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突破3.2 双曲线
一、考情分析
二、考点梳理
考点一 双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.
(1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线；
(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；
(3)当a＞c时，点P不存在．
考点二 双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±xy＝±x
离心率 e＝ ，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
三、题型突破
重难点题型突破一 双曲线的定义及其轨迹方程的求法
例1．（1）（2020·全国高二单元测试）如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.
【答案】.
【分析】
由题意可得|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|，利用双曲线的定义即可求解.
【详解】
圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，
且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝.
故动圆圆心M的轨迹方程为.
（2）．（2021·全国高二课时练习）已知，为平面内两个定点，为动点，若（为大于零的常数），则动点的轨迹为（ ）
A．双曲线 B．射线
C．线段 D．双曲线的一支或射线
【答案】D
【分析】
根据双曲线的定义讨论的取值范围即可判断.
【详解】
两个定点的距离为，
当，即时，点的轨迹为双曲线的一支；
当，即时，点的轨迹为射线；
不存在的情况．
综上所述，动点的轨迹为双曲线的一支或射线．
故选：D．
【变式训练1-1】．（2020·全国高二课时练习）在一张矩形纸片上，画有一个圆（圆心为O）和一个定点F（F在圆外）．在圆上任取一点M，将纸片折叠使M与点F重合，得到折痕CD．设直线CD与直线OM交于点P，则点P的轨迹为（ ）
A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线
【答案】A
【分析】
因为CD是线段MF的垂直平分线则|MP|＝|PF|，进而得|PO|﹣|PF|＝|PO|﹣|PM|＝|MO|为定值，根据双曲线定义可推断点P轨迹．
【详解】
由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|＝|PF|，∴|PO|﹣|PF|＝|PO|﹣|PM|＝|MO|（定值），
又显然|MO|＜|FO|，∴根据双曲线的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的双曲线．
故选：A．
【变式训练1-2】．（2019·深圳市宝安中学（集团）高二期中）已知点，动圆C与直线相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由给定条件分析探求出点P所满足的关系，再结合圆锥曲线的定义即可作答.
【详解】
设直线PM，PN与圆C相切的切点分别为点Q，T，如图，
由切线长定理知，MB=MQ，PQ=PT，NB=NT，于是有|PM|-|PN|=|MQ|-|NT|=|MB|-|NB|=2<6=|MN|，
则点P的轨迹是以M，N为左右焦点，实轴长2a=2的双曲线右支，虚半轴长b有，
所以点P的轨迹方程为.
故选：A
【变式训练1-3】．（2021·湖南长沙·高二期末）若是圆所在平面内的一定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹不可能是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】D
【分析】
由题意可得，点可能在圆的外部，可能在圆的内部（但不和点重合）、可能和点重合、也可能在圆上，在这四种情况下，分别结合椭圆的定义、双曲线的定义、圆的定义求出点的轨迹方程，即可得到答案．
【详解】
设圆的半径为，
（1）若点A在圆内不同于点处，如图（1）所示，则有，故点的轨迹是以A 为焦点的椭圆，所以B正确；
（2）若点A与重合，则有，故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以A正确；
（3）若点A在圆上，如图（3）所示，则由垂径定理，线段的垂直平分线必过点，故与重合，故点的轨迹是一个点；
（4）若点A在圆外，如图（4）所示，
则，
所以，故点的轨迹是以A 为焦点的双曲线右支，当的垂直平分线交的延长线于点时，的轨迹是以A 为焦点的双曲线左支，所以C正确；
故选:D.
重难点题型突破二 双曲线的标准方程与简单几何性质
例2．（1）（2021·全国高二单元测试）焦距为10，且的双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【分析】
根据双曲线的性质即可求解.
【详解】
由题意知2c＝10，c＝5，又，c2＝b2＋a2，
∴a2＝9，b2＝16，
∴所求双曲线的标准方程为或．
故选：D．
（2）．（2020·全国高二单元测试）焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由题意求解出渐近线方程为，根据焦点坐标判断出所求双曲线的焦点在轴，所以得，再根据以及，求解出.
【详解】
双曲线中，，所以渐近线方程为，所以所求双曲线的方程中，，，所以，则双曲线方程为.
故选：B.
（3）．（2020·全国高二单元测试）已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意可得，，再由即可求出，得出方程.
【详解】
∵双曲线1(a>0，b>0)的焦距为，，，
又双曲线的一条渐近线与直线2x+y+1=0平行，
∴，结合，可解得，
∴双曲线的方程为.
故选：B.
【变式训练2-1】．（2020·全国高二课时练习）若方程＝1表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．(－2，2) B．(0，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
【答案】A
【分析】
根据双曲线的标准方程的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】
由题意，方程＝1表示双曲线，则满足，
解得，即实数的取值范围是.
故选：A.
【变式训练2-2】．（2021·全国高二课时练习）以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点(3，)的双曲线的标准方程为________．
【答案】－＝1
【分析】
由已知得双曲线的焦点在x轴上，且c＝2，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，代入已知点，解之可得答案.
【详解】
由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有a2＋b2＝c2＝8，－＝1，解得a2＝3，b2＝5.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
故答案： －＝1.
【变式训练2-3】．（2021·全国高二课时练习）焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)的双曲线的标准方程为________．
【答案】
【分析】
设出双曲线的标准方程，代入点求出即可求解.
【详解】
设双曲线方程为，
将点(4，－2)和 代入方程得
解得a2＝8，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为.
故答案为：
【变式训练2-4】．（2019·长沙市南雅中学高二月考）已知双曲线的一个焦点为，则的值为___________.
【答案】
【分析】
根据双曲线的交点有，由双曲线的参数关系求即可.
【详解】
由题设知：，即，又可得.
故答案为：
重难点题型突破三 求双曲线的标准方程
例3．（2020·全国高二课时练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程：
（1），经过点；
（2）与双曲线有相同的焦点，且经过点.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）分焦点在和轴上两种情况讨论，分别设出方程，代入点A的坐标，即可求解；
（2）设所求双曲线的方程为，代入点，求得的值，即可求解.
【详解】
（1）当焦点在x轴上时，设所求标准方程为，
把点A的坐标代入，可得，不符合题意；
当焦点在y轴上时，设所求标准方程为，
把A点的坐标代入，可得，故所求双曲线的标准方程为.
（2）设所求双曲线的方程为，
因为双曲线过点，所以，解得或 (舍去).
所以双曲线的标准方程为.
【变式训练3-1】．（2020·全国高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
（2）与双曲线有共同的渐近线，且过点.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据已知求出即可得出方程；
（2）设方程为，代入点求出即可得出方程.
【详解】
（1）设所求双曲线的标准方程为，
则由题可得，从而，代入，得，
故双曲线的标准方程为.
（2）设所求双曲线方程为，
将点代入得，
所以双曲线方程为，即.
【变式训练3-2】．（2021·莆田锦江中学）（1）已知椭圆C的两焦点分别为，且经过点，求椭圆C的标准方程.
（2）求与双曲线有相同渐近线，且右焦点为的双曲线方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设椭圆C的标准方程为，由椭圆定义求得，再由求得，得椭圆方程；
（2）设双曲线的方程为（且），由焦点坐标求得，得双曲线方程．
【详解】
解：（1）设椭圆C的标准方程为
则
又
椭圆C的标准方程为
（2）设双曲线的方程为（且），
因为焦点为，因此，
则
所求双曲线的方程为
重难点题型突破四 双曲线的渐近线与焦点三角形
例4．（1）（2021·全国高二单元测试）已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于A、B两点，若是等腰三角形，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设，．根据双曲线的定义和等腰三角形可得，再利用余弦定理可求得，从而可得的周长.
【详解】
由双曲线可得．
设，．则，，
所以，．
因为是等腰三角形，且，
所以，即，所以，
所以，，
在中，由余弦定理得，
即，
所以，解得，
的周长
．
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：根据双曲线的定义求解是解题关键.
（2）．（2020·绥滨县第一中学高二期末（文））已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为________．
【答案】
【分析】
作出图形，设双曲线的右焦点为，根据双曲线的定义可得，可得出，利用、、三点共线时取得最小值即可得解.
【详解】
对于双曲线，则，，，如下图所示：
设双曲线的右焦点为，则，
由双曲线的定义可得，则，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立.
因此，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：利用双曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：
（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；
（2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.
（3）．（2021·浙江高一期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆有公共焦点.则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求出椭圆焦点坐标，得双曲线的焦点坐标，再由焦点到渐近线的距离可求得，得渐近线方程．
【详解】
由题意已知椭圆的焦点坐标为，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中，
渐近线方程为，其中一条为，
于是有，，∴，
∴渐近线方程为．
故选：C．
【点睛】
关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，关键是求出．解题时要注意椭圆中，双曲线中．两者不能混淆．
【变式训练4-1】．（2020·全国高二课时练习）已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长________.
【答案】10
【分析】
由条件可知：且，从而求出的值，从而求出双曲线方程，则可设直线的方程，联立直线与双曲线，利用弦长公式即可求出弦长的值.
【详解】
∵双曲线：的一条渐近线方程是，
∴，即，∵左焦点，∴
∴，∴，，
∴双曲线方程为，直线的方程为，
设，由，
消可得，∴，，
∴．
故答案为：10.
【点睛】
结论点睛：（1）双曲线方程为时，渐近线方程为；
（2）双曲线方程为时，渐近线方程为；
（3）弦长公式为.
【变式训练4-2】．（2021·全国高二单元测试）设P是双曲线上一点，M，N分别是两圆：和上的点，则的最大值为_____．
【答案】9
【分析】
由题意及已知圆的方程，利用几何的知识可知当点P与M，B三点共线时使得取最大值．
【详解】
解：设两圆和圆心分别为A，B，
则A，B正好为双曲线两焦点，
，
即最大值为9，
故答案为：9．
重难点题型突破五 直线与双曲线的位置关系
例5．（2021·全国高二课时练习）如图，若是双曲线的两个焦点.
（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
（2）若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积.
【答案】（1）10或22；（2）.
【分析】
（1）利用双曲线的定义，根据动点到一个焦点的距离求动点到另一个焦点的距离即可；
（2）先根据定义得到，两边平方求得，即证，，再计算直角三角形面积即可.
【详解】
解：（1）是双曲线的两个焦点，则，
点M到它的一个焦点的距离等于16，设点到另一个焦点的距离为，
则由双曲线定义可知，，解得或，
即点到另一个焦点的距离为或；
（2）P是双曲线左支上的点，则，
则，而，
所以，
即，
所以为直角三角形，，
所以.
例6．（2021·江苏省天一中学高二期末）已知双曲线的实半轴长为1，且上的任意一点到的两条渐近线的距离乘积为
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线过双曲线的右焦点，与双曲线相交于两点，问在轴上是否存在定点，使得的平分线与轴或轴垂直？若存在，求出定点的坐标；否则，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在点使得的平分线与轴或轴垂直.
【分析】
（1）由已知得，渐近线为，利用点到直线的距离公式列方程即可求得，进而可得双曲线的方程；
（2）假设存在满足题意，可得，设设，，直线
与双曲线方程联立，消去可得关于的二次方程，得出、代入即可求解.
【详解】
（1）由题意可得：，所以双曲线
所以渐近线方程为，
设，则，即，
因为在双曲线上，所以，即，
所以，解得：，
所以双曲线的方程为：
（2）假设存在，使得的平分线与轴或轴垂直，则可得，
，设，，直线，
由可得：，
所以，，
所以，
即恒成立，
整理可得：，
所以
即，
所以，
所以，解得，
所以存在点使得的平分线与轴或轴垂直.
【点睛】
思路点睛：圆锥曲线中求是否存在满足条件的定点的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理、结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算，即可求出结果，运算量较大.
例7．（2021·河北衡水中学高三三模）已知双曲线：上异于顶点的任一点与其两个顶点的连线的斜率之积为.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）椭圆：的离心率等于，过椭圆上任意一点作两条与双曲线的渐近线平行的直线，交椭圆于，两点，若，求椭圆的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设，结合点在双曲线上和化简可得，利用恒成立转化得，进而求得渐近线；
（2）由椭圆离心率求得，可设椭圆方程为：，设，由直线与渐近线平行设出直线方程，分别联立直线与椭圆方程，求得与点的关系，再结合化简，求出，进而得解
【详解】
（1）设为双曲线上任意一点，则①
双曲线的顶点为，，由题设知
，故，
代入①式可得.
又为双曲线上任意一点，故，所以，双曲线的渐近线方程为.
（2）由椭圆的离心率，可得，故椭圆方程为，即.
设，，则.②
设直线的方程为，与椭圆方程联立，消去，
联立②式整理得，即，故，
从而.所以.
而直线的方程为，同理可求得.
于是，由可得
，
整理得.
结合②式可得，所以椭圆的方程为，即.
【点睛】
本题考查由斜率积为定值问题求解渐近线方程（代数翻译问题），由弦长关系求解椭圆标准方程，解决此类多动点问题关键在于找出主动点和从动点，如本题中为主动点，为从动点，尽可能减少参数设值，这样才能最大化减小运算
例8．（2021·湖南衡阳市八中高三其他模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，其离心率为，且过点
（1）求双曲线的方程
（2）过的两条相互垂直的交双曲线于和，分别为的中点，连接，过坐标原点作的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值，若存在，求此定点.若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【分析】
（1）首先根据题意得到，再解方程组即可；
（2）首先当直线和其中一条没有斜率时，点为，直线MN的方程为，当直线和都有斜率时，设直线的方程为：，联立方程组，利用韦达定理得到，，同理得到，，从而得到直线的方程为，恒过，根据得到点的运动轨迹是以点为圆心，
以直径的圆，从而得到存在定点，使得为定值.
【详解】
（1）由题可知：
，
双曲线的方程是.
（2）存在定点，使得为定值，理由如下：
由题意可知，若直线和其中一条没有斜率，则点为，
直线MN的方程为，
当直线和都有斜率时，
因为点，设直线的方程为：
设，，，
联立方程组得：
所以，，
故，
设直线的方程为：
设，，，
同理可得，，
故
所以，
所以直线的方程为，
化简得：，可知直线过定点
又因为，所以点的运动轨迹是以点为圆心，
以直径的圆，
所以存在定点，使得为定值.
【点睛】
方法点睛：
（1）解答直线与双曲线题目时，常用把两个曲线方程联立，得到关于的一元二次方程，利用根系关系，结合已知条件建立有关参变量的等量关系；
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率不存在的特殊情况
例9．（2021·河北衡水中学高三三模）已知双曲线：上异于顶点的任一点与其两个顶点的连线的斜率之积为.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）椭圆：的离心率等于，过椭圆上任意一点作两条与双曲线的渐近线平行的直线，交椭圆于，两点，若，求椭圆的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设，结合点在双曲线上和化简可得，利用恒成立转化得，进而求得渐近线；
（2）由椭圆离心率求得，可设椭圆方程为：，设，由直线与渐近线平行设出直线方程，分别联立直线与椭圆方程，求得与点的关系，再结合化简，求出，进而得解
【详解】
（1）设为双曲线上任意一点，则①
双曲线的顶点为，，由题设知
，故，
代入①式可得.
又为双曲线上任意一点，故，所以，双曲线的渐近线方程为.
（2）由椭圆的离心率，可得，故椭圆方程为，即.
设，，则.②
设直线的方程为，与椭圆方程联立，消去，
联立②式整理得，即，故，
从而.所以.
而直线的方程为，同理可求得.
于是，由可得
，
整理得.
结合②式可得，所以椭圆的方程为，即.
【点睛】
本题考查由斜率积为定值问题求解渐近线方程（代数翻译问题），由弦长关系求解椭圆标准方程，解决此类多动点问题关键在于找出主动点和从动点，如本题中为主动点，为从动点，尽可能减少参数设值，这样才能最大化减小运算
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突破3.2 双曲线
一、考情分析
二、考点梳理
考点一 双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.
(1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线；
(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；
(3)当a＞c时，点P不存在．
考点二 双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±xy＝±x
离心率 e＝ ，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
三、题型突破
重难点题型突破一 双曲线的定义及其轨迹方程的求法
例1．（1）（2020·全国高二单元测试）如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.
（2）．（2021·全国高二课时练习）已知，为平面内两个定点，为动点，若（为大于零的常数），则动点的轨迹为（ ）
A．双曲线 B．射线
C．线段 D．双曲线的一支或射线
【变式训练1-1】．（2020·全国高二课时练习）在一张矩形纸片上，画有一个圆（圆心为O）和一个定点F（F在圆外）．在圆上任取一点M，将纸片折叠使M与点F重合，得到折痕CD．设直线CD与直线OM交于点P，则点P的轨迹为（ ）
A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线
【变式训练1-2】．（2019·深圳市宝安中学（集团）高二期中）已知点，动圆C与直线相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】．（2021·湖南长沙·高二期末）若是圆所在平面内的一定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹不可能是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
重难点题型突破二 双曲线的标准方程与简单几何性质
例2．（1）（2021·全国高二单元测试）焦距为10，且的双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．或
（2）．（2020·全国高二单元测试）焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）
A． B．
C． D．
（3）．（2020·全国高二单元测试）已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-1】．（2020·全国高二课时练习）若方程＝1表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．(－2，2) B．(0，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
【变式训练2-2】．（2021·全国高二课时练习）以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点(3，)的双曲线的标准方程为________．
【变式训练2-3】．（2021·全国高二课时练习）焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)的双曲线的标准方程为________．
【变式训练2-4】．（2019·长沙市南雅中学高二月考）已知双曲线的一个焦点为，则的值为___________.
重难点题型突破三 求双曲线的标准方程
例3．（2020·全国高二课时练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程：
（1），经过点；
（2）与双曲线有相同的焦点，且经过点.
【变式训练3-1】．（2020·全国高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
（2）与双曲线有共同的渐近线，且过点.
【变式训练3-2】．（2021·莆田锦江中学）（1）已知椭圆C的两焦点分别为，且经过点，求椭圆C的标准方程.
（2）求与双曲线有相同渐近线，且右焦点为的双曲线方程.
重难点题型突破四 双曲线的渐近线与焦点三角形
例4．（1）（2021·全国高二单元测试）已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于A、B两点，若是等腰三角形，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2020·绥滨县第一中学高二期末（文））已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为________．
（3）．（2021·浙江高一期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆有公共焦点.则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】．（2020·全国高二课时练习）已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长________.
【变式训练4-2】．（2021·全国高二单元测试）设P是双曲线上一点，M，N分别是两圆：和上的点，则的最大值为_____．
重难点题型突破五 直线与双曲线的位置关系
例5．（2021·全国高二课时练习）如图，若是双曲线的两个焦点.
（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
（2）若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积.
例6．（2021·江苏省天一中学高二期末）已知双曲线的实半轴长为1，且上的任意一点到的两条渐近线的距离乘积为
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线过双曲线的右焦点，与双曲线相交于两点，问在轴上是否存在定点，使得的平分线与轴或轴垂直？若存在，求出定点的坐标；否则，说明理由．
例7．（2021·河北衡水中学高三三模）已知双曲线：上异于顶点的任一点与其两个顶点的连线的斜率之积为.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）椭圆：的离心率等于，过椭圆上任意一点作两条与双曲线的渐近线平行的直线，交椭圆于，两点，若，求椭圆的方程.
例8．（2021·湖南衡阳市八中高三其他模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，其离心率为，且过点
（1）求双曲线的方程
（2）过的两条相互垂直的交双曲线于和，分别为的中点，连接，过坐标原点作的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值，若存在，求此定点.若不存在，请说明理由.
例9．（2021·河北衡水中学高三三模）已知双曲线：上异于顶点的任一点与其两个顶点的连线的斜率之积为.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）椭圆：的离心率等于，过椭圆上任意一点作两条与双曲线的渐近线平行的直线，交椭圆于，两点，若，求椭圆的方程.
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