内切圆半径和面积的关系，可判断D.
【详解】
解：由已知，不妨设，
则
，故A错；
，得，，
，
，
，
，故B错；
由椭圆定义，的周长，故C正确；
设的内切圆半径为，
，，故D正确；
故选：CD.
【点睛】
本题考查椭圆的定义，针对焦点三角形的计算要熟练，考查学生计算能力，是中档题.
（3）．（2021·广西玉林·高二期末（理））已知椭圆的右焦点是，直线与椭圆交于、两点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求得，结合，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】
设椭圆的左焦点为，
在椭圆中，，，则，
由题意可知，点、关于原点对称，且为的中点，
所以，四边形为平行四边形，
所以，，由椭圆的定义可得，
，，即，
，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键在于以下几点：
（1）问题中出现了焦点，一般利用相应曲线的定义，本题中利用对称性结合椭圆定义可得出；
（2）利用椭圆的几何性质得出焦半径的取值范围.
（4）．（2021·全国高三专题练习）已知F为椭圆的左焦点，定点，点P为椭圆C上的一个动点，则的最大值为_______.
【答案】9
【分析】
设椭圆的右焦点为,再利用数形结合分析求解.
【详解】
设椭圆的右焦点为,
.
故答案为：9
【点睛】
方法点睛：圆锥曲线中的最值问题常用的解题方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法.要根据已知条件，灵活选择方法求解.
【变式训练5-1】．（2021·安徽高二月考（理））如图所示，点F是椭圆的右焦点，A，C是椭圆上关于原点O对称的两点，直线与椭圆的另一个交点为B，若，则椭圆M的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
作为椭圆M的左焦点，连接．设，则，，则，根据题意可得从而可求出离心率
【详解】
如图，作为椭圆M的左焦点，连接．设，
则，，，
因为A，C是椭圆上关于原点O对称的两点，直线与椭圆的另一个交点为B，，
所以
所以可得．
故选：A
【点睛】
关键点点睛：此题考查椭圆的定义的应用和椭圆离心率的求法，解题的关键是根据题意作为椭圆M的左焦点，连接，从而可由已知可得，然后在两个直角三角形和中利用勾股定理列方程可求出离心率，考查转化思想和计算能力，属于中档题
【变式训练5-2】．（2021·全国高三月考（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线交于两点，且，且，则椭圆的短轴长为_________________________．
【答案】
【分析】
连接,根据椭圆的对称性可知为矩形，根据已知条件，利用椭圆的定义求得，利用勾股定理，结合已知三角形的面积，求得b的值，进而得解.
【详解】
连接,根据椭圆的对称性可知为矩形，
由,得,
由,结合，
求得,
∴,
∴椭圆的短轴长为,
故答案为：.
【点睛】
本题考查椭圆的性质，属基础题，关键是利用对称性，连接,根据椭圆的对称性可知为矩形，注意熟练掌握椭圆的定义是关键.
【变式训练5-3】．（2020·全国高二课时练习）（多选）已知P是椭圆上一点，是其两个焦点，则的大小可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】
设，由题意的定义得到，然后在中，由余弦定理得，然后结合基本不等式求解.
【详解】
设，则，且，
在中，由余弦定理可得，
因为，
所以，当且仅当时取等号，
故的最大值为，
所以的大小可能为．
故选：BCD
【点睛】
本题主要考查椭圆的焦点三角形以及椭圆定义的应用和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
【变式训练5-4】．（2020·南京市大厂高级中学高二月考）已知椭圆内有一点，F是椭圆的右焦点，M是椭圆上一点，则的最小值为______.
【答案】4.
【分析】
过点作垂直直线，垂足为，由椭圆的性质可得（椭圆的第二定义），数形结合即可得解.
【详解】
由题意，椭圆的右焦点，
设点，则，
则，
过点作垂直直线，垂足为，如图，
则，
所以当三点共线（在线段上）时，
.
故答案为：4.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是利用椭圆的第二定义转化，运算即可得解.
【变式训练5-5】．（2021·渝中·重庆巴蜀中学高三月考）动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的最小值为（ ）
A．2 B．6 C． D．10
【答案】B
【分析】
先根据题意，求得曲线的方程，再根据椭圆的定义，结合三角形两边之差小于第三边，即可得到的最小值.
【详解】
根据题意，设，则，
即：，为的左焦点，
设的右焦点为，则，
从而，
当共线，且在线段上时取等号，故的最小值为6.
故选：B．
重难点题型突破05椭圆的定点与定值问题
例6．（2021·全国）已知直线，圆，椭圆的离心率，直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等.
（1）求椭圆的方程；
（2）过圆上任意一点作椭圆的两条切线，若切线的斜率都存在，求证：两条切线斜率之积为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由题意可得圆心到直线的距离，从而可得，再由离心率和可求出，进而可求出椭圆的方程；
（2）设点，过点的椭圆的切线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立方程组消去，则由直线与椭圆相切可得，再由判别式可判断此方程两个根，即可得过点的切线有两条，从而由根与系数的关系可得，结合可求得答案
【详解】
（1）设椭圆的半焦距为，
圆心到直线的距离，
因为圆的半径为，
所以被圆截得的弦长为，所以.
由题意得，
又，所以，.所以椭圆的方程为.
（2）设点，过点的椭圆的切线的方程为，整理得.
联立，消去，得，
整理得.
因为切线与椭圆相切，
所以，
整理得，，因为，所以.
设满足题意的椭圆的两条切线的斜率分别为，，
则.
因为点在圆上，所以，所以.
所以两条切线斜率之积为定值.
【变式训练6-1】．（2021·河北沧州·高三月考）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点（，）且不垂直于x轴y轴的直线与椭圆C交于A，B两点，点为椭圆C外一点，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由．
【答案】（1）；（2）是定值，定值为4，证明见解析．
【分析】
（1）由题意已知，由离心率可求得，由的关系即可求解；
（2）由可知，设直线为，由直线与椭圆联立，由根与系数的关系结合斜率公式即可求解
【详解】
（1）由题意可知椭圆的离心率，右焦点，
故， ，，
所以，
∴椭圆C的方程为；
（2）设直线为 ，
则，
整理得，
设，，
则， ，
又∵ ，
，
∴ ，
整理得 ，
即 ，
将，代入上式
得，
整理得，
解得，
所以为定值，且定值为
重难点题型突破06 直线与椭圆综合应用
例7．（2021·沙坪坝区·重庆八中高三月考）已知椭圆的焦点坐标为、，且点在椭圆上.
（1）求的方程；
（2）设是直线上一点，过点作两条斜率之积为的直线、，且直线、均与椭圆只有一个公共点，求的坐标.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）根据已知条件可得出关于的方程，解出的值，即可得出椭圆的方程；
（2）设，设、的斜率分别为、，设、的方程为（其中、），将方程与椭圆的方程联立，由化简可得，分析可知、为关于的方程的两根，利用韦达定理结合已知条件，求出的值，即可得出点的坐标.
【详解】
（1）因为在椭圆上，所以或（舍），
所以，椭圆的方程为；
（2）如图，设，设、的斜率分别为、，
则、的方程为（其中、），
由，得，①
关于的方程①的判别式，
化简得，②
关于的方程②有两个实根、分别是切线、的斜率，
又，故，解得，所以或.
【点睛】
关键点点睛：解本题的关键在于将直线、转化为关于的二次方程的两根，结合韦达定理求解.
例8．（2021·安徽亳州二中高二期中（文））已知椭圆：的左、右焦点分别为、，上、下顶点分别是、，离心率为，过的直线与椭圆交于、两点，若的周长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线与椭圆交于不同的两点、，若，试求内切圆的面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）本题首先可根据的周长为求出，然后根据离心率为求出，即可求出椭圆的标准方程；
（2）首先可根据椭圆的标准方程得出直线的斜率为，然后根据得出直线的方程为，再然后与椭圆方程联立，得出，，最后求出的面积与周长，通过即可求出内切圆半径与面积.
【详解】
（1）因为的周长为，所以结合椭圆的定义可知，，，
因为离心率为，所以，，
故椭圆的标准方程为.
（2）由椭圆的标准方程为易知，，
则直线的斜率为，
因为，所以直线的斜率为，
则直线的方程为，即，
联立，整理得，
设，，则，，
的面积，周长，
因为，所以内切圆半径，内切圆面积为.
例9．（2021·江西高安中学高二期中（理））已知椭圆的两焦点是，点在椭圆上，且，
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆上点的直线与，轴的交点分别为且.若关于原点对称，关于原点对称，且，求四边形面积的最大值.
【答案】（1）；（2）4.
【分析】
(1)利用椭圆的定义求出，再把点代入椭圆方程可求得，从而得出椭圆方程；
(2)椭圆中的四边形面积最大值问题，先设直线方程，再联立直线与椭圆方程，用弦长公式求弦长，点到直线的距离公式求高，再利用基本不等式求最值.
【详解】
(1)因为点在椭圆上，所以，所以.
又椭圆过点，
所以，解得，.
所以椭圆的标准方程为：.
点在椭圆上，所以.
(2)设经过点的直线方程为：，
可得，，，.
因为，所以，，所以直线斜率为，
因为，所以，
故直线方程为，即.
联立，
解得，所以，
又，所以，
点到直线的距离为，
所以
又，
所以，
所以，当且仅当，即时，等号成立.
故四边形面积的最大值为.
【点睛】
圆锥曲线中与椭圆相关的综合题，可从以下几个方面考虑：
(1)求椭圆方程，常利用椭圆的定义、性质和待定系数法求解；
(2)求解椭圆中的面积最值，一般是用代数法求解：先设直线方程，再联立直线与椭圆方程，用弦长公式求弦长，点到直线的距离公式求高，再利用函数的单调性或基本不等式求最值.
例10．（2021·江西临川一中高二月考（理））已知椭圆的长轴长为6，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于两点在轴的同侧为椭圆的左 右焦点，若，求四边形面积的最大值.
【答案】（1）；（2）3.
【分析】
（1）由已知得到关于的方程组，解方程组即得解；
（2）如图，延长交于点，设，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，求出，再利用基本不等式求解.
【详解】
（1）椭圆C：的长轴长为6，离心率为，
又
则椭圆的标准方程为
（2）如图，延长交于点，由对称性可知：，
由（1）可知，
设，直线的方程为，
由可得，
设与的距离为，则四边形面积
而，
当且仅当，即时，取等号.
故四边形面积的最大值为
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突破3.1 椭圆
一、考情分析
二、考点梳理
知识点一 椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集．
知识点二 椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
图形
性质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴 长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b
焦距 ＝2c
离心率 e＝， e∈(0,1)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
【知识必备】
1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
(1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
(2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；
(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中
(1)当P为短轴端点时，θ最大．
(2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
4．AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
(1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|；
(2)直线AB的斜率kAB＝－.
三、题型突破
重难点题型突破01 椭圆的定义及其应用
例1、（1）（ 河南郑州外国语学校2019届模拟）如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
（2）．（2021·宁夏银川市·银川二中高一期末）如图，设是圆上的动点，点是在轴上的投影，是线段上一点，且.当点在圆上运动时，动点的轨迹方程是______．
（3）．（2021·全国高二专题练习）动圆过定点，且内切于定圆：，动圆圆心的轨迹方程为________．
【变式训练1-1】．（2021·全国高二课时练习）已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线
【变式训练1-2】．（2021·全国高二课时练习）已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆上任意一点都满足关系式，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
重难点题型突破02 椭圆的标准方程与简单的几何性质
例2．（1）（2020·莆田第二十五中学高二期中）（多选题）若为椭圆的方程，则（ ）
A．3 B．6 C．8 D．11
（2）．（2021·河北张家口·高二期末）点是椭圆的一个焦点，则实数m的值为________．
（3）．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆的一个顶点是(0，)，且离心率e＝，则椭圆的标准方程是____________．
【变式训练2-1】．（2021·湖南长郡中学高二期末）“ "是“方程 表示焦点在 轴上的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式训练2-2】．（2020·如皋市第一中学高二月考）已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则等于（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
【变式训练2-3】．（2021·云南省楚雄天人中学高二月考（文））已知椭圆的中点在原点，焦点在x轴上，长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-4】．（2021·湖南高二期末）已知椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-5】．（2021·贵溪市实验中学高三其他模拟）椭圆的半焦距是___________，离心率是___________.
重难点题型突破03 求椭圆的标准方程
例3．（2021·全国高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；
（2）c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
（3）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点和
【变式训练3-1】．（2021·全国）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过，两点；
（2）长轴长是短轴长的3倍，且经过点；
（3）焦距是8，离心率等于0.8．
【变式训练3-2】．（2021·全国）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过，两点；
（2）长轴长等于20，离心率等于．
例4．（1）（2021·全国高三专题练习（文））已知椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M、N)，△AF1B的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为－，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2021·江苏南通市·高三一模）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】．（2021·上海高二期中）焦点在坐标轴上，焦距为，短轴长为4的椭圆的标准方程为___________.
【变式训练4-2】．（2021·全国高三月考（理））已知椭圆的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线交于两点，且，且，则的标准方程为____________.
重难点题型突破04椭圆的范围与最值问题
例5．（1）已知，是椭圆的左、右焦点，点在上，则的最大值为______；若，则的最小值为______.
（2）．（2020·扬州市第一中学高二月考）（多选题）已知是椭圆上一点，，为其左右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．点纵坐标为 B．
C．的周长为 D．的内切圆半径为
（3）．（2021·广西玉林·高二期末（理））已知椭圆的右焦点是，直线与椭圆交于、两点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
（4）．（2021·全国高三专题练习）已知F为椭圆的左焦点，定点，点P为椭圆C上的一个动点，则的最大值为_______.
【变式训练5-1】．（2021·安徽高二月考（理））如图所示，点F是椭圆的右焦点，A，C是椭圆上关于原点O对称的两点，直线与椭圆的另一个交点为B，若，则椭圆M的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】．（2021·全国高三月考（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线交于两点，且，且，则椭圆的短轴长为_________________________．
【变式训练5-3】．（2020·全国高二课时练习）（多选）已知P是椭圆上一点，是其两个焦点，则的大小可能为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-4】．（2020·南京市大厂高级中学高二月考）已知椭圆内有一点，F是椭圆的右焦点，M是椭圆上一点，则的最小值为______.
【变式训练5-5】．（2021·渝中·重庆巴蜀中学高三月考）动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的最小值为（ ）
A．2 B．6 C． D．10
重难点题型突破05椭圆的定点与定值问题
例6．（2021·全国）已知直线，圆，椭圆的离心率，直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等.
（1）求椭圆的方程；
（2）过圆上任意一点作椭圆的两条切线，若切线的斜率都存在，求证：两条切线斜率之积为定值.
【变式训练6-1】．（2021·河北沧州·高三月考）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点（，）且不垂直于x轴y轴的直线与椭圆C交于A，B两点，点为椭圆C外一点，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由．
重难点题型突破06 直线与椭圆综合应用
例7．（2021·沙坪坝区·重庆八中高三月考）已知椭圆的焦点坐标为、，且点在椭圆上.
（1）求的方程；
（2）设是直线上一点，过点作两条斜率之积为的直线、，且直线、均与椭圆只有一个公共点，求的坐标.
例8．（2021·安徽亳州二中高二期中（文））已知椭圆：的左、右焦点分别为、，上、下顶点分别是、，离心率为，过的直线与椭圆交于、两点，若的周长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线与椭圆交于不同的两点、，若，试求内切圆的面积.
例9．（2021·江西高安中学高二期中（理））已知椭圆的两焦点是，点在椭圆上，且，
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆上点的直线与，轴的交点分别为且.若关于原点对称，关于原点对称，且，求四边形面积的最大值.
例10．（2021·江西临川一中高二月考（理））已知椭圆的长轴长为6，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于两点在轴的同侧为椭圆的左 右焦点，若，求四边形面积的最大值.
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