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突破3.2 双曲线
A组 基础巩固
1．（2021·全国高二课时练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的左支 D．双曲线的右支
【答案】D
【分析】
根据所给式子，满足双曲线线的定义，且为双曲线的右支，即可得解.
【详解】
表示：
动点到两定点，的距离之差等于2，
而，由双曲线的定义，知动点的轨迹是双曲线的右支．
故选：D
2．（2021·东莞市东华高级中学高二期末）下图上半部分为一个油桃园.每年油桃成熟时，园主都需要雇佣人工采摘，并沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地处销售.路径1：先集中到处，再沿公路运送；路径2：先集中到处，再沿公路运送.园主在果园中画定了一条界线，使得从该界线上的点出发，按这两种路径运送油桃至处所走路程一样远.已知，，若这条界线是曲线的一部分，则曲线为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
【答案】D
【分析】
根据题意得到，进而得到，结合双曲线的定义，即可求解.
【详解】
由题意，从界线上的点出发，经到与经到，所走的路程是一样的，
即，所以，
又由，所以，
又由，根据双曲线的定义可知曲线为双曲线的一部分.
故选：D.
3．（2022·全国高三专题练习（理））已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据已知可得，双曲线焦距，结合的关系，即可求出结论.
【详解】
因为双曲线的一条渐近线方程为，则.①
又因为椭圆与双曲线有公共焦点，
双曲线的焦距，即c＝3，则a2＋b2＝c2＝9.②
由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为.
故选：B.
【点睛】
本题考查椭圆、双曲线的标准方程以及双曲线的简单几何性质，属于基础题.
4．（2021·全国高三专题练习（文））点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】
由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，
结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.
故选：A.
5．（2021·北京高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】
，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为.
故选：B
6．（2020·山东莱州一中高二月考）下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
试题分析：焦点在轴上的是C和D，渐近线方程为，故选C．
考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质．
7．（2020·浙江杭州·高二课时练习）已知双曲线，焦距为，直线经过点和，若到直线的距离为，则离心率为__________．双曲线渐近线方程为__________．
【答案】
【分析】
求出直线的方程，运用点到直线的距离公式，得到方程，结合，，的关系和离心率公式，化简整理即可得到，解方程即可得到离心率，注意条件，则有，注意取舍，最后求出双曲线的渐近线．
【详解】
解：直线的方程为，即为，
，到直线的距离为，
可得：，即有，
即，即，
，
由于，则，
解得，或．
由于，即，即有，即有，
故，故渐近线方程为．
故答案为：；
【点睛】
本题考查双曲线的性质：离心率的求法，同时考查直线的方程和点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题．
8．（2020·全国高二单元测试）若双曲线的离心率为，则实数m=___________； 渐近线方程为__________．
【答案】2
【分析】
由题意首先由离心率求得m的值，然后求解渐近线方程即可.
【详解】
， .渐近线方程是.
【点睛】
本题主要考查双曲线渐近线方程的求解，双曲线中参数的确定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．（2020·湖南师大附中高二月考）已知点，，动点满足：直线与直线的斜率之积为定值.
（1）若点的轨迹是焦点在轴上的椭圆（除去点、），则的取值范围是______；
（2）若点的轨迹是焦距为4的双曲线（除去点、），则______.
【答案】
【分析】
（1）先根据条件写出的轨迹方程，然后分析当该方程为焦点在轴上的椭圆（除去、）时满足的不等关系，由此求解出的取值范围；
（2）根据轨迹方程表示焦距为的双曲线，列出对应方程，从而求解出的值.
【详解】
（1）设，根据条件可知的轨迹方程：，
所以，所以，即
又因为点的轨迹是焦点在轴上的椭圆（除去点、），
所以，所以，即；
（2）由（1）知点的轨迹方程为：，
当点的轨迹是焦距为的双曲线（除去点、）时，
可知，所以.
【点睛】
易错点睛：本题考查根据轨迹的形状求解参数或参数范围，属于中档题.常见的根据轨迹是椭圆或双曲线求解参数时需注意的地方：
（1）求解椭圆有关轨迹问题时，要注意排除圆的情况；
（2）求解椭圆或双曲线相关轨迹问题时，要注意根据焦点位置进行分析.
10．（2021·宁夏吴忠中学高二期中（理））与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是_______.
【答案】
【分析】
设出双曲线方程，由题意可得关于的方程组，即可求解.
【详解】
由椭圆方程可知，焦点坐标是，
设双曲线方程是，
所以，解得：，，
所以双曲线方程是.
故答案为：
11．（2019·黑龙江大庆实验中学高二期中（理））已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为_________
【答案】
【分析】
由题，根据椭圆和双曲线的定义可表示出，再利用余弦定理可得，最后再利用柯西不等式可的结果.
【详解】
由题，设椭圆为：，双曲线为：
由定义可得
在三角形中，由余弦定理可得：
整理可得：
由柯西不等式：
所以，当且紧当时取等号.
故答案为
【点睛】
本题考查了椭圆和双曲线的综合知识，熟悉性质和定义是解题的关键，还有了解余弦定理以及柯西不等式，综合性强，属于难题.
12．（2021·全国高三专题练习（文））在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线 交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为_________.
【答案】
【详解】
，
因为 ，所以渐近线方程为.
【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.
2.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．
13．（2021·全国高三专题练习（理））若椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，，则__________.
【答案】
【分析】
设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a，由双曲线的定义可得s﹣t＝2 a1，利用勾股定理和离心率公式得到，化简计算即可得出结论．
【详解】
不妨设P在第一象限，
再设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a，
由双曲线的定义可得s﹣t＝2a1，
解得s＝a+a1，t＝a﹣a1，
由∠F1PF2，
在三角形F1PF2中，利用勾股定理可得．
∴，
化简，又由e1e2＝2，
所以.
故答案为：8．
【点睛】
本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．在解题的过程中要合理的利用平面几何的思想，适当利用勾股定理，建立离心力的关系式，在化简的过程中根据题目的条件和结论合理构造和变形，这样解题会轻松一点.
14．（2020·全国高三专题练习）设、是双曲线：的两个焦点，是上一点，若，是的最小内角，且，则双曲线的渐近线方程是_____．
【答案】
【分析】
设|PF1|＞|PF2|，由双曲线的定义可求出|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，结合余弦定理可解出离心率，从而可得c，，进而可求出渐近线方程.
【详解】
设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|PF1|+|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a．
由∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°，∴| PF2|2＝| PF1|2+|F1F2|2﹣2| PF1| |F1F2|cos30°，
∴，同时除以a2，化简，
解得e，∴c，∴b，
∴双曲线C：1的渐近线方程为y±，即0．
故答案为: .
【点睛】
本题考查了双曲线的定义，考查了余弦定理，属于中档题.本题的关键是用将表示出来.
B组 能力提升
15．（2021·全国高二单元测试）（多选题）已知双曲线：（）的一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（ ）．
A．的焦点在轴上 B．
C．的实轴长为6 D．的离心率为
【答案】AD
【分析】
根据双曲线的定义及性质即可验证各选项．
【详解】
解：由，可知双曲线的焦点一定在轴上，故A正确；
根据题意得，所以，故B错误；
双曲线的实轴长为，故C错误；
双曲线的离心率，故D正确．
故选：AD．
【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质，属于基础题．
16．（2020·江苏省滨海中学高三一模）（多选题）已知动点P在左、右焦点分别为、的双曲线C上，下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为2 B．当P在双曲线左支时，的最大值为
C．点P到两渐近线距离之积为定值 D．双曲线C的渐近线方程为
【答案】AC
【分析】
先利用双曲线方程得到对应的，直接求得离心率和渐近线方程，判断AD的正误，设，知，结合点到直线的距离公式直接计算点P到两渐近线距离之积得到定值判断C正确；利用双曲线定义将转化成关于的关系式，再利用基本不等式即求得最值，判断选项B的正误.
【详解】
在双曲线C中，实半轴长，虚半轴长，半焦距.
对于AD，双曲线的离心率，渐近线方程为，故A正确，D错误；
对于B，当P在双曲线的左支上时，，
故，当且仅当时，即时等号成立，故的最大值为，故B错误；
对于C，设，则，即，而渐近线为和，故到渐近线的距离之积为为定值，故C正确.
故选：AC.
【点睛】
关键点点睛：
本题的解题关键在于突破选项B，其关键点在于利用双曲线定义将比值转化到一个变量的关系式上，利用基本不等式突破最值.
17．（2020·普宁市第二中学高三月考）（多选题）已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线为圆
B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为
C．“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的充分而不必要条件
D．存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为
【答案】AB
【分析】
根据双曲线的标准方程及简单的几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，曲线的方程为，
对于A总，当时，曲线的方程为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，所以是正确的；
对于B中，当时，曲线的方程为，可得，此时双曲线渐近线方程为，所以是正确的；
对于C中，当曲线的方程为表示焦点在轴上的双曲线时，则满足，解得，所以 “”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件，所以不正确；
对于D中，当曲线的方程为表示双曲线，且离心率为时，此时双曲线的实半轴长等于虚半轴长，此时，解得，此时方程表示圆，所以不正确.
故选：AB.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程及其应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力.
18．（2021·湖南雅礼中学高二期末）（多选题）已知曲线（ ）
A．若，，则是两条直线
B．若，则是圆，其半径为
C．若，则是椭圆，其焦点在轴上
D．若，则是双曲线，其渐近线方程为
【答案】AD
【分析】
由曲线方程及圆锥曲线的性质逐项判断即可得解.
【详解】
对于A，若，，则即，为两条直线，故A正确；
对于B，若，则，所以是圆，半径为，故B错误；
对于C，若，则，
所以即为椭圆，且焦点在轴上，故C错误；
对于D，若，则为双曲线，
且其渐近线为，故D正确.
故选：AD.
19．（2021·河北张家口·高二期末）已知双曲线C的方程为，其左、右焦点分别为，，且，双曲线C的一个焦点到渐近线的距离为1．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）P是双曲线C上一点，O是坐标原点，且，求的面积．
【答案】（1）；（2）1.
【分析】
（1）由焦距得，由焦点到渐近线的距离为1可得关系，从而求得，再由求得得双曲线方程；
（2）由，得为直角三角形且，结合双曲线的定义求得，从而得三角形面积．
【详解】
解：（1）依题意，知，.
不妨设双曲线的右焦点到渐近线的距离为1，渐近线方程即，
则，∴，∴
∴双曲线的标准方程为.
（2）在中，∵是边，上的中线且，
∴为直角三角形且.
∵是双曲线上一点，∴
平方，得，
其中，
∴
∴
20．（2021·昆明市外国语学校高二月考（文））已知椭圆的中心在原点，离心率为，焦点在轴上且长轴长为10．过双曲线的右焦点作垂直于轴的直线交双曲线于两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若双曲线与椭圆有公共的焦点，且以为直径的圆恰好过双曲线的左顶点，求双曲线的标准方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设椭圆的标准方程为，根据椭圆的几何性质列出方程即可求出各个系数，从而得出椭圆的标准；
（2）设双曲线的右焦点，将代入双曲线方程求得，又以为直径的圆恰好过双曲线的左顶点，且，从而建立等式求出离心率，最后即得双曲线的标准方程．
【详解】
解：（1）设椭圆的标准方程为，
根据题意得，则．
又，
∴椭圆的标准方程为．
（2）设双曲线的右焦点，将代入双曲线方程，得．
∵以为直径的圆恰好过双曲线的左顶点，且，
，即，
整理得，即有．
又．
又双曲线与椭圆有公共的焦点，，
∴双曲线的标准方程为．
21．（2021·广东高三月考）已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）记的左、右顶点分别为，过的直线交的右支于两点，连结交直线于点，求证：三点共线．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据题意得 ，再根据即可求得答案；
（2）由题知，，直线的斜率不为0，故设其方程为，，，进而结合直线的方程得，再根据向量共线的坐标表示判断，共线即可.
【详解】
解:（1）依题意可得，，
解得，故的方程为.
（2）易得，
显然，直线的斜率不为0，设其方程为，，
联立方程，消去整理得，
所以，．
直线，令得，故
，，
，（*）
又
，即的值为0．
所以故A、Q、N三点共线．﹒
22．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，离心率e＝2，直线l：x＝与E的一条渐近线交于Q，与x轴交于P，且|FQ|＝．
（1）求E的方程；
（2）过F的直线交E的右支于A，B两点，求证：PF平分∠APB．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先将直线的方程与渐近线方程联立求出点Q的坐标，求出PF的长，从而可求出|FQ|，再由|FQ|＝，可求出的值，再结合离心率可求出的值，从而可求出E的方程；
（2）设过点F得直线方程为：x＝my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与双曲线方程联立方程组，消去，再利用根与系数的关系，然后表示出kPA，kPB，相加化简，若等于零，可得PF平分∠APB
【详解】
解：（1）不妨设直线l：x＝与E的一条渐近线交于Q，则
由得yQ＝，
又PF＝c﹣＝，
∴|FQ|2＝（）2+（）2＝b2＝3，
∴，
又离心率e＝2，∴，∴a＝1．
∴E的方程为：．
（2）设过点F得直线方程为：x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立，可得（3m2﹣1）y2+12my+9＝0，
则，，
∵过F的直线交E的右支于A，B两点，∴y1y2＜0，
可得﹣＜m＜，
又P（，0），
∴kPA+kPB＝＝，
∴＝2my1y2+
＝
∴kPA+kPB＝0，
∴PF平分∠APB．
23．（2021·云南弥勒市一中高二月考（理））已知双曲线的方程为，椭圆的方程为，双曲线右焦点到双曲线渐近线的距离为，椭圆的焦点为，，短轴端点为，．
（1）求双曲线的方程与椭圆的方程；
（2）过点作椭圆的两条互相垂直的弦，，证明：过两弦，中点的直线恒过定点．
【答案】（1）双曲线的方程为，椭圆的方程为；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据双曲线右焦点到双曲线渐近线的距离为求得，在椭圆中由求得，进而求得双曲线方程和椭圆方程；
（2）设出直线的方程，可得直线的方程，结合韦达定理可求得直线的方程，进而可求得结果.
【详解】
（1）因为双曲线的右焦点为到双曲线渐近线的距离为，不妨设渐近线方程为，所以.
在椭圆中，因为，则，又，所以，
所以双曲线的方程为，椭圆的方程为．
（2）根据题意可得当直线与直线的斜率存在且不为0时，
设直线的方程为，则直线的方程设为，
联立，消去，可得，
则．
设，，则，，
所以的中点．同理可得的中点，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，整理可得，
所以直线恒过定点；
当直线的斜率不存在时，弦的中点，的中点，
此时过弦，的中点的直线为，经过定点．
综上可得，过两弦，中点的直线恒过定点．
24．（2021·上海市建平中学）已知双曲线（，）的左、右焦点分别是、，左、右两顶点分别是、，弦和所在直线分别平行于轴与轴，线段的延长线与线段相交于点（如图）．
（1）若是双曲线 的一条渐近线的一个方向向量，试求的两渐近线的方程；
（2）若，，，，试求双曲线的方程；
（3）在（1）的条件下，且，点与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线分别相交于点和，试问：是否存在定点，使得恒成立？若是，请求出定点的坐标，若不是，试说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在；或．
【分析】
（1）由直线的方向向量可得渐近线的斜率，从而可得渐近线的方程，
（2）求得，代入双曲线的方程，可求得的值，从而可求得双曲线的方程，
（3）求得双曲线的方程，运用三点共线的条件，可得的坐标，假设存在，运用两直线垂直的条件，结合恒等式，可得定点的坐标
【详解】
（1）由是的一条渐近线的一个方向向量，可得渐近线的斜率为，所以双曲线的渐近线方程为，
（2）由，，，，可得，则，
代入双曲线方程得，，
解得，
所以双曲线的方程为，
（2）由（1）可得，双曲线方程为，即，
设，则，
由三点共线，可得，
即有，所以，
同理可得，由三点共线，可得，
假设存在定点，使得恒成立，可得，
即，化为，
即为，
令，则，得，
所以存在定点，且或
25．（2020·江苏南京二十七中高二月考）在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点为，，实轴长为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知直线过点，
①求直线与双曲线有两个公共点时，直线的斜率的取值范围；
②设直线与双曲线的交点为、，求当为线段的中点时直线的方程．
【答案】（1）；（2）①；②．
【分析】
（1）由题意可知双曲线得焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，解方程组即可求出结果；
（2）①首先检验斜率不存在是否成立，斜率存在时，设出直线得方程与双曲线联立，解不等式，注意考虑与渐近线平行时的情况，即可求出结果；
①结合韦达定理以及中点坐标公式即可求出结果.
【详解】
（1）由题意可知双曲线得焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，由题意可得，解得，双曲线的标准方程为．
（2）①当直线斜率不存在时，直线方程为，显然成立，
当斜率存在时，设直线方程为，
则，化简可得，
因为有两个公共点，
所以，
解得或，
由于当直线与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点，所以，
因此直线的斜率的取值范围；
②直线斜率不存在时，则由双曲线对称性，线段的中点在轴上，所以不满足题意；
设，，由①得，
因为恰好为线段的中点，则，
化简可得，由①知符合题意，
所以直线方程为，即．
【点睛】
求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.
26．（2021·上海浦东新·华师大二附中高三月考）已知，如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点，为曲线所在圆锥曲线的焦点
（1）若，求曲线的方程；
（2）如图，作斜率为正数的直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求弦的中点的轨迹方程；
（3）对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值
【答案】（1）和；（2）；（3）．
【分析】
（1）由题意可得，解方程组求出的值，从而可求出曲线的方程；
（2）设直线，与曲线的方程联立成方程组，消去，利用根与系的关系结合中点坐标公式可得答案；
（3）由题意设直线为，与的方程联立方程组，消去，利用根与系的关系，设，从而可求出，然后表示出面积，利用基本不等式可求得结果
【详解】
解：（1）因为，所以，解得
所以曲线的方程为和；
（2）曲线的渐近线为，如图，设直线
则
又有数形结合知
设点，
则
所以，，
所以，即点在线段上；
（3）由（1）可知，和点
设直线为
，化为，
，设，所以
所以
，令
所以，当且仅当，即时等号成立
所以.
27．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为．
（1）求双曲线的方程；
（2）经过点的直线与双曲线的右支交与两点，与轴交与点，点关于原点的对称点为点，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由题意可得，，再结合可求出，从而可求出双曲线的方程；
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：，可得，，将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，从而可表示出，再由直线与双曲线的右支交与两点，可得，则，代入上式化简可求得结果
【详解】
解：（1）由题意得，，
解得所以双曲线的方程为：
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：，得，，
设，，
联立，整理可得
，
所以
所以
直线与双曲线右支有两个交点，所以
所以，设，
所以
【点睛】
关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是将直线方程与双曲线方程联立后，利用根与系数的有关系，从而可表示出，再结合，换元后求其最小值即可，考查计算能力，属于中档题
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突破3.2 双曲线
A组 基础巩固
1．（2021·全国高二课时练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的左支 D．双曲线的右支
2．（2021·东莞市东华高级中学高二期末）下图上半部分为一个油桃园.每年油桃成熟时，园主都需要雇佣人工采摘，并沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地处销售.路径1：先集中到处，再沿公路运送；路径2：先集中到处，再沿公路运送.园主在果园中画定了一条界线，使得从该界线上的点出发，按这两种路径运送油桃至处所走路程一样远.已知，，若这条界线是曲线的一部分，则曲线为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
3．（2022·全国高三专题练习（理））已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·全国高三专题练习（文））点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·北京高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·山东莱州一中高二月考）下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是
A． B． C． D．
7．（2020·浙江杭州·高二课时练习）已知双曲线，焦距为，直线经过点和，若到直线的距离为，则离心率为__________．双曲线渐近线方程为__________．
8．（2020·全国高二单元测试）若双曲线的离心率为，则实数m=___________； 渐近线方程为__________．
9．（2020·湖南师大附中高二月考）已知点，，动点满足：直线与直线的斜率之积为定值.
（1）若点的轨迹是焦点在轴上的椭圆（除去点、），则的取值范围是______；
（2）若点的轨迹是焦距为4的双曲线（除去点、），则______.
10．（2021·宁夏吴忠中学高二期中（理））与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是_______.
11．（2019·黑龙江大庆实验中学高二期中（理））已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为_________
12．（2021·全国高三专题练习（文））在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线 交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为_________.
13．（2021·全国高三专题练习（理））若椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，，则__________.
14．（2020·全国高三专题练习）设、是双曲线：的两个焦点，是上一点，若，是的最小内角，且，则双曲线的渐近线方程是_____．
B组 能力提升
15．（2021·全国高二单元测试）（多选题）已知双曲线：（）的一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（ ）．
A．的焦点在轴上 B．
C．的实轴长为6 D．的离心率为
16．（2020·江苏省滨海中学高三一模）（多选题）已知动点P在左、右焦点分别为、的双曲线C上，下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为2 B．当P在双曲线左支时，的最大值为
C．点P到两渐近线距离之积为定值 D．双曲线C的渐近线方程为
17．（2020·普宁市第二中学高三月考）（多选题）已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线为圆
B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为
C．“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的充分而不必要条件
D．存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为
18．（2021·湖南雅礼中学高二期末）（多选题）已知曲线（ ）
A．若，，则是两条直线
B．若，则是圆，其半径为
C．若，则是椭圆，其焦点在轴上
D．若，则是双曲线，其渐近线方程为
19．（2021·河北张家口·高二期末）已知双曲线C的方程为，其左、右焦点分别为，，且，双曲线C的一个焦点到渐近线的距离为1．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）P是双曲线C上一点，O是坐标原点，且，求的面积．
20．（2021·昆明市外国语学校高二月考（文））已知椭圆的中心在原点，离心率为，焦点在轴上且长轴长为10．过双曲线的右焦点作垂直于轴的直线交双曲线于两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若双曲线与椭圆有公共的焦点，且以为直径的圆恰好过双曲线的左顶点，求双曲线的标准方程．
21．（2021·广东高三月考）已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）记的左、右顶点分别为，过的直线交的右支于两点，连结交直线于点，求证：三点共线．
22．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，离心率e＝2，直线l：x＝与E的一条渐近线交于Q，与x轴交于P，且|FQ|＝．
（1）求E的方程；
（2）过F的直线交E的右支于A，B两点，求证：PF平分∠APB．
23．（2021·云南弥勒市一中高二月考（理））已知双曲线的方程为，椭圆的方程为，双曲线右焦点到双曲线渐近线的距离为，椭圆的焦点为，，短轴端点为，．
（1）求双曲线的方程与椭圆的方程；
（2）过点作椭圆的两条互相垂直的弦，，证明：过两弦，中点的直线恒过定点．
24．（2021·上海市建平中学）已知双曲线（，）的左、右焦点分别是、，左、右两顶点分别是、，弦和所在直线分别平行于轴与轴，线段的延长线与线段相交于点（如图）．
（1）若是双曲线 的一条渐近线的一个方向向量，试求的两渐近线的方程；
（2）若，，，，试求双曲线的方程；
（3）在（1）的条件下，且，点与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线分别相交于点和，试问：是否存在定点，使得恒成立？若是，请求出定点的坐标，若不是，试说明理由．
25．（2020·江苏南京二十七中高二月考）在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点为，，实轴长为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知直线过点，
①求直线与双曲线有两个公共点时，直线的斜率的取值范围；
②设直线与双曲线的交点为、，求当为线段的中点时直线的方程．
26．（2021·上海浦东新·华师大二附中高三月考）已知，如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点，为曲线所在圆锥曲线的焦点
（1）若，求曲线的方程；
（2）如图，作斜率为正数的直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求弦的中点的轨迹方程；
（3）对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值
27．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为．
（1）求双曲线的方程；
（2）经过点的直线与双曲线的右支交与两点，与轴交与点，点关于原点的对称点为点，求证：．
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